Física, PAU 2025 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu als apartats corresponents.

OPCIÓ A

Una vareta metàŀlica es desplaça a una velocitat constant de $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ sobre un conductor en forma de U dins un camp magnètic uniforme $B=0{,}40\,\mathrm{T}$, perpendicular al pla i en el sentit indicat a les figures. En l’instant inicial, la vareta es troba a una distància de $3{,}00\,\mathrm{cm}$ de la part esquerra del conductor.

a) Calculeu el flux magnètic a través del circuit tancat per la vareta en l’instant inicial indicat a la figura $1$. En el moment en què la vareta es posa en moviment, apareix un corrent induït en el sentit indicat a la figura $2$. Justifiqueu quin és el sentit de moviment de la vareta, a l’esquerra o a la dreta, i dibuixeu el vector de velocitat sobre la figura de la vareta en moviment. Determineu la FEM induïda mentre la vareta es mou a $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. [$1{,}25$ punts]

b) Considereu la situació iŀlustrada a la figura $2$, en què la intensitat induïda és de $6{,}00\,\mathrm{mA}$. Justifiqueu si en aquestes condicions apareixerà alguna força magnètica sobre la vareta. En cas afirmatiu, calculeu el mòdul de la força magnètica sobre la vareta i dibuixeu-la. [$1{,}25$ punts]

OPCIÓ B

El model de l’àtom d’hidrogen de Bohr suposa que l’electró descriu una òrbita circular al voltant del protó i que el moment angular de l’òrbita és un múltiple enter de la constant de Planck $L=n\frac{h}{2\pi}$, on n és un nombre natural.

a) Demostreu que el moment angular s’expressa com $L=e\sqrt{k\cdot m\cdot r}$, on e és la càrrega de l’electró, k és la constant de Coulomb, m és la massa de l’electró i r és el radi de l’òrbita. Trobeu l’expressió del radi de l’òrbita de l’electró en funció de h, n, k, m i e. Calculeu el radi per a $n=1$. [$1{,}25$ punts]

b) Suposant que el radi de l’òrbita per a $n=1$ és $53\,\mathrm{pm}$, calculeu les energies cinètica, potencial i mecànica clàssiques de l’electró. [$1{,}25$ punts] Dades: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $m=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $h=6{,}63\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu als apartats corresponents.

OPCIÓ A

Al taller de l’institut dissenyem un pèndol amb un suport i un pes que penja d’un fil de longitud L i de massa negligible. Quan prenem mesures del període T d’aquest pèndol en funció de la longitud del fil, obtenim les dades següents: Longitud L (m) $0{,}20$ $0{,}30$ $0{,}50$ $0{,}80$ $1{,}20$ Període T (s) $0{,}90$ $1{,}08$ $1{,}43$ $1{,}75$ $2{,}20$ $T^2$ ($\mathrm{s^2}$) a) Ompliu la tercera fila de la taula anterior amb els valors del període al quadrat. Representeu $T^2(L)$ a la quadrícula de sota i justifiqueu per què els punts estan alineats. Calculeu el pendent d’aquest gràfic. A partir del resultat, calculeu també la intensitat del camp gravitatori. [$1{,}25$ punts]

b) Deixem caure el pèndol d’$1{,}50\,\mathrm{kg}$ de massa des d’un angle de $30^\circ$ respecte a la vertical i considerem negligible el fregament amb l’aire. Tenint en compte que la longitud del pèndol és d’$1{,}00\,\mathrm{m}$, calculeu les energies potencial i cinètica màximes i l’energia mecànica del pèndol, així com la velocitat màxima que assolirà. Trieu com a referència d’energia potencial zero la posició d’equilibri. [$1{,}25$ punts] Dada: El pèndol descriu un moviment harmònic simple de període $T=2\pi\sqrt{L/g}$.

OPCIÓ B

L’Alaitz es troba dalt d’un trampolí situat just a sobre la vora de la piscina i està a punt de llançar-se. En aquest moment observa un objecte al fons de la piscina amb un angle de $40{,}0^\circ$ respecte a la vertical. L’alçària del trampolí és de $0{,}90$ metres respecte a la superfície de l’aigua, la profunditat de la piscina és de $2{,}00$ metres i els ulls de l’Alaitz es troben a $1{,}60$ metres respecte al trampolí.

a) Calculeu a quina distància x es troba l’objecte respecte a la vora de la piscina. [$1{,}25$ punts]

b) L’objecte submergit és un apuntador làser encès i dirigit cap amunt amb una certa inclinació. A partir de quin angle d’inclinació respecte a la vertical el raig del làser no sortirà de la piscina? A quina velocitat es propagarà el feix làser dins de la piscina? Si sabem que la llum que emet el làser té una longitud d’ona de $632{,}8\,\mathrm{nm}$ en l’aire, quina és la freqüència i la longitud d’ona del feix làser dins de la piscina? [$1{,}25$ punts] Dades: $c=3{,}00\cdot10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. $n_{aire}=1{,}00$. $n_{aigua}=1{,}33$.

L’isòtop del iode $131$ ($Z=53$) es fa servir en radioteràpia per a tractar determinades malalties de la tiroide, especialment l’hipertiroïdisme i el càncer de tiroide. Aquest isòtop es desintegra i dona lloc al xenó $131$ estable ($Z=54$).

a) Escriviu la reacció de desintegració d’aquest isòtop. Completeu la reacció nuclear amb totes les partícules que intervenen en la reacció i justifiqueu la resposta. De quin tipus de desintegració es tracta? [$1{,}25$ punts]

b) Si a un pacient se li subministra una pastilla de I-$131$ amb una activitat de $40{,}0\cdot10^{6}\,\mathrm{Bq}$, quina massa de iode $131$ conté aquesta pastilla? Quina activitat tindrà el I-$131$ al cap d’una setmana? Representeu a la quadrícula de sota l’evolució de l’activitat durant aquesta setmana en funció del temps en dies. La corba ha de tenir com a mínim tres punts calculats. [$1{,}25$ punts] Dades: Nombre d’Avogadro: $N_A=6{,}022\cdot10^{23}$. $m({}^{131}\mathrm{I})$ = $131\,\mathrm{g/mol}$. El període de semidesintegració del iode $131$ és de $8{,}02$ dies.