Física, PAU 2026 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Entre plaques paral·leles amb camp uniforme, el mòdul és la diferència de potencial dividida per la separació. La força sobre l’electró és oposada al camp perquè la càrrega és negativa.

1. Convertim les dades al SI.

   $E$${}= \frac{\Delta V}{d}=\frac{70{,}0\times10^3}{2{,}00\times10^{-2}}$${}= 3{,}5\times10^6\,\mathrm{N/C}$

2. Multipliquem el camp per la càrrega en valor absolut.

   $F$${}= |e|E$${}= (1{,}602\times10^{-19})(3{,}5\times10^6)$${}= 5{,}607\times10^{-13}\,\mathrm{N}$

3. Dibuixem diverses línies rectes, paral·leles i equidistants de l’ànode positiu al càtode negatiu. La força de l’electró apunta cap a l’ànode.

   $\vec F=-|e|\vec E$

Resultat$E=3{,}5\times10^6\,\mathrm{N/C}$; $F=5{,}61\times10^{-13}\,\mathrm{N}$. Camp cap al càtode; força cap a l’ànode.

La pauta oficial dona: E = 3,5 × 10⁶ N/C; F = 5,61 × 10⁻¹³ N

Plantejament El treball elèctric es converteix en energia cinètica. Seguim el model no relativista que demana expressament la nota; després restem l’energia del fotó emès.

1. Obtenim l’energia i la velocitat abans del xoc.

   $K_i$${}= |e|\Delta V$${}= (1{,}602\times10^{-19})(70{,}0\times10^3)$${}= 1{,}1214\times10^{-14}\,\mathrm{J}$$v_i$${}= \sqrt{\frac{2K_i}{m_e}}$${}= 1{,}569\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

2. Calculem l’energia del fotó.

   $E_\gamma$${}= \frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}63\times10^{-34})(3{,}00\times10^8)}{1{,}00\times10^{-9}}$${}= 1{,}989\times10^{-16}\,\mathrm{J}$

3. Conservem l’energia en l’emissió i tornem a aïllar la velocitat.

   $K_f$${}= K_i-E_\gamma$${}= 1{,}1015\times10^{-14}\,\mathrm{J}$$v_f$${}= \sqrt{\frac{2K_f}{9{,}11\times10^{-31}}}$${}= 1{,}5551\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

Plantejament El moviment local és sinusoidal. Una fase amb el mateix signe per a ωt i el signe contrari per a kx descriu la propagació cap a x positiva.

1. Calculem la freqüència angular i seleccionem una fase inicial compatible.

   $\omega=2\pi f=300\pi\,\mathrm{rad/s}$$y(0)=0\Rightarrow\varphi=0$$\text{o}\ \ \pi$

2. Escollim fase zero; el sentit inicial de la velocitat no està fixat.

   $y(t)=2{,}00\times10^{-3}\sin(300\pi t)$

3. La longitud d’ona és velocitat dividida per freqüència.

   $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{3200}{150}=21{,}333\,\mathrm{m}$$k=\frac{2\pi}{\lambda}=0{,}29452\,\mathrm{m^{-1}}$

4. La fase ωt−kx manté a l’origen el moviment escollit per al telèfon.

   $y(x,t)$${}= 2{,}00\times10^{-3}\sin\left(300\pi t-\frac{3\pi}{32}x\right)$

Plantejament La potència es reparteix per l’àrea d’una esfera. Convertim la intensitat obtinguda a decibels amb el logaritme decimal.

1. Calculem la intensitat al punt d’escolta.

   $I$${}= \frac{P}{4\pi r^2}$${}= \frac{1{,}00\times10^{-3}}{4\pi(3{,}00)^2}$${}= 8{,}8419\times10^{-6}\,\mathrm{W/m^2}$

2. Apliquem la definició del nivell d’intensitat.

   $\beta$${}= 10\log_{10}(I/I_0)$${}= 10\log_{10}\left(\frac{8{,}8419\times10^{-6}}{10^{-12}}\right)$${}= 69{,}465\,\mathrm{dB}$

Plantejament La desintegració beta negativa conserva el nombre màssic i incrementa el nombre atòmic. Interpretem literalment «vida mitjana» com τ=1/λ; la pauta revisada admet també la interpretació de semivida.

1. Incloem l’electró i l’antineutrí electrònic per conservar càrrega i nombre leptònic.

   ${}^{137}_{55}\mathrm{Cs}$${}\to {}^{137}_{56}\mathrm{Ba}$${}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

2. Amb la vida mitjana indicada, calculem directament en anys.

   $\frac{N}{N_0}$${}= e^{-t/\tau}$${}= e^{-40/30{,}17}$${}= 0{,}26558$

3. Si el valor s’interpreta com a semivida, s’obté l’altra resposta admesa; no són el mateix paràmetre.

   $\frac{N}{N_0}=2^{-40/30{,}17}=0{,}39892$

Plantejament L’activitat segueix el mateix decaïment exponencial que el nombre de nuclis. Mantenim la mateixa interpretació del paràmetre que a l’apartat anterior i calculem separadament l’alternativa de la pauta.

1. Aïllem el temps necessari per arribar al llindar.

   $A$${}= A_0e^{-t/\tau}$${}\Rightarrow t=\tau\ln\frac{A_0}{A}$${}= 30{,}17\ln\frac{6{,}00\times10^5}{3{,}70\times10^4}$${}= 84{,}054\,\mathrm{anys}$

2. L’any inicial es dedueix de les dades de l’enunciat. Cal superar lleugerament el temps límit per estar estrictament per sota.

   $2026-40=1986$$1986+84{,}054\approx2070$

3. La pauta usa la interpretació de semivida en aquest apartat.

   $t_{1/2}$${}= 30{,}17$${}\Rightarrow t=\frac{30{,}17}{\ln2}\ln\frac{6{,}00\times10^5}{3{,}70\times10^4}$${}= 121{,}26\,\mathrm{anys}$$1986+t\approx2107$

Plantejament L’energia màxima dels fotoelectrons és la que frena el potencial d’aturada. La diferència entre l’energia del fotó i aquesta energia cinètica és la funció de treball.

1. Calculem l’energia del fotó blau i l’energia cinètica màxima.

   $E_b$${}= \frac{hc}{460\times10^{-9}}$${}= 4{,}3239\times10^{-19}\,\mathrm{J}$$K_{max}$${}= |e|V_f$${}= (1{,}602\times10^{-19})(0{,}50)$${}= 8{,}01\times10^{-20}\,\mathrm{J}$

2. Apliquem l’equació d’Einstein.

   $W$${}= E_b-K_{max}$${}= 3{,}5229\times10^{-19}\,\mathrm{J}$$W$${}= \frac{3{,}5229\times10^{-19}\,\mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}}$${}= 2{,}1991\,\mathrm{eV}$

3. Aïllem la velocitat a partir de l’energia cinètica.

   $v_{max}$${}= \sqrt{\frac{2K_{max}}{m_e}}$${}= \sqrt{\frac{2(8{,}01\times10^{-20})}{9{,}11\times10^{-31}}}$${}= 4{,}1935\times10^5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

Plantejament Només hi ha emissió si l’energia del fotó supera la funció de treball. Quan n’hi ha, el potencial de frenada és l’excés d’energia dividit per la càrrega elemental.

1. Per al verd resta energia per alliberar electrons.

   $V_{f,v}$${}= \frac{hc/(520\times10^{-9})-W}{|e|}$${}= 0{,}18857\,\mathrm{V}$

2. Per al vermell no hi ha emissió: el potencial algebraic negatiu no és un potencial de frenada físic.

   $E_r$${}= \frac{hc}{650\times10^{-9}}$${}= 3{,}06\times10^{-19}\,\mathrm{J}$${}< W$