Moviment harmònic simple: exercicis de la PAU de Física resolts

Plantejament El moviment local és sinusoidal. Una fase amb el mateix signe per a ωt i el signe contrari per a kx descriu la propagació cap a x positiva.

1. Calculem la freqüència angular i seleccionem una fase inicial compatible.

   $\omega=2\pi f=300\pi\,\mathrm{rad/s}$$y(0)=0\Rightarrow\varphi=0$$\text{o}\ \ \pi$

2. Escollim fase zero; el sentit inicial de la velocitat no està fixat.

   $y(t)=2{,}00\times10^{-3}\sin(300\pi t)$

3. La longitud d’ona és velocitat dividida per freqüència.

   $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{3200}{150}=21{,}333\,\mathrm{m}$$k=\frac{2\pi}{\lambda}=0{,}29452\,\mathrm{m^{-1}}$

4. La fase ωt−kx manté a l’origen el moviment escollit per al telèfon.

   $y(x,t)$${}= 2{,}00\times10^{-3}\sin\left(300\pi t-\frac{3\pi}{32}x\right)$

Plantejament La potència es reparteix per l’àrea d’una esfera. Convertim la intensitat obtinguda a decibels amb el logaritme decimal.

1. Calculem la intensitat al punt d’escolta.

   $I$${}= \frac{P}{4\pi r^2}$${}= \frac{1{,}00\times10^{-3}}{4\pi(3{,}00)^2}$${}= 8{,}8419\times10^{-6}\,\mathrm{W/m^2}$

2. Apliquem la definició del nivell d’intensitat.

   $\beta$${}= 10\log_{10}(I/I_0)$${}= 10\log_{10}\left(\frac{8{,}8419\times10^{-6}}{10^{-12}}\right)$${}= 69{,}465\,\mathrm{dB}$

Plantejament Es demana quin harmònic mostra la imatge, la seva longitud d’ona i la seva velocitat de propagació, i la posició dels nodes i els ventres. La corda està subjectada pels dos extrems, la mà i l’eix del raspall, que són nodes.

1. A la imatge hi ha quatre fusos: cinc nodes (els dos extrems i els tres punts intermedis que no es mouen) i quatre ventres. Amb un node a cada extrem, l’harmònic $n$ té $n$ ventres: és el quart harmònic.

   $n=4$

2. Entre dos nodes consecutius hi ha mitja longitud d’ona; entre el primer i l’últim hi ha quatre mitges longituds d’ona:

   $4\,\frac{\lambda}{2}$${}= 36{,}0\,\mathrm{cm}$${}\Rightarrow \lambda=18{,}0\,\mathrm{cm}$${}= 0{,}180\,\mathrm{m}$

3. L’ona vibra amb la freqüència del raspall:

   $v=\lambda f=0{,}180\cdot357=64{,}3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Mesurades des del primer node: hi ha un node cada $\lambda/2=9{,}0\,\mathrm{cm}$ i els ventres són a mig camí entre dos nodes (figura).

   $x_N=0;\ 9{,}0;\ 18{,}0;\ 27{,}0;\ 36{,}0\ \mathrm{cm}$$x_V=4{,}5;\ 13{,}5;\ 22{,}5;\ 31{,}5\ \mathrm{cm}$

ResultatQuart harmònic; $\lambda=0{,}180\,\mathrm{m}$; $v=64{,}3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Nodes a $0$, $9{,}0$, $18{,}0$, $27{,}0$ i $36{,}0\,\mathrm{cm}$ del primer; ventres a $4{,}5$, $13{,}5$, $22{,}5$ i $31{,}5\,\mathrm{cm}$.

La pauta oficial dona: n = 4; λ = 0,18 m; v = 64,3 m/s; N: 0; 0,09; 0,18; 0,27; 0,36 m; V: 0,045; 0,135; 0,225; 0,315 m

Plantejament Es demana l’equació de la posició de l’eix del raspall i la seva gràfica durant un període. El moviment comença al desplaçament màxim, de manera que convé un cosinus sense fase inicial.

1. Amplitud i freqüència angular:

   $A=0{,}50\,\mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}$$\omega$${}= 2\pi f$${}= 2\pi\cdot357$${}= 714\pi$${}= 2{,}24\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

2. A $t=0$ l’eix és al desplaçament màxim, $x(0)=A$: amb $x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$ la fase inicial és $\varphi_0=0$ (amb un sinus seria $\pi/2$). Amb $x$ en metres i $t$ en segons:

   $x(t)$${}= 5{,}0\times10^{-4}\cos(714\pi\,t)$${}= 5{,}0\times10^{-4}\cos\left(2{,}24\times10^{3}\,t\right)$

3. Període, per a l’escala de la gràfica:

   $T=\frac1f=\frac1{357}=2{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{s}$

4. La gràfica (figura) comença a $x=0{,}50\,\mathrm{mm}$, passa per zero a $T/4=0{,}70\,\mathrm{ms}$, arriba a $-0{,}50\,\mathrm{mm}$ a $T/2=1{,}40\,\mathrm{ms}$, torna a zero a $3T/4=2{,}10\,\mathrm{ms}$ i acaba a $0{,}50\,\mathrm{mm}$ a $T=2{,}80\,\mathrm{ms}$.

Resultat$x(t)=5{,}0\times10^{-4}\cos(714\pi\,t)$, amb $x$ en m i $t$ en s; $T=2{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{s}$.

La pauta oficial dona: x = 5 × 10⁻⁴ cos(2240 t); T = 2,80 × 10⁻³ s

Plantejament Es demanen la freqüència de la llum, la seva velocitat dins la fibra i la seva longitud d’ona dins la fibra. La freqüència no canvia en passar d’un medi a un altre; la velocitat i la longitud d’ona, sí.

1. Freqüència, amb les dades en el buit:

   $f$${}= \frac{c}{\lambda_0}$${}= \frac{3{,}00\times10^{8}}{650\times10^{-9}}$${}= 4{,}62\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$

2. Velocitat dins la fibra:

   $v$${}= \frac{c}{n_1}$${}= \frac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}48}$${}= 2{,}03\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

3. Longitud d’ona dins la fibra, amb la mateixa freqüència:

   $\lambda$${}= \frac vf$${}= \frac{\lambda_0}{n_1}$${}= \frac{650}{1{,}48}$${}= 439\,\mathrm{nm}$

Plantejament Es demanen l’angle límit a la superfície entre el nucli de la fibra ($n_1$) i el recobriment ($n_2$), al punt $P$, i l’angle d’entrada $\varphi$ amb què el raig arriba a $P$ just amb aquest angle límit.

1. Angle límit: l’angle d’incidència, mesurat des de la normal, el raig refractat del qual surt a $90^\circ$. Existeix perquè $n_1>n_2$:

   $n_1\sin\theta_L$${}= n_2\sin90^\circ$${}\Rightarrow \theta_L$${}= \arcsin\frac{n_2}{n_1}$${}= \arcsin\frac{1{,}44}{1{,}48}$${}= 76{,}65^\circ$

2. La normal a $P$ és perpendicular a l’eix de la fibra: l’angle $\varphi'$ que forma el raig refractat amb l’eix és el complementari de $\theta_L$.

   $\varphi'$${}= 90^\circ-\theta_L$${}= 90^\circ-76{,}65^\circ$${}= 13{,}35^\circ$

3. Llei de Snell a l’entrada de la fibra, des de l’aire; a la cara d’entrada la normal és l’eix, de manera que $\varphi$ i $\varphi'$ són els angles amb la normal:

   $n_{\text{aire}}\sin\varphi$${}= n_1\sin\varphi'$${}\Rightarrow \varphi=\arcsin(1{,}48\cdot\sin13{,}35^\circ)$${}= 20{,}0^\circ$

4. Si $\varphi$ és més petit que $20{,}0^\circ$, el raig arriba a $P$ amb un angle més gran que el límit i es reflecteix totalment; si és més gran, part de la llum passa al recobriment.

   $\varphi\le20{,}0^\circ\;\Rightarrow\;\theta\ge\theta_L$

Plantejament El quadrat del període és proporcional a la longitud en l’aproximació de petites oscil·lacions. Les mesures tenen dispersió, així que el pendent gràfic no és únic.

1. Elevem al quadrat els períodes, sense arrodonir-los.

   $T^2$${}= (0{,}8100;\,1{,}1664;\,2{,}0449;\,3{,}0625;\,4{,}8400)\,\mathrm{s^2}$

2. Representem els cinc punts amb L en metres a l’eix horitzontal i T² en segons quadrats al vertical. Prenem la secant entre els punts extrems com a estimació del pendent.

   $T^2=\frac{4\pi^2}{g}L$$s$${}= \frac{4{,}8400-0{,}8100}{1{,}20-0{,}20}$${}= 4{,}03\,\mathrm{s^2/m}$

3. El camp gravitatori s’obté del pendent.

   $g=\frac{4\pi^2}{4{,}03}$

Plantejament El pèndol perd altura i transforma energia potencial en cinètica. Utilitzem el valor de g mesurat a l’apartat anterior, sense arrodonir-lo.

1. Calculem l’altura respecte del punt més baix.

   $h$${}= L(1-\cos30^\circ)$${}= 1{,}00(1-\cos30^\circ)$

2. Tota l’energia potencial inicial passa a cinètica al punt més baix.

   $U_{\max}$${}= K_{\max}$${}= E_m$${}= 1{,}50\frac{4\pi^2}{4{,}03}(1-\cos30^\circ)$$v_{\max}=\sqrt{2E_m/1{,}50}$

Plantejament El raig té angles diferents a l’aire i a l’aigua. La distància total és la suma dels dos desplaçaments horitzontals.

1. Calculem l’angle dins l’aigua amb Snell.

   $\theta=\arcsin\frac{1{,}00\sin40{,}0^\circ}{1{,}33}$

2. Els ulls estan a dos metres i mig de l’aigua.

   $x$${}= (1{,}60+0{,}90)\tan40{,}0^\circ$${}+2{,}00\tan\theta$

Plantejament El làser deixa de transmetre’s cap a fora per reflexió total. La freqüència es conserva en travessar la interfície, però canvien velocitat i longitud d’ona.

1. Calculem l’angle crític i la velocitat a l’aigua.

   $\theta_c=\arcsin(1{,}00/1{,}33)$$v=\frac{3{,}00\cdot10^8}{1{,}33}$

2. La freqüència és la de la llum a l’aire i la longitud d’ona es divideix per l’índex.

   $f=\frac{3{,}00\cdot10^8}{632{,}8\cdot10^{-9}}$$\lambda=\frac{632{,}8}{1{,}33}\,\mathrm{nm}$

Plantejament La projecció d’un moviment circular és harmònica. L’amplitud és el radi del disc i les dues masses tenen la mateixa freqüència angular.

1. Triem origen a l’equilibri i sentit positiu ascendent. Inicialment la massa és al punt més baix i en repòs.

   $y(t)=-0{,}19\cos(6{,}41t)\,\mathrm{m}$

2. Trobem la rigidesa i l’energia d’oscil·lació respecte de l’equilibri.

   $k=m\omega^2=0{,}5\cdot6{,}41^2$$E_m$${}= \frac12kA^2$${}= \frac12(0{,}5\cdot6{,}41^2)\cdot0{,}19^2$

Plantejament La velocitat és la derivada de la posició. Les energies cinètica i potencial es complementen i sumen una constant.

1. Derivem i calculem la cinètica amb la massa.

   $v(t)$${}= 0{,}19\cdot6{,}41\sin(6{,}41t)$${}= 1{,}2179\sin(6{,}41t)\,\mathrm{m/s}$$K(t)=0{,}37082\sin^2(6{,}41t)\,\mathrm{J}$

2. Gràfic en funció de y: recta horitzontal per a Em, paràbola oberta amunt per a U i paràbola oberta avall per a K. El domini va de −A a A; K és zero als extrems i U és zero a l’equilibri.

   $E_m=0{,}37082$$U(y)=10{,}272y^2$$K(y)$${}= 0{,}37082$${}-10{,}272y^2\quad[\mathrm{J}]$

Plantejament Es demana llegir a la gràfica l’amplitud i el període, calcular la freqüència angular, escriure l’equació del moviment i deduir i calcular l’acceleració màxima. A la gràfica la punta comença, a $t=0$, al punt més alt: $y=100\,\mathrm{nm}$.

1. De la gràfica: el desplaçament màxim és de $100\,\mathrm{nm}$ i la punta torna al màxim a $t=\pi\,\mu\mathrm{s}$ (passa pel mínim a $\pi/2\,\mu\mathrm{s}$).

   $A=100\,\mathrm{nm}=1{,}00\times10^{-7}\,\mathrm{m}$$T$${}= \pi\,\mu\mathrm{s}=\pi\times10^{-6}\,\mathrm{s}$${}= 3{,}14\times10^{-6}\,\mathrm{s}$

2. Freqüència angular:

   $\omega$${}= \frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi\times10^{-6}}$${}= 2{,}00\times10^{6}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

3. A $t=0$ la punta és al màxim, $y(0)=A$. Amb un cosinus la fase inicial és zero (amb un sinus seria $\pi/2$); $y$ en metres i $t$ en segons:

   $y(t)$${}= A\cos(\omega t)$${}= 1{,}00\times10^{-7}\cos\left(2{,}00\times10^{6}\,t\right)$

4. Derivem dues vegades: l’acceleració és proporcional al desplaçament i màxima als extrems, on $|\cos(\omega t)|=1$.

   $a(t)$${}= \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}$${}= -A\omega^2\cos(\omega t)$${}\Rightarrow a_{\max}$${}= A\omega^2$

5. Substituïm:

   $a_{\max}$${}= 1{,}00\times10^{-7}\cdot(2{,}00\times10^{6})^2$${}= 4{,}00\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

Plantejament Es demana la massa de la punta, tractada com una massa unida a una molla de $k=8{,}00\,\mathrm{N/m}$, i si ha guanyat o perdut massa quan el període augmenta un $22\,\%$ amb la mateixa constant.

1. Per a una massa en una molla, la freqüència angular depèn de $k$ i de $m$:

   $\omega=\sqrt{\frac km}\;\Rightarrow\;m=\frac{k}{\omega^2}$

2. Substituïm, amb la freqüència angular de l’apartat a):

   $m$${}= \frac{8{,}00}{(2{,}00\times10^{6})^2}$${}= 2{,}00\times10^{-12}\,\mathrm{kg}$

3. El període és proporcional a l’arrel de la massa. Si $T$ creix un $22\,\%$ amb la mateixa $k$, la massa ha augmentat:

   $T$${}= 2\pi\sqrt{\frac mk}$${}\Rightarrow \frac{m'}{m}=\left(\frac{T'}{T}\right)^2$${}= 1{,}22^2$${}= 1{,}49$

4. Massa nova de la punta:

   $m'$${}= 1{,}49\cdot2{,}00\times10^{-12}$${}= 2{,}98\times10^{-12}\,\mathrm{kg}$

Plantejament El període és el temps total dividit pel nombre d’oscil·lacions i l’amplitud és la meitat de la distància entre extrems. En la molla vertical cal distingir la força neta restauradora de la força elàstica real, que compensa a més el pes a l’equilibri.

1. Calculem període, freqüència angular i rigidesa.

   $T=\frac{60}{40}=1{,}5\,\mathrm{s}$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$k=0{,}100\left(\frac{2\pi}{1{,}5}\right)^2$

2. Amb sentit positiu ascendent i origen a l’equilibri, l’inici és al mínim de posició. Primer obtenim la força neta restauradora, que és la representada per la pauta.

   $A=0{,}15/2=0{,}075\,\mathrm{m}$$y(t)=-0{,}075\cos(4\pi t/3)$$F(t)=k\,0{,}075\cos(4\pi t/3)$

3. Per a la força neta, dibuixem dos períodes, de zero a tres segons: màxims positius a 0, 1,5 i 3 s; mínims a 0,75 i 2,25 s; zeros a 0,375, 1,125, 1,875 i 2,625 s. Aquesta corba oscil·la al voltant de zero i no representa per si sola la força real de la molla.

   $F_{\max}=kA$

4. La força que exerceix la molla satisfà $F_{\mathrm{molla}}-mg=-ky$. La seva gràfica té la mateixa forma i amplitud, però es desplaça verticalment $mg$: màxims $mg+kA$ i mínims $mg-kA$. L’enunciat no proporciona $g$, i per això deixem aquest desplaçament simbòlic.

   $F_{\mathrm{molla}}(t)$${}= mg-ky(t)$${}= mg$${}+k(0{,}075\,\mathrm{m})\cos(4\pi t/3)$$0\le t\le3\,\mathrm{s}$

Plantejament L’energia total es conserva i és la potencial màxima. La cinètica que resta a una posició concreta determina el mòdul de la velocitat.

1. Conservem la constant exacta de la molla calculada amb el període.

   $E_m$${}= \frac12\left[0{,}100\left(\frac{2\pi}{1{,}5}\right)^2\right]0{,}075^2$$K(y)=\frac12k(0{,}075^2-y^2)$

2. A tres centímetres sobre l’equilibri usem la mateixa energia sense arrodoniments previs.

   $|v|$${}= \sqrt{\frac{2K(0{,}030)}{0{,}100}}$${}= \frac{2\pi}{1{,}5}\sqrt{0{,}075^2-0{,}030^2}$

Plantejament La separació entre crestes és la longitud d’ona. La boia oscil·la verticalment i l’amplitud és la meitat del recorregut entre el punt més baix i el més alt.

1. Comptem cicles per segon i calculem la velocitat de propagació.

   $f=\frac{30}{60}=0{,}50\,\mathrm{Hz}$$\lambda=4\,\mathrm{m}$$v=\lambda f=2{,}00\,\mathrm{m/s}$

2. Triem un cosinus que comenci al màxim positiu.

   $A=\frac{0{,}40}{2}=0{,}20\,\mathrm{m}$$\omega=2\pi f=\pi\,\mathrm{rad/s}$$y(t)=0{,}20\cos(\pi t)$

Plantejament Derivem la posició per obtenir la velocitat i tornem a derivar per a l’acceleració. Els màxims dels mòduls corresponen al valor absolut u del sinus o cosinus.

1. Obtenim les funcions i les amplituds.

   $v_y(t)=-0{,}20\pi\sin(\pi t)$$a_y(t)=-0{,}20\pi^2\cos(\pi t)$$v_{\max}=A\omega$$a_{\max}=A\omega^2$

2. Per dibuixar un període unim suaument aquests cinc punts.

   $(t,v_y)$${}= (0,0),(0{,}5,-0{,}628),(1,0),(1{,}5,0{,}628),(2,0)$

Plantejament Llegim amplitud i període a la gràfica. La relació entre freqüència angular, massa i constant elàstica ve de la segona llei de Newton aplicada a la molla.

1. Els màxims són 2,4 m i es repeteixen cada 4 s; inicialment la massa passa per l’equilibri cap a x positiva.

   $A=2{,}4\,\mathrm m$$T=4\,\mathrm s$$\omega=2\pi/T=\pi/2$

2. Aïllem k i triem la fase del sinus.

   $k=m\omega^2=2(\pi/2)^2$$x(t)=2{,}4\sin(\pi t/2)$

Plantejament Derivem la posició per dibuixar la velocitat. El signe de l’acceleració és oposat al de l’elongació perquè la molla tendeix a recuperar l’equilibri.

1. La velocitat és un cosinus amb un màxim inicial.

   $v(t)=1{,}2\pi\cos(\pi t/2)\,\mathrm{m/s}$$a(t)=-(\pi/2)^2x(t)$

2. La gràfica de velocitat passa pels punts indicats i es repeteix cada quatre segons.

   $(t,v)$${}= (0,3{,}77),(1,0),(2,-3{,}77),(3,0),(4,3{,}77)$

Plantejament El període d’una massa suspesa d’una molla depèn de la massa i de la constant elàstica. Mesurar diverses oscil·lacions permet determinar-lo amb més precisió.

1. Si N oscil·lacions duren Δt, obtenim el període i aïllem la massa.

   $T=\Delta t/N$$T=2\pi\sqrt{m/k}$$m=k\left(\frac{\Delta t}{2\pi N}\right)^2$

2. La gravetat només desplaça l’equilibri i no apareix al període.

   $k=100\,\mathrm{N/m}$$m=\frac{100T^2}{4\pi^2}$

Plantejament L’acceleració és oposada a la posició respecte a l’equilibri. Si inicialment l’acceleració és màxima i positiva, la massa és a l’extrem negatiu.

1. Escrivim un cosinus amb signe negatiu per satisfer la condició inicial.

   $\omega=2\pi f=20\pi$$x(t)=-0{,}0600\cos(20\pi t)$

2. Derivem dues vegades i calculem els màxims.

   $v(t)=0{,}0600(20\pi)\sin(20\pi t)$$a(t)$${}= 0{,}0600(20\pi)^2\cos(20\pi t)$$v_{\max}=A\omega$$a_{\max}=A\omega^2$

Plantejament La gràfica T² en funció de massa ha de ser una recta de pendent 4π²/k. Mesurar 20 oscil·lacions redueix la contribució relativa de l’error de cronometratge.

1. Llegim els punts de la recta(0,0) i(1,2 kg;0,40 s²).

   $T^2=\frac{4\pi^2}{k}m$$b=0{,}40/1{,}20=1/3$$k=4\pi^2/b$

2. Calculem f per a 5,00 kg sense arrodonir k. Si 20 oscil·lacions durenΔt, T=Δt/20.

   $f=\frac1{2\pi}\sqrt{k/5{,}00}=\sqrt{3/5}$$\delta T=\delta(\Delta t)/20$

Plantejament La massa parteix de l’extrem positiu amb velocitat nul·la. Un cosinus sense fase satisfà totes dues condicions inicials.

1. Fem servir la freqüència angular exacta deduïda del pendent.

   $\omega=2\pi\sqrt{3/5}$$x(t)=0{,}150\cos\left(2\pi\sqrt{3/5}\,t\right)$

2. A l’equilibri tota l’energia és cinètica; als extrems el mòdul de la força i de l’acceleració és màxim.

   $v^2=\omega^2(A^2-x^2)$$a=-\omega^2x$

Plantejament L’elongació inicial respecte de la longitud natural és l’amplitud. Comencem en deixar anar el bloc des de l’extrem dret i amb velocitat nul·la.

1. Calculem amplitud, freqüència angular i període.

   $A=0{,}45-0{,}30=0{,}15\,\mathrm m$$\omega=\sqrt{300/2}$$T=2\pi\sqrt{2/300}$

2. L’origen és a l’equilibri i el sentit positiu apunta a la dreta.

   $x(t)=0{,}15\cos(\sqrt{150}\,t)\,\mathrm m$

Plantejament No hi ha fregament i l’energia mecànica es manté constant. A l’instant inicial tota l’energia és potencial, perquè deixem anar el bloc en repòs.

1. L’energia màxima s’obté a partir de l’amplitud, sense arrodonir.

   $E_m$${}= \frac12kA^2$${}= \frac12\cdot300\cdot0{,}15^2$${}= 3{,}375\,\mathrm J$

2. Al gràfic, U comença a dalt i K a zero; totes dues tenen període T/2. A T/4 s’intercanvien, a T/2 tornen a l’estat energètic inicial i a T es repeteix tot.

   $U(t)=3{,}375\cos^2(\sqrt{150}\,t)$$K(t)$${}= 3{,}375\sin^2(\sqrt{150}\,t)\quad[\mathrm J]$

Plantejament La freqüència compta oscil·lacions per segon i el període és el temps d’una oscil·lació. Triem altura positiva respecte de l’equilibri.

1. Calculem les tres magnituds a partir de sis oscil·lacions en trenta segons.

   $f=6/30$$T=30/6$$\omega=2\pi f$

2. La saltadora comença al punt més alt i amb velocitat nul·la, de manera que fem servir un cosinus sense fase.

   $y(t)=4\cos((2\pi/5)t)\,\mathrm m$

Plantejament La freqüència angular permet trobar la constant elàstica. En equilibri la tensió de la corda iguala el pes.

1. Conservem omega exacta en calcular la rigidesa.

   $k=m\omega^2=60(2\pi/5)^2$

2. Adoptem g=9,81 m/s², valor no especificat a l’enunciat. Sumem l’allargament estàtic a la longitud natural.

   $k\Delta L=mg$$L=30+\frac{60\cdot9{,}81}{60(2\pi/5)^2}$