Tecnología, PAU 2024 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Se pide la tabla de verdad de la luz $l$ en función de los cuatro bits del número, $a$, $b$, $c$ y $d$ ($a$ es el de más peso). La luz se enciende si el número es 0 o impar.

1. Con cuatro entradas hay $2^4=16$ combinaciones, que son los números del 0 al 15. Un número en binario es impar cuando el bit de menos peso, $d$, vale 1. Por tanto, $l=1$ en las ocho filas con $d=1$ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15) y también en la fila 0 ($abcd=0000$).

2. Tabla de verdad (la fila es el número $abcd$ en decimal):

   Fila	$a$	$b$	$c$	$d$	$l$
   0	0	0	0	0	1
   1	0	0	0	1	1
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	0
   5	0	1	0	1	1
   6	0	1	1	0	0
   7	0	1	1	1	1
   8	1	0	0	0	0
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	0
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	0
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	0
   15	1	1	1	1	1

Planteamiento Se pide la función lógica de $l$ y, si se puede, simplificarla. Primero se escribe la función canónica a partir de la tabla y después se simplifica con un mapa de Karnaugh.

1. Filas con $l=1$: 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15. La primera forma canónica (suma de productos) tiene un término por cada una, con la variable negada donde vale 0, $l=\sum m(0,1,3,5,7,9,11,13,15)$:

   $l$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,d+\overline{a}\,\overline{b}\,c\,d$${}+\overline{a}\,b\,\overline{c}\,d+\overline{a}\,b\,c\,d$${}+a\,\overline{b}\,\overline{c}\,d+a\,\overline{b}\,c\,d$${}+a\,b\,\overline{c}\,d+a\,b\,c\,d$

2. Mapa de Karnaugh ($ab$ en las filas y $cd$ en las columnas, ambas en código Gray):

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	1	1	1	0
   01	0	1	1	0
   11	0	1	1	0
   10	0	1	1	0

3. Grupo de ocho unos: las dos columnas del medio ($cd=01$ y $cd=11$), donde $d=1$ y las otras tres variables cambian. Da $d$.

4. Queda el uno de la fila 0 ($abcd=0000$). Se agrupa con su vecino de la fila 1 ($abcd=0001$), aunque ya esté en el grupo anterior: en esta pareja $a=0$, $b=0$ y $c=0$, y $d$ cambia. Da $\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$.

5. La función simplificada es la suma de los dos grupos:

   $l=d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$

6. Con álgebra de Boole se llega a lo mismo: los ocho términos con $d$ sin negar suman $d$, y $d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}=d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$, porque $x+\overline{x}\,y=x+y$.

7. Comprobación: la función vale 1 cuando $d=1$ (los impares) o cuando $a=b=c=0$ (los números 0 y 1), y 0 en el resto de filas, como la tabla.

Planteamiento Se pide el esquema de contactos de la función simplificada, $l=d+\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$: cada producto es una rama de contactos en serie, y la suma es la conexión en paralelo de las ramas.

1. Rama 1: un contacto normalmente abierto de $d$, que conduce cuando $d=1$.

2. Rama 2: tres contactos normalmente cerrados de $a$, $b$ y $c$ conectados en serie, que hacen $\overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}$: solo conducen los tres cuando $a$, $b$ y $c$ valen 0.

3. Las dos ramas se conectan en paralelo entre la alimentación y la luz $l$, que se enciende cuando conduce cualquiera de las dos. En la figura, cada contacto lleva escrita su variable, y los normalmente cerrados se dibujan con una pequeña raya vertical en el extremo de la lámina.

ResultadoDos ramas en paralelo hacia la luz $l$: un contacto normalmente abierto $d$, y tres contactos normalmente cerrados $\overline{a}$, $\overline{b}$ y $\overline{c}$ en serie (esquema en la figura).

La pauta oficial da: Esquema de contactos: un contacto normalmente abierto $d$ en paralelo con tres contactos normalmente cerrados $a$, $b$ y $c$ en serie, hacia la luz $l$.

Planteamiento Se pide la energía química que contiene un saco de $15\,\mathrm{kg}$ de pélets: la masa por el poder calorífico.

1. Energía del combustible:

   $E_\text{cons}$${}= m\,p_\text{c}$${}= 15\,\mathrm{kg}\cdot 5{,}23\,\mathrm{kW\,h/kg}$${}= 78{,}45\,\mathrm{kW\,h}$

2. En unidades del SI ($1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$):

   $E_\text{cons}$${}= 78{,}45\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ}$${}= 282{,}4\,\mathrm{MJ}$

3. El área de la habitación, $A$, no hace falta en ningún apartado.

Planteamiento Se pide la energía que la estufa cede a la vivienda (la parte de $E_\text{cons}$ que aprovecha, según el rendimiento) y cuánto cuesta cada kW h de esta energía útil.

1. Energía útil:

   $E_\text{útil}$${}= \eta\,E_\text{cons}$${}= 0{,}89\cdot 78{,}45\,\mathrm{kW\,h}$${}= 69{,}82\,\mathrm{kW\,h}$${}= 251{,}4\,\mathrm{MJ}$

2. Coste por kW h útil: el precio del saco dividido entre la energía útil que se obtiene de él:

   $c_\text{e}$${}= \dfrac{p}{E_\text{útil}}$${}= \dfrac{6\,\text{€}}{69{,}82\,\mathrm{kW\,h}}$${}= 0{,}08593\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 85{,}93\cdot 10^{-3}\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$

Planteamiento Se pide cuánto tiempo funciona la estufa hasta que gasta el depósito lleno ($15\,\mathrm{kg}$), con el consumo de pélets por hora.

1. Tiempo de funcionamiento: la masa del depósito dividida entre el consumo por hora:

   $t$${}= \dfrac{m}{q_\text{pél}}$${}= \dfrac{15\,\mathrm{kg}}{1{,}483\,\mathrm{kg/h}}$${}= 10{,}11\,\mathrm{h}$

2. Son unas 10 horas y 7 minutos ($0{,}11\,\mathrm{h}\cdot 60\,\mathrm{min/h}\approx 7\,\mathrm{min}$).

Planteamiento Se pide la masa de ceniza que queda después de quemar todo el contenido del depósito: el $0{,}7$ % de la masa de pélets.

1. Masa de ceniza:

   $m_\text{ceniza}$${}= m\,r_\text{ceniza}$${}= 15\,\mathrm{kg}\cdot\dfrac{0{,}7}{100}$${}= 0{,}105\,\mathrm{kg}$${}= 105\,\mathrm{g}$

Planteamiento Se pide la relación de transmisión total entre el motor y la rueda, $\tau=\omega_\text{rueda}/\omega_\text{mot}$, de un tren de tres pares de ruedas dentadas.

1. Lectura de la figura: el motor hace girar $z_1$, que engrana con $z_2$; $z_3$ va en el mismo eje que $z_2$ y engrana con $z_4$; $z_5$ va en el mismo eje que $z_4$ y engrana con $z_6$, que va en el eje de la rueda.

2. En cada par, las velocidades angulares van al revés que el número de dientes: la rueda conducida gira $z_\text{conductora}/z_\text{conducida}$ veces la velocidad de la conductora. La relación total es el producto de las tres:

   $\tau$${}= \dfrac{\omega_\text{rueda}}{\omega_\text{mot}}$${}= \dfrac{z_1}{z_2}\cdot\dfrac{z_3}{z_4}\cdot\dfrac{z_5}{z_6}$${}= \dfrac{23\cdot 16\cdot 18}{57\cdot 33\cdot 38}$${}= \dfrac{6\,624}{71\,478}$${}= 0{,}09267$

3. Es un reductor: la rueda gira unas $10{,}8$ veces más despacio que el motor ($1/\tau=10{,}79$).

Planteamiento Se pide la velocidad de avance de la moto: la velocidad angular de la rueda (la del motor por $\tau$) por el radio de la rueda.

1. Velocidad angular del motor:

   $\omega_\text{mot}$${}= \dfrac{2\pi\,n_\text{mot}}{60}$${}= \dfrac{2\pi\cdot 4\,000}{60}$${}= 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$

2. Velocidad angular de la rueda:

   $\omega_\text{rueda}$${}= \tau\,\omega_\text{mot}$${}= 0{,}09267\cdot 418{,}9\,\mathrm{rad/s}$${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}$

3. Velocidad de avance, con el radio de la rueda $d/2=0{,}3\,\mathrm{m}$ (la rueda no desliza):

   $v$${}= \omega_\text{rueda}\,\dfrac{d}{2}$${}= 38{,}82\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}3\,\mathrm{m}$${}= 11{,}65\,\mathrm{m/s}$

4. En km/h (con más decimales, $v=11{,}645\,\mathrm{m/s}$):

   $v=11{,}645\cdot 3{,}6=41{,}92\,\mathrm{km/h}$

Planteamiento Se pide el par en el eje de la rueda: la potencia que llega a él (la del motor menos las pérdidas de la transmisión) dividida entre la velocidad angular de la rueda.

1. Potencia en el eje de la rueda:

   $P_\text{útil}$${}= \eta\,P_\text{mot}$${}= 0{,}9\cdot 15\,\mathrm{kW}$${}= 13{,}5\,\mathrm{kW}$

2. Par en el eje de la rueda:

   $\Gamma$${}= \dfrac{P_\text{útil}}{\omega_\text{rueda}}$${}= \dfrac{13\,500\,\mathrm{W}}{38{,}82\,\mathrm{rad/s}}$${}= 347{,}8\,\mathrm{N\,m}$

3. La cilindrada del motor, $C=250\,\mathrm{cm^3}$, no hace falta en ningún apartado.

Planteamiento Se pide la resistencia del hilo de nicromo a partir de la resistividad, la longitud y el diámetro.

1. Sección del hilo, con $d=0{,}8\,\mathrm{mm}=8\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi\,d^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\,(8\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 5{,}027\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m^2}$

2. Resistencia del hilo:

   $R$${}= \rho\,\dfrac{L}{S}$${}= 1{,}28\cdot 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot\dfrac{5{,}54\,\mathrm{m}}{5{,}027\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m^2}}$${}= 14{,}11\,\Omega$

Planteamiento Se pide la potencia útil de la placa: la potencia eléctrica que absorbe la resistencia conectada a $230\,\mathrm{V}$, multiplicada por el rendimiento.

1. Potencia eléctrica (con más decimales, $R=14{,}107\,\Omega$):

   $P_\text{eléc}$${}= \dfrac{U^2}{R}$${}= \dfrac{(230\,\mathrm{V})^2}{14{,}107\,\Omega}$${}= 3\,750\,\mathrm{W}$

2. Potencia útil:

   $P_\text{útil}$${}= \eta\,P_\text{eléc}$${}= 0{,}9\cdot 3\,750\,\mathrm{W}$${}= 3\,375\,\mathrm{W}$${}= 3{,}375\,\mathrm{kW}$

Planteamiento Se pide la corriente que circula por la resistencia conectada a $230\,\mathrm{V}$ (ley de Ohm).

1. Ley de Ohm:

   $I$${}= \dfrac{U}{R}$${}= \dfrac{230\,\mathrm{V}}{14{,}107\,\Omega}$${}= 16{,}30\,\mathrm{A}$

2. También sale de la potencia eléctrica: $I$${}= P_\text{eléc}/U$${}= 3\,750\,\mathrm{W}/230\,\mathrm{V}$${}= 16{,}30\,\mathrm{A}$.

Planteamiento Se pide la energía eléctrica que consume la placa en 30 minutos: la potencia eléctrica (no la útil) por el tiempo.

1. Energía consumida, con $t=30\,\mathrm{min}=0{,}5\,\mathrm{h}$:

   $E_\text{cons}$${}= P_\text{eléc}\,t$${}= 3{,}750\,\mathrm{kW}\cdot 0{,}5\,\mathrm{h}$${}= 1{,}875\,\mathrm{kW\,h}$

2. En unidades del SI ($1\,\mathrm{kW\,h}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$):

   $E_\text{cons}$${}= 1{,}875\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ}$${}= 6{,}750\,\mathrm{MJ}$

Planteamiento Se pide la energía que consume el calentador (la del butano que quema) para calentar los $75\,\mathrm{L}$ de una ducha: primero el calor que recibe el agua y después el rendimiento.

1. Masa de agua (densidad del agua, $1\,\mathrm{kg/L}$): $m_\text{agua}=75\,\mathrm{kg}$. Calor que recibe el agua (un incremento de $20\,^\circ\mathrm{C}$ es un incremento de $20\,\mathrm{K}$):

   $E_\text{útil}$${}= m_\text{agua}\,c_\text{e}\,\Delta T$${}= 75\,\mathrm{kg}\cdot 4{,}18\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\cdot 20\,\mathrm{K}$${}= 6\,270\,\mathrm{kJ}$${}= 6{,}27\,\mathrm{MJ}$

2. Energía consumida, con el rendimiento del calentador:

   $E_\text{cons}$${}= \dfrac{E_\text{útil}}{\eta}$${}= \dfrac{6{,}27\,\mathrm{MJ}}{0{,}87}$${}= 7{,}207\,\mathrm{MJ}$

Planteamiento Se pide cuántas duchas se pueden hacer con una bombona de $12{,}5\,\mathrm{kg}$ de butano: la masa de butano que gasta cada ducha y cuántas duchas salen de la bombona.

1. Masa de butano por ducha:

   $m_\text{ducha}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{pc_\text{but}}$${}= \dfrac{7{,}207\,\mathrm{MJ}}{47{,}7\,\mathrm{MJ/kg}}$${}= 0{,}1511\,\mathrm{kg}$

2. Número de duchas:

   $n$${}= \dfrac{m}{m_\text{ducha}}$${}= \dfrac{12{,}5\,\mathrm{kg}}{0{,}1511\,\mathrm{kg}}$${}= 82{,}73$

3. Solo cuentan las duchas enteras: para la ducha 83 ya no queda butano suficiente.

Planteamiento Se pide el coste de una ducha: el del agua que se gasta más el del butano que se quema.

1. Coste del agua, con $V=75\,\mathrm{L}=0{,}075\,\mathrm{m^3}$:

   $p_\text{agua}\,V$${}= 0{,}93\,\text{€}/\mathrm{m^3}\cdot 0{,}075\,\mathrm{m^3}$${}= 0{,}06975\,\text{€}$

2. Coste del butano: el precio de la bombona multiplicado por la fracción de bombona que gasta la ducha:

   $p_\text{but}\,\dfrac{m_\text{ducha}}{m}$${}= 17{,}66\,\text{€}\cdot\dfrac{0{,}1511\,\mathrm{kg}}{12{,}5\,\mathrm{kg}}$${}= 0{,}21347\,\text{€}$

3. Coste total de una ducha:

   $p_\text{ducha}$${}= 0{,}06975\,\text{€}+0{,}21347\,\text{€}$${}= 0{,}2832\,\text{€}$