Física, PAU 2022 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 2) resolt

Un dipol elèctric és un sistema de dues càrregues puntuals d’igual magnitud Q i signe oposat.

a) Representeu dins del requadre adjunt les línies de camp elèctric creades per un dipol elèctric. Representeu la projecció de les superfícies equipotencials en el pla de la figura.

Orientació: per al camp elèctric dibuixeu 12 línies de camp i 3 línies equipotencials per cada càrrega.

[$1{,}25$ punts]

b) El valor de la càrrega és |Q| = $1{,}50\,\mathrm{\mu C}$, la càrrega positiva està situada a ${-5\hat\imath}\,\mathrm{cm}$ i la càrrega negativa està situada a $5\hat\imath\,\mathrm{cm}$. Calculeu el camp elèctric creat pel dipol elèctric a l’origen de coordenades i també el valor del potencial elèctric a l’origen de coordenades. Per a les magnituds vectorials podeu donar les components o el mòdul, la direcció i el sentit.

[$1{,}25$ punts]

Dada: $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

El moviment d’una anguila es pot aproximar al d’una ona harmònica transversal que es propaga des del cap fins a la cua. Per a estudiar-ne el moviment hem de simplificar: no considerem l’aportació al moviment de la resta de músculs del cos, i suposem, simplement, que l’ona es genera al cap de l’anguila, que vibra amb una freqüència de $0{,}50\,\mathrm{Hz}$ i amb una amplitud de $5{,}00\,\mathrm{cm}$. La distància entre dos punts consecutius del cos de l’anguila que estan en el mateix estat de vibració és de $20{,}0\,\mathrm{cm}$.

a) Calculeu la velocitat a la qual es propaga l’ona pel cos de l’anguila, la freqüència angular i el nombre d’ona. Si a l’instant inicial el cap té una elongació zero i la velocitat d’osciŀlació transversal és positiva, determineu l’expressió de l’equació d’ona.

Per a l’equació d’ona utilitzeu el sistema de coordenades de la figura superior, on el cap de l’anguila es troba sempre a l’origen de les abscisses.

[$1{,}25$ punts]

b) A partir de l’equació d’ona, deduïu i calculeu els mòduls de la velocitat i de l’acceleració màximes de l’osciŀlació transversal. Si la longitud total de l’anguila és de $58{,}0\,\mathrm{cm}$, calculeu també la velocitat i l’acceleració transversals a la cua $10\,\mathrm{s}$ més tard d’haver iniciat el moviment.

[$1{,}25$ punts]

Un ciclotró és un accelerador de partícules format per dos elèctrodes buits semicirculars (en forma de D) on actua un camp magnètic homogeni perpendicular al pla horitzontal (pla de la figura). Així, a l’interior dels elèctrodes les partícules carregades positives, que es mouen en el pla horitzontal, descriuen una trajectòria circular. A l’espai buit que separa els dos elèctrodes s’aplica un camp elèctric altern , de manera que les partícules són accelerades. Inicialment, les partícules tenen poca velocitat i a cada cicle, en passar d’un semicercle a l’altre, van augmentant de velocitat i de radi de gir fins que finalment surten fora del ciclotró.

a) Les partícules tenen una càrrega elèctrica positiva q i una massa m. Deduïu l’expressió de la velocitat de les partícules en funció del quocient càrrega-massa (q/m), del radi r de la trajectòria de les partícules i del mòdul del camp magnètic. Comproveu que el temps de recorregut dins una D no depèn de la velocitat de les partícules.

Per què el camp elèctric ha de ser altern? Trobeu l’expressió de la freqüència del camp elèctric.

[$1{,}25$ punts]

b) El ciclotró té un radi de $0{,}50\,\mathrm{m}$ i un camp magnètic de $0{,}20\,\mathrm{T}$. Quan hi accelerem protons, quina velocitat tenen quan surten del ciclotró? Quina és la longitud d’ona associada a aquests protons? Quin radi mínim hauria de tenir el ciclotró per a considerar que els protons tenen velocitats relativistes (és a dir, un $10\,\mathrm{\%}$ de la velocitat de la llum)?

[$1{,}25$ punts]

Dades: $m_p$ = $1{,}67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$.

|e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

h = $6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

El gas radó és una de les fonts de radioactivitat natural més abundants de la Terra. El radó prové de la descomposició d’elements radioactius naturals (com l’urani i el tori).

El gas es difon a través del sòl fins a arribar a la superfície. La cadena de desintegració del radó ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ inclou vuit desintegracions radioactives, fins que es forma l’isòtop estable del plom ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$. En la figura següent es representen els nuclis que formen part d’aquesta cadena de desintegració nuclear. Al costat de cada nucli, se n’indica el període de semidesintegració.

a) Escriviu les reaccions nuclears que permeten arribar al ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ a partir del ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$.

[$1{,}25$ punts]

b) El gràfic següent correspon a l’evolució dels nuclis d’una de les desintegracions radioactives de la cadena del radó. La mostra estudiada inicialment tenia $8{,}00\times10^{23}$ nuclis. A partir del gràfic, determineu quin és el període de semidesintegració de la mostra, i raoneu a quin nucli de la cadena correspon. Amb aquesta dada calculeu quants dies han de passar fins que s’hagin desintegrat $7{,}95\times10^{23}$ àtoms.

[$1{,}25$ punts]

El juliol del 2020 la NASA va posar en marxa una missió espacial que, entre altres tasques, havia de fer arribar el vehicle d’exploració Perseverance a la superfície de Mart.

El 18 de febrer de 2021 va tenir lloc l’aterratge del vehicle. En la darrera etapa d’aquest procés complex d’aterratge, una grua fa baixar d’una manera controlada el vehicle des d’una altura de $20{,}0\,\mathrm{m}$ per sobre de la superfície de Mart. Durant tot aquest recorregut, la intensitat del camp gravitatori es pot considerar uniforme.

a) El valor absolut de la diferència de potencial gravitatori entre la superfície del planeta i un punt elevat $20{,}0\,\mathrm{m}$ per sobre de la superfície és $74{,}4\,\mathrm{J/kg}$. A partir de la diferència de potencial, determineu el mòdul de la intensitat del camp gravitatori a la superfície de Mart. Quin dels esquemes següents (a, b, c o d) representa les línies equipotencials a la superfície de Mart? Situeu en el diagrama triat la línia de menor potencial ($V_{baix}$) i la de major potencial ($V_{alt}$). Justifiqueu totes les respostes.

[$1{,}25$ punts]

b) Si durant aquesta darrera etapa, el vehicle fa un descens de $20{,}0\,\mathrm{m}$ a una velocitat constant, quin treball ha fet la grua? Podeu negligir el treball fet per les forces de fregament.

[$1{,}25$ punts]

Dada: La massa del vehicle és $1025\,\mathrm{kg}$.

Per a identificar els instruments musicals es pot utilitzar un espectre de freqüències. A la figura següent es representa l’espectre d’un instrument que es vol identificar. L’oboè és un instrument que té un extrem obert i un extrem tancat que és l’embocadura amb una canya. A l’extrem obert, l’amplitud de la vibració de les molècules és màxima: tenim un ventre. En canvi, a l’altre extrem, el tudell per on es bufa és una canya que comunica pressió a l’aire i impedeix que aquest es pugui moure amb llibertat: és un node. D’altra banda, en un piano les cordes estan pinçades pels dos extrems, és a dir, els dos extrems de la corda són nodes.

a) Quina és la freqüència fonamental d’aquest espectre? Determineu si es tracta d’un oboè o d’un piano, i justifiqueu la resposta. Determineu també la llargària del tub o de la corda.

[$1{,}25$ punts]

b) Un quintet de vent acostuma a estar format per cinc instrumentistes, normalment flauta travessera, oboè, clarinet, trompa i fagot. A l’inici de la interpretació d’una composició tots 5 toquen de forma suau i amb la mateixa intensitat, generant un nivell d’intensitat sonora de $80\,\mathrm{dB}$ a un espectador que es troba a una distància d’$1{,}5\,\mathrm{m}$. Quina és la potència sonora de cada instrument? Suposeu que aquesta potència es distribueix uniformement per tota l’àrea d’una semiesfera.

[$1{,}25$ punts]

Dades: $I_0$ = $10^{-12}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$.

La velocitat del so en l’aire és de $340\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

Considereu un experiment d’efecte fotoelèctric en què el càtode és una làmina de cesi que té una freqüència llindar de $4{,}59\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

a) Calculeu el treball d’extracció del càtode. Si iŀluminem el càtode amb els diferents punters làser de la taula que hi ha a continuació, justifiqueu amb quins punters làser es produirà l’efecte fotoelèctric. Completeu la taula i representeu gràficament en la quadrícula adjunta l’energia cinètica màxima dels electrons (en eV) en funció de la freqüència dels fotons incidents (en Hz) per a un interval de freqüències entre $3{,}00\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$ i $7{,}00\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

[$1{,}25$ punts]

Tipus de punter Longitud d’ona Freqüència Energia fotó $E_c$ electró $E_c$ electró làser (nm) ($\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$) ($\times10^{-19}\,\mathrm{J}$) ($\times10^{-19}\,\mathrm{J}$) (eV) Làser blau 460 Làser verd 532 Làser infraroig 1 080

b) Iŀluminem el càtode amb un làser de freqüència $8{,}00\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$. Calculeu la velocitat i la longitud d’ona de De Broglie dels electrons arrencats del càtode amb la radiació d’aquest làser.

[$1{,}25$ punts]

Dades: $1\,\mathrm{eV}$ = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

$m_e$ = $9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$.

c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

h = $6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.