Física, PAU 2021 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Les línies de camp travessen el pla XY en direcció +Z. En créixer el camp varia el flux i Faraday prediu una FEM induïda.

1. Dibuixem l’espira en XY i fletxes paral·leles cap a +Z que la travessen.

   $\vec B=0{,}014t^2\hat k$$\Phi=B\pi r^2$

2. Per a temps positius la derivada és positiva. A t=0 la FEM instantània és zero, però després sí que hi ha corrent en una espira tancada amb resistència finita.

   $\frac{d\Phi}{dt}=2\cdot0{,}014\,t\,\pi r^2$

Plantejament Triem normal +Z per al flux positiu. La FEM porta el signe de Lenz i el corrent induït crea camp −Z.

1. Calculem el coeficient del flux quadràtic.

   $\Phi(t)=0{,}014\pi(0{,}25)^2t^2$

2. Derivem amb signe contrari. Vist des de +Z, el corrent és horari per a t>0.

   $\varepsilon(t)$${}= -\frac{d\Phi}{dt}$${}= -2\cdot0{,}014\pi(0{,}25)^2t$

Plantejament Quatre nodes signifiquen tres mitges longituds d’ona: tercer harmònic. El centre és un ventre d’amplitud dos centímetres.

1. La corda conté tres meitats de longitud d’ona.

   $L=3\lambda/2\Rightarrow\lambda=2\cdot0{,}60/3$$v_{\rm onda}=f\lambda$

2. La velocitat transversal màxima del ventre és amplitud per freqüència angular. No és la velocitat de propagació de l’ona.

   $v_{y,\max}=A\omega=0{,}020\cdot2\pi\cdot200$

Plantejament L’amplitud espacial d’una ona estacionària és proporcional al mòdul del sinus. Els nodes estan separats vint centímetres.

1. Fem servir amplitud màxima de dos centímetres, no la de cada ona viatgera per separat.

   $A(x)=2\left|\sin\frac{3\pi x}{0{,}60}\right|\,\mathrm{cm}$

2. A deu centímetres hi ha ventre i a vint centímetres hi ha node.

   $A(0{,}10)=2|\sin(\pi/2)|$$A(0{,}20)=2|\sin\pi|$

Plantejament En disminuir Z una unitat sense canviar A, una possibilitat és l’emissió beta positiva. El balanç inclou positró i neutrí electrònic.

1. Escrivim la reacció que fa servir la pauta i comprovem càrrega i nombre màssic.

   ${}^{40}_{19}\mathrm K$${}\to {}^{40}_{18}\mathrm{Ar}$${}+{}^0_{+1}e+\nu_e$

2. L’enunciat no especifica la branca de desintegració. També es conserva càrrega mitjançant captura electrònica, amb un electró als reactius.

   ${}^{40}_{19}\mathrm K+{}^0_{-1}e$${}\to {}^{40}_{18}\mathrm{Ar}+\nu_e$

Plantejament En el model ideal de datació, la mostra és un sistema tancat sense argó inicial i cada nucli pare perdut es compta com a nucli fill. L’edat permet comprovar compatibilitat, no identificar per si sola la procedència.

1. Com que tots dos isòtops tenen nombre màssic quaranta, fem servir el quocient de masses com a quocient de nuclis en aquest model.

   $\frac{N}{N_0}=\frac{0{,}10}{0{,}84+0{,}10}$$\frac{N}{N_0}=2^{-t/(1{,}248\cdot10^9)}$

2. Aïllem el temps i el comparem amb l’edat mínima lunar donada.

   $t$${}= \frac{1{,}248\cdot10^9}{\ln2}\ln\frac{0{,}94}{0{,}10}$${}> 3{,}2\cdot10^9\,\mathrm{anys}$

Plantejament El camp va de l’ànode positiu al càtode negatiu. Per accelerar-se cap a l’ànode, els fragments han de ser negatius i patir una força oposada al camp.

1. A l’esquema es tracen línies uniformes des de l’ànode al càtode i la fletxa de força al revés sobre el DNA.

   $E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{115}{0{,}18}$

2. Multipliquem el camp pel mòdul de càrrega.

   $F$${}= |q|E$${}= 2{,}00\cdot10^{-18}\frac{115}{0{,}18}$

Plantejament Sense fricció la força elèctrica és la resultant. Si l’acceleració mesurada es manté fixa i afegim una fricció oposada, la massa compatible amb aquesta mesura és menor.

1. Dividim la força no arrodonida per l’acceleració.

   $m_{\rm ideal}$${}= \frac{2{,}00\cdot10^{-18}(115/0{,}18)}{2{,}13\cdot10^{-2}}$

2. La massa inferida amb fricció és la força neta dividida per la mateixa acceleració.

   $m=\frac{F_e-F_f}{a}<\frac{F_e}{a}$

Plantejament La freqüència compta oscil·lacions per segon i el període és el temps d’una oscil·lació. Triem altura positiva respecte de l’equilibri.

1. Calculem les tres magnituds a partir de sis oscil·lacions en trenta segons.

   $f=6/30$$T=30/6$$\omega=2\pi f$

2. La saltadora comença al punt més alt i amb velocitat nul·la, de manera que fem servir un cosinus sense fase.

   $y(t)=4\cos((2\pi/5)t)\,\mathrm m$

Plantejament La freqüència angular permet trobar la constant elàstica. En equilibri la tensió de la corda iguala el pes.

1. Conservem omega exacta en calcular la rigidesa.

   $k=m\omega^2=60(2\pi/5)^2$

2. Adoptem g=9,81 m/s², valor no especificat a l’enunciat. Sumem l’allargament estàtic a la longitud natural.

   $k\Delta L=mg$$L=30+\frac{60\cdot9{,}81}{60(2\pi/5)^2}$

Plantejament Sumem les forces sobre Q 2: la càrrega negativa de l’origen atreu cap a l’esquerra, mentre que la positiva Q 3 repel·leix cap avall i a la dreta.

1. Al dibuix situem Q 1 a(0,0), Q 2 a(2,0) i Q 3 a(0,2), amb eixos i distàncies en metres.

   $\vec F_{12}$${}= -\frac{k(3\cdot10^{-6})(2\cdot10^{-6})}{2^2}\hat i$$|\vec F_{32}|$${}= \frac{k(3\cdot10^{-6})(2\cdot10^{-6})}{(2\sqrt2)^2}$

2. Descomponem la força diagonal a quaranta-cinc graus i sumem. La resultant apunta al tercer quadrant.

   $F_x=F_{12,x}+F_{32}/\sqrt2$$F_y=-F_{32}/\sqrt2$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$

Plantejament El treball extern quasistàtic per portar una càrrega des de l’infinit és el seu increment d’energia potencial. Primer sumem els potencials de les tres càrregues fixes.

1. Les distàncies des de(2,2) són 2√2, 2 i 2 metres.

   $V$${}= k\left(\frac{-3\cdot10^{-6}}{2\sqrt2}+\frac{2\cdot10^{-6}}2+\frac{3\cdot10^{-6}}2\right)$

2. El potencial inicial és zero i la càrrega transportada és positiva.

   $W_{\rm ext}=qV=5\cdot10^{-6}V$

Plantejament Einstein descriu la llum com a formada per fotons (quants) d’energia hf: a més d’ona, té naturalesa corpuscular. El llindar correspon a un fotó que només arriba a pagar el treball d’extracció.

1. Multipliquem la freqüència llindar per la constant de Planck.

   $W_0$${}= hf_0$${}= 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot4{,}39\cdot10^{14}$

2. Convertim l’energia en joules a electronvolts.

   $W_0(\mathrm{eV})$${}= W_0(\mathrm J)/(1{,}602\cdot10^{-19})$

Plantejament La llum de quatre-cents vint nanòmetres supera la freqüència llindar. L’energia sobrant és cinètica i el seu moment determina la longitud d’ona de De Broglie.

1. Comparem la freqüència amb el llindar i calculem la cinètica sense arrodonir el treball anterior.

   $f$${}= \frac{3{,}00\cdot10^8}{420\cdot10^{-9}}$${}> 4{,}39\cdot10^{14}$$K$${}= \frac{hc}{420\cdot10^{-9}}$${}-h(4{,}39\cdot10^{14})$

2. Fem servir p=√(2 mK) per evitar arrodonir primer la velocitat.

   $\lambda_e$${}= \frac hp$${}= \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}K}}$