Òptica: exercicis de la PAU de Física resolts

Plantejament Es demana quin harmònic mostra la imatge, la seva longitud d’ona i la seva velocitat de propagació, i la posició dels nodes i els ventres. La corda està subjectada pels dos extrems, la mà i l’eix del raspall, que són nodes.

1. A la imatge hi ha quatre fusos: cinc nodes (els dos extrems i els tres punts intermedis que no es mouen) i quatre ventres. Amb un node a cada extrem, l’harmònic $n$ té $n$ ventres: és el quart harmònic.

   $n=4$

2. Entre dos nodes consecutius hi ha mitja longitud d’ona; entre el primer i l’últim hi ha quatre mitges longituds d’ona:

   $4\,\frac{\lambda}{2}$${}= 36{,}0\,\mathrm{cm}$${}\Rightarrow \lambda=18{,}0\,\mathrm{cm}$${}= 0{,}180\,\mathrm{m}$

3. L’ona vibra amb la freqüència del raspall:

   $v=\lambda f=0{,}180\cdot357=64{,}3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Mesurades des del primer node: hi ha un node cada $\lambda/2=9{,}0\,\mathrm{cm}$ i els ventres són a mig camí entre dos nodes (figura).

   $x_N=0;\ 9{,}0;\ 18{,}0;\ 27{,}0;\ 36{,}0\ \mathrm{cm}$$x_V=4{,}5;\ 13{,}5;\ 22{,}5;\ 31{,}5\ \mathrm{cm}$

ResultatQuart harmònic; $\lambda=0{,}180\,\mathrm{m}$; $v=64{,}3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Nodes a $0$, $9{,}0$, $18{,}0$, $27{,}0$ i $36{,}0\,\mathrm{cm}$ del primer; ventres a $4{,}5$, $13{,}5$, $22{,}5$ i $31{,}5\,\mathrm{cm}$.

La pauta oficial dona: n = 4; λ = 0,18 m; v = 64,3 m/s; N: 0; 0,09; 0,18; 0,27; 0,36 m; V: 0,045; 0,135; 0,225; 0,315 m

Plantejament Es demana l’equació de la posició de l’eix del raspall i la seva gràfica durant un període. El moviment comença al desplaçament màxim, de manera que convé un cosinus sense fase inicial.

1. Amplitud i freqüència angular:

   $A=0{,}50\,\mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}$$\omega$${}= 2\pi f$${}= 2\pi\cdot357$${}= 714\pi$${}= 2{,}24\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$

2. A $t=0$ l’eix és al desplaçament màxim, $x(0)=A$: amb $x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$ la fase inicial és $\varphi_0=0$ (amb un sinus seria $\pi/2$). Amb $x$ en metres i $t$ en segons:

   $x(t)$${}= 5{,}0\times10^{-4}\cos(714\pi\,t)$${}= 5{,}0\times10^{-4}\cos\left(2{,}24\times10^{3}\,t\right)$

3. Període, per a l’escala de la gràfica:

   $T=\frac1f=\frac1{357}=2{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{s}$

4. La gràfica (figura) comença a $x=0{,}50\,\mathrm{mm}$, passa per zero a $T/4=0{,}70\,\mathrm{ms}$, arriba a $-0{,}50\,\mathrm{mm}$ a $T/2=1{,}40\,\mathrm{ms}$, torna a zero a $3T/4=2{,}10\,\mathrm{ms}$ i acaba a $0{,}50\,\mathrm{mm}$ a $T=2{,}80\,\mathrm{ms}$.

Resultat$x(t)=5{,}0\times10^{-4}\cos(714\pi\,t)$, amb $x$ en m i $t$ en s; $T=2{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{s}$.

La pauta oficial dona: x = 5 × 10⁻⁴ cos(2240 t); T = 2,80 × 10⁻³ s

Plantejament Es demanen la freqüència de la llum, la seva velocitat dins la fibra i la seva longitud d’ona dins la fibra. La freqüència no canvia en passar d’un medi a un altre; la velocitat i la longitud d’ona, sí.

1. Freqüència, amb les dades en el buit:

   $f$${}= \frac{c}{\lambda_0}$${}= \frac{3{,}00\times10^{8}}{650\times10^{-9}}$${}= 4{,}62\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$

2. Velocitat dins la fibra:

   $v$${}= \frac{c}{n_1}$${}= \frac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}48}$${}= 2{,}03\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

3. Longitud d’ona dins la fibra, amb la mateixa freqüència:

   $\lambda$${}= \frac vf$${}= \frac{\lambda_0}{n_1}$${}= \frac{650}{1{,}48}$${}= 439\,\mathrm{nm}$

Plantejament Es demanen l’angle límit a la superfície entre el nucli de la fibra ($n_1$) i el recobriment ($n_2$), al punt $P$, i l’angle d’entrada $\varphi$ amb què el raig arriba a $P$ just amb aquest angle límit.

1. Angle límit: l’angle d’incidència, mesurat des de la normal, el raig refractat del qual surt a $90^\circ$. Existeix perquè $n_1>n_2$:

   $n_1\sin\theta_L$${}= n_2\sin90^\circ$${}\Rightarrow \theta_L$${}= \arcsin\frac{n_2}{n_1}$${}= \arcsin\frac{1{,}44}{1{,}48}$${}= 76{,}65^\circ$

2. La normal a $P$ és perpendicular a l’eix de la fibra: l’angle $\varphi'$ que forma el raig refractat amb l’eix és el complementari de $\theta_L$.

   $\varphi'$${}= 90^\circ-\theta_L$${}= 90^\circ-76{,}65^\circ$${}= 13{,}35^\circ$

3. Llei de Snell a l’entrada de la fibra, des de l’aire; a la cara d’entrada la normal és l’eix, de manera que $\varphi$ i $\varphi'$ són els angles amb la normal:

   $n_{\text{aire}}\sin\varphi$${}= n_1\sin\varphi'$${}\Rightarrow \varphi=\arcsin(1{,}48\cdot\sin13{,}35^\circ)$${}= 20{,}0^\circ$

4. Si $\varphi$ és més petit que $20{,}0^\circ$, el raig arriba a $P$ amb un angle més gran que el límit i es reflecteix totalment; si és més gran, part de la llum passa al recobriment.

   $\varphi\le20{,}0^\circ\;\Rightarrow\;\theta\ge\theta_L$

Plantejament La intensitat d’una mateixa font esfèrica disminueix amb el quadrat de la distància real, que inclou l’altura. Convertim la diferència de decibels en una relació d’intensitats.

1. La primera distància és la hipotenusa.

   $r_1^2$${}= 15{,}0^2+5{,}00^2$${}= 250\,\mathrm{m^2}$

2. El nivell més petit correspon a una distància més gran.

   $\frac{I_1}{I_2}$${}= 10^{(65{,}0-62{,}0)/10}$${}= 10^{0{,}3}$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$

3. Aïllem l’altura sense arrodonir cap distància.

   $h$${}= \sqrt{r_2^2-20{,}0^2}$${}= \sqrt{250\times10^{0{,}3}-400}$${}= 9{,}9406\,\mathrm{m}$

Plantejament En el model d’interferència de la pauta, assumim igual amplitud de les dues ones al punt de superposició. Hi ha cancel·lació ideal quan la diferència de camí és un múltiple senar de mitja longitud d’ona.

1. Calculem la longitud d’ona i escrivim les dues distàncies.

   $\lambda=340/80{,}0=4{,}25\,\mathrm{m}$$r_1=x,\ r_2=10{,}0-x$

2. La condició de fase dona parelles simètriques.

   $|2x-10|=(n+1/2)4{,}25$$x=\frac{10\pm(n+1/2)4{,}25}{2}$

3. Només n=0 i n=1 donen punts interiors al segment. Per a n=2 la diferència de camí ja supera els 10 m.

   $n=0:\ x=3{,}9375,\ 6{,}0625\,\mathrm{m}$$n=1:\ x=1{,}8125,\ 8{,}1875\,\mathrm{m}$

Plantejament Una imatge invertida i de la mateixa mida té augment −1. Amb el conveni cartesià, l’objecte és a s=−20,0 cm i la imatge és real a la dreta.

1. L’augment determina on va el sensor.

   $\beta=\frac{s^{\prime}}{s}=-1\Rightarrow s^{\prime}=20{,}0\,\mathrm{cm}$

2. Usem l’equació de la lent prima.

   $\frac1{f^{\prime}}$${}= \frac1{s^{\prime}}-\frac1s$${}= \frac1{20{,}0}-\frac1{-20{,}0}$${}= \frac1{10{,}0}$${}\Rightarrow f^{\prime}$${}= 10{,}0\,\mathrm{cm}$${}> 0$

Plantejament Representem una lent convergent amb l’objecte a dues distàncies focals. Dos rajos principals són suficients per construir la imatge.

1. Situem la lent a x=0, l’objecte a x=−20 cm, els focus a ±10 cm i el sensor a +20 cm.

   $s=-20\,\mathrm{cm}$$F=-10\,\mathrm{cm}$$F\prime=+10\,\mathrm{cm}$$s^{\prime}=+20\,\mathrm{cm}$

2. Des de l’extrem superior del full, tracem un raig paral·lel a l’eix que després passa per F′ i un altre pel centre òptic sense desviació. Es tallen al sensor, sota l’eix, a la mateixa altura en valor absolut.

   $\frac{y^{\prime}}{y}=-1$

ResultatImatge real, invertida i de la mateixa mida a 20 cm; objecte a −20 cm i focus a −10 cm i +10 cm.

La pauta oficial dona: Diagrama con objeto e imagen a 2f

Plantejament A l’angle crític el raig transmès és tangent a la interfície. Només hi ha reflexió total quan la llum passa del medi d’índex més gran al de més petit.

1. Apliquem Snell amb angle de refracció de noranta graus.

   $n_1\sin\theta_c=n_2\sin90^\circ$$\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}=\arcsin\frac{1}{1{,}58}$

2. Invertint els medis, el sinus requerit seria superior a la unitat i no hi ha angle crític.

   $\sin\theta_c=\frac{1{,}58}{1}>1$

Plantejament El diagrama dona dos metres de recorregut longitudinal dins del bloc. El desplaçament lateral màxim correspon al raig crític.

1. Utilitzem la tangent amb l’angle calculat sense arrodonir.

   $d_{\max}=2\tan\!\left(\arcsin\frac{1}{1{,}58}\right)$

2. Esquema: normal perpendicular a la cara, raig incident a l’angle crític, reflectit amb el mateix angle i refractat tangent a la cara. Per veure-la amb un raig que surti, cal estar lleugerament per sota del límit.

   $\theta_{\rm refl}=\theta_c$$\theta_{\rm refr}=90^\circ$

Plantejament Els extrems oberts són ventres de desplaçament. Les longituds d’ona admeses encaixen un nombre enter de mitges ones.

1. Calculem les freqüències.

   $\lambda_n=\frac{2L}{n}$$f_n=\frac{nv}{2L}=\frac{n\cdot343}{2\cdot0{,}670}$

2. Per dibuixar els dos modes fem servir cosinus i la seva imatge especular; els zeros són nodes.

   $y_1\propto\cos(\pi x/L)$$y_3\propto\cos(3\pi x/L)$

3. Mode primer: ventres a 0 i L; node a L/2. Mode tercer: ventres a 0, L/3, 2L/3 i L; nodes a L/6, L/2 i 5L/6.

   $x_{N,1}=0{,}335\,\mathrm{m}$$x_{V,3}$${}= (0;\,0{,}223;\,0{,}447;\,0{,}670)\,\mathrm{m}$$x_{N,3}=(0{,}112;\,0{,}335;\,0{,}558)\,\mathrm{m}$

Plantejament L’extrem tancat és node i l’obert és ventre de desplaçament. Només hi caben els harmònics senars.

1. Els dos primers modes són els harmònics 1 i 3.

   $\lambda_n=\frac{4L}{n}$$f_n=\frac{nv}{4L}$$n=1,3$

2. Esquema amb l’origen a l’extrem tancat: primer mode, node 0 i ventre L; segon mode, nodes 0 i 2L/3, ventres L/3 i L.

   $y_n\propto\sin(n\pi x/(2L))$$x_{N,3}$${}= (0;\,0{,}447)\,\mathrm{m};\ x_{V,3}$${}= (0{,}223;\,0{,}670)\,\mathrm{m}$

Plantejament Es demana a quina distància de la lent va la pel·lícula perquè la imatge ompli la pantalla i la potència de la lent. Fem servir el criteri de signes DIN: la llum va d’esquerra a dreta, les distàncies davant de la lent són negatives i una imatge real, darrere de la lent, és a distància positiva.

1. La imatge es forma a la pantalla: $s'=16{,}0\,\mathrm{m}$. El projector inverteix la imatge (per això la pel·lícula es posa de cap per avall i a la pantalla es veu dreta): si el fotograma fa $y=4{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m}$, la imatge fa $y'=-2{,}00\,\mathrm{m}$. Augment lateral:

   $\beta$${}= \frac{y'}{y}=\frac{-2{,}00}{4{,}00\times10^{-3}}$${}= -500$

2. En una lent prima l’augment també val $s'/s$; n’aïllem la posició de la pel·lícula:

   $\beta$${}= \frac{s'}{s}$${}\Rightarrow s=\frac{s'}{\beta}$${}= \frac{16{,}0}{-500}$${}= -3{,}20\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

3. Equació de les lents primes; la potència és la inversa de la distància focal imatge:

   $P$${}= \frac1{f'}$${}= \frac1{s'}-\frac1s$${}= \frac1{16{,}0}$${}-\frac1{-3{,}20\times10^{-2}}$${}= 31{,}3\,\mathrm{D}$

Plantejament Es demana la distància entre la lent i la pel·lícula per enfocar en una pantalla a $20{,}0\,\mathrm{cm}$, amb la mateixa lent, i el diagrama de raigs.

1. Ara $s'=0{,}200\,\mathrm{m}$ i la potència és la de l’apartat a). Aïllem $s$ de l’equació de la lent:

   $\frac1s$${}= \frac1{s'}-\frac1{f'}$${}= \frac1{0{,}200}-31{,}3$${}= -26{,}3\,\mathrm{m^{-1}}$${}\Rightarrow s=-3{,}80\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

2. La imatge és real i invertida, i una mica més de cinc vegades més gran que el fotograma:

   $\beta$${}= \frac{s'}{s}=\frac{0{,}200}{-3{,}80\times10^{-2}}$${}= -5{,}26$

3. Diagrama de raigs (figura), amb $f'=1/P=3{,}19\,\mathrm{cm}$: el raig paral·lel a l’eix surt pel focus imatge $F'$, el que passa pel centre de la lent no es desvia i el que passa pel focus objecte $F$ surt paral·lel a l’eix. Els tres es tallen a la imatge, a $20{,}0\,\mathrm{cm}$ darrere de la lent.

ResultatLa pel·lícula va a $3{,}80\,\mathrm{cm}$ davant de la lent ($s=-3{,}80\times10^{-2}\,\mathrm{m}$); la imatge és real, invertida i $5{,}26$ vegades més gran.

La pauta oficial dona: s = −0,0380 m

Plantejament El quadrat del període és proporcional a la longitud en l’aproximació de petites oscil·lacions. Les mesures tenen dispersió, així que el pendent gràfic no és únic.

1. Elevem al quadrat els períodes, sense arrodonir-los.

   $T^2$${}= (0{,}8100;\,1{,}1664;\,2{,}0449;\,3{,}0625;\,4{,}8400)\,\mathrm{s^2}$

2. Representem els cinc punts amb L en metres a l’eix horitzontal i T² en segons quadrats al vertical. Prenem la secant entre els punts extrems com a estimació del pendent.

   $T^2=\frac{4\pi^2}{g}L$$s$${}= \frac{4{,}8400-0{,}8100}{1{,}20-0{,}20}$${}= 4{,}03\,\mathrm{s^2/m}$

3. El camp gravitatori s’obté del pendent.

   $g=\frac{4\pi^2}{4{,}03}$

Plantejament El pèndol perd altura i transforma energia potencial en cinètica. Utilitzem el valor de g mesurat a l’apartat anterior, sense arrodonir-lo.

1. Calculem l’altura respecte del punt més baix.

   $h$${}= L(1-\cos30^\circ)$${}= 1{,}00(1-\cos30^\circ)$

2. Tota l’energia potencial inicial passa a cinètica al punt més baix.

   $U_{\max}$${}= K_{\max}$${}= E_m$${}= 1{,}50\frac{4\pi^2}{4{,}03}(1-\cos30^\circ)$$v_{\max}=\sqrt{2E_m/1{,}50}$

Plantejament El raig té angles diferents a l’aire i a l’aigua. La distància total és la suma dels dos desplaçaments horitzontals.

1. Calculem l’angle dins l’aigua amb Snell.

   $\theta=\arcsin\frac{1{,}00\sin40{,}0^\circ}{1{,}33}$

2. Els ulls estan a dos metres i mig de l’aigua.

   $x$${}= (1{,}60+0{,}90)\tan40{,}0^\circ$${}+2{,}00\tan\theta$

Plantejament El làser deixa de transmetre’s cap a fora per reflexió total. La freqüència es conserva en travessar la interfície, però canvien velocitat i longitud d’ona.

1. Calculem l’angle crític i la velocitat a l’aigua.

   $\theta_c=\arcsin(1{,}00/1{,}33)$$v=\frac{3{,}00\cdot10^8}{1{,}33}$

2. La freqüència és la de la llum a l’aire i la longitud d’ona es divideix per l’índex.

   $f=\frac{3{,}00\cdot10^8}{632{,}8\cdot10^{-9}}$$\lambda=\frac{632{,}8}{1{,}33}\,\mathrm{nm}$

Plantejament La lent ha de formar una imatge virtual del llibre al punt proper de l’Anna. Fixem l’eix positiu en el sentit de propagació de la llum.

1. L’objecte i la imatge virtual són al costat incident de la lent i tenen distàncies negatives.

   $s=-0{,}35\,\mathrm{m}$$s^\prime=-0{,}70\,\mathrm{m}$$\frac1f$${}= \frac1{s^\prime}-\frac1s$${}= -\frac1{0{,}70}+\frac1{0{,}35}$

2. La potència d’una lent és la inversa de la focal en metres.

   $P=\frac1f$

Plantejament Amb l’objecte entre una i dues focals, una lent convergent produeix una imatge real ampliada i invertida.

1. Apliquem l’equació de la lent amb la mateixa convenció.

   $\frac1{s^\prime}$${}= \frac1{0{,}20}+\frac1{-0{,}25}$${}= 1\,\mathrm{m^{-1}}$${}\Rightarrow s^\prime$${}= 1{,}00\,\mathrm{m}$

2. El quocient de distàncies dona l’augment lateral.

   $\frac{y^\prime}{y}=\frac{s^\prime}{s}=-4$$y^\prime=0{,}10(-4)$

3. Diagrama: un raig paral·lel des de la punta de l’objecte es refracta pel focus posterior; un segon raig pel centre de la lent no es desvia. Es tallen un metre darrere la lent i sota l’eix.

   $(s,y)=(-0{,}25;0{,}10)\,\mathrm{m}$$(s^\prime,y^\prime)=(1{,}00;-0{,}40)\,\mathrm{m}$