¿Cuántos ejercicios de mecanismos y transmisiones han caído en la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña?

Entre 2022 y 2026, 24 ejercicios en 14 de los 15 exámenes que tenemos resueltos (cada año, la ordinaria y la extraordinaria, y también la serie de incidencias). Ha caído en 2026, 2025, 2024, 2023 y 2022.

¿Las soluciones son las oficiales?

No: las escribe EducaIA, paso a paso, y cada resultado está contrastado con la pauta oficial de corrección. Cuando la pauta da otra cifra (casi siempre por redondeo), lo ponemos al lado con la explicación.

¿Qué hago si mi resultado no coincide con la pauta?

Mira primero si la diferencia está en la última cifra: es redondeo, y el corrector la acepta. Las pautas restan por dar resultados sin unidades o con demasiadas cifras significativas: pasa los datos al sistema internacional antes de sustituir y redondea el resultado final a tres o cuatro cifras. En el test, una respuesta errónea resta puntos: si no lo tienes claro, déjala en blanco.

¿Puedo imprimir los ejercicios?

Sí. El botón de imprimir prepara una hoja con los enunciados oficiales, con espacio para responder, y las soluciones aparte. Cada ejercicio enlaza también el PDF oficial del examen y de la pauta.

Mecanismos y transmisiones: ejercicios PAU Tecnología

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

En una imprenta industrial hay una rotativa de impresión continua alimentada con papel en bobina. La rotación de un eje tractor marca el ritmo de trabajo de toda la línea, ya que gobierna el avance del papel, asegura una tensión adecuada y sincroniza la sección de impresión, el plegado y el corte. Si la velocidad de giro de este eje no es la adecuada, pueden aparecer defectos en la aplicación de los colores, variaciones de tensión, arrugas, rotura del papel o errores en el plegador. Por este motivo, el fabricante recomienda que el eje tractor trabaje a una velocidad nominal $n_\text{eje}=600\,\mathrm{min}^{-1}$ . Este eje hace girar un rodillo tractor de diámetro $d=330\,\mathrm{mm}$ , que es el elemento que arrastra el papel hacia adelante. La velocidad lineal de avance recomendada del papel es $v_\text{recom}=10\,\mathrm{m/s}$ y el proceso admite una tolerancia de calidad de $\pm5$ % con respecto a este valor.

Para hacer funcionar el sistema se utiliza un motor asíncrono estándar de dos pares de polos, con velocidad nominal $n_\text{mot}=1\,420\,\mathrm{min}^{-1}$ . Esta velocidad es mayor que la necesaria en el eje principal y, por lo tanto, es necesario utilizar un reductor. La empresa está buscando el reductor comercial que se ajuste mejor a los requisitos del sistema, y también desea comprobar si con este reductor se podrá cumplir la tolerancia de calidad establecida. El proveedor ofrece tres reductores con las siguientes relaciones de reducción estándar:

Reductor	A	B	C
$i=n_\text{entrada}/n_\text{salida}$	$1{,}5$	$2{,}5$	$3$

Determine:

3.1 La relación de reducción real necesaria $i_\text{nec}$ ${}= n_\text{entrada}/n_\text{salida}$ y el reductor que se debe escoger.

[1 punto]

3.2 La velocidad final del eje que se obtendrá con el reductor escogido, $n_\text{real}$ , y la velocidad de avance del papel, $v_\text{real}$ .

[1 punto]

3.3 El error porcentual respecto al valor deseado, $\Delta$ . Justifique si la elección cumple las recomendaciones del fabricante.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.11 punto

Planteamiento Se pide la relación de reducción que llevaría el motor ( $1\,420\,\mathrm{min}^{-1}$ ) exactamente a la velocidad recomendada del eje ( $600\,\mathrm{min}^{-1}$ ), y cuál de los tres reductores comerciales se acerca más.

La relación necesaria es la velocidad de entrada (la del motor) dividida por la de salida (la del eje):
$i_\text{nec}$ ${}= \frac{n_\text{mot}}{n_\text{eje}}$ ${}= \frac{1\,420\,\mathrm{min}^{-1}}{600\,\mathrm{min}^{-1}}$ ${}= 2{,}367$
Diferencia entre la relación necesaria y la de cada reductor:
$\text{A}:\ |1{,}5-2{,}367|=0{,}867$ $\text{B}:\ |2{,}5-2{,}367|=0{,}133$ $\text{C}:\ |3-2{,}367|=0{,}633$
El reductor B es el más cercano. Con los otros dos el papel iría demasiado lejos de los $10\,\mathrm{m/s}$ recomendados (se calcula como en el apartado 3.2): con el A, $n=1\,420/1{,}5=946{,}7\,\mathrm{min}^{-1}$ y $v=16{,}36\,\mathrm{m/s}$ ; con el C, $n=1\,420/3=473{,}3\,\mathrm{min}^{-1}$ y $v=8{,}179\,\mathrm{m/s}$ .

Resultado $i_\text{nec}=2{,}367$ ; se debe escoger el reductor B ( $i=2{,}5$ ).

La pauta oficial da: $i_\text{nec}=1\,420/600=2{,}367$ ; el más cercano es $i=2{,}5$ .

3.21 punto

Planteamiento Con el reductor B, la velocidad del eje es la del motor dividida por la relación de reducción; la del papel es la velocidad lineal de la superficie del rodillo.

Velocidad del eje:
$n_\text{real}$ ${}= \frac{n_\text{mot}}{i}$ ${}= \frac{1\,420\,\mathrm{min}^{-1}}{2{,}5}$ ${}= 568\,\mathrm{min}^{-1}$
El papel avanza a la velocidad periférica del rodillo, $v=\omega\,d/2$ , con $\omega=2\pi n/60$ en rad/s y $d=330\,\mathrm{mm}=0{,}330\,\mathrm{m}$ :
$v_\text{real}$ ${}= \frac{2\pi\,n_\text{real}}{60}\cdot\frac{d}{2}$ ${}= \frac{2\pi\cdot568}{60}\,\mathrm{rad/s}\cdot\frac{0{,}330\,\mathrm{m}}{2}$ ${}= 9{,}814\,\mathrm{m/s}$

Resultado $n_\text{real}=568\,\mathrm{min}^{-1}$ ; $v_\text{real}=9{,}814\,\mathrm{m/s}$

La pauta oficial da: $n_\text{real}=568\,\mathrm{min}^{-1}$ ; $v_\text{real}=9{,}814\,\mathrm{m/s}$

3.30,5 puntos

Planteamiento Se compara la velocidad real del papel con la recomendada, $10\,\mathrm{m/s}$ : es sobre este valor sobre el que el proceso admite una tolerancia de $\pm5$ %.

Error porcentual (con $v_\text{real}=9{,}8143\,\mathrm{m/s}$ , una cifra más, para no arrastrar el redondeo), en %:
$\Delta$ ${}= \frac{v_\text{recom}-v_\text{real}}{v_\text{recom}}\cdot100$ ${}= \frac{10-9{,}8143}{10}\cdot100$ ${}= 1{,}857$
El papel va un $1{,}857$ % más lento de lo recomendado. Como $1{,}857$ % es menos que el $5$ % admitido, la elección cumple las recomendaciones del fabricante.
Las dos recomendaciones del enunciado no cuadran del todo: a $n_\text{eje}=600\,\mathrm{min}^{-1}$ , el rodillo de $330\,\mathrm{mm}$ haría avanzar el papel a $\frac{2\pi\cdot 600}{60}\cdot\frac{0{,}330}{2}=10{,}37\,\mathrm{m/s}$ , no a $10\,\mathrm{m/s}$ . Por eso se compara la velocidad del papel, que es sobre la que el enunciado fija la tolerancia del $\pm5$ %. Si se comparara la velocidad del eje con los $600\,\mathrm{min}^{-1}$ , el error sería $(600-568)/600=5{,}33$ %.

Resultado $\Delta=1{,}857$ %, por debajo del $5$ % admitido: el reductor B cumple las recomendaciones del fabricante.

La pauta oficial da: $\Delta=1{,}857$ %, inferior al $5$ %: la elección cumple las recomendaciones.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 4

2,5 puntosLa pauta redondea distintoTambién en Máquinas térmicas, Motores y máquinas eléctricas, Energía, consumo y emisiones

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Un grupo electrógeno está formado por un motor diésel acoplado directamente a un alternador monofásico. El grupo suministra una tensión $U=230\,\mathrm{V}$ y la capacidad del depósito de combustible es $V=15\,\mathrm{L}$ . En el punto de funcionamiento analizado, el grupo suministra una potencia $P_\text{eléctr}=4{,}96\,\mathrm{kW}$ , el motor gira a $n_\text{mot}=3\,000\,\mathrm{min}^{-1}$ y el alternador tiene un rendimiento $\eta_\text{alt}=0{,}9$ . El consumo específico del motor es $c_\text{e}=290\,\mathrm{g/(kW\,h)}$ , el poder calorífico del gasóleo utilizado es $p_\text{c}=43\,\mathrm{MJ/kg}$ y su densidad, $\rho=0{,}84\,\mathrm{kg/L}$ .

Determine:

Esquema de bloques del grupo electrógeno, conectados en cadena: Depósito, Motor diésel, Eje mecánico, Alternador y Salida eléctrica.

4.1 La potencia mecánica en el eje, $P_\text{mec}$ .

[0,5 puntos]

4.2 El par en el eje, $\Gamma$ .

[0,5 puntos]

4.3 El consumo de combustible, $q$ , en kg/h y la autonomía del motor con el depósito lleno, $t$ .

[1 punto]

4.4 La energía eléctrica total que puede suministrar el grupo electrógeno con el depósito lleno, $E_\text{eléc}$ , en kJ.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

4.10,5 puntos

Planteamiento El alternador transforma la potencia mecánica del eje en la potencia eléctrica de salida con un rendimiento de $0{,}9$ ; se pide la potencia que entra en el alternador por el eje.

El rendimiento del alternador es la potencia eléctrica que da dividida por la mecánica que recibe:
$\eta_\text{alt}$ ${}= \frac{P_\text{eléctr}}{P_\text{mec}}$ ${}\Rightarrow P_\text{mec}$ ${}= \frac{P_\text{eléctr}}{\eta_\text{alt}}$ ${}= \frac{4{,}96\,\mathrm{kW}}{0{,}9}$ ${}= 5{,}511\,\mathrm{kW}$

Resultado $P_\text{mec}=5{,}511\,\mathrm{kW}$

La pauta oficial da: $P_\text{mec}=4{,}96/0{,}9=5{,}511\,\mathrm{kW}$

4.20,5 puntos

Planteamiento El par en el eje es la potencia mecánica dividida por la velocidad angular; el eje gira como el motor, porque el acoplamiento es directo.

Velocidad angular del eje:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \frac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \frac{2\pi\cdot3\,000}{60}$ ${}= 314{,}2\,\mathrm{rad/s}$
Par, con $P_\text{mec}=5\,511\,\mathrm{W}$ :
$\Gamma$ ${}= \frac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \frac{5\,511\,\mathrm{W}}{314{,}2\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 17{,}54\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $\Gamma=17{,}54\,\mathrm{N\,m}$

La pauta oficial da: $\Gamma=17{,}54\,\mathrm{N\,m}$

4.31 punto

Planteamiento El consumo específico dice qué masa de gasóleo gasta el motor por cada kW h de energía mecánica que da: multiplicado por la potencia mecánica da el consumo horario. La autonomía es la masa del depósito lleno dividida por ese consumo.

Consumo específico en kg: $c_\text{e}$ ${}= 290\,\mathrm{g/(kW\,h)}$ ${}= 0{,}29\,\mathrm{kg/(kW\,h)}$ .
$q$ ${}= c_\text{e}\,P_\text{mec}$ ${}= 0{,}29\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kW\,h}}\cdot5{,}511\,\mathrm{kW}$ ${}= 1{,}5982\,\mathrm{kg/h}$ ${}\approx 1{,}598\,\mathrm{kg/h}$
Masa de gasóleo del depósito lleno:
$m=\rho\,V=0{,}84\,\mathrm{kg/L}\cdot15\,\mathrm{L}=12{,}6\,\mathrm{kg}$
Autonomía (con el consumo con una cifra más, para no arrastrar el redondeo):
$t$ ${}= \frac{m}{q}=\frac{12{,}6\,\mathrm{kg}}{1{,}5982\,\mathrm{kg/h}}$ ${}= 7{,}884\,\mathrm{h}$
Es decir, unas $7$ h y $53$ min ( $0{,}884\,\mathrm{h}\cdot60=53\,\mathrm{min}$ ).

Resultado $q=1{,}598\,\mathrm{kg/h}$ ; $t=7{,}884\,\mathrm{h}$

La pauta oficial da: $q=0{,}29\cdot5{,}511=1{,}598\,\mathrm{kg/h}$ ; $t=0{,}84\cdot15/1{,}6=7{,}884\,\mathrm{h}$

4.40,5 puntos

Planteamiento La energía eléctrica es la potencia eléctrica del grupo por el tiempo que funciona con el depósito lleno; después se pasa a kJ.

Energía en kW h:
$E_\text{eléc}$ ${}= P_\text{eléctr}\,t$ ${}= 4{,}96\,\mathrm{kW}\cdot7{,}884\,\mathrm{h}$ ${}= 39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$
Como $1\,\mathrm{kW\,h}=3\,600\,\mathrm{kJ}$ :
$E_\text{eléc}$ ${}= 39{,}10\cdot3\,600\,\mathrm{kJ}$ ${}= 1{,}408\cdot10^5\,\mathrm{kJ}$
Comprobación por otro camino: con $12{,}6\,\mathrm{kg}$ de gasóleo, el motor da $12{,}6/0{,}29=43{,}448\,\mathrm{kW\,h}$ de energía mecánica, y el alternador convierte el $90$ % en eléctrica: $0{,}9\cdot43{,}448=39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$ .
El poder calorífico $p_\text{c}$ y la tensión $U$ no hacen falta en ninguno de los cuatro apartados.

Resultado $E_\text{eléc}$ ${}= 39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$ ${}= 1{,}408\cdot10^5\,\mathrm{kJ}$ ( $140{,}8\,\mathrm{MJ}$ )

La pauta oficial da: $E_\text{eléc}$ ${}= 4{,}96\cdot7{,}884$ ${}= 39{,}10\,\mathrm{kW\,h}$ ${}= 140{,}8\cdot10^3\,\mathrm{kJ}$ ${}= 140{,}8\,\mathrm{MJ}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Máquinas térmicas

Un vehículo está subiendo una pequeña pendiente a una velocidad $v$ . En esta situación, todas las resistencias que dificultan el avance del vehículo (peso, aerodinámica, rodadura…) se modelizan como una fuerza $F=1\,800\,\mathrm{N}$ en sentido opuesto a su avance. El motor del automóvil es de gasolina, tiene un rendimiento térmico $\eta_\text{mot}=0{,}2$ y, en las condiciones descritas, suministra una potencia $P_\text{sum}=67\,\mathrm{kW}$ girando a $n_\text{mot}=5\,000\,\mathrm{min}^{-1}$ . La transmisión tiene un rendimiento $\eta_\text{trans}=0{,}9$ , las ruedas del vehículo tienen un radio $r=0{,}4\,\mathrm{m}$ y el poder calorífico de la gasolina es $p_\text{c}=42\,\mathrm{MJ/kg}$ .

En estas condiciones, determine:

3.1 La velocidad a la que el vehículo está subiendo la pendiente, $v$ .

[0,5 puntos]

3.2 La velocidad angular de la rueda, $\omega_\text{rueda}$ , y la relación de transmisión del conjunto, $\tau=\omega_\text{rueda}/\omega_\text{mot}$ .

[1 punto]

3.3 La potencia calorífica que debe aportar el combustible, $P_\text{cal}$ , y el consumo instantáneo del motor, $q$ , en g/s.

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

3.10,5 puntos

Planteamiento Se pide la velocidad del vehículo: la potencia que llega a las ruedas (la del motor menos las pérdidas de la transmisión) es igual a la fuerza de resistencia por la velocidad.

Potencia útil en las ruedas:
$P_\text{útil}$ ${}= \eta_\text{trans}\,P_\text{sum}$ ${}= 0{,}9\cdot 67\,\mathrm{kW}$ ${}= 60{,}3\,\mathrm{kW}$
A velocidad constante, la fuerza de tracción en las ruedas equilibra la fuerza de resistencia $F$ , y la potencia es $P_\text{útil}=F\,v$ :
$v$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{F}$ ${}= \dfrac{60\,300\,\mathrm{W}}{1\,800\,\mathrm{N}}$ ${}= 33{,}5\,\mathrm{m/s}$
En km/h:
$v=33{,}5\cdot 3{,}6=120{,}6\,\mathrm{km/h}$

Resultado $v=33{,}5\,\mathrm{m/s}=120{,}6\,\mathrm{km/h}$ .

La pauta oficial da: $v$ ${}= P_\text{útil}/F$ ${}= P_\text{sum}\,\eta_\text{trans}/F$ ${}= 33{,}5\,\mathrm{m/s}$ ${}= 120{,}6\,\mathrm{km/h}$

3.21 punto

Planteamiento Se pide la velocidad angular de la rueda (a partir de la velocidad del vehículo y el radio) y la relación de transmisión entre el motor y la rueda.

Velocidad angular de la rueda (sin deslizamiento):
$\omega_\text{rueda}$ ${}= \dfrac{v}{r}$ ${}= \dfrac{33{,}5\,\mathrm{m/s}}{0{,}4\,\mathrm{m}}$ ${}= 83{,}75\,\mathrm{rad/s}$
Velocidad angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 5\,000}{60}$ ${}= 523{,}6\,\mathrm{rad/s}$
Relación de transmisión:
$\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{rueda}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{83{,}75\,\mathrm{rad/s}}{523{,}6\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 0{,}1600$

Resultado $\omega_\text{rueda}=83{,}75\,\mathrm{rad/s}$ y $\tau=0{,}1600$ .

La pauta oficial da: $\omega_\text{rueda}=83{,}75\,\mathrm{rad/s}$ ; $\tau=\omega_\text{rueda}/\omega_\text{mot}=0{,}1600$

3.31 punto

Planteamiento Se pide la potencia que aporta la gasolina (la que da el motor dividida entre su rendimiento térmico) y el consumo de combustible en g/s.

Potencia calorífica del combustible:
$P_\text{cal}$ ${}= \dfrac{P_\text{sum}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{67\,\mathrm{kW}}{0{,}2}$ ${}= 335\,\mathrm{kW}$
Consumo: la potencia calorífica dividida entre el poder calorífico, con $p_\text{c}=42\,\mathrm{MJ/kg}=42\,000\,\mathrm{kJ/kg}$ :
$q$ ${}= \dfrac{P_\text{cal}}{p_\text{c}}$ ${}= \dfrac{335\,\mathrm{kJ/s}}{42\,000\,\mathrm{kJ/kg}}$ ${}= 7{,}976\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg/s}$ ${}= 7{,}976\,\mathrm{g/s}$

Resultado $P_\text{cal}=335\,\mathrm{kW}$ y $q=7{,}976\,\mathrm{g/s}$ .

La pauta oficial da: $P_\text{cal}$ ${}= P_\text{sum}/\eta_\text{mot}$ ${}= 335\,\mathrm{kW}$ ; $q=P_\text{cal}/p_\text{c}=7{,}976\,\mathrm{g/s}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pauta

Un montacargas está accionado por un motor reductor. La relación de transmisión del reductor es $\tau=\omega_\text{red}/\omega_\text{mot}=0{,}01$ . El motor gira a $n_\text{mot}=1\,800\,\mathrm{min}^{-1}$ y el aparato eleva una carga de masa $m=2\,200\,\mathrm{kg}$ a una velocidad constante de $v=0{,}2\,\mathrm{m/s}$ . El motor se conecta a una tensión $U=230\,\mathrm{V}$ y consume una potencia $P_\text{eléc}=6{,}2\,\mathrm{kW}$ .

4.1 Determine el rendimiento del motor reductor, $\eta$ .

[1 punto]

4.2 Calcule la velocidad de rotación, $\omega_\text{red}$ , y el par, $\Gamma_\text{red}$ , en el eje de salida del reductor.

[1 punto]

4.3 El motor aumenta su velocidad un $50$ % manteniendo constante su rendimiento. Determine, en esta situación, la nueva potencia eléctrica consumida, $P'_\text{eléc}$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

4.11 punto

Planteamiento Se pide el rendimiento del conjunto motor-reductor: la potencia útil que sube la carga dividida entre la potencia eléctrica consumida.

A velocidad constante, la fuerza que hay que hacer es el peso de la carga. Potencia útil, con $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ :
$P_\text{útil}$ ${}= m\,g\,v$ ${}= 2\,200\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}2\,\mathrm{m/s}$ ${}= 4\,315\,\mathrm{W}$
Rendimiento:
$\eta$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{P_\text{eléc}}$ ${}= \dfrac{4\,315\,\mathrm{W}}{6\,200\,\mathrm{W}}$ ${}= 0{,}6960$
La tensión de alimentación, $U=230\,\mathrm{V}$ , no hace falta en ningún apartado.

Resultado $\eta=0{,}6960$ ( $69{,}60$ %).

La pauta oficial da: $P_\text{útil}=m\,g\,v$ ; $\eta=P_\text{útil}/P_\text{eléc}=69{,}60$ %

4.21 punto

Planteamiento Se pide la velocidad angular y el par en el eje de salida del reductor, el que mueve la carga.

Velocidad angular del motor y de la salida del reductor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 1\,800}{60}$ ${}= 188{,}5\,\mathrm{rad/s}$ $\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}01\cdot 188{,}5\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 1{,}885\,\mathrm{rad/s}$
Par en el eje de salida: la potencia que pasa por él, que es la útil (el rendimiento del motor reductor ya incluye todas las pérdidas), dividida entre la velocidad angular:
$\Gamma_\text{red}$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\omega_\text{red}}$ ${}= \dfrac{4\,315\,\mathrm{W}}{1{,}885\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 2\,289\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $\omega_\text{red}=1{,}885\,\mathrm{rad/s}$ y $\Gamma_\text{red}=2\,289\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}\,2\pi/60$ ${}= 1{,}885\,\mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma_\text{red}$ ${}= P_\text{útil}/\omega_\text{red}$ ${}= 2\,289\,\mathrm{N\,m}$

4.30,5 puntos

Planteamiento Se pide la nueva potencia eléctrica si el motor gira un 50 % más deprisa con el mismo rendimiento y la misma carga.

Con la misma relación de transmisión, la carga sube un 50 % más deprisa: $v'=1{,}5\,v=0{,}3\,\mathrm{m/s}$ . La fuerza es la misma (el peso), así que la potencia útil también crece un 50 %:
$P'_\text{útil}=m\,g\,v'=1{,}5\,P_\text{útil}$
Con el mismo rendimiento, la potencia eléctrica crece en la misma proporción:
$P'_\text{eléc}$ ${}= \dfrac{P'_\text{útil}}{\eta}$ ${}= \dfrac{1{,}5\,P_\text{útil}}{\eta}$ ${}= 1{,}5\,P_\text{eléc}$ ${}= 1{,}5\cdot 6{,}2\,\mathrm{kW}$ ${}= 9{,}3\,\mathrm{kW}$

Resultado $P'_\text{eléc}=9{,}3\,\mathrm{kW}$ .

La pauta oficial da: $v'=1{,}5\,v$ ; $P'_\text{útil}=1{,}5\,P_\text{útil}$ ; $P'_\text{eléc}$ ${}= 1{,}5\,P_\text{eléc}$ ${}= 1{,}5\cdot 6{,}2$ ${}= 9{,}3\,\mathrm{kW}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2026, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Electrónica digital, Materiales y ensayos, Circuitos eléctricos

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Indique la respuesta correcta de CINCO de las ocho cuestiones, marcando con un círculo la letra correspondiente. Si responde a más de cinco, solo se valorarán las cinco primeras.

[2,5 puntos: 0,5 puntos por cada cuestión. En cada cuestión solo puede escogerse UNA respuesta. Por cada respuesta errónea se descontarán 0,16 puntos. Por las cuestiones no contestadas no se aplicará ningún descuento.]

1.1 La tensión de rotura de un latón es de $420\,\mathrm{MPa}$ . ¿Cuál es la fuerza axial máxima que se puede aplicar a una barra maciza de este latón de $8\,\mathrm{mm}$ de diámetro sin que se rompa?

a) $84{,}4\,\mathrm{kN}$

b) $21{,}11\,\mathrm{kN}$

c) $53{,}1\,\mathrm{kN}$

d) $211\,\mathrm{N}$

[0,5 puntos]

1.2 Para abrir una puerta que da acceso a un recinto controlado es necesario introducir una tarjeta magnética válida en un lector o bien teclear una clave numérica correcta. Se utilizan las variables de estado siguientes:

tarjeta: $t$ ${}= \begin{cases}1\text{: válida}\\0\text{: no válida}\end{cases}$ ; clave: $c$ ${}= \begin{cases}1\text{: correcta}\\0\text{: incorrecta}\end{cases}$ ; acceso permitido: $a$ ${}= \begin{cases}1\text{: permitido}\\0\text{: no permitido}\end{cases}$ .

¿Cuál es la función lógica entre estas variables?

a) $a=\overline{t+c}$

b) $a=\overline{t\cdot c}$

c) $a=t+c$

d) $a=t\cdot c$

[0,5 puntos]

1.3 ¿Cuál es la función equivalente al esquema de puertas lógicas de la figura?

a) $s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$

b) $s=\overline{d}\,(c+a)\,(b+d)$

c) $s=d+(c\cdot a)+(b\cdot d)$

d) $s=d\,(c+a)\,(b+d)$

[0,5 puntos]

Cuestión 3: esquema de puertas lógicas con las entradas a, b, c y d. Un inversor (puerta 1 con un círculo a la salida) recibe d; una puerta AND (&) recibe c y a; otra puerta AND recibe b y d. Las tres salidas van a una puerta OR (≥1), de salida s.

1.4 ¿Cuál de las siguientes tablas de verdad se corresponde con el esquema de contactos de la figura?

a)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

b)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

c)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

d)

$a$	$b$	$c$	$d$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

[0,5 puntos]

Cuestión 4: esquema de contactos. El contacto a, normalmente abierto, está en serie con dos ramas en paralelo: en la de arriba está el contacto b y en la de abajo el contacto c, los dos normalmente cerrados. La salida es la lámpara d.

1.5 Una barra de acero tiene una longitud inicial de $2{,}5\,\mathrm{m}$ a una temperatura de $20\,^\circ\mathrm{C}$ . Sabiendo que el coeficiente lineal de dilatación del acero es $\alpha=12\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}$ , si la barra se calienta hasta $120\,^\circ\mathrm{C}$ , ¿cuál será su incremento de longitud?

a) $0{,}36\,\mathrm{mm}$

b) $3\,\mathrm{mm}$

c) $3{,}6\,\mathrm{mm}$

d) $30\,\mathrm{mm}$

[0,5 puntos]

1.6 En un tren de tracción por cremallera, la rueda de tracción tiene 18 dientes y el paso de la cremallera donde engrana es de $20\pi\,\mathrm{mm}$ . Durante el régimen de servicio, la rueda dentada gira a una velocidad constante de $520\,\mathrm{min}^{-1}$ . ¿Cuál es la velocidad lineal del tren?

a) $9{,}802\,\mathrm{km/h}$

b) $19{,}60\,\mathrm{km/h}$

c) $35{,}29\,\mathrm{km/h}$

d) $61{,}59\,\mathrm{km/h}$

[0,5 puntos]

1.7 Una carga está formada por tres elementos en serie: una resistencia $R=10\,\Omega$ , una reactancia inductiva $X_\text{L}=20\,\Omega$ a $50\,\mathrm{Hz}$ y una reactancia capacitiva $X_\text{C}=30\,\Omega$ a $50\,\mathrm{Hz}$ . Si esta carga se conecta a una fuente de tensión $U$ a una frecuencia tal que la carga está en resonancia (distinta de $50\,\mathrm{Hz}$ ), ¿cuál será el valor de la impedancia equivalente de los tres elementos conectados en serie?

a) $Z=10\,\Omega$

b) $Z=20\,\Omega$

c) $Z=30\,\Omega$

d) $Z=60\,\Omega$

[0,5 puntos]

1.8 Los parámetros conocidos del circuito de corriente alterna de la figura son $U_1=230\,\mathrm{V}$ , $A_2=10\,\mathrm{A}$ y $W_3=1\,135\,\mathrm{W}$ . ¿Cuál es la lectura del voltímetro $U_4$ ?

a) $325{,}3\,\mathrm{V}$

b) $230{,}0\,\mathrm{V}$

c) $200{,}0\,\mathrm{V}$

d) $113{,}6\,\mathrm{V}$

[0,5 puntos]

Cuestión 8: fuente de corriente alterna con el voltímetro U₁ en paralelo. En serie están el amperímetro A₂ y el vatímetro W₃, que alimentan una resistencia y una bobina en serie; el voltímetro U₄ está conectado a los extremos de la bobina. — Los rótulos A₂, W₃, U₁ y U₄ los ha añadido EducaIA: en el PDF oficial quedan tapados por los círculos de los aparatos.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.10,5 puntos

Planteamiento Se pide la fuerza axial que rompe una barra de latón: la que hace que la tensión normal de la barra llegue a la tensión de rotura.

Sección de la barra, con $d=8\,\mathrm{mm}$ :
$S$ ${}= \frac{\pi d^2}{4}$ ${}= \frac{\pi\cdot(8\,\mathrm{mm})^2}{4}$ ${}= 50{,}27\,\mathrm{mm^2}$
Fuerza máxima ( $1\,\mathrm{MPa}=1\,\mathrm{N/mm^2}$ ):
$F_\text{máx}$ ${}= \sigma_\text{R}\,S$ ${}= 420\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm^2}}\cdot50{,}27\,\mathrm{mm^2}$ ${}= 2{,}111\cdot10^4\,\mathrm{N}$ ${}= 21{,}11\,\mathrm{kN}$
Por qué no las otras: la a) ( $84{,}4\,\mathrm{kN}$ , cuatro veces más) sale de tomar el diámetro como si fuera el radio; la d) ( $211\,\mathrm{N}$ ) sale de multiplicar $420$ por la sección en $\mathrm{cm^2}$ ( $0{,}5027$ ) sin pasar unidades; la c) no sale de $\sigma_\text{R}\,S$ .

ResultadoLa respuesta correcta es la b): $F_\text{máx}=21{,}11\,\mathrm{kN}$ .

La pauta oficial da: Respuesta b).

1.20,5 puntos

Planteamiento Hay que traducir al álgebra de Boole la condición de apertura: la puerta se abre con una tarjeta válida «o bien» con la clave correcta.

El acceso está permitido ( $a=1$ ) cuando $t=1$ , cuando $c=1$ o cuando se cumplen las dos cosas; solo queda prohibido si $t=0$ y $c=0$ . Tabla de verdad:
$t$ $c$ $a$
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Es la función OR de las dos variables:
$a=t+c$
Por qué no las otras: la d) ( $a=t\cdot c$ ) exigiría la tarjeta y la clave a la vez; la a) y la b) son las negaciones (NOR y NAND) y abrirían la puerta sin tarjeta ni clave, porque con $t=c=0$ dan $a=1$ .

$t$	$c$	$a$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

ResultadoLa respuesta correcta es la c): $a=t+c$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

1.30,5 puntos

Planteamiento Se pide la función de un circuito con un inversor y dos puertas AND que van a una puerta OR; hay que leer qué variables llegan a cada puerta.

Siguiendo las líneas de la figura (un punto negro es una conexión; un puente en forma de arco, un cruce sin conexión): la puerta «1» con un círculo a la salida es un inversor (NOT) que recibe $d$ ; la primera AND recibe $c$ y $a$ ; la segunda AND recibe $b$ y $d$ . Las salidas son:
$\overline{d}$ $c\cdot a$ $b\cdot d$
La puerta OR ( $\geq1$ ) suma las tres salidas:
$s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$
Por qué no las otras: la c) olvida el inversor de $d$ ; la b) y la d) son productos, que necesitarían una puerta AND a la salida, y el circuito tiene ahí una puerta OR.

ResultadoLa respuesta correcta es la a): $s=\overline{d}+(c\cdot a)+(b\cdot d)$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.40,5 puntos

Planteamiento Hay que escribir la función del esquema de contactos (serie, producto; paralelo, suma; un contacto normalmente cerrado aporta la variable negada) y compararla con las cuatro tablas.

Lectura del esquema: el contacto $a$ , normalmente abierto (dibujado abierto), está en serie con dos ramas en paralelo; en la de arriba está el contacto $b$ y en la de abajo el contacto $c$ , los dos normalmente cerrados (la lámina descansa sobre un pequeño tramo vertical). La lámpara $d$ se enciende si hay camino:
$d=a\,(\overline{b}+\overline{c})$
Por la ley de De Morgan, $\overline{b}+\overline{c}=\overline{b\,c}$ : la lámpara se enciende cuando $a=1$ y $b$ y $c$ no valen 1 las dos a la vez.
$d=a\,\overline{b\,c}$
Tabla de verdad del esquema, que es la tabla a):
$a$ $b$ $c$ $d$
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Por qué no las otras: la d) da $d=1$ con $abc=011$ , sin el contacto $a$ cerrado; la b) y la c) dan $d=1$ con $a=0$ , y sin $a$ no hay camino.

ResultadoLa respuesta correcta es la a).

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.50,5 puntos

Planteamiento Se pide la dilatación lineal de una barra de acero que se calienta de $20\,^\circ\mathrm{C}$ a $120\,^\circ\mathrm{C}$ .

Incremento de temperatura:
$\Delta T=120-20=100\,^\circ\mathrm{C}$
Dilatación lineal, con $L_0=2{,}5\,\mathrm{m}$ :
$\Delta L$ ${}= \alpha\,L_0\,\Delta T$ ${}= 12\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\cdot2{,}5\,\mathrm{m}\cdot100\,^\circ\mathrm{C}$ ${}= 3\cdot10^{-3}\,\mathrm{m}$ ${}= 3\,\mathrm{mm}$
Por qué no las otras: la c) ( $3{,}6\,\mathrm{mm}$ ) sale de multiplicar por la temperatura final, $120\,^\circ\mathrm{C}$ , en lugar de por el incremento; la d) ( $30\,\mathrm{mm}$ ) es un error de un factor $10$ , y la a) ( $0{,}36\,\mathrm{mm}$ ) es la c) dividida por $10$ .

ResultadoLa respuesta correcta es la b): $\Delta L=3\,\mathrm{mm}$ .

La pauta oficial da: Respuesta b).

1.60,5 puntos

Planteamiento En un tren de cremallera, la cremallera está fija en la vía y la rueda dentada del tren engrana con ella: en cada vuelta, el tren avanza respecto a la cremallera tantos dientes como tiene la rueda, cada uno de un paso.

Avance por vuelta, con $z=18$ dientes y paso $p=20\pi\,\mathrm{mm}$ :
$z\,p$ ${}= 18\cdot20\pi\,\mathrm{mm}$ ${}= 360\pi\,\mathrm{mm}$ ${}= 1{,}131\,\mathrm{m}$
Velocidad, con $n=520\,\mathrm{min}^{-1}=520/60\,\mathrm{s}^{-1}$ :
$v$ ${}= z\,p\,n$ ${}= 1{,}131\,\mathrm{m}\cdot\frac{520}{60}\,\mathrm{s}^{-1}$ ${}= 9{,}802\,\mathrm{m/s}$
En km/h ( $1\,\mathrm{m/s}=3{,}6\,\mathrm{km/h}$ ):
$v=9{,}802\cdot3{,}6=35{,}29\,\mathrm{km/h}$
Lo mismo sale con el radio primitivo de la rueda: $2\pi r=z\,p$ da $r=180\,\mathrm{mm}$ , y $v$ ${}= \omega\,r=54{,}45\,\mathrm{rad/s}\cdot0{,}18\,\mathrm{m}$ ${}= 9{,}802\,\mathrm{m/s}$ .
Por qué no las otras: la a) es el valor en m/s con las unidades de km/h; la b) y la d) no salen de este cálculo.

ResultadoLa respuesta correcta es la c): $v=35{,}29\,\mathrm{km/h}$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

1.70,5 puntos

Planteamiento En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva son iguales y se anulan: la impedancia de un circuito RLC serie queda reducida a la resistencia.

La reactancia inductiva crece con la frecuencia y la capacitiva disminuye: $X_\text{L}=20\,\Omega\cdot f/50$ y $X_\text{C}=30\,\Omega\cdot50/f$ . Son iguales a la frecuencia de resonancia:
$20\,\frac{f_0}{50}$ ${}= 30\,\frac{50}{f_0}$ ${}\Rightarrow f_0$ ${}= 50\,\sqrt{\frac{30}{20}}$ ${}= 61{,}24\,\mathrm{Hz}$
A esa frecuencia, $X_\text{L}=X_\text{C}$ y:
$Z$ ${}= \sqrt{R^2+(X_\text{L}-X_\text{C})^2}$ ${}= R=10\,\Omega$
Por qué no las otras: la b) y la c) son las reactancias a $50\,\mathrm{Hz}$ , y la d) ( $60\,\Omega$ ) sale de sumar $R+X_\text{L}+X_\text{C}$ como si fueran resistencias.

ResultadoLa respuesta correcta es la a): $Z=10\,\Omega$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.80,5 puntos

Planteamiento La fuente alimenta una resistencia y una bobina en serie. El amperímetro $A_2$ mide la corriente; el vatímetro $W_3$ , la potencia activa, que solo consume la resistencia; y el voltímetro $U_4$ , la tensión de la bobina.

En la hoja del examen, los rótulos de los aparatos quedan tapados por los círculos de los instrumentos. Por su posición, $U_1$ es el voltímetro en paralelo con la fuente; $A_2$ , el amperímetro en serie; $W_3$ , el vatímetro (el círculo con la bobina de tensión conectada debajo); y $U_4$ , el voltímetro conectado a los extremos de la bobina.
La potencia activa la consume solo la resistencia:
$P$ ${}= R\,I^2$ ${}\Rightarrow R=\frac{W_3}{A_2^{\,2}}$ ${}= \frac{1\,135\,\mathrm{W}}{(10\,\mathrm{A})^2}$ ${}= 11{,}35\,\Omega$
La tensión de la fuente cae sobre toda la carga:
$Z=\frac{U_1}{A_2}=\frac{230\,\mathrm{V}}{10\,\mathrm{A}}=23\,\Omega$
Reactancia de la bobina:
$X_\text{L}$ ${}= \sqrt{Z^2-R^2}$ ${}= \sqrt{23^2-11{,}35^2}$ ${}= 20{,}00\,\Omega$
Lectura del voltímetro, la tensión de la bobina:
$U_4$ ${}= X_\text{L}\,I$ ${}= 20{,}00\,\Omega\cdot10\,\mathrm{A}$ ${}= 200{,}0\,\mathrm{V}$
Comprobación: la tensión de la resistencia es $U_R=R\,I=113{,}5\,\mathrm{V}$ , y $\sqrt{113{,}5^2+200{,}0^2}=230\,\mathrm{V}$ , la tensión de la fuente (las dos tensiones están desfasadas $90^\circ$ ).
Por qué no las otras: la a) ( $325{,}3\,\mathrm{V}$ ) es el valor de pico de la tensión de la fuente, $230\sqrt2$ ; la b) es la tensión de la fuente; la d) se acerca a la tensión de la resistencia, no a la de la bobina.

ResultadoLa respuesta correcta es la c): $U_4=200{,}0\,\mathrm{V}$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2026Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 2

2,5 puntosLa pauta tiene un error

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 2 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2026 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Se desea montar un sistema de elevación industrial (polipasto eléctrico de cable) en un puente grúa para elevar verticalmente una carga. El sistema dispone de un motor asíncrono, un reductor y un tambor en el que se enrolla el cable.

En las condiciones de estudio, la carga se eleva a velocidad constante y la masa elevada es $m=1\,000\,\mathrm{kg}$ . El motor gira a una velocidad constante $n_\text{mot}=1\,450\,\mathrm{min}^{-1}$ y el reductor, de rendimiento $\eta=0{,}7$ , tiene una relación de transmisión $\tau=\frac{\omega_\text{salida}}{\omega_\text{entrada}}=\frac{1}{150}$ .

El diámetro del tambor es $d=423\,\mathrm{mm}$ .

Se ha suministrado el siguiente catálogo de motores y debemos escoger el más adecuado para nuestro sistema de elevación.

Motor	Potencia nominal (kW)	Velocidad nominal de giro ( $\mathrm{min}^{-1}$ )	Par nominal (N m)
A	$1{,}5$	$1\,450$	$9{,}879$
B	$2$	$1\,450$	$13{,}17$
C	$2{,}5$	$1\,450$	$16{,}46$
D	$3$	$1\,450$	$19{,}75$

2.1 Determine la velocidad lineal de elevación de la carga, $v$ , y la fuerza $F$ necesaria para elevarla.

[1 punto]

2.2 Calcule la potencia mecánica que debe suministrar el motor, $P_\text{mot}$ , e indique cuál de los motores debería elegirse. Justifique brevemente la respuesta.

[1 punto]

2.3 En la salida del reductor hay un sensor que mide el par que está transmitiendo el eje y que manda una señal que permite bloquear el sistema cuando se supera en un $15$ % el par del punto de funcionamiento nominal del motor.

Determine el valor del par al que debe estar tarado el sensor, $\Gamma_\text{sens}$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

2.11 punto

Planteamiento El tambor gira como la salida del reductor, y el cable se enrolla en él a la velocidad periférica del tambor, que es la velocidad de elevación. Como la carga sube a velocidad constante, la fuerza del cable equilibra el peso.

Velocidad de giro del tambor, a la salida del reductor:
$n_\text{tambor}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}$ ${}= \frac{1}{150}\cdot1\,450\,\mathrm{min}^{-1}$ ${}= 9{,}667\,\mathrm{min}^{-1}$
Velocidad angular del tambor y velocidad lineal del cable, con $d=423\,\mathrm{mm}=0{,}423\,\mathrm{m}$ :
$\omega_\text{tambor}$ ${}= \frac{2\pi\cdot9{,}667}{60}$ ${}= 1{,}0123\,\mathrm{rad/s}$ $v$ ${}= \omega_\text{tambor}\,\frac{d}{2}$ ${}= 1{,}0123\cdot\frac{0{,}423}{2}$ ${}= 0{,}2141\,\mathrm{m/s}$
En m/min: $v=0{,}2141\cdot60=12{,}85\,\mathrm{m/min}$ .
A velocidad constante la aceleración es nula, y el cable hace una fuerza igual al peso (con $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ; el enunciado no da su valor):
$F$ ${}= m\,g=1\,000\,\mathrm{kg}\cdot9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ${}= 9\,807\,\mathrm{N}$

Resultado $v=0{,}2141\,\mathrm{m/s}$ ( $12{,}85\,\mathrm{m/min}$ ); $F=9\,807\,\mathrm{N}$

La pauta oficial da: $v=0{,}2141\,\mathrm{m/s}=12{,}85\,\mathrm{m/min}$ ; $F=m\,g=9\,807\,\mathrm{N}$

2.21 punto

Planteamiento La potencia útil es la que recibe la carga, $F\,v$ . El motor tiene que dar más, porque el reductor pierde una parte ( $\eta=0{,}7$ ). Se elige el motor del catálogo que puede dar esa potencia.

Potencia a la salida del reductor, la que eleva la carga:
$P_\text{mec}$ ${}= F\,v=9\,807\,\mathrm{N}\cdot0{,}2141\,\mathrm{m/s}$ ${}= 2\,100\,\mathrm{W}$
El reductor tiene un rendimiento de 0,7, así que el motor tiene que dar:
$P_\text{mot}$ ${}= \frac{P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \frac{2\,100\,\mathrm{W}}{0{,}7}$ ${}= 3\,000\,\mathrm{W}$ ${}= 3\,\mathrm{kW}$
En el catálogo, el motor C ( $2{,}5\,\mathrm{kW}$ ) y los más pequeños no llegan a los $3\,\mathrm{kW}$ necesarios. El D da $3\,\mathrm{kW}$ a $1\,450\,\mathrm{min}^{-1}$ , la misma velocidad a la que tiene que girar el motor: se debe elegir el D.
Comprobación con el par: el tambor necesita $F\,d/2=9\,807\cdot0{,}2115=2\,074\,\mathrm{N\,m}$ , y el reductor multiplica el par por $1/\tau=150$ con un rendimiento de $0{,}7$ ; el motor tiene que hacer:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= \frac{F\,d/2}{\eta/\tau}$ ${}= \frac{2\,074\,\mathrm{N\,m}}{0{,}7\cdot150}$ ${}= 19{,}75\,\mathrm{N\,m}$
Es justo el par nominal del motor D: trabajará en su punto nominal.

Resultado $P_\text{mot}=3\,000\,\mathrm{W}$ : se debe elegir el motor D ( $3\,\mathrm{kW}$ ), el más pequeño del catálogo que puede darla.

La pauta oficial da: $P_\text{mec}=F\,v=2\,100\,\mathrm{W}$ ; $P_\text{mot}=2\,100/0{,}7=3\,000\,\mathrm{W}$ : hay que elegir el motor D.

2.30,5 puntos

Planteamiento El sensor está a la salida del reductor, así que mide el par del eje lento. Hay que calcular el par que llega ahí cuando el motor trabaja en su punto nominal y aumentarlo un $15$ %.

En el punto nominal, el motor D hace el par nominal del catálogo, $\Gamma_\text{nom}=19{,}75\,\mathrm{N\,m}$ . El reductor lo multiplica por $1/\tau=150$ y pierde el $30$ % (rendimiento $0{,}7$ ):
$\Gamma_\text{red}$ ${}= \eta\,\frac{\Gamma_\text{nom}}{\tau}$ ${}= 0{,}7\cdot150\cdot19{,}75\,\mathrm{N\,m}$ ${}= 2\,074\,\mathrm{N\,m}$
Lo mismo sale con la potencia nominal: la velocidad angular de salida es $\omega_\text{red}=1{,}0123\,\mathrm{rad/s}$ (la del tambor) y $\Gamma_\text{red}$ ${}= \eta\,P_\text{nom}/\omega_\text{red}$ ${}= 0{,}7\cdot3\,000/1{,}0123$ ${}= 2\,074\,\mathrm{N\,m}$ .
El sensor tiene que bloquear el sistema un $15$ % por encima:
$\Gamma_\text{sens}$ ${}= 1{,}15\,\Gamma_\text{red}$ ${}= 1{,}15\cdot2\,074\,\mathrm{N\,m}$ ${}= 2\,385\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $\Gamma_\text{sens}=2\,385\,\mathrm{N\,m}$

La pauta oficial da: $\Gamma_\text{red}$ ${}= \eta\,P_\text{mot}/(\tau\,\omega_\text{mot})$ ${}= 2\,074\,\mathrm{N\,m}$ ; $\Gamma_\text{sens}=1{,}15\cdot2\,074=2\,385\,\mathrm{N\,m}$

Por qué no coincide con la pauta

Apartado 2.2: la segunda manera de calcular $P_\text{mot}$ que da la pauta tiene dos erratas: en la sustitución de $F\,\frac{d}{2}\,\tau\,\omega_\text{mot}$ falta el factor $\tau=1/150$ , y después escribe $2\,015/0{,}8$ en lugar de $2\,100/0{,}7$ . El resultado, $3\,000\,\mathrm{W}$ , y la elección del motor D son correctos. Apartado 2.3: la pauta escribe $\Gamma_\text{sens}=1{,}15\,\Gamma_\text{sens}$ donde quiere decir $1{,}15\,\Gamma_\text{red}$ ; el valor que da, $2\,385\,\mathrm{N\,m}$ , coincide con el de esta solución. Si se calcula $\Gamma_\text{red}$ con la potencia nominal sin redondear nada, sale $2\,074{,}5\,\mathrm{N\,m}$ y $\Gamma_\text{sens}=2\,386\,\mathrm{N\,m}$ , que también es válido: la diferencia es de redondeo.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2026, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2025 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

La figura muestra un esquema de un elevador de taller de dos columnas. Las dos columnas son iguales, y dentro de cada una de ellas hay una transmisión tornillo-tuerca. La tuerca es solidaria a los brazos que sostienen el vehículo. En la parte superior de la columna se sitúa un motor que mediante un reductor de engranajes hace girar el tornillo situado en el interior de la columna, que hace subir o bajar la tuerca. El movimiento de los dos motores está sincronizado para que los brazos tengan el mismo movimiento.

La altura máxima de elevación desde la posición más baja de los brazos es $h = 1{,}8\,\mathrm{m}$ ; la masa que soporta cada columna es $m = 1\,900\,\mathrm{kg}$ ; el tornillo tiene un paso de rosca de $7\,\mathrm{mm}$ por vuelta (el coche se eleva $7\,\mathrm{mm}$ por cada vuelta del tornillo), y el conjunto del sistema tiene un rendimiento $\eta = 0{,}4$ .

Se desea determinar la potencia eléctrica de un motor y diseñar el reductor para que cuando el motor gire a $n = 1\,420\,\mathrm{min}^{-1}$ el tiempo de elevación para llegar a la altura máxima sea $t = 45\,\mathrm{s}$ . Para ello, determine:

Esquema del elevador de dos columnas, visto de frente: un coche entre dos columnas iguales. Dentro de cada columna hay un tornillo vertical (rayado) con una tuerca que lleva un brazo bajo el coche. Arriba de cada columna, un motor hace girar el tornillo a través de un reductor. Los tornillos están sujetos por soportes arriba y abajo.

a) La potencia mecánica necesaria para elevar el coche, $P_\text{mec}$ .

[0,5 puntos]

b) La potencia eléctrica que consumirá cada motor, $P_\text{eléc}$ .

[0,5 puntos]

c) Las vueltas que debe dar el tornillo para que el coche llegue a la altura máxima, $n_\text{vueltas}$ .

[0,5 puntos]

d) La relación de transmisión que debe tener el reductor, $i = \dfrac{n_\text{mot}}{n_\text{tor}}$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Potencia mecánica para subir el coche entero: el trabajo es el aumento de energía potencial de la masa que soportan las dos columnas, realizado en el tiempo de elevación.

Cada columna soporta $m = 1\,900\,\mathrm{kg}$ ; el coche entero, que se apoya en las dos, tiene una masa $2\,m$ :
$m_\text{coche}$ ${}= 2\,m=2 \cdot 1\,900$ ${}= 3\,800\,\mathrm{kg}$
Trabajo para subirlo la altura $h$ (con $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$W$ ${}= m_\text{coche}\,g\,h$ ${}= 3\,800 \cdot 9{,}807 \cdot 1{,}8$ ${}= 67\,080\,\mathrm{J}$
Potencia mecánica, repartiendo ese trabajo en $t = 45\,\mathrm{s}$ :
$P_\text{mec} = \frac{W}{t} = \frac{67\,080}{45} = 1\,491\,\mathrm{W}$

Resultado $P_\text{mec} = 1\,491\,\mathrm{W}$ (unos $1{,}49\,\mathrm{kW}$ para todo el coche).

La pauta oficial da: $P_\text{mec} = \frac{2\,m\,g\,h}{t} = 1\,491\,\mathrm{W}$

b)0,5 puntos

Planteamiento Potencia eléctrica de cada motor: los dos motores se reparten la potencia mecánica, y el rendimiento del conjunto, $\eta = 0{,}4$ , hace que consuman más.

Cada motor sube una columna, es decir, da la mitad de la potencia mecánica, y tiene que consumir más de lo que da, según el rendimiento del conjunto:
$P_\text{eléc} = \frac{P_\text{mec}/2}{\eta} = \frac{P_\text{mec}}{2\,\eta}$
Con $P_\text{mec}$ sin redondear ( $1\,490{,}7\,\mathrm{W}$ ):
$P_\text{eléc}$ ${}= \frac{1\,490{,}7}{2 \cdot 0{,}4}$ ${}= 1\,863\,\mathrm{W}$

Resultado $P_\text{eléc} = 1{,}863\,\mathrm{kW}$ por motor.

La pauta oficial da: $P_\text{eléc} = \frac{P_\text{mec}}{2\,\eta} = 1{,}863\,\mathrm{kW}$

c)0,5 puntos

Planteamiento Transmisión tornillo-tuerca: cada vuelta del tornillo hace subir la tuerca (y el coche) un paso de rosca, $p = 7\,\mathrm{mm}$ .

Pasamos la altura a milímetros: $h = 1{,}8\,\mathrm{m} = 1\,800\,\mathrm{mm}$ . Las vueltas son la altura dividida por el paso:
$n_\text{vueltas}$ ${}= \frac{h}{p}=\frac{1\,800}{7}$ ${}= 257{,}1\,\text{vueltas}$

Resultado $n_\text{vueltas} = 257{,}1$ vueltas.

La pauta oficial da: $n_\text{vueltas} = \frac{h}{p} = 257{,}1$ vueltas

d)1 punto

Planteamiento Diseño del reductor: la relación de transmisión es el cociente entre la velocidad del motor y la que debe tener el tornillo para dar las $257{,}1$ vueltas en $45\,\mathrm{s}$ .

Velocidad del tornillo, con $n_\text{vueltas} = 1\,800/7 = 257{,}14$ :
$n_\text{tor}$ ${}= \frac{n_\text{vueltas}}{t}$ ${}= \frac{257{,}14}{45}$ ${}= 5{,}714\,\text{vueltas/s}$
En vueltas por minuto, como el motor:
$n_\text{tor}$ ${}= 5{,}714 \cdot 60$ ${}= 342{,}8\,\mathrm{min}^{-1}$
Relación de transmisión del reductor:
$i = \frac{n_\text{mot}}{n_\text{tor}} = \frac{1\,420}{342{,}8} = 4{,}142$
Como $i > 1$ , el reductor reduce la velocidad: el tornillo gira unas $4{,}14$ veces más despacio que el motor.

Resultado $i = 4{,}142$ .

La pauta oficial da: $n_\text{tor} = 5{,}714$ vueltas/s; $i = 4{,}142$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2025Convocatoria ordinaria · Serie 4 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pauta

Un mezclador de productos pulverulentos es una máquina muy utilizada en las industrias química, agroalimentaria y farmacéutica. El mezclador consiste en un motor que acciona un reductor. La salida del reductor se conecta a un aspa en forma de hélice que gira verticalmente para mezclar los productos de un depósito.

En las condiciones de estudio, el motor gira a $n_\text{mot}=1\,430\,\mathrm{min}^{-1}$ ; la hélice, a $n_\text{hél}=40\,\mathrm{min}^{-1}$ , y el reductor tiene un rendimiento $\eta=0{,}7$ .

Durante la fase de servicio, la hélice gira a velocidad constante $\omega_\text{hél}$ y el par que debe aplicarse a la hélice para realizar la mezcla depende de la velocidad de giro:

$\Gamma_\text{hél}=k\,\omega_\text{hél}$

$\omega_\text{hél}$ se expresa en rad/s y $k$ es un parámetro que para la mezcla estudiada se estima en $k=105\,\mathrm{N\,m\,s}$ .

Debe seleccionarse un motor entre estos tres:

	Motor A	Motor B	Motor C
Par nominal [N m]	$14{,}7$	$18$	$20$
Potencia nominal [kW]	$2{,}2$	$2{,}4$	$2{,}8$

Para ello:

Esquema del mezclador: un bloque «Motor» conectado a un bloque «Reductor»; de la salida del reductor baja un eje que entra en un «Depósito» y hace girar un aspa en forma de hélice vertical.

a) Determine la relación del reductor, $i=\dfrac{n_\text{mot}}{n_\text{hél}}$ , y el par en el eje de la hélice, $\Gamma_\text{hél}$ .

[1 punto]

b) Calcule la potencia del motor, $P_\text{mot}$ , y el par que ha de suministrar, $\Gamma_\text{mot}$ .

[1 punto]

c) Justifique la selección del motor.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se pide la relación del reductor, $i=n_\text{mot}/n_\text{hél}$ , y el par que hace falta en el eje de la hélice, que depende de su velocidad angular.

Relación del reductor:
$i$ ${}= \dfrac{n_\text{mot}}{n_\text{hél}}$ ${}= \dfrac{1\,430\,\mathrm{min}^{-1}}{40\,\mathrm{min}^{-1}}$ ${}= 35{,}75$
Velocidad angular de la hélice, en rad/s, como pide la fórmula del par:
$\omega_\text{hél}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{hél}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 40}{60}$ ${}= 4{,}189\,\mathrm{rad/s}$
Par en el eje de la hélice:
$\Gamma_\text{hél}$ ${}= k\,\omega_\text{hél}$ ${}= 105\,\mathrm{N\,m\,s}\cdot 4{,}189\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 439{,}8\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $i=35{,}75$ y $\Gamma_\text{hél}=439{,}8\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $i=n_\text{mot}/n_\text{hél}=35{,}75$ ; $\Gamma_\text{hél}=k\,\omega_\text{hél}=439{,}8\,\mathrm{N\,m}$

b)1 punto

Planteamiento Se pide la potencia que debe dar el motor (la que necesita la hélice más las pérdidas del reductor) y el par en el eje del motor.

Potencia en el eje de la hélice (con más decimales, $1\,842{,}3\,\mathrm{W}$ ):
$P_\text{hél}$ ${}= \Gamma_\text{hél}\,\omega_\text{hél}$ ${}= 439{,}8\,\mathrm{N\,m}\cdot 4{,}189\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 1\,842\,\mathrm{W}$
Potencia del motor: la de la hélice dividida entre el rendimiento del reductor:
$P_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{hél}}{\eta}$ ${}= \dfrac{1\,842{,}3\,\mathrm{W}}{0{,}7}$ ${}= 2\,632\,\mathrm{W}$
Velocidad angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 1\,430}{60}$ ${}= 149{,}7\,\mathrm{rad/s}$
Par del motor:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mot}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{2\,632\,\mathrm{W}}{149{,}7\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 17{,}58\,\mathrm{N\,m}$
Comprobación por otro camino: el reductor multiplica el par por $i$ y pierde lo que marca el rendimiento, $\Gamma_\text{mot}$ ${}= \Gamma_\text{hél}/(i\,\eta)$ ${}= 439{,}82/(35{,}75\cdot 0{,}7)$ ${}= 17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ .

Resultado $P_\text{mot}=2\,632\,\mathrm{W}$ y $\Gamma_\text{mot}=17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $P_\text{mot}$ ${}= \Gamma_\text{hél}\,\omega_\text{hél}/\eta$ ${}= 2\,632\,\mathrm{W}$ ; $\Gamma_\text{mot}$ ${}= P_\text{mot}/\omega_\text{mot}$ ${}= 17{,}58\,\mathrm{N\,m}$

c)0,5 puntos

Planteamiento Se pide justificar cuál de los tres motores se elige: debe poder dar el par y la potencia calculados en el apartado b).

El motor debe tener un par nominal de al menos $17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ y una potencia nominal de al menos $2{,}632\,\mathrm{kW}$ .
Motor A: $14{,}7\,\mathrm{N\,m}$ y $2{,}2\,\mathrm{kW}$ , no llega ni al par ni a la potencia. Motor B: $18\,\mathrm{N\,m}$ , que es suficiente, pero $2{,}4\,\mathrm{kW}$ , menos de los $2{,}632\,\mathrm{kW}$ que hacen falta. Motor C: $20\,\mathrm{N\,m}$ y $2{,}8\,\mathrm{kW}$ , ambos por encima de lo necesario.

ResultadoHay que elegir el motor C: es el único con el par nominal ( $20\,\mathrm{N\,m}$ ) y la potencia nominal ( $2{,}8\,\mathrm{kW}$ ) por encima de los necesarios ( $17{,}58\,\mathrm{N\,m}$ y $2{,}632\,\mathrm{kW}$ ).

La pauta oficial da: Hay que escoger un motor con par nominal y potencia por encima de las necesidades calculadas: el motor C.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2025, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Motores y máquinas eléctricas

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una persona tiene un patinete eléctrico que utiliza una batería ideal de tensión $U=24\,\mathrm{V}$ y energía $E_\text{bat}=250\,\mathrm{W\,h}$ para alimentar un motor de rendimiento $\eta_\text{mot}=0{,}85$ . La rueda motriz del patinete, de diámetro $d_\text{rueda}=140\,\mathrm{mm}$ , está conectada directamente al eje de salida del motor.

En las condiciones de estudio, la persona y el patinete tienen una masa conjunta $m=70\,\mathrm{kg}$ y recorren $s=2\,\mathrm{km}$ a velocidad constante $v=8\,\mathrm{km/h}$ por una subida en la que el ángulo que forma el perfil de la calle con la horizontal es $\alpha=7^\circ$ . Al inicio del trayecto, la batería está totalmente cargada. Si todas las pérdidas diferentes a las asociadas al rendimiento del motor pueden despreciarse, determine:

a) La potencia eléctrica consumida, $P_\text{eléc}$ .

[1 punto]

b) La velocidad de rotación del eje del motor, $\omega_\text{mot}$ , y el par que suministra el motor, $\Gamma$ .

[1 punto]

c) El porcentaje de energía consumida de la batería, $\Delta$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se pide la potencia eléctrica que el motor toma de la batería durante la subida. A velocidad constante y sin otras pérdidas, la potencia mecánica es la necesaria para vencer la componente del peso paralela a la subida; la potencia eléctrica es esta potencia dividida por el rendimiento del motor.

Velocidad en unidades del SI:
$v=\dfrac{8\,\mathrm{km/h}}{3{,}6}=2{,}222\,\mathrm{m/s}$
Componente del peso paralela a la pendiente, que es la fuerza que debe hacer el motor a velocidad constante (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$F$ ${}= m\,g\,\sin\alpha$ ${}= 70\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\sin 7^\circ$ ${}= 83{,}66\,\mathrm{N}$
Potencia mecánica en la rueda:
$P_\text{mec}$ ${}= F\,v=m\,g\,v\,\sin\alpha$ ${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 2{,}222\,\mathrm{m/s}$ ${}= 185{,}9\,\mathrm{W}$
Potencia eléctrica consumida:
$P_\text{eléc}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{185{,}9\,\mathrm{W}}{0{,}85}$ ${}= 218{,}7\,\mathrm{W}$
Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $218{,}8\,\mathrm{W}$ : la diferencia solo está en la cuarta cifra.

Resultado $P_\text{eléc}=218{,}7\,\mathrm{W}$ (con una potencia mecánica $P_\text{mec}=185{,}9\,\mathrm{W}$ ).

La pauta oficial da: $P_\text{mec}=m\,g\,v\sin\alpha$ ; $P_\text{eléctr}=P_\text{mec}/\eta=218{,}7\,\mathrm{W}$ .

b)1 punto

Planteamiento Se pide la velocidad angular del eje del motor y el par que da. Como la rueda está conectada directamente al eje, giran juntos: la velocidad del patinete es la velocidad de la periferia de la rueda, y el par es la potencia mecánica dividida por la velocidad angular.

Radio de la rueda: $r=d_\text{rueda}/2=70\,\mathrm{mm}=0{,}070\,\mathrm{m}$ . Velocidad angular del eje, que es la de la rueda:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{v}{d_\text{rueda}/2}$ ${}= \dfrac{2{,}222\,\mathrm{m/s}}{0{,}070\,\mathrm{m}}$ ${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}$
En vueltas por minuto:
$n$ ${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}\cdot\dfrac{60\,\mathrm{s/min}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$ ${}= 303{,}2\,\mathrm{min}^{-1}$
Par del motor: como $P_\text{mec}=\Gamma\,\omega_\text{mot}$ y $v=\omega_\text{mot}\,r$ , el par es la fuerza del apartado a) por el radio de la rueda:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= F\,\dfrac{d_\text{rueda}}{2}$ ${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 0{,}070\,\mathrm{m}$ ${}= 5{,}856\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $\omega_\text{mot}=31{,}75\,\mathrm{rad/s}$ (unas $303\,\mathrm{min}^{-1}$ ) y $\Gamma=5{,}856\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $\omega_\text{mot}$ ${}= v/(d/2)$ ${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma=P_\text{mec}/\omega_\text{mot}=5{,}856\,\mathrm{N\,m}$ .

c)0,5 puntos

Planteamiento Se pide qué porcentaje de la energía de la batería se gasta en el trayecto. La energía consumida es la potencia eléctrica por la duración del trayecto.

Duración del trayecto:
$t$ ${}= \dfrac{s}{v}$ ${}= \dfrac{2\,\mathrm{km}}{8\,\mathrm{km/h}}$ ${}= 0{,}25\,\mathrm{h}$ ${}= 900\,\mathrm{s}$
Energía eléctrica consumida:
$E_\text{cons}$ ${}= P_\text{eléc}\,t$ ${}= 218{,}7\,\mathrm{W}\cdot 0{,}25\,\mathrm{h}$ ${}= 54{,}68\,\mathrm{W\,h}$
Fracción de la energía de la batería, es decir, el $21{,}87$ %:
$\Delta$ ${}= \dfrac{E_\text{cons}}{E_\text{bat}}$ ${}= \dfrac{54{,}68\,\mathrm{W\,h}}{250\,\mathrm{W\,h}}$ ${}= 0{,}2187$

Resultado $\Delta=21{,}87$ % de la energía de la batería ( $E_\text{cons}=54{,}68\,\mathrm{W\,h}$ ).

La pauta oficial da: $t=s/v$ ; $E_\text{cons}=P_\text{eléctr}\,t$ ; $\Delta=E_\text{cons}/E_\text{bat}=21{,}87$ %.

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Energía, consumo y emisiones, Circuitos eléctricos, Materiales y ensayos

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Indique la respuesta correcta de cada cuestión. Responda en la tabla de la página 3. En el caso de que no indique las respuestas en la tabla, las cuestiones se considerarán no contestadas.

[En cada cuestión solo puede elegirse UNA respuesta. Cuestión bien contestada: 0,5 puntos; cuestión mal contestada: –0,16 puntos; cuestión no contestada: 0 puntos.]

1.1 La intensidad del circuito eléctrico de una estufa de cuarzo es de $8\,\mathrm{A}$ . La estufa está conectada a la red eléctrica a $U=230\,\mathrm{V}$ durante $4\,\mathrm{h}$ y tiene un rendimiento del $98$ %. La energía eléctrica consumida es

a) $25{,}97\,\mathrm{MJ}$ .

b) $26{,}50\,\mathrm{MJ}$ .

c) $27{,}04\,\mathrm{MJ}$ .

d) $43{,}28\,\mathrm{MJ}$ .

[0,5 puntos]

1.2 El caudal de agua caliente de una ducha es de $12\,\mathrm{L/min}$ y la temperatura de salida del agua es de $38\,^\circ\mathrm{C}$ . Inicialmente el agua se encuentra a $15\,^\circ\mathrm{C}$ ( $c_\text{e}=4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}$ ). En una ducha de 5 minutos de duración, la energía utilizada para calentar el agua es

a) $1{,}602\,\mathrm{kW\,h}$ .

b) $5{,}768\,\mathrm{kW\,h}$ .

c) $1{,}602\,\mathrm{kJ}$ .

d) $5\,768\,\mathrm{J}$ .

[0,5 puntos]

1.3 Se dispone de dos resistencias de valor $R$ . En un primer experimento, se conectan en serie y se alimentan a una tensión $U$ , y, como consecuencia, la potencia total disipada por las resistencias es $P$ . En un segundo experimento, las dos resistencias se conectan en paralelo y se alimentan a la misma tensión $U$ . ¿Cuál será, en este caso, la potencia total disipada por las resistencias?

a) $P$

b) $2P$

c) $3P$

d) $4P$

[0,5 puntos]

1.4 Un bloque de masa $m=2\,\mathrm{kg}$ está unido mediante un cable al centro de una polea de radio $R_1=300\,\mathrm{mm}$ . Una cuerda ideal se une al centro de la polea de la que cuelga el bloque, pasa por otra polea de radio $R_2=150\,\mathrm{mm}$ articulada al techo y, finalmente, pasa por la polea de radio $R_1$ . ¿Qué fuerza $F$ debe realizarse para mantener el bloque en reposo?

a) $6{,}538\,\mathrm{N}$

b) $58{,}84\,\mathrm{N}$

c) $19{,}61\,\mathrm{N}$

d) $9{,}807\,\mathrm{N}$

[0,5 puntos]

Figura de la cuestión 4: una polea fija de radio R2, articulada al techo, y debajo una polea móvil de radio R1 de la que cuelga, con un cable vertical, el bloque de masa m. Una cuerda sale del centro de la polea móvil, sube hasta la polea fija, la rodea por arriba, baja por la izquierda hasta la polea móvil, la rodea por debajo y sube por la derecha hasta el extremo, donde se aplica la fuerza F hacia arriba. La gravedad g es vertical hacia abajo.

1.5 El raíl de una vía de tren está hecho de acero de un coeficiente de dilatación $\alpha_\text{ac}=10{,}8\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}$ y tiene una longitud de $25\,\mathrm{m}$ a $T=20\,^\circ\mathrm{C}$ . En las condiciones de trabajo, la temperatura ambiente oscila entre $-10\,^\circ\mathrm{C}$ y $45\,^\circ\mathrm{C}$ . La variación de longitud que experimenta el raíl es de

a) $6{,}750\,\mathrm{mm}$ .

b) $8{,}100\,\mathrm{mm}$ .

c) $9{,}450\,\mathrm{mm}$ .

d) $14{,}85\,\mathrm{mm}$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.10,5 puntos

Planteamiento Se pide la energía eléctrica que consume la estufa en $4\,\mathrm{h}$ : la potencia eléctrica que absorbe de la red por el tiempo. El rendimiento no interviene, porque solo dice qué parte de esta energía se convierte en calor útil.

Potencia eléctrica absorbida:
$P=U\,I=230\,\mathrm{V}\cdot 8\,\mathrm{A}=1\,840\,\mathrm{W}$
Tiempo en segundos: $t=4\,\mathrm{h}=4\cdot 3\,600\,\mathrm{s}=14\,400\,\mathrm{s}$ . Energía consumida:
$E$ ${}= P\,t=1\,840\,\mathrm{W}\cdot 14\,400\,\mathrm{s}$ ${}= 2{,}650\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$ ${}= 26{,}50\,\mathrm{MJ}$
Por qué no las otras: la a), $25{,}97\,\mathrm{MJ}$ , es $0{,}98\cdot 26{,}50\,\mathrm{MJ}$ , la energía útil (el calor que da la estufa), no la consumida; la c), $27{,}04\,\mathrm{MJ}$ , sale de dividir entre $0{,}98$ , y la d) no corresponde a este cálculo.

ResultadoLa respuesta correcta es la b): $E=U\,I\,t=26{,}50\,\mathrm{MJ}$ .

La pauta oficial da: Respuesta b).

1.20,5 puntos

Planteamiento Se pide la energía para calentar el agua de una ducha de 5 minutos: el calor que hace subir la temperatura del agua de $15\,^\circ\mathrm{C}$ a $38\,^\circ\mathrm{C}$ , $Q=m\,c_\text{e}\,\Delta T$ .

Volumen y masa de agua (densidad del agua, $1\,\mathrm{kg/L}$ ):
$V$ ${}= 12\,\mathrm{L/min}\cdot 5\,\mathrm{min}$ ${}= 60\,\mathrm{L}$ ${}\Rightarrow m=60\,\mathrm{kg}$ ${}= 60\,000\,\mathrm{g}$
Incremento de temperatura: $\Delta T=38-15=23\,^\circ\mathrm{C}$ . Calor, con $c_\text{e}$ en $\mathrm{J/(g\,^\circ C)}$ y la masa en gramos:
$Q$ ${}= m\,c_\text{e}\,\Delta T$ ${}= 60\,000\,\mathrm{g}\cdot 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}\cdot 23\,^\circ\mathrm{C}$ ${}= 5{,}768\cdot 10^{6}\,\mathrm{J}$ ${}= 5{,}768\,\mathrm{MJ}$
En kW h ( $1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$ ):
$Q$ ${}= \dfrac{5{,}768\,\mathrm{MJ}}{3{,}6\,\mathrm{MJ/(kW\,h)}}$ ${}= 1{,}602\,\mathrm{kW\,h}$
Por qué no las otras: la b) tiene las cifras del resultado en MJ, pero con la unidad kW h; la c) tiene las cifras del resultado en kW h, pero con la unidad kJ, y la d) tiene las cifras del resultado en kJ ( $5\,768\,\mathrm{kJ}$ ), pero con la unidad J.

ResultadoLa respuesta correcta es la a): $Q=1{,}602\,\mathrm{kW\,h}$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.30,5 puntos

Planteamiento Se compara la potencia total que disipan dos resistencias iguales conectadas primero en serie y después en paralelo a la misma tensión $U$ .

En serie, la resistencia equivalente es $2R$ :
$P=\dfrac{U^2}{2R}$
En paralelo, la resistencia equivalente es $R/2$ (cada resistencia recibe toda la tensión $U$ ):
$P'=\dfrac{U^2}{R/2}=\dfrac{2\,U^2}{R}$
Cociente entre las dos potencias:
$\dfrac{P'}{P}$ ${}= \dfrac{2\,U^2/R}{U^2/(2R)}$ ${}= 4$ ${}\Rightarrow P'=4P$
Por qué no las otras: en paralelo, cada resistencia tiene el doble de tensión que en serie ( $U$ en lugar de $U/2$ ) y, como la potencia va con el cuadrado de la tensión, cada una disipa cuatro veces más. Por eso la potencia total no se mantiene ( $P$ ), ni se duplica ( $2P$ ), ni se triplica ( $3P$ ).

ResultadoLa respuesta correcta es la d): $P'=4P$ .

La pauta oficial da: Respuesta d).

1.40,5 puntos

Planteamiento Se pide la fuerza $F$ que mantiene en reposo el bloque colgado de la polea móvil de radio $R_1$ . Hay que contar cuántos tramos de cuerda sostienen esta polea.

La cuerda es ideal y las poleas giran libremente: toda la cuerda tiene la misma tensión, igual a la fuerza $F$ que se aplica en el extremo.
Siguiendo la cuerda de la figura: sale del centro de la polea móvil, sube hasta la polea fija $R_2$ , la rodea, baja hasta la polea móvil, la rodea por debajo y vuelve a subir hasta el extremo donde se aplica $F$ . La polea móvil queda sostenida por tres tramos de cuerda, y cada uno tira de ella hacia arriba con una fuerza $F$ .
Equilibrio vertical de la polea móvil con el bloque (el enunciado no da la masa de las poleas, así que se consideran ligeras; se toma $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$3\,F-m\,g=0$ ${}\Rightarrow F=\dfrac{m\,g}{3}$ ${}= \dfrac{2\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{3}$ ${}= 6{,}538\,\mathrm{N}$
Los radios $R_1$ y $R_2$ no intervienen: la tensión es la misma a ambos lados de cada polea. Por qué no las otras: la c), $19{,}61\,\mathrm{N}$ , es el peso entero $m\,g$ ; la d), $9{,}807\,\mathrm{N}$ , es la mitad del peso, como si la polea móvil colgara de dos tramos, y la b), $58{,}84\,\mathrm{N}$ , es el triple del peso ( $3\,m\,g$ ), como si se multiplicara por 3 en lugar de dividir.

ResultadoLa respuesta correcta es la a): $F=m\,g/3=6{,}538\,\mathrm{N}$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.50,5 puntos

Planteamiento Dilatación térmica lineal: se pide cuánto cambia la longitud del raíl entre la temperatura mínima y la máxima de trabajo.

El intervalo de temperaturas de trabajo va de $-10\,^\circ\mathrm{C}$ a $45\,^\circ\mathrm{C}$ :
$\Delta T=45-(-10)=55\,^\circ\mathrm{C}$
Variación de longitud, con la longitud del raíl $L_0=25\,\mathrm{m}$ :
$\Delta L$ ${}= \alpha_\text{ac}\,L_0\,\Delta T$ ${}= 10{,}8\cdot 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\cdot 25\,\mathrm{m}\cdot 55\,^\circ\mathrm{C}$ ${}= 1{,}485\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$ ${}= 14{,}85\,\mathrm{mm}$
La temperatura de referencia, $20\,^\circ\mathrm{C}$ , no cambia el resultado: hasta $-10\,^\circ\mathrm{C}$ el raíl se acorta $\alpha_\text{ac}\,L_0\cdot 30\,^\circ\mathrm{C}$ , hasta $45\,^\circ\mathrm{C}$ se alarga $\alpha_\text{ac}\,L_0\cdot 25\,^\circ\mathrm{C}$ , y la variación entre los dos extremos es la suma.
Por qué no las otras: la a), $6{,}750\,\mathrm{mm}$ , solo cuenta el calentamiento de $20$ a $45\,^\circ\mathrm{C}$ ( $25\,^\circ\mathrm{C}$ ); la b), $8{,}100\,\mathrm{mm}$ , solo el enfriamiento de $20$ a $-10\,^\circ\mathrm{C}$ ( $30\,^\circ\mathrm{C}$ ), y la c), $9{,}450\,\mathrm{mm}$ , toma $\Delta T=45-10=35\,^\circ\mathrm{C}$ , olvidando el signo de $-10\,^\circ\mathrm{C}$ .

ResultadoLa respuesta correcta es la d): $\Delta L=14{,}85\,\mathrm{mm}$ .

La pauta oficial da: Respuesta d).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2024Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

La figura muestra el esquema de un prototipo de cadena de transmisión de una motocicleta de competición con una marcha engranada. Dispone de 6 ruedas dentadas de $z_1=23$ , $z_2=57$ , $z_3=16$ , $z_4=33$ , $z_5=18$ y $z_6=38$ dientes.

El motor tiene una cilindrada $C=250\,\mathrm{cm^3}$ , el rendimiento de la transmisión es $\eta=0{,}9$ y el diámetro de la rueda motriz de la moto es $d=0{,}6\,\mathrm{m}$ . Se estudia el comportamiento de la motocicleta cuando el motor gira a $n_\text{mot}=4\,000\,\mathrm{min}^{-1}$ y proporciona una potencia $P_\text{mot}=15\,\mathrm{kW}$ . Determine:

Esquema de la transmisión, con las ruedas dentadas vistas de perfil. El motor, arriba a la izquierda, mueve la rueda z1, que engrana con la rueda grande z2. En el mismo eje que z2 está la rueda pequeña z3, que engrana con z4. En el mismo eje que z4 está z5, que engrana con z6, y z6 va en el mismo eje que la rueda de la moto, dibujada a la derecha como un rectángulo gris.

a) La relación de transmisión entre motor y rueda, $\tau=\omega_\text{rueda}/\omega_\text{mot}$ .

[1 punto]

b) La velocidad de avance, $v$ .

[0,5 puntos]

c) El par en el eje de la rueda, $\Gamma$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se pide la relación de transmisión total entre el motor y la rueda, $\tau=\omega_\text{rueda}/\omega_\text{mot}$ , de un tren de tres pares de ruedas dentadas.

Lectura de la figura: el motor hace girar $z_1$ , que engrana con $z_2$ ; $z_3$ va en el mismo eje que $z_2$ y engrana con $z_4$ ; $z_5$ va en el mismo eje que $z_4$ y engrana con $z_6$ , que va en el eje de la rueda.
En cada par, las velocidades angulares van al revés que el número de dientes: la rueda conducida gira $z_\text{conductora}/z_\text{conducida}$ veces la velocidad de la conductora. La relación total es el producto de las tres:
$\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{rueda}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{z_1}{z_2}\cdot\dfrac{z_3}{z_4}\cdot\dfrac{z_5}{z_6}$ ${}= \dfrac{23\cdot 16\cdot 18}{57\cdot 33\cdot 38}$ ${}= \dfrac{6\,624}{71\,478}$ ${}= 0{,}09267$
Es un reductor: la rueda gira unas $10{,}8$ veces más despacio que el motor ( $1/\tau=10{,}79$ ).

Resultado $\tau=0{,}09267=92{,}67\cdot 10^{-3}$ .

La pauta oficial da: $\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{rueda}}{\omega_\text{motor}}$ ${}= \dfrac{z_1\,z_3\,z_5}{z_2\,z_4\,z_6}$ ${}= 92{,}67\cdot 10^{-3}$

b)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la velocidad de avance de la moto: la velocidad angular de la rueda (la del motor por $\tau$ ) por el radio de la rueda.

Velocidad angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$ ${}= \dfrac{2\pi\cdot 4\,000}{60}$ ${}= 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$
Velocidad angular de la rueda:
$\omega_\text{rueda}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}09267\cdot 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}$
Velocidad de avance, con el radio de la rueda $d/2=0{,}3\,\mathrm{m}$ (la rueda no desliza):
$v$ ${}= \omega_\text{rueda}\,\dfrac{d}{2}$ ${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}3\,\mathrm{m}$ ${}= 11{,}65\,\mathrm{m/s}$
En km/h (con más decimales, $v=11{,}645\,\mathrm{m/s}$ ):
$v=11{,}645\cdot 3{,}6=41{,}92\,\mathrm{km/h}$

Resultado $v=11{,}65\,\mathrm{m/s}=41{,}92\,\mathrm{km/h}$ .

La pauta oficial da: $\omega_\text{rueda}=\tau\,\omega_\text{mot}$ ; $v$ ${}= \omega_\text{rueda}\,d/2$ ${}= 11{,}65\,\mathrm{m/s}$ ${}= 41{,}92\,\mathrm{km/h}$

c)1 punto

Planteamiento Se pide el par en el eje de la rueda: la potencia que llega a él (la del motor menos las pérdidas de la transmisión) dividida entre la velocidad angular de la rueda.

Potencia en el eje de la rueda:
$P_\text{útil}$ ${}= \eta\,P_\text{mot}$ ${}= 0{,}9\cdot 15\,\mathrm{kW}$ ${}= 13{,}5\,\mathrm{kW}$
Par en el eje de la rueda:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\omega_\text{rueda}}$ ${}= \dfrac{13\,500\,\mathrm{W}}{38{,}82\,\mathrm{rad/s}}$ ${}= 347{,}8\,\mathrm{N\,m}$
La cilindrada del motor, $C=250\,\mathrm{cm^3}$ , no hace falta en ningún apartado.

Resultado $\Gamma=347{,}8\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $P_\text{útil}=P_\text{mot}\,\eta$ ; $\Gamma$ ${}= P_\text{útil}/\omega_\text{rueda}$ ${}= 347{,}8\,\mathrm{N\,m}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2024, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 30 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Máquinas térmicas, Materiales y ensayos, Energía, consumo y emisiones, Circuitos eléctricos

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Indique la respuesta correcta de cada cuestión. Responda en la tabla de la página 3. En el caso de que no indique las respuestas en la tabla, las cuestiones se considerarán no contestadas.

[En cada cuestión solo puede elegirse UNA respuesta. Cuestión bien contestada: 0,5 puntos; cuestión mal contestada: –0,16 puntos; cuestión no contestada: 0 puntos.]

1.1 Una pantalla de proyección tiene una masa $m=3\,\mathrm{kg}$ en la parte inferior para mantenerla siempre tensada. Un motor reductor es el encargado de enrollar la pantalla, de longitud $h=1{,}5\,\mathrm{m}$ , en el rodillo de diámetro $d=250\,\mathrm{mm}$ , que está articulado con el techo, en un tiempo $t=3\,\mathrm{s}$ . ¿Cuál es la energía mecánica necesaria para enrollar toda la pantalla?

a) $44{,}13\,\mathrm{J}$

b) $73{,}55\,\mathrm{J}$

c) $22{,}07\,\mathrm{J}$

d) $14{,}71\,\mathrm{J}$

[0,5 puntos]

Figura de la cuestión 1: un rodillo de diámetro d, articulado al techo, con la pantalla enrollada; la pantalla cuelga verticalmente una longitud h y lleva la masa m en el extremo inferior. La gravedad g apunta hacia abajo.

1.2 Un inventor ha construido una máquina térmica que funciona entre dos fuentes térmicas, una de $270\,^\circ\mathrm{C}$ y otra de $610\,^\circ\mathrm{C}$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) El rendimiento de la máquina propuesta siempre estará por encima del $40$ %.

b) El rendimiento de la máquina propuesta nunca podrá superar el $38{,}5$ %.

c) Para que una máquina térmica funcione, el foco frío siempre debe estar por debajo de $0\,^\circ\mathrm{C}$ .

d) Para que una máquina térmica funcione, el foco caliente siempre debe estar por encima de $700\,^\circ\mathrm{C}$ .

[0,5 puntos]

1.3 La figura muestra las curvas tensión-deformación obtenidas en ensayos de tracción utilizando una probeta de acero de alta resistencia y una probeta de una aleación de bronce. A partir de la observación de esta figura, se puede afirmar que

a) el acero es más frágil que el bronce.

b) el bronce tiene un límite elástico mayor que el acero.

c) el acero es más dúctil que el bronce.

d) los dos materiales se han deformado lo mismo antes de romper la probeta.

[0,5 puntos]

Figura de la cuestión 3: curvas tensión-deformación del acero y del bronce. Eje vertical σ en MPa, con las marcas 0, 200 y 400; eje horizontal ε, con la marca 0,01. El acero sube recto, con mucha pendiente, hasta unos 400 MPa y termina a una deformación de unos 0,004. El bronce tiene un tramo recto menos inclinado hasta poco más de 200 MPa; después se curva y sigue, sin llegar a 300 MPa, hasta una deformación mayor que 0,01.

1.4 El conductor de un coche híbrido puede decidir si utiliza como combustible gasolina o gas licuado del petróleo (GLP). Cuando utiliza gasolina, el consumo es de $6{,}1$ litros por cada $100\,\mathrm{km}$ y emite $2{,}23\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ por cada litro consumido. En cambio, cuando utiliza GLP, el consumo es de $7$ litros por cada $100\,\mathrm{km}$ y emite $1{,}647\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ por cada litro consumido. Según el tipo de combustible utilizado, ¿cuál es la diferencia en la huella de carbono cuando el coche recorre $50\,\mathrm{km}$ ?

a) $6{,}802\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

b) $5{,}765\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

c) $1{,}037\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

d) $2{,}074\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

[0,5 puntos]

1.5 Una estufa eléctrica se comporta como una resistencia $R=25\,\Omega$ . Se sabe que cuando está conectada a una fuente de tensión alterna sinusoidal disipa una potencia activa $P=100\,\mathrm{W}$ . ¿Cuál es, aproximadamente, el valor máximo de la tensión de alimentación?

a) $4\,\mathrm{V}$

b) $50\,\mathrm{V}$

c) $71\,\mathrm{V}$

d) $100\,\mathrm{V}$

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.10,5 puntos

Planteamiento Se pide la energía mecánica para enrollar la pantalla. Al enrollarla, la masa de la parte inferior sube toda la longitud $h$ de la pantalla, y la energía necesaria es el aumento de su energía potencial (el enunciado solo da la masa de la parte inferior; la de la tela no se tiene en cuenta).

Energía potencial que gana la masa (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$E_\text{mec}$ ${}= m\,g\,h$ ${}= 3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}5\,\mathrm{m}$ ${}= 44{,}13\,\mathrm{J}$
Ni el diámetro del rodillo ni el tiempo intervienen en la energía. El tiempo serviría para calcular la potencia media, $E_\text{mec}/t=44{,}13\,\mathrm{J}/3\,\mathrm{s}=14{,}71\,\mathrm{W}$ : es el valor de la d), pero es una potencia, no una energía.
La c), $22{,}07\,\mathrm{J}$ , es la mitad del resultado: correspondería a una masa repartida a lo largo de la pantalla, con el centro a $h/2$ . La b) no corresponde a la energía potencial que gana la masa.
Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $44{,}15\,\mathrm{J}$ , y la opción más próxima sigue siendo la a).

ResultadoLa respuesta correcta es la a): $E_\text{mec}=m\,g\,h=44{,}13\,\mathrm{J}$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.20,5 puntos

Planteamiento Se pregunta cuál es el límite del rendimiento de una máquina térmica que trabaja entre dos focos. El máximo teórico es el rendimiento de Carnot, que solo depende de las temperaturas absolutas de los focos.

Temperaturas absolutas: foco frío, $T_\text{f}=270+273{,}15=543{,}15\,\mathrm{K}$ ; foco caliente, $T_\text{c}=610+273{,}15=883{,}15\,\mathrm{K}$ .
Rendimiento de Carnot, es decir, el $38{,}5$ %:
$\eta_\text{Carnot}$ ${}= 1-\dfrac{T_\text{f}}{T_\text{c}}$ ${}= 1-\dfrac{543{,}15\,\mathrm{K}}{883{,}15\,\mathrm{K}}$ ${}= 0{,}385$
Ninguna máquina que trabaje entre estos dos focos puede superar el rendimiento de Carnot: la b) es cierta y la a) es falsa.
La c) y la d) también son falsas: una máquina térmica puede funcionar entre dos focos cualesquiera a temperaturas distintas; las temperaturas de los focos fijan el rendimiento máximo, no si la máquina puede funcionar.

ResultadoLa respuesta correcta es la b): el rendimiento máximo (de Carnot) es $1-543{,}15/883{,}15=0{,}385$ , el $38{,}5$ %.

La pauta oficial da: Respuesta b).

1.30,5 puntos

Planteamiento Se pregunta qué puede deducirse de las dos curvas de tracción. La ductilidad se ve en la deformación a la que se rompe la probeta (donde termina la curva), y el límite elástico, en la tensión donde termina el tramo recto.

La curva del acero termina a una deformación de unos $0{,}004$ , mientras que la del bronce llega más allá de $0{,}01$ : el acero se rompe con mucha menos deformación plástica.
Un material que se rompe con poca deformación plástica es más frágil (menos dúctil). Por tanto, el acero es más frágil que el bronce: la a) es cierta y la c) es falsa.
El tramo recto del acero llega hasta cerca de $400\,\mathrm{MPa}$ , y el del bronce, a poco más de $200\,\mathrm{MPa}$ : el límite elástico del acero es más alto y la b) es falsa. La d) también lo es, porque las dos curvas terminan en deformaciones muy distintas.

ResultadoLa respuesta correcta es la a): el acero se rompe con una deformación mucho menor que el bronce, es decir, es más frágil.

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.40,5 puntos

Planteamiento Se pide la diferencia de $\mathrm{CO_2}$ emitido en $50\,\mathrm{km}$ según el combustible: para cada uno, los litros consumidos por el factor de emisión, y después la resta.

Gasolina: en $50\,\mathrm{km}$ gasta la mitad de $6{,}1\,\mathrm{L}$ :
$m_\text{gasolina}$ ${}= \dfrac{6{,}1\,\mathrm{L}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 50\,\mathrm{km}\cdot 2{,}23\,\mathrm{kg/L}$ ${}= 3{,}05\,\mathrm{L}\cdot 2{,}23\,\mathrm{kg/L}$ ${}= 6{,}802\,\mathrm{kg}$
GLP: en $50\,\mathrm{km}$ gasta $3{,}5\,\mathrm{L}$ :
$m_\text{GLP}$ ${}= 3{,}5\,\mathrm{L}\cdot 1{,}647\,\mathrm{kg/L}$ ${}= 5{,}765\,\mathrm{kg}$
Diferencia entre los dos combustibles:
$\Delta m$ ${}= 6{,}802\,\mathrm{kg}-5{,}765\,\mathrm{kg}$ ${}= 1{,}037\,\mathrm{kg}$
La a) y la b) son las emisiones de cada combustible por separado, no la diferencia, y la d), $2{,}074\,\mathrm{kg}$ , es la diferencia para $100\,\mathrm{km}$ , el doble del recorrido.

ResultadoLa respuesta correcta es la c): con gasolina se emiten $1{,}037\,\mathrm{kg}$ más de $\mathrm{CO_2}$ que con GLP en $50\,\mathrm{km}$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

1.50,5 puntos

Planteamiento Se pide el valor máximo (de pico) de la tensión sinusoidal. La potencia activa en una resistencia se calcula con el valor eficaz, y el valor máximo de una sinusoide es $\sqrt{2}$ veces el eficaz.

Valor eficaz de la tensión:
$P$ ${}= \dfrac{U_\text{ef}^2}{R}$ ${}\Rightarrow U_\text{ef}$ ${}= \sqrt{P\,R}$ ${}= \sqrt{100\,\mathrm{W}\cdot 25\,\Omega}$ ${}= 50\,\mathrm{V}$
Valor máximo:
$U_\text{máx}$ ${}= \sqrt{2}\,U_\text{ef}$ ${}= \sqrt{2}\cdot 50\,\mathrm{V}$ ${}= 70{,}71\,\mathrm{V}$ ${}\approx 71\,\mathrm{V}$
La b), $50\,\mathrm{V}$ , es el valor eficaz, no el máximo. La a), $4$ , es el cociente $P/R$ , que no es una tensión (es el cuadrado de la corriente eficaz, $I^2=4\,\mathrm{A^2}$ ). La d), $100\,\mathrm{V}$ , no es ni el valor máximo ni el valor de pico a pico, que sería $2\cdot 70{,}71\,\mathrm{V}=141{,}4\,\mathrm{V}$ .

ResultadoLa respuesta correcta es la c): $U_\text{máx}=\sqrt{2}\cdot 50\,\mathrm{V}=70{,}71\,\mathrm{V}\approx 71\,\mathrm{V}$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2024, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2024Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología e Ingeniería de Cataluña de 2024 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una canasta de básquet es solidaria a una barra homogénea OC de longitud $4l$ . La masa total del conjunto es $m=100\,\mathrm{kg}$ y su centro de inercia se encuentra en el punto G. La barra está articulada al techo en el punto O. Para plegar y desplegar la canasta se utiliza un mecanismo de tambor. Un cable con un extremo fijo a la barra se enrolla en el tambor siguiendo el recorrido que se muestra en la figura. El rendimiento del motor es $\eta=0{,}8$ .

Se estudia la maniobra de plegado de la canasta en el tramo en el que el ángulo entre el techo y la barra pasa de $\varphi_1=45^\circ$ a $\varphi_2=15^\circ$ . En este tramo, la velocidad angular de la barra es constante y tiene un valor $\omega=0{,}1745\,\mathrm{rad/s}$ en sentido antihorario. Determine:

Barra OC articulada al techo en O e inclinada un ángulo φ por debajo del techo. A lo largo de la barra hay marcados cuatro tramos iguales de longitud l; el centro de inercia G está al final del tercer tramo, a 3l de O, y la canasta cuelga del extremo C. Un cable atado a la barra sube hasta el punto P del techo y sigue horizontalmente hasta el tambor. Datos: m = 100 kg, l = 1 m; la gravedad g apunta hacia abajo.

a) La energía mecánica necesaria para realizar la maniobra, $E_\text{mec}$ .

[1 punto]

b) La energía consumida por el motor para realizar la maniobra, $E_\text{mot}$ .

[0,5 puntos]

c) La velocidad vertical del centro de inercia cuando $\varphi=30^\circ$ , $v_\text{vert}$ .

[0,5 puntos]

d) La potencia que consume el motor en la posición anterior, $P_\text{mot}$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Se pide la energía mecánica para plegar la canasta de $45^\circ$ a $15^\circ$ . Como la velocidad angular es constante, la energía cinética no cambia, y toda la energía mecánica que aporta el cable se convierte en energía potencial: el centro de inercia G sube.

Según la figura, G está a $3l=3\,\mathrm{m}$ de O a lo largo de la barra. Con la barra a un ángulo $\varphi$ por debajo del techo, G queda a una distancia vertical $3l\sin\varphi$ por debajo de O.
Altura que sube G entre las dos posiciones:
$\Delta h$ ${}= 3l\,(\sin\varphi_1-\sin\varphi_2)$ ${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(\sin 45^\circ-\sin 15^\circ)$ ${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(0{,}7071-0{,}2588)$ ${}= 1{,}345\,\mathrm{m}$
Energía mecánica (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$E_\text{mec}$ ${}= m\,g\,\Delta h$ ${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}345\,\mathrm{m}$ ${}= 1\,319\,\mathrm{J}$

Resultado $E_\text{mec}=1\,319\,\mathrm{J}$ (G sube $\Delta h=1{,}345\,\mathrm{m}$ ).

La pauta oficial da: $E_\text{mec}=m\,g\,\Delta h$ ; $\Delta h$ ${}= d\sin\varphi_1-d\sin\varphi_2$ ${}= d\sin 45^\circ-d\sin 15^\circ$ ${}= 1{,}345\,\mathrm{m}$ ; $E_\text{mec}=1\,319\,\mathrm{J}$ .

b)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la energía que consume el motor, teniendo en cuenta su rendimiento.

El motor debe consumir más energía que la mecánica que entrega:
$E_\text{mot}$ ${}= \dfrac{E_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{1\,319\,\mathrm{J}}{0{,}8}$ ${}= 1\,649\,\mathrm{J}$

Resultado $E_\text{mot}=1\,649\,\mathrm{J}$ .

La pauta oficial da: $E_\text{mot}=E_\text{mec}/\eta=1\,649\,\mathrm{J}$ .

c)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la componente vertical de la velocidad de G cuando la barra forma $30^\circ$ con el techo. G describe un arco de radio $3l$ alrededor de O: su velocidad es perpendicular a la barra y vale $\omega\cdot 3l$ .

Módulo de la velocidad de G:
$v_\text{G}$ ${}= \omega\cdot 3l$ ${}= 0{,}1745\,\mathrm{rad/s}\cdot 3\,\mathrm{m}$ ${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}$
La velocidad es perpendicular a la barra; como la barra forma $30^\circ$ con la horizontal, la velocidad forma $30^\circ$ con la vertical, y su componente vertical es:
$v_\text{vert}$ ${}= \omega\cdot 3l\cdot\cos\varphi$ ${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}\cdot\cos 30^\circ$ ${}= 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$
Equivalentemente: G está a una distancia $3l\sin\varphi$ por debajo del techo, que varía a un ritmo $3l\cos\varphi\cdot\omega$ . Al plegar, $\varphi$ disminuye y G sube.

Resultado $v_\text{vert}=0{,}4534\,\mathrm{m/s}$ , hacia arriba.

La pauta oficial da: $v_\text{vert}$ ${}= |\omega|\,3l\cos\varphi$ ${}= 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$ .

d)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la potencia que consume el motor en esta posición. Como la velocidad angular es constante, la potencia mecánica es la que hace subir el peso a la velocidad vertical de G, y el motor debe consumir más por su rendimiento.

Potencia mecánica:
$P_\text{mec}$ ${}= m\,g\,v_\text{vert}$ ${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$ ${}= 444{,}6\,\mathrm{W}$
Potencia que consume el motor:
$P_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{444{,}6\,\mathrm{W}}{0{,}8}$ ${}= 555{,}8\,\mathrm{W}$
Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $555{,}9\,\mathrm{W}$ ; la energía de los apartados a) y b) no cambia.

Resultado $P_\text{mot}=555{,}8\,\mathrm{W}$ ( $P_\text{mec}=444{,}6\,\mathrm{W}$ ).

La pauta oficial da: $P_\text{mot}$ ${}= P_\text{mec}/\eta$ ${}= m\,g\,v_\text{vert}/\eta$ ${}= 555{,}8\,\mathrm{W}$ .

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología e Ingeniería 2024, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2023Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una pantalla de proyección tiene una masa $m=2$ kg en la parte inferior para mantenerla siempre tensa. Un motorreductor de rendimiento $\eta_\text{mot}=0{,}9$ es el encargado de recoger la pantalla en el rodillo de diámetro $d=250$ mm, que está articulado con el techo en el punto P.

El punto inferior de la pantalla se desplaza verticalmente desde una altura $h_1=0{,}3$ m a $h_2=2$ m en $t=8$ s, a velocidad constante. Si la masa del resto de elementos es despreciable, determine:

Esquema de la pantalla: arriba, el rodillo de diámetro d articulado al techo en el punto P; de él baja la pantalla vertical hasta la masa m del punto inferior, que está a una altura h sobre el suelo. La gravedad g apunta hacia abajo. Recuadro: m=2 kg, d=250 mm.

a) La potencia eléctrica media $P_\text{eléctr}$ consumida por el motorreductor.

[1 punto]

b) La velocidad angular del eje de salida del motorreductor $\omega_\text{mot}$ y el par aplicado por este al tambor $\Gamma_\text{mot}$ .

[1 punto]

c) El incremento porcentual, $\mathit{Inc}$ , de la potencia eléctrica si se deseara subir la pantalla en la mitad de tiempo.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Potencia eléctrica para subir una masa a velocidad constante con un motorreductor: la potencia mecánica es el peso por la velocidad, y la eléctrica se obtiene dividiendo entre el rendimiento del motorreductor.

Velocidad de subida de la masa (constante):
$v$ ${}= \dfrac{h_2-h_1}{t}$ ${}= \dfrac{2\ \mathrm{m}-0{,}3\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{s}}$ ${}= 0{,}2125\ \mathrm{m/s}$
Como sube a velocidad constante, la pantalla tira de la masa con una fuerza igual a su peso, $m\,g$ . Potencia mecánica a la salida del motorreductor, con $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$ , ya que el enunciado no da su valor:
$P_\text{mec}$ ${}= m\,g\,v$ ${}= 2\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}\cdot0{,}2125\ \mathrm{m/s}$ ${}= 4{,}168\ \mathrm{W}$
Potencia eléctrica media:
$P_\text{eléctr}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{0{,}9}$ ${}= 4{,}631\ \mathrm{W}$

Resultado $P_\text{eléctr}=4{,}631\ \mathrm{W}$ .

La pauta oficial da: $P_\text{mec}$ ${}= m\,g\,v$ ${}= \dfrac{m\,g\,(h_2-h_1)}{t}$ ; $P_\text{eléctr}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$ ${}= 4{,}631\ \mathrm{W}$

b)1 punto

Planteamiento Velocidad angular y par en el eje de salida del motorreductor, que es el eje del rodillo donde se enrolla la pantalla.

La velocidad de la pantalla es la de la periferia del rodillo. Se considera despreciable el grosor de la tela enrollada, de manera que el radio se mantiene en $d/2=0{,}125\ \mathrm{m}$ :
$\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{v}{d/2}$ ${}= \dfrac{0{,}2125\ \mathrm{m/s}}{0{,}125\ \mathrm{m}}$ ${}= 1{,}7\ \mathrm{rad/s}$
Par que el motorreductor aplica al tambor, a partir de la potencia mecánica del apartado a:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{1{,}7\ \mathrm{rad/s}}$ ${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$
Comprobación: es el peso multiplicado por el radio del rodillo.
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= m\,g\,\dfrac{d}{2}$ ${}= 2\cdot9{,}807\cdot0{,}125$ ${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

Resultado $\omega_\text{mot}=1{,}7\ \mathrm{rad/s}$ y $\Gamma_\text{mot}=2{,}452\ \mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $\omega_\text{mot}=\dfrac{v}{d/2}=1{,}7\ \mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma_\text{mot}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$ ${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

c)0,5 puntos

Planteamiento Incremento porcentual de la potencia eléctrica si la pantalla sube en la mitad de tiempo: la energía necesaria es la misma, pero se da en menos tiempo.

La energía que recibe la masa, $m\,g\,(h_2-h_1)$ , no cambia, pero el tiempo pasa a ser $t/2=4$ s. Con el mismo rendimiento, la potencia se duplica:
$P'_\text{eléctr}$ ${}= \dfrac{m\,g\,(h_2-h_1)}{\eta_\text{mot}\,t/2}$ ${}= 2\,P_\text{eléctr}$ ${}= 9{,}262\ \mathrm{W}$
Incremento relativo; multiplicado por 100, es un incremento del $100$ %:
$\mathit{Inc}$ ${}= \dfrac{P'_\text{eléctr}-P_\text{eléctr}}{P_\text{eléctr}}$ ${}= \dfrac{2\,P_\text{eléctr}-P_\text{eléctr}}{P_\text{eléctr}}$ ${}= 1$

Resultado $\mathit{Inc}=100$ %: la potencia eléctrica se duplica.

La pauta oficial da: $\tilde P_\text{eléctr}=2\,P_\text{eléctr}$ ; $\mathit{Inc}=100$ %

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 1 · Ejercicio 6

2,5 puntosLa pauta tiene un errorTambién en Motores y máquinas eléctricas

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2023 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Un exprimidor doméstico para hacer zumo de naranja está formado por un motor eléctrico de corriente continua de imanes permanentes y un reductor de engranajes, cuya salida hace girar la pieza en forma de cono que permite extraer zumo de las naranjas. El par del motor viene dado por la expresión

$\Gamma_\text{mot}=(0{,}08U-0{,}01\omega)\ \mathrm{N\,m}$ ,

donde $U=24$ V es la tensión de alimentación del motor y $\omega$ es su velocidad angular (en rad/s). La salida del motor está conectada a la entrada del reductor. Este está formado por un piñón de $z_\text{p}=9$ dientes que engrana con una rueda dentada de $z_\text{r}=62$ dientes.

a) Determine la relación de transmisión $\tau=\omega_\text{salida}/\omega_\text{entrada}$ del reductor.

[0,5 puntos]

b) Dibuje, indicando las escalas, la curva característica par-velocidad del motor y determine su velocidad de giro máxima, $n_\text{máx}$ .

[0,5 puntos]

c) En régimen nominal, el motor gira a $n_\text{mot}=1\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ y tiene un rendimiento $\eta=0{,}55$ . Para esta situación, determine:

La intensidad $I$ que circula por el motor.

[1 punto]

d) La velocidad angular $\omega_\text{con}$ de la pieza en forma de cono que extrae el zumo de las naranjas.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Relación de transmisión de un reductor de una sola etapa: el piñón del motor mueve la rueda de salida, y las velocidades angulares van en proporción inversa al número de dientes.

Las dos ruedas engranadas tienen la misma velocidad lineal en el punto de contacto, es decir, $\omega_\text{entrada}\,z_\text{p}$ ${}= \omega_\text{salida}\,z_\text{r}$ :
$\tau$ ${}= \dfrac{\omega_\text{salida}}{\omega_\text{entrada}}$ ${}= \dfrac{z_\text{p}}{z_\text{r}}$ ${}= \dfrac{9}{62}$ ${}= 0{,}1452$

Resultado $\tau=0{,}1452$ : la salida gira unas $6{,}9$ veces más despacio que el motor ( $62/9=6{,}889$ ).

La pauta oficial da: $\tau=\dfrac{z_\text{p}}{z_\text{r}}=0{,}1452$

b)0,5 puntos

Planteamiento Curva par-velocidad de un motor de corriente continua de imanes permanentes alimentado a tensión constante: el par disminuye linealmente con la velocidad.

Con $U=24$ V, la expresión del par queda (con $\omega$ en rad/s y el par en N m):
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= 0{,}08\cdot24-0{,}01\,\omega$ ${}= 1{,}92-0{,}01\,\omega$
Es una recta. Par de arranque ( $\omega=0$ ): $\Gamma_\text{mot}=1{,}92\ \mathrm{N\,m}$ .
La velocidad es máxima cuando el par es nulo (motor en vacío):
$1{,}92-0{,}01\,\omega_\text{máx}=0$ ${}\Rightarrow \omega_\text{máx}$ ${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$
Pasada a $\mathrm{min^{-1}}$ :
$n_\text{máx}$ ${}= \omega_\text{máx}\,\dfrac{60}{2\pi}$ ${}= 192{,}0\cdot\dfrac{60}{2\pi}$ ${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$
Escalas de la gráfica (figura): par de $0$ a $2{,}5\ \mathrm{N\,m}$ en el eje vertical, con divisiones de $0{,}5\ \mathrm{N\,m}$ , y velocidad de $0$ a $2\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ en el horizontal, con divisiones de $500\ \mathrm{min^{-1}}$ . La recta va del punto $(0;\ 1{,}92\ \mathrm{N\,m})$ al punto $(1\,833\ \mathrm{min^{-1}};\ 0)$ .

ResultadoRecta $\Gamma_\text{mot}=1{,}92-0{,}01\,\omega$ (figura); $n_\text{máx}=1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$ , es decir, $\omega_\text{máx}=192{,}0\ \mathrm{rad/s}$ .

La pauta oficial da: La velocidad es máxima cuando el par es nulo: $n_\text{máx}$ ${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$ ${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$

Gráfica par-velocidad del motor: eje vertical Gammamot en N m, de 0 a 2,5 con divisiones de 0,5; eje horizontal n en min⁻¹, de 0 a 2 000 con divisiones de 500. Una recta decreciente va de 1,92 N m en n=0 hasta par nulo en n=1 833 min⁻¹.

c)1 punto

Planteamiento Intensidad que consume el motor en régimen nominal: se calcula el par a esa velocidad, la potencia mecánica y, con el rendimiento, la potencia eléctrica, que es $U\,I$ .

Velocidad angular del motor:
$\omega_\text{mot}$ ${}= n_\text{mot}\,\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 1\,000\cdot\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 104{,}72\ \mathrm{rad/s}$
Par a esa velocidad:
$\Gamma_\text{mot}$ ${}= 1{,}92-0{,}01\cdot104{,}72$ ${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}$
Potencia mecánica:
$P_\text{mec}$ ${}= \Gamma_\text{mot}\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}\cdot104{,}72\ \mathrm{rad/s}$ ${}= 91{,}40\ \mathrm{W}$
Potencia eléctrica, con el rendimiento:
$P_\text{eléctr}$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{91{,}40\ \mathrm{W}}{0{,}55}$ ${}= 166{,}18\ \mathrm{W}$
Intensidad, de $P_\text{eléctr}=U\,I$ :
$I$ ${}= \dfrac{P_\text{eléctr}}{U}$ ${}= \dfrac{166{,}18\ \mathrm{W}}{24\ \mathrm{V}}$ ${}= 6{,}924\ \mathrm{A}$

Resultado $I=6{,}924\ \mathrm{A}$ .

La pauta oficial da: $I$ ${}= \dfrac{P_\text{eléctr}}{U}$ ${}= \dfrac{(0{,}08U-0{,}01\omega_\text{mot})\,\omega_\text{mot}}{\eta\,U}$ ${}= 6{,}924\ \mathrm{A}$

d)0,5 puntos

Planteamiento Velocidad angular de la pieza en forma de cono, que es la salida del reductor: la del motor multiplicada por la relación de transmisión.

Con la relación del apartado a y la velocidad del motor del apartado c:
$\omega_\text{con}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= \dfrac{9}{62}\cdot104{,}72\ \mathrm{rad/s}$ ${}= 15{,}20\ \mathrm{rad/s}$
En $\mathrm{min^{-1}}$ :
$n_\text{con}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}$ ${}= \dfrac{9}{62}\cdot1\,000$ ${}= 145{,}2\ \mathrm{min^{-1}}$

Resultado $\omega_\text{con}=15{,}20\ \mathrm{rad/s}$ ( $145{,}2\ \mathrm{min^{-1}}$ ).

La pauta oficial da: $\omega_\text{con}=\tau\,\omega_\text{mot}=15{,}20\ \mathrm{rad/s}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Energía, consumo y emisiones

Se desea instalar pequeños aerogeneradores en una zona rural para dar suministro a una casa aislada con una demanda anual de $E_\text{casa}=500\ \mathrm{kW\,h}$ . En estos aerogeneradores, el rotor se conecta directamente al generador eléctrico sin necesidad de un multiplicador. El rendimiento del generador es $\eta_\text{gen}=1/3$ . Se obtiene energía 14 horas al día durante 250 días al año. Las siguientes gráficas muestran la potencia eléctrica generada $P_\text{útil}$ de un aerogenerador en función de la velocidad del viento $v$ y la potencia en el eje del rotor $P_\text{rotor}$ en función de la velocidad de giro $n$ de las palas.

Para el caso de estudio, se estima que la velocidad del viento en el punto de instalación es de $v=4$ m/s. Para estas condiciones, determine:

Dos gráficas. Izquierda: potencia eléctrica generada Pútil (W, de 20 a 80) en función de la velocidad del viento v (m/s, de 3 a 4,5); es una curva creciente que pasa por unos 21 W a 3 m/s, por 50 W a 4 m/s y por unos 71 W a 4,5 m/s. Derecha: potencia en el eje del rotor Protor (W, de 0 a 300) en función de la velocidad de giro n (min⁻¹, de 280 a 340); es una recta creciente que va de unos 20 W a 280 min⁻¹ hasta unos 280 W a 340 min⁻¹ y pasa por 150 W a 310 min⁻¹.

a) La potencia en el eje del rotor $P_\text{rotor}$ .

[0,5 puntos]

b) La velocidad angular de las palas $\omega$ y el par en el eje del rotor $\Gamma$ .

[1 punto]

c) La energía anual que suministra un aerogenerador $E_\text{sum}$ .

[0,5 puntos]

d) La cantidad $q$ de aerogeneradores que debería instalarse para dar servicio a la vivienda.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Potencia en el eje del rotor de un aerogenerador: se lee en la primera gráfica la potencia eléctrica para $v=4$ m/s y se divide entre el rendimiento del generador.

En la gráfica $P_\text{útil}$ – $v$ , en $v=4\ \mathrm{m/s}$ la curva pasa por la línea de $50\ \mathrm{W}$ :
$P_\text{útil}=50\ \mathrm{W}$
El rotor mueve directamente el generador (no hay multiplicador), así que la potencia en el eje del rotor es la que entra en el generador:
$P_\text{rotor}$ ${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\eta_\text{gen}}$ ${}= \dfrac{50\ \mathrm{W}}{1/3}$ ${}= 150\ \mathrm{W}$

Resultado $P_\text{rotor}=150\ \mathrm{W}$ .

La pauta oficial da: De la gráfica, $P_\text{útil}=50\ \mathrm{W}$ ; $P_\text{rot}=\dfrac{P_\text{útil}}{\eta}=150\ \mathrm{W}$

b)1 punto

Planteamiento Velocidad angular de las palas y par en el eje del rotor: con $P_\text{rotor}$ se lee la velocidad de giro en la segunda gráfica, y el par es la potencia dividida entre la velocidad angular.

En la gráfica $P_\text{rotor}$ – $n$ , la recta pasa por $150\ \mathrm{W}$ en la línea vertical de $310\ \mathrm{min^{-1}}$ :
$n=310\ \mathrm{min^{-1}}$
Velocidad angular de las palas:
$\omega$ ${}= n\,\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 310\cdot\dfrac{2\pi}{60}$ ${}= 32{,}46\ \mathrm{rad/s}$
Par en el eje del rotor:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{rotor}}{\omega}$ ${}= \dfrac{150\ \mathrm{W}}{32{,}46\ \mathrm{rad/s}}$ ${}= 4{,}621\ \mathrm{N\,m}$

Resultado $\omega=32{,}46\ \mathrm{rad/s}$ ( $n=310\ \mathrm{min^{-1}}$ ) y $\Gamma=4{,}621\ \mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: De la gráfica, $n=310\ \mathrm{min^{-1}}$ ; $\omega=32{,}46\ \mathrm{rad/s}$ ; $\Gamma=\dfrac{P_\text{rot}}{\omega}=4{,}621\ \mathrm{N\,m}$

c)0,5 puntos

Planteamiento Energía eléctrica anual de un aerogenerador: la potencia útil multiplicada por las horas de funcionamiento del año.

Horas de funcionamiento al año (14 horas al día durante 250 días):
$t=14\cdot250=3\,500\ \mathrm{h}$
Energía suministrada:
$E_\text{sum}$ ${}= P_\text{útil}\,t$ ${}= 50\ \mathrm{W}\cdot3\,500\ \mathrm{h}$ ${}= 175\,000\ \mathrm{W\,h}$ ${}= 175\ \mathrm{kW\,h}$
En megajulios ( $1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\ \mathrm{MJ}$ ):
$E_\text{sum}=175\cdot3{,}6\ \mathrm{MJ}=630{,}0\ \mathrm{MJ}$

Resultado $E_\text{sum}=175\ \mathrm{kW\,h}=630{,}0\ \mathrm{MJ}$ al año.

La pauta oficial da: $E_\text{sum}$ ${}= P_\text{útil}\,t$ ${}= 175\ \mathrm{kW\,h}$ ${}= 630{,}0\ \mathrm{MJ}$

d)0,5 puntos

Planteamiento Número de aerogeneradores: la demanda anual de la casa dividida entre la energía que da cada aerogenerador, redondeada hacia arriba.

Cociente entre la demanda y la energía de un aerogenerador:
$q$ ${}= \dfrac{E_\text{casa}}{E_\text{sum}}$ ${}= \dfrac{500\ \mathrm{kW\,h}}{175\ \mathrm{kW\,h}}$ ${}= 2{,}857$
No se puede instalar una fracción de aerogenerador, y con dos no bastaría ( $2\cdot175=350\ \mathrm{kW\,h}$ ): hay que redondear hacia arriba.

Resultado $q=3$ aerogeneradores (el cociente da $2{,}857$ ).

La pauta oficial da: $q=\dfrac{E_\text{casa}}{E_\text{sum}}=2{,}857\ \rightarrow\ 3$ aerogeneradores

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2023Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 6

2,5 puntosCoincide con la pauta

Una persona sentada en una silla de ruedas eléctrica avanza a una velocidad constante $v=4$ km/h por una pendiente ascendente del 10 %. La masa del conjunto formado por la persona y la silla es $m=240$ kg. La silla tiene dos ruedas motrices de diámetro $d=300$ mm con un motorreductor independiente cada una de ellas. En la situación de estudio, la silla avanza en línea recta, los dos motores consumen la misma potencia y las ruedas no se deslizan. El rendimiento de los motorreductores es $\eta=0{,}79$ y la fricción con el aire se considera despreciable. Determine:

a) La potencia mecánica en el eje de cada rueda $P_\text{mec}$ .

[1 punto]

b) El par en el eje de cada rueda $\Gamma$ .

[1 punto]

c) La potencia eléctrica total consumida $P_\text{cons}$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Potencia mecánica que tiene que dar cada rueda motriz para subir una pendiente a velocidad constante: la componente del peso paralela a la pendiente por la velocidad, repartida entre las dos ruedas.

Una pendiente del 10 % sube 10 m por cada 100 m en horizontal:
$\alpha=\arctan\dfrac{10}{100}=5{,}711^\circ$
Velocidad en m/s:
$v=\dfrac{4\ \mathrm{km/h}}{3{,}6}=1{,}111\ \mathrm{m/s}$
A velocidad constante y sin fricción con el aire, las ruedas tienen que empujar con una fuerza igual a la componente del peso paralela a la pendiente (con $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$ , ya que el enunciado no da su valor):
$F$ ${}= m\,g\sin\alpha$ ${}= 240\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}\cdot\sin5{,}711^\circ$ ${}= 234{,}2\ \mathrm{N}$
Potencia total, $F\,v$ , y potencia en el eje de cada rueda (las dos motrices hacen la mitad cada una):
$P_\text{mec}$ ${}= \dfrac{F\,v}{2}$ ${}= \dfrac{234{,}2\ \mathrm{N}\cdot1{,}111\ \mathrm{m/s}}{2}$ ${}= 130{,}1\ \mathrm{W}$

Resultado $P_\text{mec}=130{,}1\ \mathrm{W}$ en el eje de cada rueda.

La pauta oficial da: $\alpha=\arctan(10/100)=5{,}711^\circ$ ; $P_\text{mec}=\dfrac{m\,g\,v\sin\alpha}{2}=130{,}1\ \mathrm{W}$

b)1 punto

Planteamiento Par en el eje de cada rueda: la potencia mecánica dividida entre la velocidad angular de la rueda, que sale de la velocidad de la silla porque las ruedas no se deslizan.

Sin deslizamiento, la velocidad de la silla es la de la periferia de la rueda, de radio $d/2=0{,}15\ \mathrm{m}$ :
$\omega$ ${}= \dfrac{v}{d/2}$ ${}= \dfrac{1{,}111\ \mathrm{m/s}}{0{,}15\ \mathrm{m}}$ ${}= 7{,}407\ \mathrm{rad/s}$
Par en el eje de cada rueda:
$\Gamma$ ${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega}$ ${}= \dfrac{130{,}1\ \mathrm{W}}{7{,}407\ \mathrm{rad/s}}$ ${}= 17{,}56\ \mathrm{N\,m}$

Resultado $\Gamma=17{,}56\ \mathrm{N\,m}$ en el eje de cada rueda.

La pauta oficial da: $\omega=\dfrac{v}{d/2}$ ; $\Gamma=\dfrac{P_\text{mec}}{\omega}=17{,}56\ \mathrm{N\,m}$

c)0,5 puntos

Planteamiento Potencia eléctrica total: la potencia mecánica de las dos ruedas dividida entre el rendimiento de los motorreductores.

Las dos ruedas dan $2\,P_\text{mec}$ y cada motorreductor tiene rendimiento $\eta$ :
$P_\text{cons}$ ${}= \dfrac{2\,P_\text{mec}}{\eta}$ ${}= \dfrac{2\cdot130{,}1\ \mathrm{W}}{0{,}79}$ ${}= 329{,}4\ \mathrm{W}$

Resultado $P_\text{cons}=329{,}4\ \mathrm{W}$ .

La pauta oficial da: $P_\text{cons}=\dfrac{2\,P_\text{mec}}{\eta}=329{,}4\ \mathrm{W}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2023, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2023Convocatoria extraordinaria · Serie 2 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Estática y equilibrio

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2023 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Una canasta de básquet de masa $m_\mathrm{c} = 45\,\mathrm{kg}$ es solidaria a una barra homogénea OBC de longitud $2l = 4\,\mathrm{m}$ y masa $m_\mathrm{b} = 60\,\mathrm{kg}$ . El punto O está articulado al techo. El ángulo entre el techo y la barra está comprendido entre $15^\circ \le \varphi \le 45^\circ$ . Para plegar y desplegar la cesta se utiliza un mecanismo de tambor, de diámetro $d = 250\,\mathrm{mm}$ , en que un motor enrolla al tambor un cable que tiene el extremo fijo en él. El cable pasa por una polea situada en el techo en el punto P, de diámetro despreciable, y el otro extremo está fijado en el punto medio de la barra OBC (punto B). El centro de inercia de la canasta se encuentra en el punto C. En la posición desplegada, $\varphi = 45^\circ$ , el tablero se encuentra en el plano vertical y el cable BP es perpendicular a la barra OBC.

Barra OBC articulada al techo en el punto O, que baja hacia la derecha formando un ángulo φ con el techo. B es el punto medio (OB = l y BC = l) y en él está el centro de gravedad de la barra, de masa m_b; en el extremo C está el centro de inercia de la canasta, de masa m_c, dibujada con línea discontinua. Un cable va de B a la polea P del techo y sigue horizontal hasta el tambor. Recuadro de datos: m_b = 60 kg, m_c = 45 kg, l = 2 m, d = 250 mm. La gravedad g apunta hacia abajo.

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra OBC.

[0,5 puntos]

b) Determine:

La fuerza $T$ a la que está sometido el cable.

[0,5 puntos]

c) Las fuerzas vertical $F_\mathrm{V}$ y horizontal $F_\mathrm{H}$ en la articulación O.

[1 punto]

d) El par $\Gamma$ que debería realizar el motor para mantener la canasta en esta configuración.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre de la barra OBC en la posición desplegada ( $\varphi = 45^\circ$ ): la barra aislada con todas las fuerzas que actúan sobre ella, cada una en su punto de aplicación.

Peso de la barra, $m_\mathrm{b}\,g$ , vertical hacia abajo, aplicado en el punto medio B, que es su centro de gravedad porque la barra es homogénea.
Peso de la canasta, $m_\mathrm{c}\,g$ , vertical hacia abajo, aplicado en el punto C, donde está el centro de inercia de la canasta (la canasta es solidaria a la barra).
Tensión del cable, $T$ , aplicada en B en la dirección del cable BP: perpendicular a la barra y hacia la polea P, es decir, hacia arriba y hacia la derecha (un cable solo puede tirar).
Reacción de la articulación O, que puede tener cualquier dirección: se dibujan sus dos componentes, $F_\mathrm{H}$ horizontal y $F_\mathrm{V}$ vertical. Los cálculos del apartado c) dan $F_\mathrm{H}$ hacia la izquierda y $F_\mathrm{V}$ hacia arriba.
Distancias: $\mathrm{OB} = \mathrm{BC} = l = 2\,\mathrm{m}$ , y la barra forma un ángulo $\varphi = 45^\circ$ con el techo, que es horizontal.

ResultadoFuerzas sobre la barra OBC: $F_\mathrm{H}$ (hacia la izquierda) y $F_\mathrm{V}$ (hacia arriba) en O; $T$ perpendicular a la barra en B; los pesos $m_\mathrm{b}\,g$ en B y $m_\mathrm{c}\,g$ en C, verticales hacia abajo. Diagrama en la figura.

La pauta oficial da: Diagrama de cuerpo libre de la barra: $F_\mathrm{H}$ (hacia la izquierda) y $F_\mathrm{V}$ (hacia arriba) en O, $T$ perpendicular a la barra en B, $m_\mathrm{b}\,g$ en B y $m_\mathrm{c}\,g$ en C.

Diagrama de cuerpo libre de la barra OBC, que baja a φ = 45° por debajo de la horizontal que pasa por O. En O, la reacción de la articulación en componentes: F_H hacia la izquierda y F_V hacia arriba. En B, punto medio, la tensión T perpendicular a la barra, hacia arriba y hacia la derecha, y el peso de la barra m_b·g hacia abajo. En C, extremo de la barra, el peso de la canasta m_c·g hacia abajo. OB = BC = l.

b)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la tensión del cable. Las dos componentes de la reacción en O no se conocen, así que se toman momentos respecto a O: así no aparecen y queda una sola incógnita, $T$ .

Ecuación de momentos respecto a O (sentido antihorario positivo). $T$ es perpendicular a la barra y se aplica a la distancia $l$ de O, así que su brazo es $l$ . Los pesos son verticales y sus brazos son las distancias horizontales de O a B y a C, $l\cos\varphi$ y $2l\cos\varphi$ :
$\sum M_\mathrm{O}$ ${}= 0:\quad T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi$ ${}- m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi=0$
Despejando $T$ (la $l$ se simplifica):
$T = g\cos\varphi\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})$
Sustituyendo con $\varphi = 45^\circ$ (el enunciado no da $g$ ; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ; con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ todos los resultados de este ejercicio cambian en la cuarta cifra):
$T$ ${}= 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\cos 45^\circ\cdot(60 + 2\cdot 45)\,\mathrm{kg}$ ${}= 1\,040\,\mathrm{N}$

Resultado $T = 1\,040\,\mathrm{N}$ .

La pauta oficial da: $\sum M(\mathrm{O}) = 0$ : $T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi - m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi = 0$ ; con $\varphi = 45^\circ$ , $T = 1\,040\,\mathrm{N}$ .

c)1 punto

Planteamiento Se piden las dos componentes de la reacción en la articulación O. Se aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas horizontales y verticales, con la tensión $T$ del apartado anterior.

Dirección de $T$ : es perpendicular a la barra, que baja a $45^\circ$ , y por tanto forma $45^\circ$ con la horizontal, hacia arriba y hacia la derecha. Sus dos componentes son iguales:
$T\sin 45^\circ$ ${}= T\cos 45^\circ$ ${}= g\cos^2 45^\circ\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})$ ${}= 9{,}807\cdot 0{,}5\cdot 150\,\mathrm{N}$ ${}= 735{,}5\,\mathrm{N}$
Equilibrio horizontal, con $F_\mathrm{H}$ supuesta hacia la izquierda:
$\sum F_x$ ${}= 0:\quad T\sin 45^\circ - F_\mathrm{H}=0$ ${}\Rightarrow F_\mathrm{H}$ ${}= 735{,}5\,\mathrm{N}$
Equilibrio vertical, con $F_\mathrm{V}$ supuesta hacia arriba:
$\sum F_y$ ${}= 0:\quad F_\mathrm{V} + T\cos 45^\circ$ ${}- m_\mathrm{b}\,g - m_\mathrm{c}\,g=0$
Despejando $F_\mathrm{V}$ :
$F_\mathrm{V}$ ${}= (60 + 45)\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ${}- 735{,}5\,\mathrm{N}$ ${}= 1\,029{,}7\,\mathrm{N} - 735{,}5\,\mathrm{N}$ ${}= 294{,}2\,\mathrm{N}$
Los dos valores salen positivos: los sentidos supuestos son los correctos. La articulación empuja la barra hacia la izquierda con $735{,}5\,\mathrm{N}$ y la sostiene hacia arriba con $294{,}2\,\mathrm{N}$ .

Resultado $F_\mathrm{H} = 735{,}5\,\mathrm{N}$ , hacia la izquierda, y $F_\mathrm{V} = 294{,}2\,\mathrm{N}$ , hacia arriba.

La pauta oficial da: $F_\mathrm{H} = T\sqrt{2}/2 = 735{,}5\,\mathrm{N}$ ; $F_\mathrm{V}$ ${}= g\,(m_\mathrm{b} + m_\mathrm{c}) - T\sqrt{2}/2$ ${}= 294{,}2\,\mathrm{N}$ .

d)0,5 puntos

Planteamiento Se pide el par que debe hacer el motor del tambor para mantener la canasta quieta. La polea P se considera ideal, de modo que la tensión del cable es la misma $T$ hasta el tambor, y el cable se enrolla a una distancia del eje igual al radio del tambor.

Radio del tambor: $r = d/2 = 125\,\mathrm{mm} = 0{,}125\,\mathrm{m}$ . El par es la tensión por el radio:
$\Gamma$ ${}= T\,\frac{d}{2}=1\,040\,\mathrm{N}\cdot 0{,}125\,\mathrm{m}$ ${}= 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $\Gamma = 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$ .

La pauta oficial da: $\Gamma = T\,d/2 = 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$ .

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2023, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 2 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Energía, consumo y emisiones, Materiales y ensayos, Circuitos eléctricos

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 1 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Indique la respuesta correcta de cada cuestión. Responda en la tabla de la página 3. En el caso de que no indique las respuestas en la tabla, las cuestiones se considerarán no contestadas.

[En cada cuestión solo puede elegirse UNA respuesta. Cuestión bien contestada: 0,5 puntos; cuestión mal contestada: –0,16 puntos; cuestión no contestada: 0 puntos.]

1.1 Para realizar un ensayo de Charpy se utiliza un péndulo de $1\,\mathrm{m}$ de longitud que en el extremo tiene una masa de $22\,\mathrm{kg}$ . Se usa una probeta con una entalla en forma de U y una sección de $80\,\mathrm{mm^2}$ . En el instante inicial, el péndulo se encuentra en posición horizontal (la barra del péndulo es paralela al suelo), y después de chocar contra la probeta en el punto más bajo de su trayectoria, su extremo se eleva $250\,\mathrm{mm}$ . ¿Cuánta energía se ha absorbido en el choque?

a) $202{,}3\,\mathrm{J}$

b) $215{,}7\,\mathrm{J}$

c) $53{,}94\,\mathrm{J}$

d) $161{,}8\,\mathrm{J}$

[0,5 puntos]

1.2 Una resistencia eléctrica normalizada de $390\,\Omega$ cuyo valor puede estar comprendido entre $382{,}2\,\Omega$ y $397{,}8\,\Omega$ tiene una tolerancia del

a) $\pm 1$ %.

b) $\pm 2$ %.

c) $\pm 5$ %.

d) $\pm 10$ %.

[0,5 puntos]

1.3 Un automóvil emite $157{,}8\,\mathrm{g}$ de $\mathrm{CO_2}$ por cada kilómetro recorrido en vías interurbanas. Semanalmente gasta un depósito de $60\,\mathrm{L}$ de gasoil en estos recorridos y tiene un consumo medio de $5{,}6\,\mathrm{L/(100\,km)}$ . ¿Cuál es la huella de carbono que dejará en la atmósfera en una semana?

a) $169{,}1\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

b) $169{,}1$ toneladas de $\mathrm{CO_2}$

c) $1{,}691\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

d) $16{,}91\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$

[0,5 puntos]

1.4 ¿Con qué unidades puede expresarse la potencia eléctrica consumida en un instante determinado en un hogar?

a) $\mathrm{kW/h}$

b) $\mathrm{kW\cdot h}$

c) $\mathrm{kW}$

d) $\mathrm{kJ\cdot s}$

[0,5 puntos]

1.5 Un tren de engranajes se conecta entre los ejes de un motor eléctrico y de una rueda. Dispone de 4 ruedas dentadas de $z_1 = 14$ , $z_2 = 48$ , $z_3 = 16$ y $z_4 = 25$ dientes como se observa en la figura. Determine la relación de transmisión $\omega_{\text{rueda}}/\omega_{\text{motor}}$ .

a) $0{,}186\,7$

b) $5{,}357$

c) $0{,}291\,7$

d) $0{,}411\,0$

[0,5 puntos]

Cuestión 5. Esquema del tren de engranajes: a la derecha, el motor con la rueda dentada z1 en su eje; z1 engrana con la rueda grande z2; z2 y z3 están unidas por el mismo eje; z3 engrana con z4, y z4 está unida por un eje a la rueda (a la izquierda). Dientes: z1 = 14, z2 = 48, z3 = 16, z4 = 25.

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.10,5 puntos

Planteamiento Ensayo de Charpy: la energía que absorbe la probeta al romperse es la energía potencial que pierde el péndulo entre la posición inicial y la altura a la que llega después del choque.

Tomamos como referencia de alturas el punto más bajo de la trayectoria. Al principio el péndulo está horizontal, de modo que el extremo está una longitud de péndulo por encima de ese punto: $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ . Después del choque sube hasta $h_1 = 250\,\mathrm{mm} = 0{,}25\,\mathrm{m}$ . El enunciado no da el valor de $g$ : usamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ .
La energía absorbida es la diferencia de energía potencial entre las dos posiciones:
$E$ ${}= m\,g\,(h_0 - h_1)$ ${}= 22\cdot 9{,}807\cdot (1 - 0{,}25)$ ${}= 161{,}8\,\mathrm{J}$
La sección de la probeta ( $80\,\mathrm{mm^2}$ ) no hace falta para la energía; serviría para calcular la resiliencia, que es la energía absorbida por unidad de sección.
Por qué no las otras: b) es, salvo el redondeo, toda la energía potencial inicial, $m\,g\,h_0 \approx 215{,}8\,\mathrm{J}$ ; c) es la energía que aún tiene el péndulo después del choque, $m\,g\,h_1 = 53{,}94\,\mathrm{J}$ ; a) no corresponde a ninguna de esas energías. Con $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $161{,}9\,\mathrm{J}$ y la opción más próxima sigue siendo la d).

ResultadoRespuesta d): $E = 161{,}8\,\mathrm{J}$ .

La pauta oficial da: Respuesta d).

1.20,5 puntos

Planteamiento Tolerancia de una resistencia: es la desviación máxima admitida respecto del valor nominal, expresada en porcentaje de ese valor.

Desviación por arriba y por abajo respecto de los $390\,\Omega$ nominales:
$397{,}8 - 390 = 7{,}8\,\Omega$ $390 - 382{,}2 = 7{,}8\,\Omega$
En porcentaje del valor nominal:
$\frac{7{,}8\,\Omega}{390\,\Omega}\cdot 100 = 2\,\%$
La resistencia es, por tanto, de $390\,\Omega \pm 2$ %. Las otras tolerancias darían márgenes de $\pm 3{,}9\,\Omega$ (1 %), $\pm 19{,}5\,\Omega$ (5 %) o $\pm 39\,\Omega$ (10 %), que no coinciden con el intervalo del enunciado.

ResultadoRespuesta b): tolerancia del $\pm 2$ %.

La pauta oficial da: Respuesta b).

1.30,5 puntos

Planteamiento Huella de carbono semanal de un coche: hay que saber cuántos kilómetros hace en una semana con el gasoil que gasta y multiplicarlos por las emisiones por kilómetro.

Kilómetros de la semana, a partir del depósito de $60\,\mathrm{L}$ y del consumo de $5{,}6\,\mathrm{L}$ cada $100\,\mathrm{km}$ :
$d$ ${}= \frac{60\,\mathrm{L}}{5{,}6\,\mathrm{L}/(100\,\mathrm{km})}$ ${}= 1\,071{,}4\,\mathrm{km}$
Emisiones de la semana, a $157{,}8\,\mathrm{g}$ de $\mathrm{CO_2}$ por kilómetro:
$m_{\mathrm{CO_2}}$ ${}= 1\,071{,}4\,\mathrm{km}\cdot 157{,}8\,\mathrm{g/km}$ ${}= 1{,}691\cdot 10^{5}\,\mathrm{g}$ ${}= 169{,}1\,\mathrm{kg}$
Por qué no las otras: b) da el mismo número en toneladas, mil veces más; c) y d) son cien y diez veces más pequeñas que el resultado.

ResultadoRespuesta a): $169{,}1\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.40,5 puntos

Planteamiento Unidades de potencia y de energía eléctrica: la potencia consumida en un instante es energía por unidad de tiempo.

La potencia se mide en vatios ( $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J/s}$ ) o en sus múltiplos, como el kilovatio: la respuesta es el $\mathrm{kW}$ .
El $\mathrm{kW\cdot h}$ es una unidad de energía (la que se consume durante una hora a $1\,\mathrm{kW}$ ), la que factura la compañía eléctrica, no una potencia. El $\mathrm{kW/h}$ sería una potencia dividida por un tiempo, y el $\mathrm{kJ\cdot s}$ una energía multiplicada por un tiempo: ninguna de las dos es una potencia.

ResultadoRespuesta c): $\mathrm{kW}$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

1.50,5 puntos

Planteamiento Tren de engranajes compuesto de dos etapas: la relación de transmisión total es el producto de las relaciones de cada etapa, y en cada pareja de engranajes las velocidades angulares son inversamente proporcionales a los números de dientes.

En la figura, $z_1$ está en el eje del motor y engrana con $z_2$ ; $z_2$ y $z_3$ comparten eje; $z_3$ engrana con $z_4$ , que está en el eje de la rueda.
Primera etapa (eje del motor → eje intermedio):
$\frac{\omega_2}{\omega_{\text{motor}}}$ ${}= \frac{z_1}{z_2}$ ${}= \frac{14}{48}=0{,}2917$
Segunda etapa (eje intermedio → eje de la rueda):
$\frac{\omega_{\text{rueda}}}{\omega_2} = \frac{z_3}{z_4} = \frac{16}{25} = 0{,}64$
Relación total, producto de las dos:
$\frac{\omega_{\text{rueda}}}{\omega_{\text{motor}}}$ ${}= \frac{z_1\,z_3}{z_2\,z_4}$ ${}= \frac{14\cdot 16}{48\cdot 25}$ ${}= 0{,}1867$
Por qué no las otras: b) $5{,}357$ es la relación inversa, $\omega_{\text{motor}}/\omega_{\text{rueda}}$ ; c) $0{,}2917$ es solo la primera etapa; d) $0{,}4110$ sale de dividir sumas de dientes, $(14 + 16)/(48 + 25)$ , que no es ninguna relación de transmisión.

ResultadoRespuesta a): $\omega_{\text{rueda}}/\omega_{\text{motor}} = 0{,}1867$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 2 · Ejercicio 4

2,5 puntosCoincide con la pauta

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 4 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Un volante con un momento de inercia alrededor de su eje $I = 0{,}9\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ gira a $n_0 = 5\,000\,\mathrm{min^{-1}}$ gracias a la acción de un motor. Se desconecta el motor y se observa que el volante tarda $t = 1\,\mathrm{min}$ a quedarse en reposo debido a un par de fricción que se supone constante. Determine:

a) La aceleración angular del volante $\alpha$ .

[0,5 puntos]

b) El número de vueltas $n$ que dará el volante antes de pararse.

[1 punto]

c) La energía mecánica disipada en este proceso $E_{\text{dis}}$ .

[1 punto]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Movimiento circular uniformemente decelerado: el par de fricción es constante, así que la velocidad angular del volante baja de manera uniforme desde $\omega_0$ hasta cero en $t = 1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$ .

Velocidad angular inicial en unidades del SI (una vuelta son $2\pi\,\mathrm{rad}$ y un minuto, $60\,\mathrm{s}$ ):
$\omega_0$ ${}= n_0\,\frac{2\pi}{60}$ ${}= 5\,000\cdot\frac{2\pi}{60}$ ${}= 523{,}6\,\mathrm{rad/s}$
Aceleración angular, con velocidad final $\omega_{\text{f}} = 0$ :
$\alpha$ ${}= \frac{\omega_{\text{f}} - \omega_0}{t}$ ${}= \frac{0 - 523{,}6\,\mathrm{rad/s}}{60\,\mathrm{s}}$ ${}= -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$
El signo negativo indica que el volante frena.

Resultado $\alpha = -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$ (el volante frena con una deceleración de $8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$ ).

La pauta oficial da: $\alpha = -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$

b)1 punto

Planteamiento Ángulo que gira el volante hasta pararse, en un movimiento uniformemente decelerado, y número de vueltas que le corresponde.

Ángulo girado en los $60\,\mathrm{s}$ de frenada:
$\theta$ ${}= \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2$ ${}= 523{,}6\cdot 60$ ${}- \tfrac{1}{2}\cdot 8{,}727\cdot 60^2$ ${}= 1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}$
Cada vuelta son $2\pi$ radianes:
$n$ ${}= \frac{\theta}{2\pi}=\frac{1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$ ${}= 2\,500\ \text{vueltas}$
Comprobación: como la velocidad baja uniformemente, la velocidad media es la mitad de la inicial, $2\,500\,\mathrm{min^{-1}}$ , y en $1\,\mathrm{min}$ el volante da $2\,500$ vueltas.

Resultado $n = 2\,500$ vueltas (un ángulo de $1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}$ ).

La pauta oficial da: Ángulo girado $15{,}71\cdot 10^{3}\,\mathrm{rad}$ ; $n = 2\,500$ vueltas

c)1 punto

Planteamiento Energía mecánica disipada por la fricción: toda la energía cinética de rotación que tenía el volante se pierde hasta que se para.

Energía cinética de rotación inicial (la final es cero, porque el volante se para):
$E_{\text{dis}}$ ${}= \tfrac{1}{2}\,I\,\omega_0^2$ ${}= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot (523{,}6\,\mathrm{rad/s})^2$ ${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$
Comprobación por el trabajo del par de fricción: $\Gamma_{\text{f}}$ ${}= I\,|\alpha|$ ${}= 0{,}9\cdot 8{,}727$ ${}= 7{,}854\,\mathrm{N\,m}$ , y su trabajo a lo largo del ángulo girado es $\Gamma_{\text{f}}\,\theta$ ${}= 7{,}854\cdot 1{,}571\cdot 10^{4}$ ${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$ , el mismo valor.

Resultado $E_{\text{dis}} = 123{,}4\,\mathrm{kJ}$

La pauta oficial da: $E_{\text{dis}}$ ${}= \tfrac{1}{2}\,I\,(\omega_0^2 - \omega_{\text{f}}^2)$ ${}= 123{,}4\,\mathrm{kJ}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2022Convocatoria ordinaria · Serie 2 · Ejercicio 5

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Estática y equilibrio

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 5 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

El sistema de la figura permite manipular una barra de longitud $2L$ mediante un motor que se une a un tambor de diámetro $d = 450\,\mathrm{mm}$ donde se enrolla el cable. La barra, que es homogénea y tiene una masa $m = 50\,\mathrm{kg}$ , se encuentra articulada en el punto O, el cual está fijado al suelo. El resto de elementos son de masa despreciable. En la posición mostrada en la figura, el sistema está en equilibrio estático y $\alpha = \varphi = 30^\circ$ .

Barra OA de longitud 2L (dos tramos L), articulada al suelo en O, a la derecha, e inclinada hacia arriba y hacia la izquierda formando un ángulo φ con la horizontal; el centro de masas está en el punto medio. Del extremo A sale un cable hacia arriba y hacia la derecha, a un ángulo α con la horizontal, que pasa por una polea fija y baja hasta un tambor de diámetro d. Recuadro de datos: m = 50 kg, L = 1 m, d = 450 mm; g hacia abajo.

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra OA.

[0,5 puntos]

b) Determine:

La fuerza $T$ a la que está sometido el cable.

[0,5 puntos]

c) Las fuerzas vertical $F_{\text{V}}$ y horizontal $F_{\text{H}}$ en la articulación O.

[1 punto]

d) El par $\Gamma$ que suministra el motor.

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Diagrama de cuerpo libre de la barra OA: se dibujan todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la barra, cada una en su punto de aplicación y con su dirección.

Peso $m\,g$ , vertical y hacia abajo, aplicado en el centro de la barra G (la barra es homogénea), a una distancia $L$ de O y de A.
Fuerza del cable $T$ , aplicada en A en la dirección del cable: hacia arriba y hacia la derecha, formando $\alpha = 30^\circ$ con la horizontal. Un cable solo puede tirar.
Reacción de la articulación O, desconocida, descompuesta en una componente horizontal $F_{\text{H}}$ y una vertical $F_{\text{V}}$ . Se dibujan en el sentido que se supone; los cálculos del apartado c confirman que $F_{\text{H}}$ va hacia la izquierda y $F_{\text{V}}$ hacia arriba.
La barra forma $\varphi = 30^\circ$ con la horizontal. Como el cable forma $30^\circ$ con la horizontal por el lado contrario de la barra, el ángulo entre el cable y la barra en A es de $60^\circ$ . La figura muestra el diagrama.

ResultadoTres fuerzas sobre la barra: el peso $m\,g$ en el centro G (hacia abajo), la tensión $T$ en A (en la dirección del cable, a $30^\circ$ por encima de la horizontal) y la reacción en O, con componentes $F_{\text{H}}$ y $F_{\text{V}}$ (figura).

La pauta oficial da: Diagrama con $T$ en A, $m\,g$ en el centro de la barra y las reacciones $F_{\text{H}}$ (hacia la izquierda) y $F_{\text{V}}$ (hacia arriba) en O.

Diagrama de cuerpo libre de la barra OA, inclinada 30° sobre la horizontal: en A, la tensión T hacia arriba y hacia la derecha a 30° de la horizontal; en el centro G, el peso m g hacia abajo; en O, la reacción horizontal F_H hacia la izquierda y la vertical F_V hacia arriba. Los dos tramos de la barra miden L.

b)0,5 puntos

Planteamiento Fuerza del cable a partir del equilibrio de momentos de la barra respecto de la articulación O: así las reacciones $F_{\text{H}}$ y $F_{\text{V}}$ no intervienen y la única incógnita es $T$ .

Brazo del peso respecto de O: la distancia horizontal entre O y el centro G, $L\cos\varphi$ .
Brazo de la tensión respecto de O: la distancia de O a la recta del cable. El cable forma $60^\circ$ con la barra y A está a $2L$ de O, así que el brazo es $2L\sin 60^\circ$ .
Ecuación de momentos respecto de O (el peso tiende a hacer girar la barra hacia un lado y el cable hacia el otro):
$\sum M_{\text{O}}$ ${}= 0:\quad T\cdot 2L\sin 60^\circ$ ${}- m\,g\,L\cos 30^\circ=0$
Como $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$ , queda $T = m\,g/2$ . El enunciado no da $g$ ; con $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ :
$T$ ${}= \frac{m\,g}{2}=\frac{50\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{2}$ ${}= 245{,}2\,\mathrm{N}$

Resultado $T = 245{,}2\,\mathrm{N}$

La pauta oficial da: $\sum M_{\text{O}} = 0$ : $T\cos 30^\circ\cdot 2L - m\,g\cos 30^\circ\,L = 0$ , $T = m\,g/2 = 245{,}2\,\mathrm{N}$

c)1 punto

Planteamiento Reacciones en la articulación O a partir del equilibrio de fuerzas de la barra en horizontal y en vertical, con la $T$ del apartado anterior. Tomamos positivo hacia la derecha y hacia arriba.

Componentes de la tensión:
$T\cos 30^\circ$ ${}= 245{,}2\cdot 0{,}8660$ ${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$ $T\sin 30^\circ = 245{,}2\cdot 0{,}5 = 122{,}6\,\mathrm{N}$
Fuerzas horizontales: solo están la componente horizontal del cable, hacia la derecha, y $F_{\text{H}}$ , que por tanto debe ir hacia la izquierda:
$\sum F_x$ ${}= 0:\quad T\cos 30^\circ - F_{\text{H}}=0$ ${}\Rightarrow F_{\text{H}}$ ${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$
Fuerzas verticales, con el peso $m\,g = 50\cdot 9{,}807 = 490{,}4\,\mathrm{N}$ :
$\sum F_y$ ${}= 0:\quad T\sin 30^\circ + F_{\text{V}}$ ${}- m\,g=0$ ${}\Rightarrow F_{\text{V}}$ ${}= 490{,}4 - 122{,}6$ ${}= 367{,}8\,\mathrm{N}$
Como $T = m\,g/2$ , también puede escribirse $F_{\text{H}} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,m\,g$ y $F_{\text{V}} = \tfrac{3}{4}\,m\,g$ .

Resultado $F_{\text{H}} = 212{,}3\,\mathrm{N}$ hacia la izquierda y $F_{\text{V}} = 367{,}8\,\mathrm{N}$ hacia arriba.

La pauta oficial da: $F_{\text{H}} = T\sqrt{3}/2 = 212{,}3\,\mathrm{N}$ ; $F_{\text{V}} = 3\,m\,g/4 = 367{,}8\,\mathrm{N}$

d)0,5 puntos

Planteamiento Par del motor: el cable pasa por la polea fija, que suponemos sin fricción, y se enrolla en el tambor, de modo que tira de él con la misma fuerza $T$ a una distancia igual al radio del tambor.

Radio del tambor: $d/2$ ${}= 450\,\mathrm{mm}/2$ ${}= 225\,\mathrm{mm}$ ${}= 0{,}225\,\mathrm{m}$ .
Par, con $T = m\,g/2$ sin redondear:
$\Gamma$ ${}= T\,\frac{d}{2}=\frac{m\,g\,d}{4}$ ${}= \frac{50\cdot 9{,}807\cdot 0{,}45}{4}$ ${}= 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

Resultado $\Gamma = 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

La pauta oficial da: $\Gamma = T\,d/2 = 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 1

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Energía, consumo y emisiones, Materiales y ensayos, Medida, tolerancias y ajustes

Indique la respuesta correcta de cada cuestión. Responda en la tabla de la página 3. En el caso de que no indique las respuestas en la tabla, las cuestiones se considerarán no contestadas.

[En cada cuestión solo puede elegirse UNA respuesta. Cuestión bien contestada: 0,5 puntos; cuestión mal contestada: –0,16 puntos; cuestión no contestada: 0 puntos.]

1.1 La resistencia a la tracción de una aleación de titanio es de $325\,\mathrm{MPa}$ . Si se desea utilizar una barra cilíndrica de este material para aguantar una fuerza de tracción de $20\,\mathrm{kN}$ , ¿qué diámetro mínimo debe tener la barra para que no se rompa?

a) $6{,}154\,\mathrm{mm}$

b) $14{,}38\,\mathrm{mm}$

c) $8{,}852\,\mathrm{mm}$

d) $6{,}259\,\mathrm{mm}$

[0,5 puntos]

1.2 Si se tiene un ajuste 90 H7/k6, la tolerancia H7 del agujero es de $\left(\begin{smallmatrix}35\\0\end{smallmatrix}\right)\,\mu\mathrm{m}$ y la tolerancia k6 del eje es de $\left(\begin{smallmatrix}25\\3\end{smallmatrix}\right)\,\mu\mathrm{m}$ , se puede afirmar que

a) el juego máximo es de $35\,\mu\mathrm{m}$ .

b) el juego máximo es de $32\,\mu\mathrm{m}$ .

c) el apriete máximo es de $3\,\mu\mathrm{m}$ .

d) el apriete máximo es de $32\,\mu\mathrm{m}$ .

[0,5 puntos]

1.3 Un complejo polideportivo tiene un consumo térmico de $382{,}8\,\mathrm{MW\,h}$ anuales, que se cubren inicialmente con una caldera que utiliza gas natural (de poder calorífico $11{,}79\,\mathrm{kW\,h/m^3}$ ). El factor de emisión del gas natural es de $2{,}15\,\mathrm{kg\,CO_2/m^3}$ . Se decide hacer una instalación de energía solar térmica para la obtención de agua caliente sanitaria y para la climatización de la piscina cubierta que supone una producción de $79\,\mathrm{MW\,h}/\text{año}$ . ¿Cuál es el ahorro de emisiones anuales que generará el complejo polideportivo?

a) $14{,}41$ toneladas de $\mathrm{CO_2}$

b) $69{,}81$ toneladas de $\mathrm{CO_2}$

c) $55{,}40$ toneladas de $\mathrm{CO_2}$

d) $20{,}03$ toneladas de $\mathrm{CO_2}$

[0,5 puntos]

1.4 Un sólido de masa $m = 5\,\mathrm{kg}$ está unido mediante un cable al centro de una polea móvil de radio $R_2 = 50\,\mathrm{mm}$ . Una cuerda ideal pasa por una polea de radio $R_1 = 100\,\mathrm{mm}$ articulada en el techo y después por la polea móvil hasta que se une al centro de la polea fija. En el extremo de esta cuerda se aplica una fuerza $F$ . ¿Cuál debe ser esta fuerza $F$ para mantener el conjunto en reposo?

a) $49{,}04\,\mathrm{N}$

b) $12{,}25\,\mathrm{N}$

c) $6{,}129\,\mathrm{N}$

d) $24{,}52\,\mathrm{N}$

[0,5 puntos]

Cuestión 4. Polea fija de radio R1 colgada del techo y polea móvil de radio R2 debajo, con el sólido colgado de su centro. La cuerda baja por la izquierda de la polea fija, donde se aplica la fuerza F hacia abajo; por la derecha baja hasta la polea móvil, la rodea por debajo y sube hasta el centro de la polea fija. g hacia abajo.

1.5 Se utilizan $500\,\mathrm{g}$ de carbón de poder calorífico $23{,}6\,\mathrm{MJ/kg}$ para calentar $100\,\mathrm{L}$ de agua. ¿Cuál es el incremento de temperatura que se producirá? El calor específico del agua es $c_{\text{e}} = 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}$ .

a) $28{,}23\,^\circ\mathrm{C}$

b) $2{,}823\,^\circ\mathrm{C}$

c) $282{,}3\,^\circ\mathrm{C}$

d) $49{,}32\,^\circ\mathrm{C}$

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

1.10,5 puntos

Planteamiento Resistencia a la tracción: la barra no se rompe mientras la tensión $\sigma = F/A$ no supere la resistencia a la tracción del material; de ahí sale la sección mínima y, de ella, el diámetro mínimo.

Datos en unidades del SI: $F = 20\,\mathrm{kN} = 2\cdot 10^{4}\,\mathrm{N}$ y $\sigma_{\text{R}} = 325\,\mathrm{MPa} = 3{,}25\cdot 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ .
Sección mínima:
$A_{\text{mín}}$ ${}= \frac{F}{\sigma_{\text{R}}}$ ${}= \frac{2\cdot 10^{4}\,\mathrm{N}}{3{,}25\cdot 10^{8}\,\mathrm{Pa}}$ ${}= 6{,}154\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m^2}$ ${}= 61{,}54\,\mathrm{mm^2}$
La sección de una barra cilíndrica es $A = \pi\,d^2/4$ ; despejando el diámetro:
$d_{\text{mín}}$ ${}= \sqrt{\frac{4\,A_{\text{mín}}}{\pi}}$ ${}= \sqrt{\frac{4\cdot 61{,}54\,\mathrm{mm^2}}{\pi}}$ ${}= 8{,}852\,\mathrm{mm}$
Por qué no las otras: a) $6{,}154$ son las cifras de la sección mínima expresada en $10^{-5}\,\mathrm{m^2}$ , no un diámetro; con d) $6{,}259\,\mathrm{mm}$ la sección sería la mitad de la mínima y la tensión, de $650\,\mathrm{MPa}$ , rompería la barra; con b) $14{,}38\,\mathrm{mm}$ la barra aguantaría, pero no es el diámetro mínimo.

ResultadoRespuesta c): $d_{\text{mín}} = 8{,}852\,\mathrm{mm}$ .

La pauta oficial da: Respuesta c).

1.20,5 puntos

Planteamiento Ajuste ISO entre agujero y eje: con las desviaciones de cada pieza se calculan el juego máximo (agujero en su medida mayor y eje en la menor) y el apriete máximo (eje en su medida mayor y agujero en la menor).

La notación $\left(\begin{smallmatrix}35\\0\end{smallmatrix}\right)\,\mu\mathrm{m}$ da la desviación superior (arriba) y la inferior (abajo) respecto de la medida nominal de $90\,\mathrm{mm}$ . Agujero H7: de $0$ a $+35\,\mu\mathrm{m}$ . Eje k6: de $+3$ a $+25\,\mu\mathrm{m}$ .
Juego máximo: agujero en su medida máxima y eje en la mínima:
$J_{\text{máx}} = 35\,\mu\mathrm{m} - 3\,\mu\mathrm{m} = 32\,\mu\mathrm{m}$
Apriete máximo: eje en su medida máxima y agujero en la mínima:
$A_{\text{máx}} = 25\,\mu\mathrm{m} - 0\,\mu\mathrm{m} = 25\,\mu\mathrm{m}$
Es un ajuste indeterminado: según las piezas que se combinen queda juego (hasta $32\,\mu\mathrm{m}$ ) o apriete (hasta $25\,\mu\mathrm{m}$ ). Solo la afirmación b) es cierta: a) da como juego máximo la anchura de la tolerancia del agujero, $35\,\mu\mathrm{m}$ , y c) y d) no coinciden con el apriete máximo, que es de $25\,\mu\mathrm{m}$ .

ResultadoRespuesta b): el juego máximo es de $32\,\mu\mathrm{m}$ (el apriete máximo es de $25\,\mu\mathrm{m}$ ).

La pauta oficial da: Respuesta b).

1.30,5 puntos

Planteamiento Emisiones de $\mathrm{CO_2}$ que se ahorran con una instalación solar térmica: la energía que aporta el sol ya no hay que obtenerla quemando gas natural, y el gas que no se quema no emite $\mathrm{CO_2}$ .

Volumen de gas que se deja de quemar cada año, con $79\,\mathrm{MW\,h} = 79\,000\,\mathrm{kW\,h}$ (el enunciado no da el rendimiento de la caldera, así que se toma toda la energía del gas como calor útil):
$V$ ${}= \frac{79\,000\,\mathrm{kW\,h}}{11{,}79\,\mathrm{kW\,h/m^3}}$ ${}= 6\,701\,\mathrm{m^3}$
Emisiones ahorradas, con el factor de emisión del gas:
$m_{\mathrm{CO_2}}$ ${}= 6\,701\,\mathrm{m^3}\cdot 2{,}15\,\mathrm{kg/m^3}$ ${}= 1{,}441\cdot 10^{4}\,\mathrm{kg}$ ${}= 14{,}41\,\mathrm{t}$
Por qué no las otras: b) $69{,}81\,\mathrm{t}$ son las emisiones de todo el consumo térmico cubierto con gas, antes de la instalación solar; c) $55{,}40\,\mathrm{t}$ son las que quedan después, cuando el gas solo cubre $382{,}8 - 79 = 303{,}8\,\mathrm{MW\,h}$ . El ahorro es la diferencia entre ambas: $69{,}81 - 55{,}40 = 14{,}41\,\mathrm{t}$ . La d), $20{,}03\,\mathrm{t}$ , no es ninguna de estas tres cantidades.

ResultadoRespuesta a): $14{,}41$ toneladas de $\mathrm{CO_2}$ al año.

La pauta oficial da: Respuesta a).

1.40,5 puntos

Planteamiento Polea fija y polea móvil (un polipasto sencillo): hay que ver cuántos tramos de cuerda sostienen la polea móvil y aplicar el equilibrio de fuerzas.

La cuerda es ideal y las poleas giran libremente, de modo que toda la cuerda tiene la misma tensión, igual a la fuerza $F$ que se aplica en el extremo.
Siguiendo la cuerda de la figura: sube desde $F$ , pasa por la polea fija, baja hasta la polea móvil, la rodea por debajo y vuelve a subir hasta el centro de la polea fija. Por tanto, la polea móvil cuelga de dos tramos de cuerda, y cada uno tira de ella hacia arriba con una fuerza $F$ .
Equilibrio vertical de la polea móvil con el sólido (el enunciado no da la masa de las poleas, así que se consideran ligeras; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ):
$2\,F - m\,g=0$ ${}\Rightarrow F=\frac{m\,g}{2}$ ${}= \frac{5\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{2}$ ${}= 24{,}52\,\mathrm{N}$
Los radios $R_1$ y $R_2$ no intervienen: la tensión es la misma a ambos lados de cada polea y sus momentos se anulan. Por qué no las otras: a) $49{,}04\,\mathrm{N}$ es el peso entero $m\,g$ , la fuerza que haría falta sin la polea móvil; b) y c) son aproximadamente la cuarta y la octava parte del peso, que corresponderían a más tramos de cuerda de los que hay en la figura.

ResultadoRespuesta d): $F = 24{,}52\,\mathrm{N}$ .

La pauta oficial da: Respuesta d).

1.50,5 puntos

Planteamiento Calor que desprende la combustión del carbón y calentamiento del agua: todo el calor del carbón se usa para calentar el agua, porque el enunciado no da ningún rendimiento.

Calor que desprende el carbón, masa por poder calorífico $PC$ :
$Q$ ${}= m_{\text{carbón}}\cdot PC$ ${}= 0{,}5\,\mathrm{kg}\cdot 23{,}6\,\mathrm{MJ/kg}$ ${}= 11{,}8\,\mathrm{MJ}$ ${}= 1{,}18\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$
Masa de agua: $100\,\mathrm{L}$ de agua son $100\,\mathrm{kg} = 1\cdot 10^{5}\,\mathrm{g}$ (densidad $1\,\mathrm{kg/L}$ ).
Incremento de temperatura, de $Q = m\,c_{\text{e}}\,\Delta T$ :
$\Delta T$ ${}= \frac{Q}{m_{\text{agua}}\,c_{\text{e}}}$ ${}= \frac{1{,}18\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}}{1\cdot 10^{5}\,\mathrm{g}\cdot 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}}$ ${}= 28{,}23\,^\circ\mathrm{C}$
Por qué no las otras: b) y c) son el mismo resultado dividido y multiplicado por 10, y la d) tampoco sale del balance $Q = m\,c_{\text{e}}\,\Delta T$ con estos datos.

ResultadoRespuesta a): $\Delta T = 28{,}23\,^\circ\mathrm{C}$ .

La pauta oficial da: Respuesta a).

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

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2022Convocatoria ordinaria · Serie 5 · Ejercicio 6

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Motores y máquinas eléctricas

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 6 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria ordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Un prototipo de motocicleta eléctrica integra el motor directamente en la rueda trasera. En las condiciones de estudio, circulando por un suelo horizontal y a velocidad constante, el fabricante asegura que el motor suministra $P_{\text{mot}} = 15\,\mathrm{kW}$ y un par $\Gamma = 150\,\mathrm{N\,m}$ , y tiene una autonomía máxima $s_{\text{máx}} = 200\,\mathrm{km}$ . El diámetro de los neumáticos es $d = 630\,\mathrm{mm}$ , y se estima que el motor tiene un rendimiento $\eta_{\text{mot}} = 0{,}9$ . La motocicleta utiliza baterías ideales.

En estas condiciones, determine:

a) La velocidad angular de la rueda motriz $\omega_{\text{rueda}}$ y la velocidad de avance $v$ de la motocicleta.

[1 punto]

b) El tiempo máximo de funcionamiento $t_{\text{máx}}$ y la energía suministrada por el motor $E_{\text{sum}}$ .

[1 punto]

c) La energía que debería tenerse almacenada en las baterías $E_{\text{bat}}$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)1 punto

Planteamiento Potencia y par en el eje de la rueda: el motor está en la misma rueda, así que gira con su velocidad angular y $P = \Gamma\,\omega$ . La velocidad de avance es la velocidad lineal del borde del neumático, que rueda sin deslizar.

Velocidad angular de la rueda:
$\omega_{\text{rueda}}$ ${}= \frac{P_{\text{mot}}}{\Gamma}$ ${}= \frac{15\,000\,\mathrm{W}}{150\,\mathrm{N\,m}}$ ${}= 100\,\mathrm{rad/s}$
Radio del neumático: $d/2$ ${}= 630\,\mathrm{mm}/2$ ${}= 315\,\mathrm{mm}$ ${}= 0{,}315\,\mathrm{m}$ .
Velocidad de avance (para pasar a km/h se multiplica por $3{,}6$ ):
$v$ ${}= \omega_{\text{rueda}}\,\frac{d}{2}$ ${}= 100\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}315\,\mathrm{m}$ ${}= 31{,}5\,\mathrm{m/s}$ ${}= 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

Resultado $\omega_{\text{rueda}} = 100\,\mathrm{rad/s}$ y $v = 31{,}5\,\mathrm{m/s} = 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

La pauta oficial da: $\omega_{\text{rueda}}$ ${}= P_{\text{mot}}/\Gamma$ ${}= 100\,\mathrm{rad/s}$ ; $v = \omega_{\text{rueda}}\,d/2 = 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

b)1 punto

Planteamiento Tiempo de funcionamiento y energía mecánica que da el motor: a velocidad constante, el tiempo máximo es la autonomía dividida por la velocidad, y la energía es la potencia del motor por ese tiempo.

Tiempo máximo:
$t_{\text{máx}}$ ${}= \frac{s_{\text{máx}}}{v}$ ${}= \frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$ ${}= 1{,}764\,\mathrm{h}$ ${}= 6\,349\,\mathrm{s}$
Energía suministrada por el motor:
$E_{\text{sum}}$ ${}= P_{\text{mot}}\,t_{\text{máx}}$ ${}= P_{\text{mot}}\,\frac{s_{\text{máx}}}{v}$ ${}= 15\,\mathrm{kW}\cdot\frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$ ${}= 26{,}46\,\mathrm{kW\,h}$
En julios:
$E_{\text{sum}}$ ${}= 15\,000\,\mathrm{W}\cdot 6\,349\,\mathrm{s}$ ${}= 9{,}52\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$ ${}= 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

Resultado $t_{\text{máx}} = 1{,}764\,\mathrm{h}$ y $E_{\text{sum}} = 26{,}46\,\mathrm{kW\,h} = 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

La pauta oficial da: $t_{\text{máx}} = 1{,}764\,\mathrm{h}$ ; $E_{\text{sum}} = 26{,}46\,\mathrm{kW\,h} = 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

c)0,5 puntos

Planteamiento Energía que deben almacenar las baterías: el motor convierte en energía mecánica solo el $90$ % de la energía eléctrica que recibe, y las baterías ideales entregan toda la que almacenan.

Energía de las baterías, con $E_{\text{sum}} = 26{,}455\,\mathrm{kW\,h}$ sin redondear:
$E_{\text{bat}}$ ${}= \frac{E_{\text{sum}}}{\eta_{\text{mot}}}$ ${}= \frac{26{,}455\,\mathrm{kW\,h}}{0{,}9}$ ${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}$
En julios:
$E_{\text{bat}}$ ${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ/(kW\,h)}$ ${}= 105{,}8\,\mathrm{MJ}$

Resultado $E_{\text{bat}} = 29{,}39\,\mathrm{kW\,h} = 105{,}8\,\mathrm{MJ}$

La pauta oficial da: $E_{\text{bat}}$ ${}= E_{\text{sum}}/\eta_{\text{mot}}$ ${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}$ ${}= 105{,}8\,\mathrm{MJ}$

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2022, convocatoria ordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

2022Convocatoria extraordinaria · Serie 3 · Ejercicio 3

2,5 puntosCoincide con la pautaTambién en Motores y máquinas eléctricas

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en castellano. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Enunciado oficial del ejercicio 3 de la PAU de Tecnología industrial de Cataluña de 2022 (convocatoria extraordinaria), en catalán. El texto está en la página. — Enunciado oficial

Un montacargas está accionado por un motorreductor de rendimiento $\eta = 0{,}6$ . El motor de inducción monofásico se conecta a una tensión $U = 230\,\mathrm{V}$ y funciona con un factor de potencia $\cos\varphi = 0{,}85$ . La relación de transmisión del reductor es $\tau = \omega_\text{red}/\omega_\text{mot} = 0{,}009$ . El motor gira a $n_\text{mot} = 1470\,\mathrm{min^{-1}}$ y el aparato eleva $h = 8\,\mathrm{m}$ una carga de masa $m = 2000\,\mathrm{kg}$ en $t = 1{,}5\,\mathrm{min}$ a velocidad constante. Determine:

a) La velocidad de rotación del eje de salida del reductor $\omega_\text{red}$ en rad/s.

[0,5 puntos]

b) El trabajo necesario que debe realizar el montacargas $W$ .

[0,5 puntos]

c) La potencia eléctrica consumida por el conjunto $P_\text{eléc}$ .

[1 punto]

d) La intensidad de corriente $I$ .

[0,5 puntos]

Hazlo en papel y compara paso a paso.

a)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la velocidad angular del eje de salida del reductor: la del motor, pasada a rad/s, multiplicada por la relación de transmisión $\tau = \omega_\text{red}/\omega_\text{mot}$ .

Velocidad angular del motor ( $1\ \text{vuelta} = 2\pi\,\mathrm{rad}$ y $1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$ ):
$\omega_\text{mot}$ ${}= n_\text{mot}\,\frac{2\pi}{60}$ ${}= 1470\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$ ${}= 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$
Velocidad del eje de salida del reductor:
$\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,\omega_\text{mot}$ ${}= 0{,}009\cdot 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$ ${}= 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$

Resultado $\omega_\text{red} = 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$ .

La pauta oficial da: $\omega_\text{red}$ ${}= \tau\,n_\text{mot}\,2\pi/60$ ${}= 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$ .

b)0,5 puntos

Planteamiento Se pide el trabajo para subir la carga $8\,\mathrm{m}$ . Como sube a velocidad constante, la energía cinética no varía y el trabajo es el aumento de energía potencial de la carga.

El trabajo es el peso por la altura (el enunciado no da $g$ ; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ ; con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ saldría $157{,}0\,\mathrm{kJ}$ , y los resultados de los apartados siguientes cambiarían en la cuarta cifra):
$W$ ${}= m\,g\,h$ ${}= 2000\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 8\,\mathrm{m}$ ${}= 156{,}9\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$ ${}= 156{,}9\,\mathrm{kJ}$

Resultado $W = 156{,}9\,\mathrm{kJ}$ .

La pauta oficial da: $W = m\,g\,h = 156{,}9\,\mathrm{kJ}$ .

c)1 punto

Planteamiento Se pide la potencia eléctrica que consume el conjunto motorreductor: la potencia útil, que es el trabajo dividido por el tiempo, dividida por el rendimiento del conjunto.

Tiempo en segundos: $t = 1{,}5\,\mathrm{min} = 90\,\mathrm{s}$ . Potencia útil, con el trabajo con una cifra más ( $156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$ ) para que el redondeo no afecte al resultado:
$P_\text{útil}$ ${}= \frac{W}{t}=\frac{156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}}{90\,\mathrm{s}}$ ${}= 1\,743{,}4\,\mathrm{W}$
Potencia eléctrica consumida:
$P_\text{eléc}$ ${}= \frac{P_\text{útil}}{\eta}$ ${}= \frac{1\,743{,}4\,\mathrm{W}}{0{,}6}$ ${}= 2\,906\,\mathrm{W}$ ${}= 2{,}906\,\mathrm{kW}$
La velocidad del apartado a) y la relación de transmisión no hacen falta para este cálculo: el trabajo y el tiempo ya dan la potencia útil.

Resultado $P_\text{eléc} = 2{,}906\,\mathrm{kW}$ .

La pauta oficial da: $P_\text{eléc}$ ${}= P_\text{útil}/\eta$ ${}= W/(\eta\,t)$ ${}= 2{,}906\,\mathrm{kW}$ .

d)0,5 puntos

Planteamiento Se pide la corriente que absorbe el motor de inducción monofásico. En corriente alterna monofásica, la potencia activa es $P = U\,I\cos\varphi$ .

Despejando la corriente:
$I$ ${}= \frac{P_\text{eléc}}{U\cos\varphi}$ ${}= \frac{2\,906\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}\cdot 0{,}85}$ ${}= 14{,}86\,\mathrm{A}$

Resultado $I = 14{,}86\,\mathrm{A}$ .

La pauta oficial da: $I = P_\text{eléc}/(U\cos\varphi) = 14{,}86\,\mathrm{A}$ .

Enunciado: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Tecnología industrial 2022, convocatoria extraordinaria. La imagen es el examen oficial tal cual; el texto lo reproduce con las fórmulas reescritas. Consultado el 26 de octubre de 2026; el documento no declara fecha de última actualización.

El examen entero, resuelto Examen en catalán (PDF)Examen en castellano (PDF)Pauta de corrección (PDF)Reutilizado según el aviso legal de la Generalitat

Lo que más se ha repetido en los exámenes

Calcular la energía y la potencia para subir una carga y lo que consume el motor

Calcular la relación de transmisión y la velocidad de salida

Calcular la velocidad angular y el par en un eje

Los ejercicios, del más reciente al más antiguo

3.11 punto

3.21 punto

3.30,5 puntos

4.10,5 puntos

4.20,5 puntos

4.31 punto

4.40,5 puntos

3.10,5 puntos

3.21 punto

3.31 punto

4.11 punto

4.21 punto

4.30,5 puntos

1.10,5 puntos

1.20,5 puntos

1.30,5 puntos

1.40,5 puntos

1.50,5 puntos

1.60,5 puntos

1.70,5 puntos

1.80,5 puntos

2.11 punto

2.21 punto

2.30,5 puntos

a)0,5 puntos

b)0,5 puntos

c)0,5 puntos

d)1 punto

a)1 punto

b)1 punto

c)0,5 puntos

a)1 punto

b)1 punto

c)0,5 puntos

1.10,5 puntos

1.20,5 puntos

1.30,5 puntos

1.40,5 puntos

1.50,5 puntos

a)1 punto

b)0,5 puntos

c)1 punto

1.10,5 puntos

1.20,5 puntos

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