Física, PAU 2024 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Al laboratori dissenyem un experiment amb dues masses que fan moviments independents. La primera massa és de $0{,}5\,\mathrm{kg}$ i penja d’una molla vertical. La segona massa es troba subjectada a un disc vertical que gira a una velocitat angular de $6{,}41\,\mathrm{rad/s}$ i el centre d’aquesta massa és a una distància de $19\,\mathrm{cm}$ del centre del disc. Ambdues masses s’iŀluminen lateralment i s’observa que les seves ombres segueixen exactament el mateix moviment harmònic simple. Per a aconseguir-ho, deixem anar des de baix la massa de la molla just a $t=0\,\mathrm{s}$, moment en què la massa del disc també passa pel punt més baix de la rotació.

a) Escriviu l’equació de la posició vertical de les ombres respecte al temps. Trobeu la constant elàstica de la molla i l’energia mecànica del moviment harmònic simple. [$1{,}25$ punts]

b) Calculeu l’equació de la velocitat i l’energia cinètica respecte al temps de la massa que penja de la molla. Representeu en la quadrícula adjunta l’energia mecànica, l’energia potencial i l’energia cinètica en funció de la posició vertical per a la massa que penja de la molla. [$1{,}25$ punts]

La superfície de la Terra és principalment aigua que conté ions en dissolució i que li fan adquirir una càrrega neta negativa. Es pot considerar que la Terra té un camp elèctric en punts propers a la seva superfície amb un mòdul constant de $150\,\mathrm{N/C}$.

a) Dibuixeu l’esfera terrestre i representeu-hi el camp elèctric al voltant de la superfície. Calculeu el valor de la càrrega total que produeix aquest camp elèctric. Per fer-ho, considereu que el camp elèctric creat per una superfície esfèrica carregada uniformement és igual al generat per tota la càrrega situada al centre de l’esfera. [$1{,}25$ punts]

b) Calculeu el mòdul de la força elèctrica que produirà el camp elèctric sobre un electró lliure situat a la vora de la superfície de la Terra. Calculeu la massa que ha de tenir una gota esfèrica d’aigua amb una càrrega extra d’un sol electró perquè el seu pes es compensi amb la força elèctrica. Feu un esquema en què es mostrin les forces que actuen sobre la gota. Calculeu el diàmetre d’aquesta gota d’aigua. [$1{,}25$ punts] Dades: Radi de la Terra, $R_T=6{,}37\cdot10^6\,\mathrm{m}$. Densitat de l’aigua, $\rho=10^3\,\mathrm{kg/m^3}$. Massa de l’electró, $M_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$. Volum d’una esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^{2}}$.

Un parallamps és una barra metàŀlica vertical que atrau i dirigeix grans descàrregues de corrent cap a terra. La gran majoria de llamps núvol-terra són negatius, és a dir, són transferències de càrrega negativa del núvol cap a terra. En el moment de la descàrrega es crea un camp magnètic al voltant del parallamps que podem equiparar al creat per un fil de corrent infinit. El corrent màxim que pot assumir un parallamps és d’uns $100\,\mathrm{kA}$.

a) Calculeu el camp magnètic màxim que pot crear el parallamps a una distància de $10\,\mathrm{cm}$. Feu un dibuix esquemàtic del parallamps indicant el sentit del moviment dels electrons, la intensitat de corrent i tres línies de camp magnètic. Justifiqueu el sentit de les línies de camp. [$1{,}25$ punts]

b) Representeu gràficament, en la quadrícula de sota, el mòdul d’aquest camp magnètic màxim en funció de la distància r al parallamps en l’interval següent: $10\,\mathrm{cm}$ ≤ r ≤ $50\,\mathrm{cm}$. Suposem que hi ha un electró que en el moment de la descàrrega es troba a $10\,\mathrm{cm}$ del parallamps i que té una velocitat de $10^3\,\mathrm{m/s}$ paraŀlela al parallamps i cap a terra. Calculeu el mòdul de la força que crea el camp magnètic sobre l’electró i justifiqueu-ne la direcció i el sentit. [$1{,}25$ punts] Dades: El mòdul del camp magnètic creat per un fil infinit per on circula un corrent I a una distància r del fil és $B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{T\,m\,A^{-1}}$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$.

L’Ainhoa està intrigada per saber a quina altura exploten els coets llançats a la revetlla de Sant Joan. Per a poder-ho determinar se situa a una distància de $50$ metres del punt on es llancen els coets i enregistra, amb un sonòmetre, un nivell d’intensitat sonora de $100$ decibels en l’explosió d’un coet que no s’ha enlairat.

a) Quina potència sonora emet el coet en el moment de l’explosió? Si l’explosió ha durat $0{,}03\,\mathrm{s}$, quina energia sonora s’ha alliberat? [$1{,}25$ punts]

b) Des de la mateixa distància al punt de llançament, enregistra $90$ decibels d’intensitat sonora en el cas d’un coet igual a l’anterior que s’ha enlairat verticalment i ha explotat a certa altura. Calculeu a quina altura ha explotat el coet. Si dos coets idèntics a l’anterior exploten simultàniament a la mateixa altura que abans, quin nivell d’intensitat sonora percebrà l’Ainhoa, si està situada a la mateixa posició d’abans? [$1{,}25$ punts] Nota: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l’espai i la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques. Dades: $I_0=10^{-12}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$. La velocitat del so en l’aire és de $340\,\mathrm{m/s}$. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

El poloni ($Z=84$) fou descobert el $1898$ per Marie Sklodowska-Curie i Pierre Curie. L’isòtop de poloni amb un temps de semidesintegració més llarg és el Po-$210$, que el té de $138$ dies. Es desintegra per emissió d’una partícula alfa i origina un isòtop estable de plom (Pb).

a) Escriviu la desintegració del Po-$210$. Si l’activitat inicial per unitat de massa del Po-$210$ és d’$1{,}66\cdot10^{14}\,\mathrm{Bq/g}$, quina serà l’activitat de $5\,\mathrm{mg}$ d’aquest element al cap d’una setmana? [$1{,}25$ punts]

b) Els nuclis d’heli que es produeixen en les desintegracions alfa no triguen a captar dos electrons. Suposem que es forma un àtom d’heli en dos passos ben diferenciats. Primerament, es transporta des d’una distància molt gran un primer electró a $0{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$ de la partícula alfa i es manté allà. Posteriorment, un segon electró es porta a l’altra banda de la partícula alfa a $0{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$. La configuració final es mostra en la figura. Calculeu el treball realitzat pel camp elèctric en cada un dels dos passos. Quina és l’energia potencial electroestàtica de la configuració final? [$1{,}25$ punts] Dades: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

Observem que en una mostra metàŀlica apareix l’efecte fotoelèctric quan la iŀluminem amb llum monocromàtica de longituds d’ona més petites o iguals a $650\,\mathrm{nm}$.

a) Calculeu el treball d’extracció del metall. Determineu el potencial de frenada si iŀluminem el metall amb llum de $300\,\mathrm{nm}$. [$1{,}25$ punts]

b) Trobeu l’expressió de la velocitat dels electrons en funció de la longitud d’ona incident per a aquest metall. Calculeu la velocitat dels electrons per a una longitud d’ona incident de $500\,\mathrm{nm}$ i la longitud d’ona de De Broglie associada a aquests electrons. [$1{,}25$ punts] Dades: $c=3{,}00\cdot10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.