Tecnología, PAU 2022 de Cataluña: el examen de junio (serie 2) resuelto

Planteamiento Tabla de verdad de un sistema combinacional: $ab$ es la planta donde está el ascensor y $cd$ la planta que pide el usuario, ambas en binario ($a$ y $c$ son los bits de más peso). El ascensor debe subir ($z = 1$) cuando la planta pedida es más alta que la actual; si es la misma o más baja, $z = 0$.

1. Cada fila es una combinación de las cuatro entradas; junto a las entradas escribimos en decimal la planta actual ($2a + b$) y la de destino ($2c + d$), y la salida:

   $a$	$b$	$c$	$d$	Planta actual	Planta destino	$z$
   0	0	0	0	0	0	0
   0	0	0	1	0	1	1
   0	0	1	0	0	2	1
   0	0	1	1	0	3	1
   0	1	0	0	1	0	0
   0	1	0	1	1	1	0
   0	1	1	0	1	2	1
   0	1	1	1	1	3	1
   1	0	0	0	2	0	0
   1	0	0	1	2	1	0
   1	0	1	0	2	2	0
   1	0	1	1	2	3	1
   1	1	0	0	3	0	0
   1	1	0	1	3	1	0
   1	1	1	0	3	2	0
   1	1	1	1	3	3	0

2. Hay seis combinaciones con $z = 1$: desde la planta 0 hacia las plantas 1, 2 y 3; desde la planta 1 hacia las plantas 2 y 3; y desde la planta 2 hacia la planta 3. Desde la planta 3 el ascensor no puede subir nunca.

Planteamiento Función lógica del sistema: suma de productos con las filas en que $z = 1$ (forma canónica) y simplificación con un mapa de Karnaugh de cuatro variables.

1. Las filas con $z = 1$ son las 1, 2, 3, 6, 7 y 11 (el número de fila es $abcd$ leído en binario). Forma canónica, con un producto por fila y la variable negada donde vale 0:

   $z$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,d$${}+ \overline{a}\,\overline{b}\,c\,\overline{d} + \overline{a}\,\overline{b}\,c\,d$${}+ \overline{a}\,b\,c\,\overline{d} + \overline{a}\,b\,c\,d$${}+ a\,\overline{b}\,c\,d$

2. Mapa de Karnaugh ($ab$ en las filas y $cd$ en las columnas, ambas en código Gray: 00, 01, 11, 10):

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	0	1	1	1
   01	0	0	1	1
   11	0	0	0	0
   10	0	0	1	0

3. Grupo de cuatro: las filas $ab = 00$ y $ab = 01$ con las columnas $cd = 11$ y $cd = 10$ (filas 3, 2, 7 y 6 de la tabla). Dentro del grupo se mantienen $a = 0$ y $c = 1$:

   $\overline{a}\,c$

4. La fila 1 (0001) solo tiene un vecino a 1 en el mapa, la fila 3 (0011): grupo de dos con $a = 0$, $b = 0$ y $d = 1$:

   $\overline{a}\,\overline{b}\,d$

5. La fila 11 (1011) también tiene un solo vecino a 1, la fila 3 (0011), que está en la misma columna dando la vuelta al mapa: grupo de dos con $b = 0$, $c = 1$ y $d = 1$:

   $\overline{b}\,c\,d$

6. Los tres grupos cubren los seis unos y ninguno puede hacerse más grande. La función simplificada es la suma de los tres términos:

   $z = \overline{a}\,c + \overline{a}\,\overline{b}\,d + \overline{b}\,c\,d$

7. Comprobación con la tabla: para $ab = 11$ (planta 3) los tres términos valen 0; para 1011 (de la planta 2 a la 3) solo vale 1 el término $\overline{b}\,c\,d$; y para 0001 (de la planta 0 a la 1) solo vale 1 el término $\overline{a}\,\overline{b}\,d$.

Planteamiento Circuito con puertas lógicas de la función simplificada: una suma (puerta OR) de tres productos (puertas AND) en los que aparecen $\overline{a}$ y $\overline{b}$, que dan dos puertas NOT.

1. Dos puertas NOT dan $\overline{a}$ y $\overline{b}$ a partir de las entradas $a$ y $b$.

2. Tres puertas AND hacen los productos: una de dos entradas para $\overline{a}\,c$, y dos de tres entradas para $\overline{a}\,\overline{b}\,d$ y $\overline{b}\,c\,d$.

3. Una puerta OR de tres entradas suma las salidas de las tres AND y da $z$. Si se pone una puerta NOT para cada entrada negada de cada AND, el circuito es equivalente.

4. En la figura, con los símbolos normalizados: el rectángulo con «1» y un círculo en la salida es la puerta NOT, el de «&» la puerta AND y el de «≥1» la puerta OR. Un punto negro indica una conexión; donde dos líneas se cruzan sin punto no están conectadas.

ResultadoDos puertas NOT ($\overline{a}$, $\overline{b}$), tres AND ($\overline{a}\,c$, $\overline{a}\,\overline{b}\,d$, $\overline{b}\,c\,d$) y una OR de tres entradas que da $z$ (figura).

La pauta oficial da: Circuito con cuatro puertas NOT (una para cada entrada negada), tres AND ($\overline{a}\,\overline{b}\,d$, $\overline{b}\,c\,d$ y $\overline{a}\,c$) y una OR de tres entradas.

Planteamiento Energía eléctrica que consume la lavadora en un ciclo: cada fase consume su potencia media durante el tiempo que dura, y la energía del ciclo es la suma de las dos.

1. Tiempo de cada fase: el lavado dura $t_1 = 30\,\mathrm{min} = 0{,}5\,\mathrm{h}$, y el aclarado y el centrifugado ocupan el resto del programa:

   $t_2 = t - t_1 = 1{,}5\,\mathrm{h} - 0{,}5\,\mathrm{h} = 1\,\mathrm{h}$

2. Energía del ciclo:

   $E_{\text{cons}}$${}= P_1\,t_1 + P_2\,t_2$${}= 2\,000\,\mathrm{W}\cdot 0{,}5\,\mathrm{h}$${}+ 250\,\mathrm{W}\cdot 1\,\mathrm{h}$${}= 1\,250\,\mathrm{W\,h}$

3. En otras unidades, con $1\,\mathrm{W\,h} = 3\,600\,\mathrm{J}$:

   $E_{\text{cons}}$${}= 1{,}25\,\mathrm{kW\,h}$${}= 1\,250\cdot 3\,600\,\mathrm{J}$${}= 4\,500\,\mathrm{kJ}$

4. La tensión de $230\,\mathrm{V}$ no hace falta para este cálculo.

Planteamiento Porcentaje de la energía del ciclo que se consume en la fase de lavado, la que calienta el agua.

1. Energía de la fase de lavado:

   $E_1$${}= P_1\,t_1$${}= 2\,000\,\mathrm{W}\cdot 0{,}5\,\mathrm{h}$${}= 1\,000\,\mathrm{W\,h}$

2. Porcentaje sobre la energía del ciclo:

   $c_{\text{r}}$${}= \frac{E_1}{E_{\text{cons}}}\cdot 100$${}= \frac{1\,000\,\mathrm{W\,h}}{1\,250\,\mathrm{W\,h}}\cdot 100$${}= 80\,\%$

Planteamiento Coste de un ciclo según la franja horaria: energía del ciclo por precio del kW · h de la franja, suponiendo que todo el ciclo cae dentro de la misma franja.

1. En horas punta:

   $c_{\text{punta}}$${}= E_{\text{cons}}\,p_{\text{punta}}$${}= 1{,}25\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}342\,930\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 0{,}4287\,\text{€}$

2. En horas valle:

   $c_{\text{valle}}$${}= E_{\text{cons}}\,p_{\text{valle}}$${}= 1{,}25\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}216\,951\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 0{,}2712\,\text{€}$

Planteamiento Ahorro en un año: diferencia de coste entre poner la lavadora en horas punta y en horas valle, multiplicada por los ciclos que se hacen en un año.

1. Ciclos en un año, a $n = 10$ ciclos al mes:

   $N = 12\,n = 12\cdot 10 = 120$

2. Ahorro por ciclo:

   $c_{\text{punta}} - c_{\text{valle}}$${}= 0{,}4287\,\text{€} - 0{,}2712\,\text{€}$${}= 0{,}1575\,\text{€}$

3. Ahorro anual:

   $e_{\text{a}}$${}= 12\,n\,(c_{\text{punta}} - c_{\text{valle}})$${}= 120\cdot 0{,}1575\,\text{€}$${}= 18{,}90\,\text{€}$

Planteamiento Movimiento circular uniformemente decelerado: el par de fricción es constante, así que la velocidad angular del volante baja de manera uniforme desde $\omega_0$ hasta cero en $t = 1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$.

1. Velocidad angular inicial en unidades del SI (una vuelta son $2\pi\,\mathrm{rad}$ y un minuto, $60\,\mathrm{s}$):

   $\omega_0$${}= n_0\,\frac{2\pi}{60}$${}= 5\,000\cdot\frac{2\pi}{60}$${}= 523{,}6\,\mathrm{rad/s}$

2. Aceleración angular, con velocidad final $\omega_{\text{f}} = 0$:

   $\alpha$${}= \frac{\omega_{\text{f}} - \omega_0}{t}$${}= \frac{0 - 523{,}6\,\mathrm{rad/s}}{60\,\mathrm{s}}$${}= -8{,}727\,\mathrm{rad/s^2}$

3. El signo negativo indica que el volante frena.

Planteamiento Ángulo que gira el volante hasta pararse, en un movimiento uniformemente decelerado, y número de vueltas que le corresponde.

1. Ángulo girado en los $60\,\mathrm{s}$ de frenada:

   $\theta$${}= \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2$${}= 523{,}6\cdot 60$${}- \tfrac{1}{2}\cdot 8{,}727\cdot 60^2$${}= 1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}$

2. Cada vuelta son $2\pi$ radianes:

   $n$${}= \frac{\theta}{2\pi}=\frac{1{,}571\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$${}= 2\,500\ \text{vueltas}$

3. Comprobación: como la velocidad baja uniformemente, la velocidad media es la mitad de la inicial, $2\,500\,\mathrm{min^{-1}}$, y en $1\,\mathrm{min}$ el volante da $2\,500$ vueltas.

Planteamiento Energía mecánica disipada por la fricción: toda la energía cinética de rotación que tenía el volante se pierde hasta que se para.

1. Energía cinética de rotación inicial (la final es cero, porque el volante se para):

   $E_{\text{dis}}$${}= \tfrac{1}{2}\,I\,\omega_0^2$${}= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot (523{,}6\,\mathrm{rad/s})^2$${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$

2. Comprobación por el trabajo del par de fricción: $\Gamma_{\text{f}}$${}= I\,|\alpha|$${}= 0{,}9\cdot 8{,}727$${}= 7{,}854\,\mathrm{N\,m}$, y su trabajo a lo largo del ángulo girado es $\Gamma_{\text{f}}\,\theta$${}= 7{,}854\cdot 1{,}571\cdot 10^{4}$${}= 1{,}234\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$, el mismo valor.

Planteamiento Diagrama de cuerpo libre de la barra OA: se dibujan todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la barra, cada una en su punto de aplicación y con su dirección.

1. Peso $m\,g$, vertical y hacia abajo, aplicado en el centro de la barra G (la barra es homogénea), a una distancia $L$ de O y de A.

2. Fuerza del cable $T$, aplicada en A en la dirección del cable: hacia arriba y hacia la derecha, formando $\alpha = 30^\circ$ con la horizontal. Un cable solo puede tirar.

3. Reacción de la articulación O, desconocida, descompuesta en una componente horizontal $F_{\text{H}}$ y una vertical $F_{\text{V}}$. Se dibujan en el sentido que se supone; los cálculos del apartado c confirman que $F_{\text{H}}$ va hacia la izquierda y $F_{\text{V}}$ hacia arriba.

4. La barra forma $\varphi = 30^\circ$ con la horizontal. Como el cable forma $30^\circ$ con la horizontal por el lado contrario de la barra, el ángulo entre el cable y la barra en A es de $60^\circ$. La figura muestra el diagrama.

ResultadoTres fuerzas sobre la barra: el peso $m\,g$ en el centro G (hacia abajo), la tensión $T$ en A (en la dirección del cable, a $30^\circ$ por encima de la horizontal) y la reacción en O, con componentes $F_{\text{H}}$ y $F_{\text{V}}$ (figura).

La pauta oficial da: Diagrama con $T$ en A, $m\,g$ en el centro de la barra y las reacciones $F_{\text{H}}$ (hacia la izquierda) y $F_{\text{V}}$ (hacia arriba) en O.

Planteamiento Fuerza del cable a partir del equilibrio de momentos de la barra respecto de la articulación O: así las reacciones $F_{\text{H}}$ y $F_{\text{V}}$ no intervienen y la única incógnita es $T$.

1. Brazo del peso respecto de O: la distancia horizontal entre O y el centro G, $L\cos\varphi$.

2. Brazo de la tensión respecto de O: la distancia de O a la recta del cable. El cable forma $60^\circ$ con la barra y A está a $2L$ de O, así que el brazo es $2L\sin 60^\circ$.

3. Ecuación de momentos respecto de O (el peso tiende a hacer girar la barra hacia un lado y el cable hacia el otro):

   $\sum M_{\text{O}}$${}= 0:\quad T\cdot 2L\sin 60^\circ$${}- m\,g\,L\cos 30^\circ=0$

4. Como $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$, queda $T = m\,g/2$. El enunciado no da $g$; con $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$:

   $T$${}= \frac{m\,g}{2}=\frac{50\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}}{2}$${}= 245{,}2\,\mathrm{N}$

Planteamiento Reacciones en la articulación O a partir del equilibrio de fuerzas de la barra en horizontal y en vertical, con la $T$ del apartado anterior. Tomamos positivo hacia la derecha y hacia arriba.

1. Componentes de la tensión:

   $T\cos 30^\circ$${}= 245{,}2\cdot 0{,}8660$${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$$T\sin 30^\circ = 245{,}2\cdot 0{,}5 = 122{,}6\,\mathrm{N}$

2. Fuerzas horizontales: solo están la componente horizontal del cable, hacia la derecha, y $F_{\text{H}}$, que por tanto debe ir hacia la izquierda:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad T\cos 30^\circ - F_{\text{H}}=0$${}\Rightarrow F_{\text{H}}$${}= 212{,}3\,\mathrm{N}$

3. Fuerzas verticales, con el peso $m\,g = 50\cdot 9{,}807 = 490{,}4\,\mathrm{N}$:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad T\sin 30^\circ + F_{\text{V}}$${}- m\,g=0$${}\Rightarrow F_{\text{V}}$${}= 490{,}4 - 122{,}6$${}= 367{,}8\,\mathrm{N}$

4. Como $T = m\,g/2$, también puede escribirse $F_{\text{H}} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,m\,g$ y $F_{\text{V}} = \tfrac{3}{4}\,m\,g$.

Planteamiento Par del motor: el cable pasa por la polea fija, que suponemos sin fricción, y se enrolla en el tambor, de modo que tira de él con la misma fuerza $T$ a una distancia igual al radio del tambor.

1. Radio del tambor: $d/2$${}= 450\,\mathrm{mm}/2$${}= 225\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}225\,\mathrm{m}$.

2. Par, con $T = m\,g/2$ sin redondear:

   $\Gamma$${}= T\,\frac{d}{2}=\frac{m\,g\,d}{4}$${}= \frac{50\cdot 9{,}807\cdot 0{,}45}{4}$${}= 55{,}16\,\mathrm{N\,m}$

Planteamiento Esquema de un circuito mixto: una rama con tres resistencias en serie y otra con una sola resistencia, ambas conectadas a los mismos dos nudos que la fuente de tensión alterna.

1. Rama 1: $R_1$, $R_2$ y $R_3$ una detrás de otra, de modo que las atraviesa la misma intensidad.

2. Rama 2: $R_4$ sola, conectada entre los mismos dos nudos que los extremos de la rama 1.

3. La fuente sinusoidal $U$ se conecta entre los extremos de $R_4$, que son también los extremos de la rama 1: la fuente y las dos ramas quedan en paralelo. En la figura, el círculo con una onda es la fuente de tensión alterna y los puntos negros, los dos nudos.

ResultadoFuente $U$ en paralelo con dos ramas: $R_1$, $R_2$ y $R_3$ en serie, y $R_4$ sola (figura).

La pauta oficial da: Esquema con $R_1$, $R_2$ y $R_3$ en serie, $R_4$ en paralelo y la fuente sinusoidal conectada en paralelo con las dos ramas.

Planteamiento Resistencia equivalente de una asociación mixta: primero se asocian las resistencias en serie y después el resultado en paralelo con $R_4$.

1. Las tres resistencias en serie se suman:

   $R_{123}$${}= R_1 + R_2 + R_3$${}= 20\,\Omega + 20\,\Omega + 20\,\Omega$${}= 60\,\Omega$

2. En paralelo con $R_4$:

   $R_{\text{eq}}$${}= \frac{R_{123}\,R_4}{R_{123} + R_4}$${}= \frac{60\cdot 100}{60 + 100}\,\Omega$${}= 37{,}5\,\Omega$

3. Como en toda asociación en paralelo, la resistencia equivalente es menor que la de cada una de las dos ramas.

Planteamiento Intensidad y potencia del circuito completo con la ley de Ohm. Todo son resistencias, de modo que la intensidad va en fase con la tensión y, con valores eficaces, se calcula igual que en corriente continua.

1. Intensidad total que da la fuente:

   $I$${}= \frac{U}{R_{\text{eq}}}$${}= \frac{230\,\mathrm{V}}{37{,}5\,\Omega}$${}= 6{,}133\,\mathrm{A}$

2. Potencia consumida:

   $P$${}= U\,I=\frac{U^2}{R_{\text{eq}}}$${}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{37{,}5\,\Omega}$${}= 1\,411\,\mathrm{W}$${}= 1{,}411\,\mathrm{kW}$

3. Comprobación por ramas: por $R_4$ pasan $230/100 = 2{,}3\,\mathrm{A}$ y por la rama en serie $230/60 = 3{,}833\,\mathrm{A}$; la suma es $6{,}133\,\mathrm{A}$.