Estática y equilibrio: ejercicios de la PAU de Tecnología resueltos

Planteamiento Se pide la resistencia de un hilo conductor a partir de la resistividad del material, la longitud del hilo y su diámetro.

1. La sección del hilo es un círculo de diámetro $d=0{,}2\,\mathrm{mm}=2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}$

2. Con $\rho=0{,}49\,\mu\Omega\,\mathrm{m}=0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ y $L=7\,\mathrm{m}$:

   $R$${}= \rho\,\frac{L}{S}=\frac{0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot7\,\mathrm{m}}{3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}}$${}= 109{,}2\,\Omega$

3. Por qué no las otras: la c) ($27{,}30\,\Omega$) sale si se toma el diámetro como si fuera el radio ($S=\pi d^2$), y la b) ($17{,}15\,\Omega$), si se toma como sección el valor del diámetro, $0{,}2\,\mathrm{mm^2}$. La a) no sale de $R=\rho L/S$.

Planteamiento Se pide el coeficiente de eficiencia (COP) de una máquina frigorífica ideal: el de Carnot, que solo depende de las temperaturas absolutas de los dos focos.

1. Las temperaturas tienen que ir en kelvin:

   $T_\text{f}=7+273{,}15=280{,}15\,\mathrm{K}$$T_\text{c}=35+273{,}15=308{,}15\,\mathrm{K}$

2. En una máquina frigorífica, el efecto útil es el calor que se extrae del foco frío. Para la máquina ideal:

   $\text{COP}$${}= \frac{T_\text{f}}{T_\text{c}-T_\text{f}}$${}= \frac{280{,}15}{308{,}15-280{,}15}$${}= \frac{280{,}15}{28}$${}= 10{,}01$

3. Si se suma $273$ en lugar de $273{,}15$ sale $280/28=10{,}00$, y la opción más cercana sigue siendo la c).

4. Por qué no las otras: la d) ($11{,}01$) es el COP de la misma máquina funcionando como bomba de calor, $T_\text{c}/(T_\text{c}-T_\text{f})$; la a) ($0{,}25$) sale de hacer el cálculo con grados Celsius, $7/28$. La b) no sale de ninguna de estas expresiones.

Planteamiento Se pide la fuerza del cable AB que sostiene una placa articulada en O. Se obtiene con el equilibrio de momentos respecto a la articulación, donde la reacción desconocida no hace momento.

1. Fuerzas sobre la placa: el peso $m\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el centro de la placa, a una distancia horizontal $L$ de O (la mitad de $2L$); la tensión $T$ del cable, aplicada en B y dirigida hacia A, formando $30^\circ$ con el lado superior OB; y la reacción de la articulación en O.

2. El brazo de $T$ respecto a O es la distancia de O a la recta AB: $\overline{OB}\,\sin30^\circ=2L\cdot0{,}5=L$. El peso hace girar la placa en sentido horario y la tensión, en sentido antihorario:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad T\cdot2L\sin30^\circ$${}-m\,g\,L=0$${}\Rightarrow T=\frac{m\,g}{2\sin30^\circ}$${}= m\,g$

3. Con $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ (el enunciado no da su valor):

   $T=5\,\mathrm{kg}\cdot9{,}807\,\mathrm{m/s^2}=49{,}04\,\mathrm{N}$

4. Por qué no las otras: la a) ($24{,}52\,\mathrm{N}=m\,g/2$) sale si se toma como brazo de $T$ todo el lado $2L$, sin el $\sin30^\circ$; la c) y la d) ($1{,}5\,m\,g$ y $2\,m\,g$) no cumplen el equilibrio de momentos.

Planteamiento Se pide la longitud entre marcas de una probeta de aluminio sometida a tracción. Primero hay que comprobar si trabaja en zona elástica; si es así, vale la ley de Hooke.

1. Sección de la probeta, con $d=10\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\cdot(10\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 78{,}54\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensión con $F=20\,\mathrm{kN}=20\,000\,\mathrm{N}$ ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \frac{F}{S}=\frac{20\,000\,\mathrm{N}}{78{,}54\,\mathrm{mm^2}}$${}= 254{,}6\,\mathrm{MPa}$

3. Como $254{,}6\,\mathrm{MPa}$ es menor que el límite elástico, $275\,\mathrm{MPa}$, la probeta trabaja en zona elástica. Deformación unitaria y alargamiento, con $E=69\,\mathrm{GPa}=69\,000\,\mathrm{MPa}$ y $L_0=200\,\mathrm{mm}$:

   $\varepsilon$${}= \frac{\sigma}{E}=\frac{254{,}6}{69\,000}$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}$$\Delta L$${}= \varepsilon\,L_0$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}\cdot200\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}738\,\mathrm{mm}$

4. Longitud entre marcas bajo la carga:

   $L$${}= L_0+\Delta L$${}= 200+0{,}738$${}= 200{,}74\,\mathrm{mm}$

5. Por qué no las otras: con la ley de Hooke, el alargamiento de la a) ($0{,}10\,\mathrm{mm}$) correspondería a una tensión de $34{,}5\,\mathrm{MPa}$, y los de la c) y la d) ($1{,}01\,\mathrm{mm}$ y $7{,}38\,\mathrm{mm}$), a $348\,\mathrm{MPa}$ y $2\,546\,\mathrm{MPa}$, por encima incluso de la tensión de rotura; ninguna es la tensión real, $254{,}6\,\mathrm{MPa}$.

Planteamiento Se pide la función lógica de un circuito de tres puertas AND de dos entradas que van a una puerta OR; hay que leer a qué variables está conectada cada puerta.

1. Siguiendo las líneas de la figura (un punto negro es una conexión; un puente en forma de arco, un cruce sin conexión): la primera puerta AND recibe $p$ y $q$; la segunda, $q$ y $r$; la tercera, $r$ y $p$. Sus salidas son:

   $p\,q$$q\,r$$p\,r$

2. La puerta OR ($\geq1$) suma las tres salidas:

   $s=pq+qr+pr$

3. Es la función mayoría: $s=1$ cuando al menos dos de las tres entradas valen 1.

4. Por qué no las otras: la d) es la negación de esta función (haría falta un inversor a la salida); la b) y la c) son productos, que necesitarían una puerta AND a la salida, y el circuito tiene ahí una puerta OR.

Planteamiento Hay que encontrar la función de la tabla de verdad y compararla con la de cada esquema de contactos: contactos en serie hacen un producto (AND) y ramas en paralelo, una suma (OR).

1. Filas de la tabla con $d=1$: $abc=011$, $101$ y $111$. En suma de productos:

   $d=\overline{a}\,b\,c+a\,\overline{b}\,c+a\,b\,c$

2. Simplificación: $\overline{a}bc+abc=bc$ y $a\overline{b}c+abc=ac$ (el término $abc$ se puede usar dos veces, porque $x+x=x$):

   $d=b\,c+a\,c=c\,(a+b)$

3. Lectura de los esquemas: un contacto dibujado abierto, con la lámina separada del tramo siguiente, es normalmente abierto y deja pasar cuando su variable vale 1; un contacto con la lámina apoyada en un pequeño tramo vertical es normalmente cerrado y deja pasar cuando la variable vale 0. La línea vertical que une dos láminas indica que son del mismo interruptor.

4. Esquema a): arriba, $a$ abierto y $b$ cerrado en serie; abajo, $b$ abierto y $c$ cerrado. Función: $d=a\overline{b}+b\overline{c}$. Esquema b): arriba, $b$ cerrado y $c$ abierto; abajo, $a$ y $c$ abiertos: $d=\overline{b}c+ac$. Esquema c): arriba, $b$ y $c$ abiertos; abajo, $a$ y $c$ abiertos: $d=bc+ac$. Esquema d): arriba, $b$ y $c$ abiertos; abajo, $a$ cerrado y $c$ abierto: $d=bc+\overline{a}c$.

5. Solo el esquema c) da $d=bc+ac$. Los otros fallan en alguna fila: el a) da $d=1$ con $abc=100$, y el b) y el d), con $abc=001$, filas en las que la tabla dice $d=0$.

Planteamiento Se pide el rendimiento de un motor de corriente continua de imanes permanentes en condiciones nominales. Sin pérdidas por rozamiento, las únicas pérdidas son las de la resistencia del inducido, $R_\text{i}\,I^2$.

1. Potencia eléctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= V_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 300\,\mathrm{V}\cdot16\,\mathrm{A}$${}= 4\,800\,\mathrm{W}$

2. Pérdidas en la resistencia del inducido:

   $P_\text{Cu}$${}= R_\text{i}\,I_\text{N}^2$${}= 3\,\Omega\cdot(16\,\mathrm{A})^2$${}= 768\,\mathrm{W}$

3. Potencia útil y rendimiento ($0{,}84$, es decir, un $84$ %):

   $P_\text{u}=4\,800-768=4\,032\,\mathrm{W}$$\eta=\frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}}=\frac{4\,032}{4\,800}=0{,}84$

4. Lo mismo sale con la fuerza contraelectromotriz: $E$${}= V_\text{N}-R_\text{i}I_\text{N}$${}= 300-48$${}= 252\,\mathrm{V}$ y $\eta=E/V_\text{N}=252/300=0{,}84$. La velocidad $n_\text{N}$ no hace falta.

5. Por qué no las otras: la a) ($16$ %) es la fracción de pérdidas, $768/4\,800$, no el rendimiento; la b) y la d) no salen de este balance.

Planteamiento El circuito es una fuente de corriente alterna que alimenta un condensador y una bobina en serie. El amperímetro $A_2$ mide la corriente de la serie y el voltímetro $U_3$, la tensión del condensador.

1. Reactancias a $f=60\,\mathrm{Hz}$, con $L=50\,\mathrm{mH}=0{,}05\,\mathrm{H}$ y $C=66\,\mu\mathrm{F}=66\cdot10^{-6}\,\mathrm{F}$:

   $X_L$${}= 2\pi fL$${}= 2\pi\cdot60\cdot0{,}05$${}= 18{,}85\,\Omega$$X_C$${}= \frac{1}{2\pi fC}$${}= \frac{1}{2\pi\cdot60\cdot66\cdot10^{-6}}$${}= 40{,}19\,\Omega$

2. En serie y sin resistencia, las dos reactancias se restan (las tensiones de la bobina y del condensador están en oposición):

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |18{,}85-40{,}19|$${}= 21{,}34\,\Omega$

3. La tensión de la fuente, $U_1=230\,\mathrm{V}$, es la de la serie. Corriente que marca el amperímetro:

   $A_2$${}= I=\frac{U_1}{Z}$${}= \frac{230\,\mathrm{V}}{21{,}34\,\Omega}$${}= 10{,}78\,\mathrm{A}$

4. Tensión del condensador, que marca el voltímetro (con $I=10{,}777\,\mathrm{A}$, una cifra más para no arrastrar el redondeo):

   $U_3$${}= I\,X_C$${}= 10{,}777\,\mathrm{A}\cdot40{,}19\,\Omega$${}= 433{,}1\,\mathrm{V}$

5. La tensión del condensador supera la de la fuente porque la de la bobina, $I\,X_L=203{,}1\,\mathrm{V}$, va en oposición: $433{,}1-203{,}1=230\,\mathrm{V}$.

6. Por qué no las otras: la b) da como $U_3$ la tensión de la bobina, $203{,}1\,\mathrm{V}$; la c) y la d) corresponden, aproximadamente, al mismo circuito calculado a $50\,\mathrm{Hz}$ en lugar de $60\,\mathrm{Hz}$ (a $50\,\mathrm{Hz}$ sale $I=7{,}072\,\mathrm{A}$, y las tensiones del condensador y de la bobina son $341{,}1\,\mathrm{V}$ y $111{,}1\,\mathrm{V}$).

Planteamiento Se pide qué le pasa a un cable de acero estirado con $1\,500\,\mathrm{N}$: hay que calcular la tensión (la fuerza dividida entre la sección) y compararla con el límite elástico.

1. Sección del cable, con $d=3\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi\,d^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot(3\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 7{,}069\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensión ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \dfrac{F}{S}$${}= \dfrac{1\,500\,\mathrm{N}}{7{,}069\,\mathrm{mm^2}}$${}= 212{,}2\,\mathrm{MPa}$

3. Como $212{,}2\,\mathrm{MPa}$ es menos que el límite elástico, $275\,\mathrm{MPa}$, el cable trabaja en zona elástica: ni se deforma plásticamente ni se rompe, y la a) y la b) son falsas. La c), $70{,}69\,\mathrm{MPa}$, no corresponde a la fuerza y la sección del cable. El módulo elástico y la longitud no hacen falta para responder.

Planteamiento Se pregunta cómo cambia el par del motor mientras la barrera sube de la horizontal a la vertical a velocidad angular constante.

1. A velocidad angular constante no hay aceleración angular: en cada posición, el par del motor equilibra el momento del peso de la barrera respecto del eje de giro.

2. La barrera es homogénea: el peso $m\,g$ actúa en su punto medio, a $l/2$ del eje ($l$ es la longitud de la barrera). Si $\theta$ es el ángulo de la barrera con la horizontal, el brazo del peso es la distancia horizontal $(l/2)\cos\theta$:

   $\Gamma_\text{mot}=m\,g\,\dfrac{l}{2}\cos\theta$

3. Con la barrera cerrada ($\theta=0^\circ$), $\cos\theta=1$ y el par es máximo; con la barrera abierta ($\theta=90^\circ$), $\cos\theta=0$: el peso pasa por el eje de giro y el par es nulo.

4. Por qué no las otras: la a) dice lo contrario (el máximo es con la barrera cerrada); la c) es falsa porque el par cambia con $\cos\theta$, y la d) también, porque el centro de gravedad sube $l/2$ y hay que aportarle la energía potencial $m\,g\,l/2$.

Planteamiento Se pide la huella de $\mathrm{CO_2}$ de la opción que menos emite para llevar a 20 personas a $250\,\mathrm{km}$: hay que contar cuántos vehículos hacen falta de cada tipo.

1. Vehículos necesarios para 20 personas: un miniautocar (21 plazas), 4 vehículos ligeros (5 plazas cada uno) o 10 motocicletas (2 plazas cada una).

2. Emisiones de cada opción (vehículos por factor de emisión por kilómetros). Miniautocar: $1\cdot 402{,}13\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 100{,}5\,\mathrm{kg}$. Coches de gasolina: $4\cdot 149{,}28\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 149{,}3\,\mathrm{kg}$. Coches de gasoil: $4\cdot 233{,}12\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 233{,}1\,\mathrm{kg}$. Motocicletas: $10\cdot 92{,}29\,\mathrm{g/km}\cdot 250\,\mathrm{km}$${}= 230{,}7\,\mathrm{kg}$.

3. La que menos emite es el miniautocar. Las otras opciones de respuesta son las huellas de los otros medios: la b), de los coches de gasolina; la c), de los coches de gasoil, y la d), de las motocicletas.

Planteamiento Se pide la potencia que hay que aportar al compresor: la que recibe el gas (el caudal por el incremento de entalpía) más las pérdidas, que son el 20 % de la potencia aportada.

1. Caudal másico en kg/s: $\dot m=30\,\mathrm{g/s}=0{,}03\,\mathrm{kg/s}$. Potencia que recibe el gas:

   $P_\text{gas}$${}= \dot m\,(H_2-H_1)$${}= 0{,}03\,\mathrm{kg/s}\cdot(420-250)\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 5{,}1\,\mathrm{kW}$

2. Si se pierde el 20 % de la potencia aportada, el gas recibe el 80 %, es decir, el rendimiento es $\eta=0{,}8$:

   $P$${}= \dfrac{P_\text{gas}}{\eta}$${}= \dfrac{5{,}1\,\mathrm{kW}}{0{,}8}$${}= 6{,}375\,\mathrm{kW}$

3. Por qué no las otras: la c), $6{,}120\,\mathrm{kW}$, sale de sumar un 20 % a la potencia del gas ($5{,}1\cdot 1{,}2$), es decir, de calcular las pérdidas sobre la potencia que recibe el gas en lugar de sobre la aportada. La a) y la d) no corresponden a este cálculo.

Planteamiento Se pide la impedancia de una bobina y un condensador en serie a $50\,\mathrm{Hz}$: las dos reactancias tienen efectos opuestos y se restan.

1. Reactancia inductiva:

   $X_L$${}= 2\pi f\,L$${}= 2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 0{,}025\,\mathrm{H}$${}= 7{,}854\,\Omega$

2. Reactancia capacitiva:

   $X_C$${}= \dfrac{1}{2\pi f\,C}$${}= \dfrac{1}{2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 25\cdot 10^{-6}\,\mathrm{F}}$${}= 127{,}32\,\Omega$

3. Sin resistencia, la impedancia es la diferencia de las dos reactancias, en valor absoluto:

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |7{,}854-127{,}32|\,\Omega$${}= 119{,}5\,\Omega$

4. La carga es capacitiva, porque $X_C$ es mayor que $X_L$. Por qué no las otras: la b) es solo $X_L$; la d), solo $X_C$, y la a), $0\,\Omega$, solo pasaría a la frecuencia de resonancia, donde $X_L=X_C$.

Planteamiento Lectura de curvas tensión-deformación: se pregunta qué acero es más frágil, es decir, cuál se rompe con menos deformación plástica.

1. Un material frágil se rompe poco después de salir de la zona elástica, casi sin deformación plástica; uno dúctil se deforma mucho antes de romperse.

2. El acero A (línea continua) llega a unos $410\,\mathrm{MPa}$ con $\varepsilon\approx 0{,}002$ y se rompe hacia $\varepsilon\approx 0{,}004$. El acero B (línea de puntos) sale del tramo recto a unos $260\,\mathrm{MPa}$ y sigue deformándose hasta $\varepsilon\approx 0{,}014$.

3. El acero A se rompe con mucha menos deformación: es el más frágil, aunque sea el que aguanta más tensión. La figura permite compararlo, así que la c) y la d) son falsas.

4. En la figura de la versión castellana del examen, la marca central del eje vertical dice «100»; por la escala de las otras marcas (0 y 400) debería decir 200. No afecta a la respuesta, porque solo se compara la deformación.

Planteamiento Ajuste ISO 50 H7/g6: se pide el juego máximo, que se da con el agujero más grande y el eje más pequeño.

1. Medidas límite, sobre la cota nominal de $50\,\mathrm{mm}$: el agujero va de $50{,}000$ a $50{,}025\,\mathrm{mm}$, y el eje, de $49{,}975$ a $49{,}991\,\mathrm{mm}$.

2. Juego máximo: agujero máximo menos eje mínimo. Con las desviaciones, es la superior del agujero menos la inferior del eje:

   $J_\text{máx}=25\,\mu\mathrm{m}-(-25\,\mu\mathrm{m})=50\,\mu\mathrm{m}$

3. Por qué no las otras: la a), $9\,\mu\mathrm{m}$, es el juego mínimo, $0-(-9)$; la c), $34\,\mu\mathrm{m}$, es el agujero máximo menos el eje máximo, $25-(-9)$, y la b), $25\,\mu\mathrm{m}$, es el agujero mínimo menos el eje mínimo, $0-(-25)$.

Planteamiento Motor de corriente continua: se pide el rendimiento nominal, la potencia útil de la placa dividida entre la potencia eléctrica que absorbe.

1. En la placa, $P_\text{N}=60\,\mathrm{W}$ es la potencia útil en el eje. Potencia eléctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= U_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 24\,\mathrm{V}\cdot 3{,}47\,\mathrm{A}$${}= 83{,}28\,\mathrm{W}$

2. Rendimiento:

   $\eta$${}= \dfrac{P_\text{N}}{P_\text{abs}}$${}= \dfrac{60\,\mathrm{W}}{83{,}28\,\mathrm{W}}$${}= 0{,}7205$

3. Es decir, un 72 %. La velocidad de giro no hace falta para calcular el rendimiento.

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre de la barra OP (la pierna y el pie, con la hija en P): todas las fuerzas exteriores que actúan sobre ella, con el punto de aplicación y la dirección de cada una.

1. Sistema aislado: la barra OP, inclinada $\alpha=30^\circ$ respecto a la vertical. Las medidas de la figura son $b=\overline{OG}=190\,\mathrm{mm}$ y $c=\overline{OP}=400\,\mathrm{mm}$.

2. Peso de la pierna y el pie, $m_\text{p}\,g=4\cdot9{,}807=39{,}23\,\mathrm{N}$, vertical hacia abajo, aplicado en G.

3. Peso de la hija, $m_\text{h}\,g=12\cdot9{,}807=117{,}7\,\mathrm{N}$, vertical hacia abajo, aplicado en P (con $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; el enunciado no da su valor).

4. Fuerza del cuádriceps, $F_\text{m}$, aplicada en Q, hacia arriba, formando $\varphi=25^\circ$ con la prolongación de la barra por encima de O; su recta de acción pasa a $a=20\,\mathrm{mm}$ de O. Como la barra forma $30^\circ$ con la vertical, $F_\text{m}$ forma $\alpha-\varphi=5^\circ$ con la vertical, inclinada hacia el lado de la pared.

5. Reacción de la articulación en O, desconocida: se dibujan sus dos componentes, $O_\text{H}$ (horizontal, hacia la derecha, lejos de la pared) y $O_\text{V}$ (vertical, hacia arriba). Si una sale negativa, va en sentido contrario al dibujado.

ResultadoDiagrama con cuatro fuerzas: $m_\text{p}\,g$ en G y $m_\text{h}\,g$ en P, verticales hacia abajo; $F_\text{m}$ en Q, hacia arriba y a $5^\circ$ de la vertical; y la reacción en O, con componentes $O_\text{H}$ y $O_\text{V}$. Esquema en la figura.

La pauta oficial da: Diagrama de cuerpo libre: $F_\text{m}$ en Q (a $25^\circ$ de la prolongación de la barra), $m_\text{p}\,g$ en G, $m_\text{h}\,g$ en P y las componentes $O_\text{H}$ y $O_\text{V}$ de la reacción en O.

Planteamiento Se pide la fuerza del cuádriceps. Se obtiene del equilibrio de momentos respecto a O, donde las dos componentes de la reacción no hacen momento.

1. Brazos de los pesos respecto a O: las distancias horizontales de G y de P a O, porque los pesos son verticales y la barra forma $30^\circ$ con la vertical:

   $b\sin30^\circ=190\cdot0{,}5=95\,\mathrm{mm}$$c\sin30^\circ=400\cdot0{,}5=200\,\mathrm{mm}$

2. El brazo de $F_\text{m}$ es $a=20\,\mathrm{mm}$ (dato). Los pesos hacen girar la barra en sentido horario en la figura y el cuádriceps, en sentido antihorario:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad F_\text{m}\,a$${}-m_\text{p}\,g\,b\sin30^\circ$${}-m_\text{h}\,g\,c\sin30^\circ=0$

3. Despejando $F_\text{m}$, con las distancias en mm (se simplifican):

   $F_\text{m}$${}= \frac{m_\text{p}\,g\,b\sin30^\circ+m_\text{h}\,g\,c\sin30^\circ}{a}$${}= \frac{4\cdot9{,}807\cdot95+12\cdot9{,}807\cdot200}{20}\,\mathrm{N}$${}= 1\,363\,\mathrm{N}$

Planteamiento Las fuerzas en la articulación O son las dos componentes de la reacción. Se obtienen del equilibrio de fuerzas en horizontal y en vertical.

1. Componentes de $F_\text{m}$, que forma $\alpha-\varphi=5^\circ$ con la vertical y se inclina hacia la izquierda, hacia la pared (eje $x$ positivo hacia la derecha y eje $y$ positivo hacia arriba):

   $F_{\text{m},x}=-F_\text{m}\sin5^\circ=-118{,}8\,\mathrm{N}$$F_{\text{m},y}=F_\text{m}\cos5^\circ=1\,358\,\mathrm{N}$

2. Equilibrio horizontal:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad O_\text{H}-F_\text{m}\sin5^\circ=0$${}\Rightarrow O_\text{H}$${}= 118{,}8\,\mathrm{N}$

3. Equilibrio vertical:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad O_\text{V}+F_\text{m}\cos5^\circ$${}-(m_\text{h}+m_\text{p})\,g=0$${}\Rightarrow O_\text{V}$${}= 16\cdot9{,}807-1\,358$${}= -1\,201\,\mathrm{N}$

4. El signo negativo quiere decir que $O_\text{V}$ va hacia abajo, al revés de lo dibujado: la articulación empuja la pierna hacia abajo con $1\,201\,\mathrm{N}$ y hacia la derecha con $118{,}8\,\mathrm{N}$.

5. Módulo de la fuerza total en la articulación:

   $|\vec{O}|$${}= \sqrt{O_\text{H}^2+O_\text{V}^2}$${}= \sqrt{118{,}8^2+1\,201^2}$${}= 1\,207\,\mathrm{N}$

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre de la barra ABC: se aísla la barra y se dibujan todas las fuerzas externas, cada una en su punto de aplicación.

1. La barra forma $\varphi=30^\circ$ con la horizontal y no tiene masa. Actúan sobre ella tres fuerzas.

2. En el punto C, el peso del paciente, $m\,g$, vertical hacia abajo: el cable que lo sujeta es vertical y transmite todo el peso a C.

3. En el punto B, a una distancia $L$ de A, la fuerza del cilindro hidráulico, $F_\text{c}$, dirigida según el eje del cilindro, que forma $\alpha=75^\circ$ con la horizontal, hacia arriba. El ángulo entre el cilindro y la barra es $\alpha-\varphi=75^\circ-30^\circ=45^\circ$.

4. En el punto A, la reacción de la articulación, con una componente horizontal $F_\text{H}$ y una vertical $F_\text{V}$. En la figura se dibujan hacia la izquierda y hacia abajo, que es el sentido que sale al resolver el apartado c).

ResultadoDiagrama con $m\,g$ vertical hacia abajo en C, $F_\text{c}$ en B según el eje del cilindro ($75^\circ$ con la horizontal, $45^\circ$ con la barra) y las componentes $F_\text{H}$ y $F_\text{V}$ de la reacción en A (figura).

La pauta oficial da: Diagrama de cuerpo libre: $F_\text{H}$ (hacia la izquierda) y $F_\text{V}$ (hacia abajo) en A, $F_\text{c}$ en B formando $45^\circ$ con la barra, y $m\,g$ en C.

Planteamiento Se pide la fuerza del cilindro: se obtiene del equilibrio de momentos respecto de A, donde la reacción de la articulación no hace momento.

1. Brazos respecto de A: la fuerza $F_\text{c}$, aplicada a $L$ de A e inclinada $45^\circ$ respecto de la barra, tiene un brazo $L\sin 45^\circ$; el peso, aplicado en C (a $3L$ de A) y vertical, tiene un brazo horizontal $3L\cos 30^\circ$.

2. Equilibrio de momentos (positivo en sentido antihorario):

   $\sum M_\text{A}$${}= 0:\quad F_\text{c}\,L\sin 45^\circ$${}-m\,g\cdot 3L\cos 30^\circ=0$

3. La longitud $L$ se simplifica, y por eso el valor $L=300\,\mathrm{mm}$ de la figura no hace falta. Con $m\,g$${}= 85\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 833{,}6\,\mathrm{N}$:

   $F_\text{c}$${}= \dfrac{3\,m\,g\cos 30^\circ}{\sin 45^\circ}$${}= \dfrac{3\cdot 833{,}6\,\mathrm{N}\cdot 0{,}8660}{0{,}7071}$${}= 3\,063\,\mathrm{N}$

Planteamiento Se piden las componentes de la fuerza en la articulación A: se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontales y verticales de la barra.

1. Componentes de $F_\text{c}$, que forma $75^\circ$ con la horizontal: $F_\text{c}\cos 75^\circ=792{,}7\,\mathrm{N}$ hacia la derecha y $F_\text{c}\sin 75^\circ=2\,958{,}5\,\mathrm{N}$ hacia arriba.

2. Equilibrio horizontal, con $F_\text{H}$ hacia la izquierda:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad F_\text{c}\cos 75^\circ$${}-F_\text{H}=0$${}\Rightarrow F_\text{H}$${}= 792{,}7\,\mathrm{N}$

3. Equilibrio vertical, con $F_\text{V}$ hacia abajo:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad F_\text{c}\sin 75^\circ-m\,g$${}-F_\text{V}=0$${}\Rightarrow F_\text{V}$${}= 2\,958{,}5-833{,}6$${}= 2\,125\,\mathrm{N}$

4. Los dos valores salen positivos: la reacción en A va hacia la izquierda y hacia abajo, como se había dibujado. El cilindro empuja la barra hacia arriba con más fuerza que el peso, y la articulación tira de ella hacia abajo para mantener el equilibrio.

Planteamiento Diagrama de sólido libre de la guía OC: se aísla la guía y se dibujan todas las fuerzas externas que actúan sobre ella, cada una en su punto de aplicación.

1. Se aísla la guía OC (sin la pared ni el hilo) y se dibujan cuatro fuerzas, todas en el plano del dibujo.

2. Peso de la guía, $P_1 = m_\text{madera}\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el centro de la guía (es homogénea), a $l/2 = 0{,}5\,\mathrm{m}$ de O.

3. Peso de la botella, $P_2 = m_\text{agua}\,g$, vertical hacia abajo, a la distancia $x$ de O (donde está el gancho).

4. Fuerza del hilo, $T$, aplicada en B ($d = 0{,}3\,\mathrm{m}$ de O) y dirigida de B hacia A: forma $\varphi = 30^\circ$ con la horizontal, hacia arriba y hacia la pared.

5. Reacción de la articulación O, con dos componentes: $R_{Ox}$ horizontal, hacia fuera de la pared (equilibra la componente horizontal de $T$), y $R_{Oy}$ vertical. El sentido de $R_{Oy}$ se supone hacia arriba; si al resolver saliera negativa, iría hacia abajo.