Física, PAU 2025 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 4) resolt

Plantejament Es demana el camp que crea el cable 1 on és el cable 2, la força per unitat de longitud sobre el cable 2 i un esquema amb els seus sentits. Fem servir els eixos de la figura: els cables van en la direcció $z$, el cable 2 és en el sentit $+y$ respecte del cable 1 i l’eix $x$ surt cap al lector; $\vec i$, $\vec j$ i $\vec k$ són els vectors unitaris de $x$, $y$ i $z$.

1. Camp del cable 1 a $r=0{,}30\,\mathrm{m}$, amb $I_1=1{,}50\,\mathrm{kA}=1\,500\,\mathrm{A}$:

   $B_1$${}= \frac{\mu_0I_1}{2\pi r}$${}= \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot1\,500}{2\pi\cdot0{,}30}$${}= 1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{T}$

2. Sentit, amb la regla de la mà dreta (polze amb el corrent, $+z$): les línies són circumferències al voltant del cable 1 i, al cable 2, el camp va en el sentit $-x$, entrant al paper (figura).

   $\vec B_1=-1{,}00\times10^{-3}\,\vec i\ \mathrm{T}$

3. Força sobre un tram de longitud $l$ del cable 2, amb $I_2=1\,500\,\mathrm{A}$. El cable (eix $z$) i el camp (eix $x$) són perpendiculars:

   $\vec F=I_2\,\vec l\times\vec B_1$$\frac Fl$${}= I_2B_1$${}= 1\,500\cdot1{,}00\times10^{-3}$${}= 1{,}50\,\mathrm{N\,m^{-1}}$

4. Sentit: $\vec l\times\vec B_1$ va en $\vec k\times(-\vec i)=-\vec j$, cap al cable 1. Amb corrents en el mateix sentit, els cables s’atrauen.

   $\frac{\vec F}{l}=-1{,}50\,\vec j\ \mathrm{N\,m^{-1}}$

Resultat$B_1=1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{T}$; al cable 2 va en el sentit $-x$ (entra al paper). $F/l=1{,}50\,\mathrm{N\,m^{-1}}$, cap al cable 1: els cables s’atrauen.

La pauta oficial dona: B = 1,00 × 10⁻³ T (−x); F/l = 1,50 N/m (−y)

Plantejament Es demana si apareix corrent induït a l’espira en els dos moviments de les figures i, si n’apareix, el seu sentit. Per la llei de Faraday només hi ha corrent induït si canvia el flux magnètic que travessa l’espira.

1. El cable, amb el corrent cap amunt, crea a la seva dreta, on hi ha l’espira, un camp que entra al paper i que és més feble com més lluny és del cable:

   $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$

2. Figura 1: en allunyar l’espira, el camp que la travessa és cada vegada més feble i el flux disminueix. Per la llei de Faraday s’indueix una fem i hi circula corrent.

   $\Phi$${}= \int_S\vec B\cdot\mathrm d\vec S\ \text{disminueix}$${}\Rightarrow \varepsilon=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}$${}\neq 0$

3. Sentit, per la llei de Lenz: el corrent induït s’oposa a la disminució del flux, de manera que crea dins l’espira un camp que també entra al paper. Amb la regla de la mà dreta, això demana un corrent en sentit horari.

   $\vec B_{\mathrm{ind}}\uparrow\uparrow\vec B$

4. Figura 2: en pujar paral·lela al cable, l’espira es manté a la mateixa distància d’ell; el camp que la travessa i el flux no canvien. No hi ha fem ni corrent induït.

   $\Phi=\text{constant}\;\Rightarrow\;\varepsilon=0$

Plantejament Es demana a quina distància de la lent va la pel·lícula perquè la imatge ompli la pantalla i la potència de la lent. Fem servir el criteri de signes DIN: la llum va d’esquerra a dreta, les distàncies davant de la lent són negatives i una imatge real, darrere de la lent, és a distància positiva.

1. La imatge es forma a la pantalla: $s'=16{,}0\,\mathrm{m}$. El projector inverteix la imatge (per això la pel·lícula es posa de cap per avall i a la pantalla es veu dreta): si el fotograma fa $y=4{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m}$, la imatge fa $y'=-2{,}00\,\mathrm{m}$. Augment lateral:

   $\beta$${}= \frac{y'}{y}=\frac{-2{,}00}{4{,}00\times10^{-3}}$${}= -500$

2. En una lent prima l’augment també val $s'/s$; n’aïllem la posició de la pel·lícula:

   $\beta$${}= \frac{s'}{s}$${}\Rightarrow s=\frac{s'}{\beta}$${}= \frac{16{,}0}{-500}$${}= -3{,}20\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

3. Equació de les lents primes; la potència és la inversa de la distància focal imatge:

   $P$${}= \frac1{f'}$${}= \frac1{s'}-\frac1s$${}= \frac1{16{,}0}$${}-\frac1{-3{,}20\times10^{-2}}$${}= 31{,}3\,\mathrm{D}$

Plantejament Es demana la distància entre la lent i la pel·lícula per enfocar en una pantalla a $20{,}0\,\mathrm{cm}$, amb la mateixa lent, i el diagrama de raigs.

1. Ara $s'=0{,}200\,\mathrm{m}$ i la potència és la de l’apartat a). Aïllem $s$ de l’equació de la lent:

   $\frac1s$${}= \frac1{s'}-\frac1{f'}$${}= \frac1{0{,}200}-31{,}3$${}= -26{,}3\,\mathrm{m^{-1}}$${}\Rightarrow s=-3{,}80\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

2. La imatge és real i invertida, i una mica més de cinc vegades més gran que el fotograma:

   $\beta$${}= \frac{s'}{s}=\frac{0{,}200}{-3{,}80\times10^{-2}}$${}= -5{,}26$

3. Diagrama de raigs (figura), amb $f'=1/P=3{,}19\,\mathrm{cm}$: el raig paral·lel a l’eix surt pel focus imatge $F'$, el que passa pel centre de la lent no es desvia i el que passa pel focus objecte $F$ surt paral·lel a l’eix. Els tres es tallen a la imatge, a $20{,}0\,\mathrm{cm}$ darrere de la lent.

ResultatLa pel·lícula va a $3{,}80\,\mathrm{cm}$ davant de la lent ($s=-3{,}80\times10^{-2}\,\mathrm{m}$); la imatge és real, invertida i $5{,}26$ vegades més gran.

La pauta oficial dona: s = −0,0380 m

Plantejament Es demana el nombre de nuclis de potassi 40 que hi ha en una persona de $80\,\mathrm{kg}$ i la seva activitat. Passem de la massa corporal a la massa de potassi, d’aquí a la de potassi 40 i a nuclis (amb el nombre d’Avogadro), i fem servir $A=\lambda N$.

1. Massa de potassi i de potassi 40:

   $m_K$${}= 80\cdot\frac{0{,}36}{100}$${}= 0{,}288\,\mathrm{kg}$${}= 288\,\mathrm{g}$$m_{40}$${}= 288\cdot\frac{0{,}012}{100}$${}= 3{,}456\times10^{-2}\,\mathrm{g}$

2. Nombre de nuclis, amb la massa molar $M=40{,}0\,\mathrm{g/mol}$:

   $N$${}= \frac{m_{40}}{M}\,N_A$${}= \frac{3{,}456\times10^{-2}}{40{,}0}\cdot6{,}022\times10^{23}$${}= 5{,}203\times10^{20}$

3. Constant de desintegració, amb el període en segons ($1\,\text{any}=365\,\text{dies}$):

   $T_{1/2}$${}= 1{,}30\times10^{9}\cdot365\cdot86\,400$${}= 4{,}10\times10^{16}\,\mathrm{s}$$\lambda$${}= \frac{\ln2}{T_{1/2}}$${}= 1{,}691\times10^{-17}\,\mathrm{s^{-1}}$

4. Activitat: desintegracions per segon.

   $A$${}= \lambda N=1{,}691\times10^{-17}\cdot5{,}203\times10^{20}$${}= 8{,}80\times10^{3}\,\mathrm{Bq}$

Plantejament Es demana la desintegració del potassi 40 en calci 40, amb totes les partícules, i el seu tipus. El nombre màssic es manté ($40$) i el nombre atòmic puja de $19$ a $20$: un neutró es converteix en un protó.

1. Conservació del nombre màssic i de la càrrega: la partícula emesa té $A=0$ i $Z=-1$, un electró.

   $40=40+A_x\;\Rightarrow\;A_x=0$$19=20+Z_x\;\Rightarrow\;Z_x=-1$

2. Per conservar el nombre leptònic s’emet, a més, un antineutrí electrònic:

   ${}^{40}_{19}\mathrm{K}$${}\longrightarrow {}^{40}_{20}\mathrm{Ca}$${}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

Plantejament Es demana en quins metalls hi ha efecte fotoelèctric amb llum de $514\,\mathrm{nm}$, què és el potencial de frenada i el seu valor en aquests metalls. Hi ha efecte si l’energia de cada fotó supera el treball d’extracció del metall.

1. Energia d’un fotó de $514\,\mathrm{nm}$:

   $E$${}= \frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}}{514\times10^{-9}}$${}= 3{,}87\times10^{-19}\,\mathrm{J}$${}= 2{,}42\,\mathrm{eV}$

2. Comparem amb els treballs d’extracció: només el cesi i el potassi tenen un treball més petit que $2{,}42\,\mathrm{eV}$. En el sodi, el calci i l’alumini no hi ha efecte fotoelèctric.

   $2{,}14<2{,}42$$2{,}30<2{,}42$$2{,}75;\ 2{,}87;\ 4{,}28>2{,}42\ (\mathrm{eV})$

3. L’energia cinètica màxima dels electrons és el que sobra de l’energia del fotó després d’arrencar-los:

   $E_{c,\max}=hf-W_0$

4. El potencial de frenada és la diferència de potencial mínima que cal aplicar entre el metall i l’ànode per aturar fins i tot els electrons més ràpids, de manera que cap no arribi a l’ànode. El treball que fa aquest camp sobre un electró iguala la seva energia cinètica màxima:

   $|e|\,V_f$${}= E_{c,\max}$${}\Rightarrow V_f$${}= \frac{hf-W_0}{|e|}$

5. Amb les energies en eV, el potencial de frenada en volts és la diferència (amb dos decimals, com els treballs d’extracció):

   $V_f(\mathrm{Cs})=2{,}42-2{,}14=0{,}28\,\mathrm{V}$$V_f(\mathrm{K})=2{,}42-2{,}30=0{,}12\,\mathrm{V}$

Plantejament Es demana la velocitat màxima dels electrons arrencats del cesi amb llum de $300\,\mathrm{nm}$, la seva massa relativista i si cal tenir en compte la relativitat.

1. Energia del fotó:

   $E$${}= \frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}}{300\times10^{-9}}$${}= 6{,}63\times10^{-19}\,\mathrm{J}$

2. Energia cinètica màxima, amb el treball d’extracció del cesi, $W_0=2{,}14\,\mathrm{eV}=3{,}43\times10^{-19}\,\mathrm{J}$:

   $E_{c,\max}$${}= 6{,}63\times10^{-19}$${}-3{,}43\times10^{-19}$${}= 3{,}20\times10^{-19}\,\mathrm{J}$

3. Velocitat màxima:

   $v$${}= \sqrt{\frac{2E_{c,\max}}{m_e}}$${}= \sqrt{\frac{2\cdot3{,}20\times10^{-19}}{9{,}11\times10^{-31}}}$${}= 8{,}38\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Massa relativista, amb l’expressió de l’enunciat: $v/c=2{,}79\times10^{-3}$, de manera que l’arrel és pràcticament $1$.

   $m_{r,e}$${}= \frac{9{,}11\times10^{-31}}{\sqrt{1-(2{,}79\times10^{-3})^2}}$${}= 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$

5. La massa relativista es diferencia de la massa en repòs en unes quatre milionèsimes: la velocitat és molt més petita que $c$ i no cal la relativitat; el càlcul clàssic de la velocitat és correcte.

   $\frac{m_{r,e}-m_e}{m_e}$${}\approx \frac12\left(\frac vc\right)^2$${}= 3{,}9\times10^{-6}$