Física, PAU 2026 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Es demanen el diagrama de forces sobre l’ió dins el selector i el camp $B_1$ que deixa passar sense desviar-se els ions de $4{,}00\times10^{4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. A la figura la placa de dalt és negativa i la de baix, positiva.

1. Força elèctrica: el camp va de la placa positiva (a baix) a la negativa (a dalt) i la càrrega de l’ió és positiva, de manera que la força elèctrica apunta cap amunt, en el sentit del camp.

   $\vec F_E=q\vec E$

2. Força magnètica: amb $\vec v$ cap a la dreta i $\vec B_1$ sortint del paper, la regla de la mà dreta dona $\vec v\times\vec B_1$ cap avall; com que $q>0$, la força magnètica apunta cap avall (figura).

   $\vec F_B=q\,\vec v\times\vec B_1$

3. Camp elèctric entre les plaques:

   $E$${}= \frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{20{,}0\times10^{-3}}$${}= 2{,}50\times10^{4}\,\mathrm{V\,m^{-1}}$

4. L’ió surt sense desviar-se si les dues forces es compensen; com que $\vec v\perp\vec B_1$, $F_B=qvB_1$:

   $qE$${}= qvB_1$${}\Rightarrow B_1$${}= \frac Ev$${}= \frac{2{,}50\times10^{4}}{4{,}00\times10^{4}}$${}= 0{,}625\,\mathrm{T}$

Resultat$\vec F_E$ cap amunt i $\vec F_B$ cap avall, del mateix mòdul. $E=2{,}50\times10^{4}\,\mathrm{V\,m^{-1}}$; $B_1=0{,}625\,\mathrm{T}$.

La pauta oficial dona: E = 2,50 × 10⁴ V; B = 0,625 T

Plantejament Es demana a quina distància de l’escletxa impacta l’ió i quant canvia la seva energia cinètica. A la zona on només hi ha $B_2$ la força magnètica és perpendicular a la velocitat: l’ió descriu mitja circumferència i xoca a una distància igual al diàmetre.

1. La força magnètica fa de força centrípeta ($\vec v\perp\vec B_2$):

   $qvB_2=m\frac{v^2}{r}\;\Rightarrow\;r=\frac{mv}{qB_2}$

2. Substituïm; la càrrega de l’ió és $q=+|e|$:

   $r$${}= \frac{5{,}81\times10^{-26}\cdot4{,}00\times10^{4}}{1{,}602\times10^{-19}\cdot0{,}30}$${}= 4{,}836\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

3. L’ió recorre mitja volta, cap avall com a la figura, abans de xocar amb la placa:

   $d$${}= 2r=2\cdot4{,}836\times10^{-2}$${}= 9{,}67\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

4. La força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat: no fa treball, el mòdul de la velocitat no canvia i l’energia cinètica tampoc.

   $W_B=0\;\Rightarrow\;\Delta E_c=0$

Plantejament Es demana quin harmònic mostra la imatge, la seva longitud d’ona i la seva velocitat de propagació, i la posició dels nodes i els ventres. La corda està subjectada pels dos extrems, la mà i l’eix del raspall, que són nodes.

1. A la imatge hi ha quatre fusos: cinc nodes (els dos extrems i els tres punts intermedis que no es mouen) i quatre ventres. Amb un node a cada extrem, l’harmònic $n$ té $n$ ventres: és el quart harmònic.

   $n=4$

2. Entre dos nodes consecutius hi ha mitja longitud d’ona; entre el primer i l’últim hi ha quatre mitges longituds d’ona:

   $4\,\frac{\lambda}{2}$${}= 36{,}0\,\mathrm{cm}$${}\Rightarrow \lambda=18{,}0\,\mathrm{cm}$${}= 0{,}180\,\mathrm{m}$

3. L’ona vibra amb la freqüència del raspall:

   $v=\lambda f=0{,}180\cdot357=64{,}3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Mesurades des del primer node: hi ha un node cada $\lambda/2=9{,}0\,\mathrm{cm}$ i els ventres són a mig camí entre dos nodes (figura).

   $x_N=0;\ 9{,}0;\ 18{,}0;\ 27{,}0;\ 36{,}0\ \mathrm{cm}$$x_V=4{,}5;\ 13{,}5;\ 22{,}5;\ 31{,}5\ \mathrm{cm}$

ResultatQuart harmònic; $\lambda=0{,}180\,\mathrm{m}$; $v=64{,}3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Nodes a $0$, $9{,}0$, $18{,}0$, $27{,}0$ i $36{,}0\,\mathrm{cm}$ del primer; ventres a $4{,}5$, $13{,}5$, $22{,}5$ i $31{,}5\,\mathrm{cm}$.

La pauta oficial dona: n = 4; λ = 0,18 m; v = 64,3 m/s; N: 0; 0,09; 0,18; 0,27; 0,36 m; V: 0,045; 0,135; 0,225; 0,315 m

Plantejament Es demana l’equació de la posició de l’eix del raspall i la seva gràfica durant un període. El moviment comença al desplaçament màxim, de manera que convé un cosinus sense fase inicial.

1. Amplitud i freqüència angular:

   $A=0{,}50\,\mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}$$\omega$${}= 2\pi f$${}= 2\pi\cdot357$${}= 714\pi$${}= 2{,}24\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

2. A $t=0$ l’eix és al desplaçament màxim, $x(0)=A$: amb $x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$ la fase inicial és $\varphi_0=0$ (amb un sinus seria $\pi/2$). Amb $x$ en metres i $t$ en segons:

   $x(t)$${}= 5{,}0\times10^{-4}\cos(714\pi\,t)$${}= 5{,}0\times10^{-4}\cos\left(2{,}24\times10^{3}\,t\right)$

3. Període, per a l’escala de la gràfica:

   $T=\frac1f=\frac1{357}=2{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{s}$

4. La gràfica (figura) comença a $x=0{,}50\,\mathrm{mm}$, passa per zero a $T/4=0{,}70\,\mathrm{ms}$, arriba a $-0{,}50\,\mathrm{mm}$ a $T/2=1{,}40\,\mathrm{ms}$, torna a zero a $3T/4=2{,}10\,\mathrm{ms}$ i acaba a $0{,}50\,\mathrm{mm}$ a $T=2{,}80\,\mathrm{ms}$.

Resultat$x(t)=5{,}0\times10^{-4}\cos(714\pi\,t)$, amb $x$ en m i $t$ en s; $T=2{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{s}$.

La pauta oficial dona: x = 5 × 10⁻⁴ cos(2240 t); T = 2,80 × 10⁻³ s

Plantejament Es demanen la freqüència de la llum, la seva velocitat dins la fibra i la seva longitud d’ona dins la fibra. La freqüència no canvia en passar d’un medi a un altre; la velocitat i la longitud d’ona, sí.

1. Freqüència, amb les dades en el buit:

   $f$${}= \frac{c}{\lambda_0}$${}= \frac{3{,}00\times10^{8}}{650\times10^{-9}}$${}= 4{,}62\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$

2. Velocitat dins la fibra:

   $v$${}= \frac{c}{n_1}$${}= \frac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}48}$${}= 2{,}03\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

3. Longitud d’ona dins la fibra, amb la mateixa freqüència:

   $\lambda$${}= \frac vf$${}= \frac{\lambda_0}{n_1}$${}= \frac{650}{1{,}48}$${}= 439\,\mathrm{nm}$

Plantejament Es demanen l’angle límit a la superfície entre el nucli de la fibra ($n_1$) i el recobriment ($n_2$), al punt $P$, i l’angle d’entrada $\varphi$ amb què el raig arriba a $P$ just amb aquest angle límit.

1. Angle límit: l’angle d’incidència, mesurat des de la normal, el raig refractat del qual surt a $90^\circ$. Existeix perquè $n_1>n_2$:

   $n_1\sin\theta_L$${}= n_2\sin90^\circ$${}\Rightarrow \theta_L$${}= \arcsin\frac{n_2}{n_1}$${}= \arcsin\frac{1{,}44}{1{,}48}$${}= 76{,}65^\circ$

2. La normal a $P$ és perpendicular a l’eix de la fibra: l’angle $\varphi'$ que forma el raig refractat amb l’eix és el complementari de $\theta_L$.

   $\varphi'$${}= 90^\circ-\theta_L$${}= 90^\circ-76{,}65^\circ$${}= 13{,}35^\circ$

3. Llei de Snell a l’entrada de la fibra, des de l’aire; a la cara d’entrada la normal és l’eix, de manera que $\varphi$ i $\varphi'$ són els angles amb la normal:

   $n_{\text{aire}}\sin\varphi$${}= n_1\sin\varphi'$${}\Rightarrow \varphi=\arcsin(1{,}48\cdot\sin13{,}35^\circ)$${}= 20{,}0^\circ$

4. Si $\varphi$ és més petit que $20{,}0^\circ$, el raig arriba a $P$ amb un angle més gran que el límit i es reflecteix totalment; si és més gran, part de la llum passa al recobriment.

   $\varphi\le20{,}0^\circ\;\Rightarrow\;\theta\ge\theta_L$

Plantejament Es demana la desintegració del triti en heli 3, amb totes les partícules, i el seu tipus. El nombre màssic no canvia ($3$) i el nombre atòmic puja d’$1$ a $2$: un neutró del nucli es converteix en un protó.

1. Conservació del nombre màssic i de la càrrega: la partícula que falta té $A=0$ i $Z=-1$, un electró.

   $3=3+A_x\;\Rightarrow\;A_x=0$$1=2+Z_x\;\Rightarrow\;Z_x=-1$

2. Per conservar el nombre leptònic també s’emet un antineutrí electrònic:

   ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$${}\longrightarrow {}^{3}_{2}\mathrm{He}+{}^{0}_{-1}e$${}+\bar\nu_e$

Plantejament Es demanen la constant de desintegració, l’activitat del tanc el dia de l’accident, quants anys han de passar des de l’accident per arribar al límit recomanat i una valoració de l’abocament. L’activitat decau exponencialment; la mesura de $760\,\mathrm{TBq}$ és de cinc anys després de l’accident.

1. Constant de desintegració, amb el període en segons:

   $T_{1/2}$${}= 4\,500\cdot86\,400$${}= 3{,}888\times10^{8}\,\mathrm{s}$$\lambda$${}= \frac{\ln2}{T_{1/2}}$${}= 1{,}783\times10^{-9}\,\mathrm{s^{-1}}$

2. Activitat inicial. Cinc anys són $t_1$${}= 5\cdot365{,}25\cdot86\,400$${}= 1{,}58\times10^{8}\,\mathrm{s}$, i $760\,\mathrm{TBq}=7{,}60\times10^{14}\,\mathrm{Bq}$:

   $A$${}= A_0e^{-\lambda t_1}$${}\Rightarrow A_0$${}= Ae^{\lambda t_1}$${}= 7{,}60\times10^{14}\cdot e^{1{,}783\times10^{-9}\cdot1{,}578\times10^{8}}$${}= 1{,}007\times10^{15}\,\mathrm{Bq}$

3. Activitat màxima admissible al tanc. L’enunciat parla de «cada litre», però dona el límit en $\mathrm{Bq\,m^{-3}}$: el fem servir amb aquesta unitat i el volum del tanc. Si fossin $10^{7}\,\mathrm{Bq}$ per litre, el límit del tanc seria $8{,}60\times10^{15}\,\mathrm{Bq}$, més gran que l’activitat inicial: l’aigua hauria estat segura des del primer dia i la pregunta no tindria sentit.

   $A_{\text{seg}}$${}= 10^{7}\cdot8{,}60\times10^{5}$${}= 8{,}60\times10^{12}\,\mathrm{Bq}$

4. Temps des de l’accident fins a arribar a aquest límit ($1\,\text{any}=365{,}25\,\text{dies}$):

   $t$${}= \frac1\lambda\ln\frac{A_0}{A_{\text{seg}}}$${}= \frac{1}{1{,}783\times10^{-9}}\ln\frac{1{,}007\times10^{15}}{8{,}60\times10^{12}}$${}= 2{,}67\times10^{9}\,\mathrm{s}$${}= 84{,}7\,\text{anys}$

5. Valoració. Quan es va mesurar, l’activitat per unitat de volum de l’aigua del tanc era unes $88$ vegades el límit recomanat, de manera que no es pot abocar tal qual. Diluïda en una massa d’aigua molt gran, la concentració pot quedar per sota del límit; el risc és a prop del punt d’abocament: si s’aboca de pressa o els corrents no la dispersen bé, hi pot haver zones amb concentracions massa altes que facin malbé el plàncton i la fauna marina. La proposta és raonable només si s’aboca de mica en mica, molt diluïda i vigilant-ne la concentració.

   $\frac{A}{V}$${}= \frac{7{,}60\times10^{14}}{8{,}60\times10^{5}}$${}= 8{,}84\times10^{8}\,\mathrm{Bq\,m^{-3}}$${}\approx 88\cdot10^{7}\,\mathrm{Bq\,m^{-3}}$