Camp elèctric: exercicis de la PAU de Física resolts

Exercici 2. Camps electromagnètics

[2,5 punts en total]

Els raigs X es generen mitjançant un tub on s’ha fet el buit i que conté dues plaques de tungstè. La placa negativa (càtode) s’escalfa i emet electrons, els quals són accelerats cap a la placa positiva (ànode). En xocar contra aquesta altra placa, els electrons s’aturen bruscament i es generen els raigs X.

2.1. La diferència de potencial entre dues plaques d’un tub de raigs X és de $70{,}0\,\mathrm{kV}$ i la separació entre elles és de $2{,}00\,\mathrm{cm}$. Calculeu el mòdul del camp elèctric (suposeu que és constant i uniforme entre les plaques) i, tot seguit, el mòdul de la força elèctrica que experimenta un electró dins del tub. A la figura adjunta, representeu el camp elèctric entre plaques i la força elèctrica que actua sobre l’electró. [1,25 punts]

2.2. Determineu l’energia cinètica i la velocitat d’un electró quan arriba a l’ànode, suposant que parteix del repòs des del càtode. A continuació, sabent que en el xoc amb l’ànode l’electró perd part de la seva energia, que es transforma en un fotó de raigs X amb una longitud d’ona d’$1{,}00\,\mathrm{nm}$, calculeu l’energia d’aquest fotó i la nova velocitat de l’electró després de l’emissió. [1,25 punts]

Dades: $|e|=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$. $m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $c=3{,}00\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. $h=6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

Nota: Negligiu els efectes del camp magnètic terrestre i els efectes relativistes.

Exercici 2. Camps electromagnètics

[2,5 punts en total]

La figura mostra l’esquema d’un espectròmetre de masses. Hi tenim un ió de clor ($\mathrm{Cl^+}$) que surt de la font d’ions cap al selector de velocitats. En el selector de velocitats hi ha un camp elèctric generat per les plaques carregades i un camp magnètic extern $B_1$, en sentit cap enfora del paper.

2.1. Volem que els ions surtin del selector de velocitats a una velocitat de $4{,}00\times10^{4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Dibuixeu el diagrama de les forces que actuen sobre l’ió $\mathrm{Cl^+}$ dins el selector de velocitats. Si el voltatge aplicat a les plaques, que estan separades a una distància de $20{,}0\,\mathrm{mm}$, és de $500\,\mathrm{V}$, quin valor ha de tenir el mòdul del camp magnètic $B_1$ perquè els ions surtin a la velocitat desitjada? [1,25 punts]

2.2. Posteriorment, els ions entren per una escletxa en una zona on només hi ha un camp magnètic $B_2$, de mòdul $0{,}30\,\mathrm{T}$, en sentit enfora del paper. A quina distància $d$ de l’escletxa impactarà l’ió $\mathrm{Cl^+}$? Calculeu també quin serà l’increment de l’energia cinètica de l’ió des que surt del selector de velocitats fins que impacta a la placa. [1,25 punts]

Dades: $|e|=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$. Massa de l’ió de clor: $\mathrm{Cl^+}=5{,}81\times10^{-26}\,\mathrm{kg}$.

Exercici 2. Camps electromagnètics

[2,5 punts en total]

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu als apartats corresponents. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

Una càrrega puntual $q_A=-2{,}00\,\mathrm{\mu C}$ se situa a l’origen de coordenades, i una càrrega puntual $q_B=-4{,}00\,\mathrm{\mu C}$ se situa a la posició $x=1{,}00\,\mathrm{m}$ i $y=0{,}00\,\mathrm{m}$.

2.1. Representeu les dues càrregues a la quadrícula (pla $xy$). Dibuixeu-hi també qualitativament (de manera aproximada) les línies del camp elèctric i les línies equipotencials generades per aquest sistema de dues càrregues. [1,25 punts]

2.2. En quin punt de l’eix $x$ s’ha de situar una tercera càrrega, $q_C=-8{,}00\,\mathrm{\mu C}$, perquè la força elèctrica total sobre $q_C$ sigui nuŀla? Calculeu el treball que fa el camp elèctric quan la càrrega $q_C$ es mou de la posició inicial que heu calculat fins a un punt equidistant de $q_A$ i $q_B$ situat a l’eix $x$. Interpreteu el signe del resultat obtingut. [1,25 punts]

Dades: $k$${}= \dfrac1{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

OPCIÓ B

Una espira quadrada de $10{,}0\,\mathrm{cm}$ de costat es desplaça a una velocitat constant de $5{,}00\,\mathrm{cm\,s^{-1}}$ i entra en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme, perpendicular al pla del paper i dirigit cap endins. El mòdul del camp magnètic és de $5{,}00\,\mathrm{mT}$. L’amplària de la regió amb camp magnètic és de $30{,}0\,\mathrm{cm}$. Es pren com a instant inicial $t=0\,\mathrm{s}$, el moment en què l’espira comença a entrar a la regió amb camp magnètic.

2.1. Calculeu el valor absolut del flux magnètic que travessa l’espira en els instants $t=1{,}00\,\mathrm{s}$, $t=5{,}00\,\mathrm{s}$ i $t=7{,}00\,\mathrm{s}$. [1,25 punts]

2.2. Representeu a la quadrícula de sota el valor absolut de la força electromotriu induïda en funció del temps durant els primers $9{,}00\,\mathrm{s}$. Justifiqueu el sentit del corrent induït en els diferents intervals en què es genera la força electromotriu. [1,25 punts]

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu als apartats corresponents.

OPCIÓ A

L’experiment de Millikan va permetre determinar la càrrega de l’electró. El muntatge d’aquest experiment consta de dues plaques metàŀliques horitzontals, una sobre de l’altra, separades verticalment per una distància d i connectades a una font de potencial elèctric regulable. En l’espai que hi ha entre les plaques s’introdueixen algunes gotetes d’oli carregades negativament. L’experiment consisteix a crear un camp elèctric entre les plaques i aconseguir una posició d’equilibri de les gotetes d’oli contrarestant el seu pes.

a) Feu un esquema del dispositiu emprat per Millikan, dibuixant les forces que actuen sobre una gota d’oli esfèrica. Indiqueu i raoneu el signe de la càrrega que tindrà cada placa i la direcció i el sentit del camp elèctric generat per aquestes plaques. Suposant que les plaques es connecten a un potencial elèctric de $2{,}00\,\mathrm{kV}$ i que la distància entre plaques és $d=2{,}00\,\mathrm{cm}$, calculeu el camp elèctric creat entre plaques i dibuixeu-lo en el mateix esquema. [$1{,}25$ punts]

b) Tenint en compte que la densitat de l’oli és de $923\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ i que el radi d’una gota és d’$1{,}08\,\mathrm{μm}$, calculeu la càrrega d’una gota que es troba en equilibri. Quants electrons calen per a generar aquesta càrrega? Què s’observaria si iŀluminéssim la gota amb raigs ultraviolats i aquesta perdés un electró? Justifiqueu la resposta. [$1{,}25$ punts] Dades: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $g=9{,}8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. Volum d’una esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$.

OPCIÓ B

Formem un circuit amb un cable metàŀlic en forma de U i tanquem la part superior amb una barra metàŀlica que pot lliscar lliurement, tal com mostra la figura. L’amplària de la U és de $0{,}25\,\mathrm{m}$, i inicialment l’alçària del circuit és de $0{,}30\,\mathrm{m}$. A continuació, desplacem la barra cap avall a una velocitat constant de $5{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Aquest circuit es troba situat en una regió de l’espai on hi ha un camp magnètic de mòdul $B=2{,}00\,\mathrm{T}$, perpendicular al pla que forma el circuit i amb sentit cap enfora del paper.

a) Calculeu l’expressió del flux magnètic del circuit en funció del temps i la força electromotriu induïda al circuit. Indiqueu el sentit de circulació del corrent induït i justifiqueu la resposta. [$1{,}25$ punts]

b) Suposem que la barra presenta una resistència de $50{,}0\,\mathrm{Ω}$ i la resta del circuit no presenta cap resistència. Calculeu la intensitat elèctrica que circularà pel circuit. Calculeu la força magnètica que actua sobre la barra i representeu-la en la figura. [$1{,}25$ punts]

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu als apartats corresponents.

OPCIÓ A

Una vareta metàŀlica es desplaça a una velocitat constant de $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ sobre un conductor en forma de U dins un camp magnètic uniforme $B=0{,}40\,\mathrm{T}$, perpendicular al pla i en el sentit indicat a les figures. En l’instant inicial, la vareta es troba a una distància de $3{,}00\,\mathrm{cm}$ de la part esquerra del conductor.

a) Calculeu el flux magnètic a través del circuit tancat per la vareta en l’instant inicial indicat a la figura $1$. En el moment en què la vareta es posa en moviment, apareix un corrent induït en el sentit indicat a la figura $2$. Justifiqueu quin és el sentit de moviment de la vareta, a l’esquerra o a la dreta, i dibuixeu el vector de velocitat sobre la figura de la vareta en moviment. Determineu la FEM induïda mentre la vareta es mou a $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. [$1{,}25$ punts]

b) Considereu la situació iŀlustrada a la figura $2$, en què la intensitat induïda és de $6{,}00\,\mathrm{mA}$. Justifiqueu si en aquestes condicions apareixerà alguna força magnètica sobre la vareta. En cas afirmatiu, calculeu el mòdul de la força magnètica sobre la vareta i dibuixeu-la. [$1{,}25$ punts]

OPCIÓ B

El model de l’àtom d’hidrogen de Bohr suposa que l’electró descriu una òrbita circular al voltant del protó i que el moment angular de l’òrbita és un múltiple enter de la constant de Planck $L=n\frac{h}{2\pi}$, on n és un nombre natural.

a) Demostreu que el moment angular s’expressa com $L=e\sqrt{k\cdot m\cdot r}$, on e és la càrrega de l’electró, k és la constant de Coulomb, m és la massa de l’electró i r és el radi de l’òrbita. Trobeu l’expressió del radi de l’òrbita de l’electró en funció de h, n, k, m i e. Calculeu el radi per a $n=1$. [$1{,}25$ punts]

b) Suposant que el radi de l’òrbita per a $n=1$ és $53\,\mathrm{pm}$, calculeu les energies cinètica, potencial i mecànica clàssiques de l’electró. [$1{,}25$ punts] Dades: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $m=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $h=6{,}63\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

La superfície de la Terra és principalment aigua que conté ions en dissolució i que li fan adquirir una càrrega neta negativa. Es pot considerar que la Terra té un camp elèctric en punts propers a la seva superfície amb un mòdul constant de $150\,\mathrm{N/C}$.

a) Dibuixeu l’esfera terrestre i representeu-hi el camp elèctric al voltant de la superfície. Calculeu el valor de la càrrega total que produeix aquest camp elèctric. Per fer-ho, considereu que el camp elèctric creat per una superfície esfèrica carregada uniformement és igual al generat per tota la càrrega situada al centre de l’esfera. [$1{,}25$ punts]

b) Calculeu el mòdul de la força elèctrica que produirà el camp elèctric sobre un electró lliure situat a la vora de la superfície de la Terra. Calculeu la massa que ha de tenir una gota esfèrica d’aigua amb una càrrega extra d’un sol electró perquè el seu pes es compensi amb la força elèctrica. Feu un esquema en què es mostrin les forces que actuen sobre la gota. Calculeu el diàmetre d’aquesta gota d’aigua. [$1{,}25$ punts] Dades: Radi de la Terra, $R_T=6{,}37\cdot10^6\,\mathrm{m}$. Densitat de l’aigua, $\rho=10^3\,\mathrm{kg/m^3}$. Massa de l’electró, $M_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$. Volum d’una esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^{2}}$.

El poloni ($Z=84$) fou descobert el $1898$ per Marie Sklodowska-Curie i Pierre Curie. L’isòtop de poloni amb un temps de semidesintegració més llarg és el Po-$210$, que el té de $138$ dies. Es desintegra per emissió d’una partícula alfa i origina un isòtop estable de plom (Pb).

a) Escriviu la desintegració del Po-$210$. Si l’activitat inicial per unitat de massa del Po-$210$ és d’$1{,}66\cdot10^{14}\,\mathrm{Bq/g}$, quina serà l’activitat de $5\,\mathrm{mg}$ d’aquest element al cap d’una setmana? [$1{,}25$ punts]

b) Els nuclis d’heli que es produeixen en les desintegracions alfa no triguen a captar dos electrons. Suposem que es forma un àtom d’heli en dos passos ben diferenciats. Primerament, es transporta des d’una distància molt gran un primer electró a $0{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$ de la partícula alfa i es manté allà. Posteriorment, un segon electró es porta a l’altra banda de la partícula alfa a $0{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$. La configuració final es mostra en la figura. Calculeu el treball realitzat pel camp elèctric en cada un dels dos passos. Quina és l’energia potencial electroestàtica de la configuració final? [$1{,}25$ punts] Dades: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

En una impressora de tinta, les gotes de tinta tenen una massa de $3{,}00\,\mu\mathrm{g}$ i una càrrega negativa de $-9{,}00\,\mathrm{nC}$. Les gotes carregades són guiades per un tub abans d’entrar en una primera zona on un camp elèctric uniforme i horitzontal les accelera sense desviar-les. El camp elèctric el creen dues plaques conductores (ànode i càtode) foradades per tal de deixar passar les gotes. La distància entre l’ànode i el càtode és de $5{,}00\,\mathrm{cm}$ i la diferència de potencial entre ells és de $50{,}0\,\mathrm{V}$.

a) Representeu les línies de camp elèctric en la figura superior. Indiqueu quina placa està connectada a potencial alt i quina a potencial baix. Sabent que l’ànode està carregat positivament i que el càtode està carregat negativament, indiqueu quina placa és l’ànode i quina placa és el càtode. Justifiqueu tant la representació de les línies de camp com les respostes. Calculeu el mòdul de la velocitat a la qual les gotes surten d’aquesta primera zona si quan hi entren la velocitat es pot considerar pràcticament nul·la. [1,25 punts]

b) Just després, les gotes entren en una segona zona on dues plaques carregades generen un camp elèctric uniforme, vertical i dirigit cap avall. Les plaques estan sotmeses a una diferència de potencial de $30{,}0\,\mathrm{V}$ i estan separades $1{,}50\,\mathrm{cm}$. Suposant que el camp elèctric només hi és al llarg de $2{,}00\,\mathrm{cm}$, determineu el mòdul de l’acceleració de les gotes en aquesta segona zona. Quin tipus de moviment descriuen les gotes en aquesta segona zona? [1,25 punts]

Nota: Negligiu la força de la gravetat i la força de fregament.

El Fun-Fly-Stick és un enginyós generador d’electricitat estàtica que funciona amb piles i que permet fer levitar objectes metàŀlics lleugers. Quan es prem el botó es genera una càrrega estàtica negativa a la vareta. Tocant l’objecte amb la vareta, part d’aquesta càrrega es transfereix a l’objecte de manera que tots dos queden carregats i l’objecte levita per sobre la vareta. (En fer els càlculs, considereu la vareta i l’objecte metàŀlic com si fossin càrregues puntuals.) a) Suposem que, després de tocar l’objecte, la vareta i l’objecte tenen la mateixa càrrega. Feu un dibuix de la situació de la vareta i l’objecte metàŀlic levitant i dibuixeu les forces sobre l’objecte. Calculeu quina és la càrrega electroestàtica de l’objecte metàŀlic si aquest té una massa de $10\,\mathrm{g}$ i es troba a una distància de $55\,\mathrm{cm}$ de la vareta. [$1{,}25$ punts]

b) Considereu ara una altra situació, en què tant la vareta com l’objecte metàŀlic estan carregats amb una càrrega $q=-2\,\mathrm{μC}$ i separats a una distància de $60\,\mathrm{cm}$. Calculeu el mòdul del camp elèctric al punt central de la línia que els uneix i el potencial elèctric en aquest punt. Determineu quin és el treball que haurà de fer una força externa per a portar un electró des de l’infinit fins a aquest punt central. [$1{,}25$ punts] Dades: Gravetat a la superfície de la Terra, $g=9{,}8\,\mathrm{m/s^{2}}$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

Quan mesurem els valors de potencial elèctric en una cubeta obtenim la distribució representada a la figura, en què podem observar dues càrregues ($Q_1$ i $Q_2$), una de positiva i una de negativa.

a) Determineu de manera raonada quina és la càrrega positiva i quina la negativa.

Segons la vostra resposta, dibuixeu la direcció i el sentit del camp elèctric al punt A.

[$1{,}25$ punts]

b) Suposeu que un electró es mou del punt A al punt B. Calculeu el treball que fa el camp elèctric durant aquest moviment. Quin treball fa el camp elèctric quan l’electró es mou del punt A al punt C passant per B?

[$1{,}25$ punts]

Dada: |e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

En el pla (x, y) de la figura següent es representen les línies de camp elèctric. En aquest pla hi ha dos ions, un de carregat positivament i un altre de carregat negativament.

Sabem que un dels ions ha perdut o guanyat 4 electrons i que l’altre ió ha perdut o guanyat 1 electró.

a) Determineu les coordenades x i y de la posició de l’ió carregat positivament i de l’ió carregat negativament. Determineu quina és la càrrega de cada ió, i indiqueu si és positiva o negativa. Justifiqueu les respostes.

[$1{,}25$ punts]

b) Si ens situéssim molt lluny d’aquests dos ions, quina seria la forma aproximada de les superfícies equipotencials? Justifiqueu la resposta.

[$1{,}25$ punts]

Un canó d’electrons és un dispositiu format per un càtode i un ànode, i té per objectiu accelerar electrons que després seran dirigits mitjançant un camp magnètic per a bombardejar un blanc on es troba una mostra d’un cert material. La corba de la figura següent representa la trajectòria que segueix un electró des que surt del càtode fins que impacta en el blanc. L’objectiu és escalfar el material fins a poder-lo sublimar.

Els electrons són emesos pel càtode del canó i tenen una velocitat inicial nuŀla.

Posteriorment, els electrons són accelerats en l’espai de $20{,}0\,\mathrm{cm}$ que separa el càtode de l’ànode. El camp elèctric entre l’ànode i el càtode és uniforme i constant. La diferència de potencial entre el càtode i l’ànode és de $220\,\mathrm{V}$.

a) Determineu el mòdul del camp elèctric que hi ha entre l’ànode i el càtode. Representeu sobre el dibuix les línies de camp elèctric indicant-ne clarament la direcció i el sentit.

Quin punt està a un potencial més alt, l’ànode o el càtode? Justifiqueu les respostes.

[$1{,}25$ punts]

b) Després de travessar l’ànode, els electrons són dirigits per un camp magnètic perquè impactin contra el blanc. En aquest espai, el camp elèctric és nul. Calculeu el mòdul de la velocitat dels electrons just després de travessar l’ànode i just abans d’impactar en el blanc. Quina direcció i quin sentit ha de tenir el camp magnètic perquè els electrons impactin en el blanc? Representeu sobre el dibuix el camp magnètic.

Justifiqueu la resposta.

[$1{,}25$ punts]

Dades: $m_e$ = $9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$.

|e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.