Tecnología, PAU 2024 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Se pide la tabla de verdad del segmento central de la segunda cifra, $s$, para las dieciséis combinaciones de $abcd$. Hay que saber qué número se muestra en cada caso y si su segunda cifra (las unidades) tiene el segmento central encendido.

1. La entrada $abcd$ es el número en binario, de $0000=0$ a $1111=15$. La segunda cifra del marcador son las unidades: del $0$ al $9$ es el mismo número, y del $10$ al $15$ es $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$.

2. Según la nota del enunciado, el segmento central está encendido en las cifras $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$ y $9$, y apagado en el $0$, el $1$ y el $7$.

3. Por tanto, $s=0$ para los números $00$, $01$, $07$, $10$ y $11$, y $s=1$ para todos los demás. Tabla de verdad, con el número que muestra el marcador:

   Número	$a$	$b$	$c$	$d$	$s$
   00	0	0	0	0	0
   01	0	0	0	1	0
   02	0	0	1	0	1
   03	0	0	1	1	1
   04	0	1	0	0	1
   05	0	1	0	1	1
   06	0	1	1	0	1
   07	0	1	1	1	0
   08	1	0	0	0	1
   09	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	0
   11	1	0	1	1	0
   12	1	1	0	0	1
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	1
   15	1	1	1	1	1

Planteamiento Se pide la función lógica de $s$ y, si se puede, simplificarla. Primero la forma canónica a partir de la tabla y después el mapa de Karnaugh.

1. Filas con $s=1$: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14 y 15. La primera forma canónica (suma de productos) tiene un término por cada una, con la variable negada donde vale $0$, $s=\sum m(2,3,4,5,6,8,9,12,13,14,15)$:

   $s$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,c\,\overline{d}+\overline{a}\,\overline{b}\,c\,d$${}+\overline{a}\,b\,\overline{c}\,\overline{d}+\overline{a}\,b\,\overline{c}\,d$${}+\overline{a}\,b\,c\,\overline{d}+a\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+a\,\overline{b}\,\overline{c}\,d+a\,b\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+a\,b\,\overline{c}\,d+a\,b\,c\,\overline{d}$${}+a\,b\,c\,d$

2. Como solo hay cinco ceros (filas 0, 1, 7, 10 y 11), es más corta la segunda forma canónica (producto de sumas), con un factor por cada cero y la variable negada donde vale $1$:

   $s$${}= (a+b+c+d)(a+b+c+\overline{d})(a+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d})(\overline{a}+b+\overline{c}+d)(\overline{a}+b+\overline{c}+\overline{d})$

3. Mapa de Karnaugh ($ab$ en las filas y $cd$ en las columnas, las dos en código Gray):

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	0	0	1	1
   01	1	1	0	1
   11	1	1	1	1
   10	1	1	0	0

4. Grupos de cuatro: las filas $ab=01$ y $11$ con las columnas $cd=00$ y $01$ (4, 5, 12 y 13) dan $b\,\overline{c}$; las filas $ab=11$ y $10$ con las columnas $cd=00$ y $01$ (12, 13, 8 y 9) dan $a\,\overline{c}$; la fila $ab=11$ entera (12, 13, 15 y 14) da $a\,b$.

5. Las filas $ab=01$ y $11$ con las columnas $cd=00$ y $10$, que son vecinas porque el mapa se cierra por los lados (4, 6, 12 y 14), dan $b\,\overline{d}$. Los unos 2 y 3 (fila $ab=00$, columnas $cd=11$ y $10$) solo forman un grupo de dos, $\overline{a}\,\overline{b}\,c$, porque las casillas 7, 10 y 11 de alrededor valen $0$.

6. Hacen falta los cinco grupos: el 15 solo lo cubre $a\,b$; el 9, $a\,\overline{c}$; el 5, $b\,\overline{c}$; el 6, $b\,\overline{d}$, y el 2 y el 3, $\overline{a}\,\overline{b}\,c$. La función simplificada es:

   $s=\overline{a}\,\overline{b}\,c+b\,\overline{c}+a\,\overline{c}+a\,b+b\,\overline{d}$

Planteamiento Se pide el circuito de puertas lógicas de la función simplificada: cinco productos (AND) sumados con una puerta OR, con inversores (NOT) para las variables negadas.

1. Cuatro inversores dan $\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ y $\overline{d}$.

2. Una puerta AND de tres entradas hace el primer producto y cuatro AND de dos entradas hacen los demás:

   $\overline{a}\,\overline{b}\,c$$b\,\overline{c}$$a\,\overline{c}$$a\,b$$b\,\overline{d}$

3. Una puerta OR de cinco entradas suma los cinco productos y da $s$. En la figura, el inversor es un rectángulo con «1» y un círculo en la salida; la puerta AND, un rectángulo con «&», y la puerta OR, un rectángulo con «≥1» (símbolos IEC). Los puntos negros marcan las conexiones.

ResultadoCuatro inversores ($\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ y $\overline{d}$), una AND de tres entradas ($\overline{a}\,\overline{b}\,c$), cuatro AND de dos entradas ($b\,\overline{c}$, $a\,\overline{c}$, $a\,b$ y $b\,\overline{d}$) y una OR de cinco entradas que da $s$ (esquema en la figura).

La pauta oficial da: Cuatro puertas NOT, una AND de tres entradas, cuatro AND de dos entradas y una OR de cinco entradas que da $s$.

Planteamiento Se pide la energía mecánica para plegar la canasta de $45^\circ$ a $15^\circ$. Como la velocidad angular es constante, la energía cinética no cambia, y toda la energía mecánica que aporta el cable se convierte en energía potencial: el centro de inercia G sube.

1. Según la figura, G está a $3l=3\,\mathrm{m}$ de O a lo largo de la barra. Con la barra a un ángulo $\varphi$ por debajo del techo, G queda a una distancia vertical $3l\sin\varphi$ por debajo de O.

2. Altura que sube G entre las dos posiciones:

   $\Delta h$${}= 3l\,(\sin\varphi_1-\sin\varphi_2)$${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(\sin 45^\circ-\sin 15^\circ)$${}= 3\,\mathrm{m}\cdot(0{,}7071-0{,}2588)$${}= 1{,}345\,\mathrm{m}$

3. Energía mecánica (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $E_\text{mec}$${}= m\,g\,\Delta h$${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}345\,\mathrm{m}$${}= 1\,319\,\mathrm{J}$

Planteamiento Se pide la energía que consume el motor, teniendo en cuenta su rendimiento.

1. El motor debe consumir más energía que la mecánica que entrega:

   $E_\text{mot}$${}= \dfrac{E_\text{mec}}{\eta}$${}= \dfrac{1\,319\,\mathrm{J}}{0{,}8}$${}= 1\,649\,\mathrm{J}$

Planteamiento Se pide la componente vertical de la velocidad de G cuando la barra forma $30^\circ$ con el techo. G describe un arco de radio $3l$ alrededor de O: su velocidad es perpendicular a la barra y vale $\omega\cdot 3l$.

1. Módulo de la velocidad de G:

   $v_\text{G}$${}= \omega\cdot 3l$${}= 0{,}1745\,\mathrm{rad/s}\cdot 3\,\mathrm{m}$${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}$

2. La velocidad es perpendicular a la barra; como la barra forma $30^\circ$ con la horizontal, la velocidad forma $30^\circ$ con la vertical, y su componente vertical es:

   $v_\text{vert}$${}= \omega\cdot 3l\cdot\cos\varphi$${}= 0{,}5235\,\mathrm{m/s}\cdot\cos 30^\circ$${}= 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$

3. Equivalentemente: G está a una distancia $3l\sin\varphi$ por debajo del techo, que varía a un ritmo $3l\cos\varphi\cdot\omega$. Al plegar, $\varphi$ disminuye y G sube.

Planteamiento Se pide la potencia que consume el motor en esta posición. Como la velocidad angular es constante, la potencia mecánica es la que hace subir el peso a la velocidad vertical de G, y el motor debe consumir más por su rendimiento.

1. Potencia mecánica:

   $P_\text{mec}$${}= m\,g\,v_\text{vert}$${}= 100\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}4534\,\mathrm{m/s}$${}= 444{,}6\,\mathrm{W}$

2. Potencia que consume el motor:

   $P_\text{mot}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$${}= \dfrac{444{,}6\,\mathrm{W}}{0{,}8}$${}= 555{,}8\,\mathrm{W}$

3. Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $555{,}9\,\mathrm{W}$; la energía de los apartados a) y b) no cambia.

Planteamiento Se pide la resistencia que disipa $2{,}2\,\mathrm{kW}$ conectada a $230\,\mathrm{V}$.

1. Potencia de una resistencia a la tensión $U$, con $P=2{,}2\,\mathrm{kW}=2\,200\,\mathrm{W}$:

   $P$${}= \dfrac{U^2}{R}$${}\Rightarrow R=\dfrac{U^2}{P}$${}= \dfrac{(230\,\mathrm{V})^2}{2\,200\,\mathrm{W}}$${}= 24{,}05\,\Omega$

Planteamiento Se pide la gráfica de la resistencia de un metro de hilo de cada bobina en función del diámetro. La resistencia de un hilo es $R=\rho\,l/S$, con la sección circular $S=\pi d^2/4$: para una longitud fija, es inversamente proporcional al cuadrado del diámetro.

1. Resistencia de un hilo de longitud $l$ y diámetro $d$:

   $R_\text{b}=\rho\,\dfrac{l}{S}=\dfrac{4\,\rho\,l}{\pi\,d^2}$

2. Por ejemplo, para la bobina B1, $d=0{,}04\,\mathrm{mm}=4\times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ y $l=1\,\mathrm{m}$:

   $R_\text{b1}$${}= \dfrac{4\cdot 4{,}9\times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot 1\,\mathrm{m}}{\pi\cdot(4\times 10^{-5}\,\mathrm{m})^2}$${}= 389{,}9\,\Omega$

3. Haciendo lo mismo con las cinco bobinas (cada vez que el diámetro se duplica, la resistencia se divide por cuatro). La última columna es para el apartado c):

   Bobina	$d$ (mm)	$R_\text{b}$ ($\Omega$)	$l$ necesaria (m)
   B1	$0{,}04$	$389{,}9$	$0{,}06167$
   B2	$0{,}08$	$97{,}48$	$0{,}2467$
   B3	$0{,}12$	$43{,}33$	$0{,}5550$
   B4	$0{,}16$	$24{,}37$	$0{,}9867$
   B5	$0{,}2$	$15{,}60$	$1{,}542$

4. La gráfica es una curva decreciente del tipo $R_\text{b}=k/d^2$, con $k=4\rho l/\pi=6{,}239\times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m^2}$ ($d$ en metros): muy alta para los diámetros pequeños y que se acerca a cero cuando el diámetro crece. Escalas aproximadas: eje horizontal de $0$ a $0{,}2\,\mathrm{mm}$ y eje vertical de $0$ a $450\,\Omega$ (figura).

Resultado$R_\text{b}=4\rho l/(\pi d^2)$, una curva decreciente proporcional a $1/d^2$: $389{,}9\,\Omega$ (B1), $97{,}48\,\Omega$ (B2), $43{,}33\,\Omega$ (B3), $24{,}37\,\Omega$ (B4) y $15{,}60\,\Omega$ (B5). Gráfica en la figura.

La pauta oficial da: Gráfica de $R_\text{b}$ (en $\Omega$, de $0$ a $450$) en función de $d$ (en mm, de $0$ a $0{,}2$): curva decreciente que pasa por los cinco puntos de las bobinas, de cerca de $390\,\Omega$ (B1) a menos de $20\,\Omega$ (B5).

Planteamiento Se pide qué bobina permite hacer la resistencia de $24{,}05\,\Omega$ aprovechando tanto hilo como se pueda, y qué longitud hace falta. Con una bobina de $1\,\mathrm{m}$ y resistencia $R_\text{b}$, la longitud necesaria es $l=R/R_\text{b}$ metros, que solo puede hacerse si no pasa de $1\,\mathrm{m}$.

1. Longitudes necesarias (última columna de la tabla del apartado b): $0{,}06167\,\mathrm{m}$ con B1, $0{,}2467\,\mathrm{m}$ con B2, $0{,}5550\,\mathrm{m}$ con B3, $0{,}9867\,\mathrm{m}$ con B4 y $1{,}542\,\mathrm{m}$ con B5.

2. La B5 no sirve: harían falta $1{,}542\,\mathrm{m}$ de hilo y la bobina solo tiene $1\,\mathrm{m}$. De las demás, la que más aprovecha es la B4, la que tiene una resistencia por metro ($24{,}37\,\Omega$) justo por encima de la necesaria ($24{,}05\,\Omega$).

3. Longitud de hilo de la bobina B4, con $d=0{,}16\,\mathrm{mm}=1{,}6\times 10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $l$${}= \dfrac{R\,S}{\rho}$${}= \dfrac{R\,\pi d^2}{4\,\rho}$${}= \dfrac{24{,}05\,\Omega\cdot\pi\cdot(1{,}6\times 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4\cdot 4{,}9\times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}}$${}= 0{,}987\,\mathrm{m}$

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre del brazo: el brazo aislado, horizontal, con todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él.

1. El peso del brazo, $m_\text{b}\,g$, vertical y hacia abajo, en G ($b=240\,\mathrm{mm}$ de O).

2. El peso de la pesa que sostiene la mano, $m_\text{p}\,g$, vertical y hacia abajo, en P ($c=600\,\mathrm{mm}$ de O).

3. La fuerza del deltoides, $F_\text{m}$, en Q ($a=100\,\mathrm{mm}$ de O), dirigida hacia el hombro y hacia arriba, formando un ángulo $\theta=20^\circ$ con la horizontal.

4. La reacción de la articulación en O, con las componentes $O_\text{H}$ y $O_\text{V}$ dibujadas en un sentido cualquiera (en la figura, $O_\text{H}$ hacia la derecha y $O_\text{V}$ hacia arriba); el signo del resultado dirá el sentido real.

ResultadoCuatro fuerzas: $m_\text{b}\,g$ en G y $m_\text{p}\,g$ en P (verticales, hacia abajo), $F_\text{m}$ en Q (hacia el hombro y hacia arriba, a $20^\circ$ de la horizontal) y la reacción en O ($O_\text{H}$ y $O_\text{V}$). Diagrama en la figura.

La pauta oficial da: Diagrama de cuerpo libre: $O_\text{H}$ y $O_\text{V}$ en O, $F_\text{m}$ en Q, $m_\text{b}\,g$ en G y $m_\text{p}\,g$ en P.

Planteamiento Se pide la fuerza del deltoides. Tomando momentos respecto a O, la reacción de la articulación no interviene.

1. Solo la componente vertical de $F_\text{m}$, $F_\text{m}\sin\theta$, hace momento respecto a O: la componente horizontal pasa por O, porque Q está sobre la línea del brazo. Momentos respecto a O, positivos en sentido antihorario:

   $\sum M_\text{O}$${}= 0:\quad F_\text{m}\sin\theta\cdot a$${}-m_\text{b}\,g\,b-m_\text{p}\,g\,c=0$

2. Despejamos la fuerza, con las distancias en metros (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $F_\text{m}$${}= \dfrac{g\,(m_\text{b}\,b+m_\text{p}\,c)}{a\,\sin\theta}$${}= \dfrac{9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot(5\,\mathrm{kg}\cdot 0{,}24\,\mathrm{m}+2\,\mathrm{kg}\cdot 0{,}6\,\mathrm{m})}{0{,}1\,\mathrm{m}\cdot\sin 20^\circ}$${}= 688{,}2\,\mathrm{N}$

3. La fuerza del músculo es unas diez veces el peso total que sostiene el brazo, $(m_\text{b}+m_\text{p})\,g=68{,}65\,\mathrm{N}$, porque su brazo de palanca es muy corto. Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $688{,}4\,\mathrm{N}$.

Planteamiento Se piden las componentes de la reacción en O, con el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.

1. Equilibrio horizontal, con $O_\text{H}$ hacia la derecha y la componente horizontal de $F_\text{m}$ hacia la izquierda (hacia el hombro):

   $\sum F_x$${}= 0:\quad O_\text{H}-F_\text{m}\cos\theta=0$${}\Rightarrow O_\text{H}$${}= 688{,}2\,\mathrm{N}\cdot\cos 20^\circ$${}= 646{,}7\,\mathrm{N}$

2. Equilibrio vertical, con $O_\text{V}$ hacia arriba:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad O_\text{V}+F_\text{m}\sin\theta$${}-m_\text{b}\,g-m_\text{p}\,g=0$

3. Con $(m_\text{b}+m_\text{p})\,g$${}= 7\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 68{,}649\,\mathrm{N}$ y $F_\text{m}\sin\theta$${}= 688{,}2\,\mathrm{N}\cdot\sin 20^\circ$${}= 235{,}37\,\mathrm{N}$ (con una cifra más para no arrastrar redondeos):

   $O_\text{V}$${}= (m_\text{b}+m_\text{p})\,g-F_\text{m}\sin\theta$${}= 68{,}649\,\mathrm{N}-235{,}37\,\mathrm{N}$${}= -166{,}7\,\mathrm{N}$

4. El signo negativo indica que $O_\text{V}$ va hacia abajo, al contrario de lo dibujado: la articulación empuja el brazo hacia abajo. $O_\text{H}$ es positiva: va hacia la derecha (hacia la mano) y compensa la componente horizontal de la fuerza del músculo.

5. Módulo de la reacción total en O:

   $O$${}= \sqrt{O_\text{H}^2+O_\text{V}^2}$${}= \sqrt{(646{,}7\,\mathrm{N})^2+(166{,}7\,\mathrm{N})^2}$${}= 667{,}8\,\mathrm{N}$

Planteamiento Se pide la energía útil para convertir cada día $1\,500\,\mathrm{kg}$ de agua a $80\,^\circ\mathrm{C}$ en vapor seco a $125\,^\circ\mathrm{C}$. Hay tres etapas: calentar el agua líquida hasta $100\,^\circ\mathrm{C}$, vaporizarla a $100\,^\circ\mathrm{C}$ y calentar el vapor hasta $125\,^\circ\mathrm{C}$.

1. Calentamiento del agua líquida de $80$ a $100\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q_1$${}= m_\text{a}\,c_\text{e\_a}\,(T_\text{c}-T_1)$${}= 1\,500\,\mathrm{kg}\cdot 4{,}197\,\mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}\cdot 20\,^\circ\mathrm{C}$${}= 125\,910\,\mathrm{kJ}$${}= 125{,}9\,\mathrm{MJ}$

2. Vaporización a $100\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q_2$${}= m_\text{a}\,L_\text{v}$${}= 1\,500\,\mathrm{kg}\cdot 2\,257\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 3\,385{,}5\,\mathrm{MJ}$${}\approx 3\,386\,\mathrm{MJ}$

3. Calentamiento del vapor de $100$ a $125\,^\circ\mathrm{C}$:

   $Q_3$${}= m_\text{a}\,c_\text{e\_v}\,(T_2-T_\text{c})$${}= 1\,500\,\mathrm{kg}\cdot 2{,}155\,\mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}\cdot 25\,^\circ\mathrm{C}$${}= 80{,}81\,\mathrm{MJ}$

4. Energía útil diaria, la suma de las tres:

   $E_\text{día}$${}= Q_1+Q_2+Q_3$${}= 125{,}9\,\mathrm{MJ}+3\,385{,}5\,\mathrm{MJ}$${}+80{,}81\,\mathrm{MJ}$${}= 3\,592{,}2\,\mathrm{MJ}$${}\approx 3\,592\,\mathrm{MJ}$

5. La mayor parte (más del $94$ %) es el calor latente: vaporizar el agua cuesta mucho más que calentarla.

Planteamiento Se pide la energía que la caldera obtiene cada día del propano que quema y el rendimiento, que es el cociente entre la energía útil y la consumida.

1. Energía del combustible, pasando los kilovatios hora a megajulios ($1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$):

   $E_\text{cons}$${}= p_\text{c}\,m_\text{p}$${}= 12{,}83\,\mathrm{kW\,h/kg}\cdot 90\,\mathrm{kg}$${}= 1\,154{,}7\,\mathrm{kW\,h}$${}= 4\,156{,}9\,\mathrm{MJ}$${}\approx 4\,157\,\mathrm{MJ}$

2. Rendimiento de la instalación (con un decimal más para no arrastrar redondeos), es decir, el $86{,}42$ %:

   $\eta$${}= \dfrac{E_\text{día}}{E_\text{cons}}$${}= \dfrac{3\,592{,}2\,\mathrm{MJ}}{4\,156{,}9\,\mathrm{MJ}}$${}= 0{,}8642$

3. El resto de la energía del propano, un $13{,}58$ %, no llega al agua.

Planteamiento Se pide el $\mathrm{CO_2}$ emitido en un año, suponiendo que la caldera funciona los $365$ días: cada día quema $90\,\mathrm{kg}$ de propano, y cada kilogramo emite $2{,}94\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$.

1. Emisión diaria:

   $m_{\mathrm{CO_2},\text{día}}$${}= \mathit{FE}\,m_\text{p}$${}= 2{,}94\,\mathrm{kg/kg}\cdot 90\,\mathrm{kg}$${}= 264{,}6\,\mathrm{kg}$

2. Durante un año de $365$ días:

   $m_{\mathrm{CO_2}}$${}= 365\cdot 264{,}6\,\mathrm{kg}$${}= 96\,579\,\mathrm{kg}$${}\approx 96{,}58\,\mathrm{t}$