Neumática, hidráulica y fluidos: ejercicios de la PAU de Tecnología resueltos

Planteamiento Rendimiento de un aparato que calienta agua: hay que comparar el calor que recibe el agua (la energía útil) con la energía eléctrica que ha consumido el lavavajillas.

1. El enunciado no da la densidad del agua; con $\rho=1\ \mathrm{kg/L}$, los 11 L de agua tienen una masa de $11\ \mathrm{kg}=11\,000\ \mathrm{g}$. El agua se calienta de 10 °C a 70 °C, es decir, $\Delta T=60\ {}^\circ\mathrm{C}$.

2. Calor que recibe el agua:

   $Q$${}= m\,c_\text{e}\,\Delta T$${}= 11\,000\ \mathrm{g}\cdot4{,}18\ \mathrm{\dfrac{J}{g\,{}^\circ C}}\cdot60\ {}^\circ\mathrm{C}$${}= 2{,}759\cdot10^{6}\ \mathrm{J}$

3. Energía eléctrica consumida, pasada a julios ($1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\cdot10^{6}\ \mathrm{J}$):

   $E_\text{eléctr}$${}= 0{,}9\ \mathrm{kW\,h}\cdot3{,}6\cdot10^{6}\ \mathrm{\dfrac{J}{kW\,h}}$${}= 3{,}24\cdot10^{6}\ \mathrm{J}$

4. Rendimiento (energía útil entre energía consumida); en porcentaje, el $85{,}15$ %:

   $\eta$${}= \dfrac{Q}{E_\text{eléctr}}$${}= \dfrac{2{,}759\cdot10^{6}\ \mathrm{J}}{3{,}24\cdot10^{6}\ \mathrm{J}}$${}= 0{,}8515$

5. Por qué no las otras: la c) ($76{,}63$ %) es lo que sale si se divide la energía útil, $0{,}7663\ \mathrm{kW\,h}$, entre $1\ \mathrm{kW\,h}$ en lugar de entre los $0{,}9\ \mathrm{kW\,h}$ consumidos; la a) y la b) no salen del cociente entre la energía útil y la consumida.

Planteamiento Consumo específico de un motor térmico: la masa de combustible que quema por cada kW h de trabajo útil que da en el eje, a partir del poder calorífico y del rendimiento.

1. Cada kilogramo de gasoil libera $44{,}8\ \mathrm{MJ}$, y el motor convierte en trabajo el 32 %:

   $W_\text{útil}$${}= \eta\,p_\text{c}$${}= 0{,}32\cdot44{,}8\ \mathrm{MJ/kg}$${}= 14{,}34\ \mathrm{MJ/kg}$

2. Pasado a kW h ($1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\ \mathrm{MJ}$):

   $W_\text{útil}$${}= \dfrac{14{,}336\ \mathrm{MJ/kg}}{3{,}6\ \mathrm{MJ/(kW\,h)}}$${}= 3{,}982\ \mathrm{kW\,h/kg}$

3. El consumo específico es el inverso: la masa de gasoil que hay que quemar para obtener 1 kW h de trabajo útil.

   $c_\text{esp}$${}= \dfrac{1}{3{,}982\ \mathrm{kW\,h/kg}}$${}= 0{,}2511\ \mathrm{kg/(kW\,h)}$${}= 251{,}1\ \mathrm{g/(kW\,h)}$

4. La densidad no hace falta, porque el consumo específico se da en masa. Por qué no las otras: la b) ($69{,}75$) son gramos por MJ, sin pasar a kW h; la c) ($80{,}36$) es el consumo con un rendimiento del 100 %, $3\,600\ \mathrm{kJ}/44{,}8\ \mathrm{kJ/g}$; la d) ($3{,}982$) es el trabajo útil por kilogramo en kW h/kg, no un consumo.

Planteamiento Velocidad de retroceso de un cilindro hidráulico de doble efecto: en el retroceso el aceite entra por el lado del vástago, donde la superficie útil es la corona entre el émbolo y el vástago.

1. Caudal en unidades del SI:

   $q$${}= \dfrac{9{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{60\ \mathrm{s}}$${}= 1{,}55\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$

2. Superficie de la corona, con $D=60\ \mathrm{mm}=0{,}060\ \mathrm{m}$ y $d=25\ \mathrm{mm}=0{,}025\ \mathrm{m}$:

   $A_\text{ret}$${}= \dfrac{\pi\,(D^2-d^2)}{4}$${}= \dfrac{\pi\,(0{,}060^2-0{,}025^2)}{4}$${}= 2{,}3366\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

3. Velocidad de retroceso (caudal entre superficie):

   $v_\text{ret}$${}= \dfrac{q}{A_\text{ret}}$${}= \dfrac{1{,}55\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}}{2{,}3366\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}}$${}= 6{,}634\cdot10^{-2}\ \mathrm{m/s}$${}= 66{,}34\ \mathrm{mm/s}$

4. Por qué no las otras: la c) ($54{,}82\ \mathrm{mm/s}$) es la velocidad de avance, con toda la superficie del émbolo, $\pi D^2/4$; la a) y la b) son las velocidades de avance y de retroceso expresadas en m/min ($3{,}289$ y $3{,}980$) pero con la unidad mm/s.

Planteamiento Reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero al reducir una fracción de residuo: se multiplica la masa de envases que se ha dejado de generar por el factor de emisión de los envases.

1. Masa de envases que se ha dejado de generar (el 60 % de 525 kg):

   $\Delta m=0{,}60\cdot525\ \mathrm{kg}=315\ \mathrm{kg}$

2. El factor de emisión de los envases (tabla) es $120{,}09\ \mathrm{g\,CO_{2_{eq}}}$ por kilogramo. Reducción de emisiones:

   $\Delta E$${}= 315\ \mathrm{kg}\cdot120{,}09\ \mathrm{g\,CO_{2_{eq}}/kg}$${}= 37\,828\ \mathrm{g\,CO_{2_{eq}}}$${}= 37{,}83\ \mathrm{kg\,CO_{2_{eq}}}$

3. Por qué no las otras: la a) ($25{,}22$) corresponde a los 210 kg que aún se generan (el 40 % restante); la c) ($63{,}05$), a los 525 kg enteros; la d) ($88{,}27$) corresponde a 735 kg, el 140 % de 525 kg, que no es la masa que se ha dejado de generar.

Planteamiento Error relativo del grosor de una pieza medida con pie de rey: el grosor no se mide directamente, sale de la diferencia entre las cotas $b$ y $a$.

1. En la figura, $b$ es la anchura total de la base y $a$ es la cota interior, desde la cara interior del brazo vertical hasta el extremo derecho (en la figura del examen esta cota no lleva la letra $a$). El grosor del brazo vertical es la diferencia:

   $e=b-a$

2. Grosor nominal y grosor medido:

   $e_\text{nom}=120-90=30\ \mathrm{mm}$$e_\text{med}=120{,}1-88{,}8=31{,}3\ \mathrm{mm}$

3. Error relativo respecto al valor nominal; en porcentaje, un $4{,}333$ %:

   $\varepsilon_\text{r}$${}= \dfrac{e_\text{med}-e_\text{nom}}{e_\text{nom}}$${}= \dfrac{31{,}3-30}{30}$${}= 0{,}04333$

4. Por qué no las otras: la b) ($0{,}4333$ %) es el mismo valor diez veces más pequeño, un error al pasar a porcentaje; la a) y la d) no salen de comparar el grosor medido con el nominal.

Planteamiento Diagrama de cuerpo libre de la barra OBC: se aísla la barra y se dibujan todas las fuerzas exteriores, cada una en su punto de aplicación.

1. En el punto C, el peso de las cajas, vertical y hacia abajo (con $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$, ya que el enunciado no da su valor):

   $m\,g$${}= 75\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$${}= 735{,}5\ \mathrm{N}$

2. En el punto B, la fuerza del cilindro, $F_\text{c}$, en la dirección del cilindro (la recta PB) y con sentido de P hacia B: el cilindro empuja la barra hacia arriba. Forma el ángulo $\alpha$ con la barra.

3. En el punto O, la reacción de la articulación, con dos componentes: $F_\text{H}$ (horizontal) y $F_\text{V}$ (vertical). En la figura $F_\text{H}$ va hacia la derecha y $F_\text{V}$ hacia abajo, que es el sentido que sale de las ecuaciones del apartado c.

4. La masa de la barra es despreciable: no hay peso propio. La figura recoge las tres fuerzas.

ResultadoSobre la barra actúan $m\,g$ hacia abajo en C, $F_\text{c}$ en B en la dirección PB (de P hacia B) y la reacción en O, con componentes $F_\text{H}$ y $F_\text{V}$ (figura).

La pauta oficial da: Diagrama: $m\,g$ hacia abajo en C, $F_\text{c}$ en B formando el ángulo $\alpha$ con la barra, y en O las componentes $F_\text{H}$ (hacia la derecha) y $F_\text{V}$ (hacia abajo).

Planteamiento Relación geométrica entre el ángulo $\varphi$ de la barra con la horizontal y el ángulo $\alpha$ entre la barra y el cilindro, a partir del triángulo OPB.

1. El triángulo OPB es isósceles: $OP=l$ (enunciado) y $OB=l$ (B es el punto medio de una barra de longitud $2l$). Por tanto, los ángulos en B y en P son iguales, y en B ese ángulo es $\alpha$.

2. El ángulo en O es el que forman la vertical hacia abajo (OP) y la barra (OB): $90^\circ$ hasta la horizontal más $\varphi$ hasta la barra, es decir, $90^\circ+\varphi$.

3. Los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$:

   $(90^\circ+\varphi)+2\alpha$${}= 180^\circ$${}\Rightarrow \alpha=\dfrac{90^\circ-\varphi}{2}$${}= 45^\circ-\dfrac{\varphi}{2}$

Planteamiento Fuerza del cilindro para que la barra esté en equilibrio con $\varphi=30^\circ$: se toman momentos respecto a O, donde la reacción de la articulación no hace momento.

1. Con $\varphi=30^\circ$, la relación del apartado b da $\alpha=(90^\circ-30^\circ)/2=30^\circ$.

2. Brazos respecto a O: el peso actúa en C, a una distancia horizontal $2l\cos\varphi$ de O; la fuerza del cilindro actúa en B, a una distancia $l$ de O y formando el ángulo $\alpha$ con la barra, así que su brazo es $l\sin\alpha$. El cilindro hace girar la barra hacia arriba y el peso, hacia abajo.

3. Equilibrio de momentos respecto a O:

   $\sum M_\text{O}=0:$$F_\text{c}\,l\sin\alpha-m\,g\,2l\cos\varphi=0$

4. Despejando $F_\text{c}$ y sustituyendo:

   $F_\text{c}$${}= \dfrac{2\,m\,g\cos\varphi}{\sin\alpha}$${}= \dfrac{2\cdot735{,}5\ \mathrm{N}\cdot\cos30^\circ}{\sin30^\circ}$${}= 2\,548\ \mathrm{N}$

5. Las reacciones en O no se piden, pero completan el diagrama. En P, el cilindro forma el ángulo $\alpha=30^\circ$ con la vertical OP, de modo que la recta PB forma $60^\circ$ con la horizontal y $F_\text{c}$ apunta hacia arriba y hacia la izquierda. Ecuaciones de fuerzas, con $F_\text{H}$ hacia la derecha y $F_\text{V}$ hacia abajo:

   $\sum F_x=0:\ F_\text{H}-F_\text{c}\cos60^\circ=0$$\sum F_y$${}= 0:\ F_\text{c}\sin60^\circ-m\,g$${}-F_\text{V}=0$

6. Sustituyendo, salen positivas, es decir, con el sentido supuesto:

   $F_\text{H}=2\,548\cdot0{,}5=1\,274\ \mathrm{N}$$F_\text{V}$${}= 2\,548\cdot0{,}8660-735{,}5$${}= 1\,471\ \mathrm{N}$

Planteamiento Presión relativa del aceite dentro del cilindro: la fuerza que ejerce el cilindro dividida entre la superficie del émbolo.

1. Superficie del émbolo, con $d_\text{int}=40\ \mathrm{mm}=0{,}04\ \mathrm{m}$:

   $A$${}= \dfrac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. El cilindro empuja (el vástago sale), así que el aceite actúa sobre toda la cara del émbolo:

   $p_\text{int}$${}= \dfrac{F_\text{c}}{A}$${}= \dfrac{2\,548\ \mathrm{N}}{1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}}$${}= 2{,}028\cdot10^{6}\ \mathrm{Pa}$${}= 2{,}028\ \mathrm{MPa}$

Planteamiento Límite elástico de un material a partir de la curva tensión-deformación de un ensayo de tracción.

1. Cuando la curva no tiene un límite marcado, el límite elástico se toma de manera convencional: es la tensión en la que la curva corta una recta paralela al tramo recto (elástico) que sale de una deformación permanente $\varepsilon=0{,}002$, el $0{,}2$ %.

2. La figura ya dibuja esa recta fina. En el eje horizontal, la marca $0{,}005$ cae en la quinta línea vertical de la cuadrícula, así que cada línea vale $0{,}001$ y la recta fina sale de la segunda, $\varepsilon=0{,}002$. La recta corta la curva a la altura de la línea horizontal de $250\ \mathrm{MPa}$, a medio camino entre 200 y 300.

3. Por qué no las otras: $200\ \mathrm{MPa}$, la b), es donde acaba el tramo recto de la curva, el límite de proporcionalidad; $230\ \mathrm{MPa}$, la a), no corresponde a ningún punto destacado de la curva, y $265\ \mathrm{MPa}$, la c), queda por encima de toda la curva dibujada, que no llega a $265\ \mathrm{MPa}$.

Planteamiento Emisiones de $\mathrm{CO_2}$ de un coche: hay que saber cuántos kilómetros hace con el 90 % del depósito y multiplicarlos por el factor de emisión por kilómetro.

1. Combustible utilizado:

   $V=0{,}90\cdot60\ \mathrm{L}=54\ \mathrm{L}$

2. Distancia recorrida con un consumo de $4{,}6\ \mathrm{L}$ cada $100\ \mathrm{km}$:

   $s$${}= \dfrac{54\ \mathrm{L}}{4{,}6\ \mathrm{L}}\cdot100\ \mathrm{km}$${}= 1\,173{,}9\ \mathrm{km}$

3. Masa de $\mathrm{CO_2}$ emitida:

   $m_{\mathrm{CO_2}}$${}= 1\,173{,}9\ \mathrm{km}\cdot121\ \mathrm{g/km}$${}= 1{,}420\cdot10^{5}\ \mathrm{g}$${}= 142{,}0\ \mathrm{kg}$

4. Por qué no las otras: la b) ($157{,}8\ \mathrm{kg}$) corresponde al depósito entero, 60 L, sin descontar el 10 % que queda; la d) ($1{,}420\ \mathrm{kg}$) es el mismo resultado cien veces más pequeño, un error de unidades; la c) no sale de este cálculo.

Planteamiento Deslizamiento de un motor de inducción trifásico: se compara la velocidad del eje con la velocidad de sincronismo del campo giratorio, que depende de la frecuencia y del número de polos.

1. Hexapolar quiere decir 6 polos, es decir, $p=3$ pares de polos. Velocidad de sincronismo con $f=50\ \mathrm{Hz}$:

   $n_\text{s}$${}= \dfrac{60\,f}{p}$${}= \dfrac{60\cdot50}{3}$${}= 1\,000\ \mathrm{min^{-1}}$

2. Deslizamiento en tanto por uno:

   $s$${}= \dfrac{n_\text{s}-n}{n_\text{s}}$${}= \dfrac{1\,000-940}{1\,000}$${}= 0{,}06$

3. La tensión (230 V) no interviene en el cálculo. Por qué no las otras: la b) ($63{,}83\cdot10^{-3}$) sale de dividir entre la velocidad del eje, $60/940$, en lugar de entre la de sincronismo; la a) y la d) son deslizamientos demasiado grandes: con $n_\text{s}=1\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ el eje giraría a unas $532$ y $120\ \mathrm{min^{-1}}$, y no a $940\ \mathrm{min^{-1}}$.

Planteamiento Resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo con tolerancia: el valor mínimo sale con las dos en su mínimo y el máximo, con las dos en su máximo.

1. Valor nominal:

   $R_\text{eq}$${}= \dfrac{R_1\,R_2}{R_1+R_2}$${}= \dfrac{20\cdot30}{20+30}$${}= 12\ \Omega$

2. Mínimo, con las dos un 5 % por debajo ($19\ \Omega$ y $28{,}5\ \Omega$):

   $R_\text{eq,mín}$${}= \dfrac{19\cdot28{,}5}{19+28{,}5}$${}= 11{,}40\ \Omega$

3. Máximo, con las dos un 5 % por encima ($21\ \Omega$ y $31{,}5\ \Omega$):

   $R_\text{eq,máx}$${}= \dfrac{21\cdot31{,}5}{21+31{,}5}$${}= 12{,}60\ \Omega$

4. Es decir, $12\ \Omega\pm5$ %: si las dos resistencias tienen la misma tolerancia, la equivalente en paralelo también la tiene. Por qué no las otras: la b) son los límites de la conexión en serie ($50\ \Omega\pm5$ %); la d) sale de combinar una resistencia en su mínimo y la otra en su máximo, que no da los extremos; la c) sería $50\ \Omega\pm1$ %, que no corresponde a los datos.

Planteamiento Fuerza teórica de avance de un cilindro de simple efecto: en el avance la presión actúa sobre toda la cara del émbolo, y el vástago no le resta superficie.

1. Superficie del émbolo, con $D=40\ \mathrm{mm}=0{,}04\ \mathrm{m}$:

   $A$${}= \dfrac{\pi\,D^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. Fuerza teórica, con $p=0{,}7\ \mathrm{MPa}=7\cdot10^{5}\ \mathrm{Pa}$:

   $F$${}= p\,A=7\cdot10^{5}\ \mathrm{Pa}\cdot1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$${}= 879{,}6\ \mathrm{N}$

3. «Teórica» quiere decir sin descontar la fuerza del muelle de retorno ni los rozamientos, que el enunciado no da. Por qué no las otras: la a) ($536{,}0\ \mathrm{N}$) usa la superficie de la corona $\pi\,(D^2-d^2)/4$, que es la del retroceso de un cilindro de doble efecto; la b) ($343{,}6\ \mathrm{N}$), la sección del vástago; la c) ($123{,}7\ \mathrm{N}$), un círculo de diámetro $D-d$.

Planteamiento Se pide el rendimiento de un motor de combustión: el cociente entre la potencia mecánica que da (par por velocidad angular) y la potencia térmica que aporta el combustible (caudal másico por poder calorífico).

1. Caudal másico de combustible: el volumen por hora por la densidad ($0{,}85\,\mathrm{kg/dm^3} = 0{,}85\,\mathrm{kg/L}$, porque $1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{L}$).

   $\dot m$${}= 9{,}5\,\mathrm{L/h}\cdot 0{,}85\,\mathrm{kg/L}$${}= 8{,}075\,\mathrm{kg/h}$

2. Potencia térmica que aporta el combustible, pasando las horas a segundos ($1\,\mathrm{h} = 3\,600\,\mathrm{s}$) y los MJ a J:

   $P_\mathrm{c}$${}= \dot m\,p_\mathrm{c}$${}= \frac{8{,}075\,\mathrm{kg}}{3\,600\,\mathrm{s}}\cdot 44{,}8\cdot 10^{6}\,\mathrm{J/kg}$${}= 100{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}$

3. Velocidad angular del motor:

   $\omega$${}= 3\,000\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$${}= 314{,}16\,\mathrm{rad/s}$

4. Potencia mecánica que da el motor:

   $P_\mathrm{m}$${}= \Gamma\,\omega=87\,\mathrm{N\,m}\cdot 314{,}16\,\mathrm{rad/s}$${}= 27{,}33\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}$

5. Rendimiento, que es el $27{,}2$ %:

   $\eta$${}= \frac{P_\mathrm{m}}{P_\mathrm{c}}$${}= \frac{27{,}33\,\mathrm{kW}}{100{,}5\,\mathrm{kW}}$${}= 0{,}272$

6. Las otras opciones no salen del cociente $P_\mathrm{m}/P_\mathrm{c}$ con estos datos: la a) es más baja que el valor calculado y la c) y la d), mucho más altas.

Planteamiento Se pregunta qué energía mecánica hace falta para llevar una barrera homogénea de la horizontal a la vertical, girando alrededor de un extremo. Es el aumento de energía potencial, que depende de cuánto sube el centro de gravedad.

1. La barrera es homogénea: el centro de gravedad está en su punto medio, a $l/2$ del eje de giro. En posición horizontal está a la altura del eje, y en posición vertical está $l/2$ más arriba:

   $\Delta h = \frac{l}{2} = \frac{1{,}5\,\mathrm{m}}{2} = 0{,}75\,\mathrm{m}$

2. Aumento de energía potencial (el enunciado no da $g$; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$, y con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale el mismo resultado):

   $\Delta E_\mathrm{p}$${}= m\,g\,\Delta h$${}= 3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}75\,\mathrm{m}$${}= 22{,}07\,\mathrm{J}$

3. Si la barrera sale del reposo y se detiene en la vertical, como es el caso de una barrera que se abre, la energía cinética inicial y final es cero: la energía necesaria es solo el aumento de energía potencial, y no depende de la velocidad de giro (la d) es falsa). Tampoco es nula, porque el centro de gravedad sube (la a) es falsa).

4. La c), $44{,}13\,\mathrm{J}$, es $m\,g\,l$: lo que saldría si toda la masa subiera la longitud entera de la barrera, cuando el centro de gravedad solo sube $l/2$.

   $m\,g\,l = 3\cdot 9{,}807\cdot 1{,}5 = 44{,}13\,\mathrm{J}$

Planteamiento Se pide el coste de la energía eléctrica que consume la bomba de una depuradora durante siete meses: la energía consumida (potencia consumida por tiempo de funcionamiento) por el precio del kW h.

1. Días de abril a octubre, ambos incluidos: abril $30$, mayo $31$, junio $30$, julio $31$, agosto $31$, septiembre $30$ y octubre $31$.

   $N$${}= 30+31+30+31+31$${}+30+31$${}= 214\ \text{días}$

2. Horas de funcionamiento, a $6$ horas al día:

   $t = 214\cdot 6\,\mathrm{h} = 1\,284\,\mathrm{h}$

3. Los $1{,}1\,\mathrm{kW}$ ya son la potencia que la bomba consume de la red. El rendimiento $0{,}7$ dice qué parte de esa potencia llega al agua, pero no cambia lo que se paga. Energía consumida:

   $E$${}= P\,t=1{,}1\,\mathrm{kW}\cdot 1\,284\,\mathrm{h}$${}= 1\,412{,}4\,\mathrm{kW\,h}$

4. Coste, en euros, a $0{,}21578$ €/(kW h):

   $C = 1\,412{,}4\cdot 0{,}21578 = 304{,}8$

5. La b), $213{,}3$ €, es lo que sale si se multiplica, por error, por $0{,}7$; y la d), $149{,}3$ €, si se multiplica dos veces por $0{,}7$. La c) no sale de ninguno de estos cálculos.

   $304{,}77\cdot 0{,}7 = 213{,}3$$304{,}77\cdot 0{,}7^2 = 149{,}3$

Planteamiento Se pregunta cuánto debe desplazarse el émbolo pequeño de una prensa hidráulica para que la carga suba $20\,\mathrm{mm}$. Como el líquido es incompresible, el volumen que desplaza el émbolo pequeño es el mismo que recibe el émbolo grande.

1. Igualdad de volúmenes desplazados, con $A = \pi D^2/4$ ($\mathrm{p}$, émbolo pequeño; $\mathrm{g}$, émbolo grande):

   $A_\mathrm{p}\,x_\mathrm{p}$${}= A_\mathrm{g}\,x_\mathrm{g}$${}\Rightarrow x_\mathrm{p}$${}= x_\mathrm{g}\,\frac{D_\mathrm{g}^2}{D_\mathrm{p}^2}$

2. Sustituyendo:

   $x_\mathrm{p}$${}= 20\,\mathrm{mm}\cdot\left(\frac{900\,\mathrm{mm}}{300\,\mathrm{mm}}\right)^2$${}= 20\,\mathrm{mm}\cdot 9$${}= 180\,\mathrm{mm}$

3. La masa de $750\,\mathrm{kg}$ no hace falta para el desplazamiento: solo serviría para calcular la fuerza en el émbolo pequeño. La d), $60\,\mathrm{mm}$, sale de multiplicar por la relación de diámetros ($3$) en lugar de la relación de áreas ($9$).

Planteamiento Se pide la potencia de un calefactor a partir de los datos del hilo resistivo: primero la resistencia del hilo, $R = \rho\,L/S$, y después la potencia a $230\,\mathrm{V}$, $P = U^2/R$.

1. Sección del hilo, con el diámetro en metros ($d = 0{,}12\,\mathrm{mm} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$):

   $S$${}= \frac{\pi\,d^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 1{,}131\cdot 10^{-8}\,\mathrm{m^2}$

2. Resistencia del hilo, de longitud $L = 30\,\mathrm{m}$:

   $R$${}= \rho\,\frac{L}{S}=16\cdot 10^{-9}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot\frac{30\,\mathrm{m}}{1{,}131\cdot 10^{-8}\,\mathrm{m^2}}$${}= 42{,}44\,\Omega$

3. Potencia consumida a $U = 230\,\mathrm{V}$:

   $P$${}= \frac{U^2}{R}$${}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{42{,}44\,\Omega}$${}= 1\,246\,\mathrm{W}$${}= 1{,}246\,\mathrm{kW}$

4. Las otras tres opciones no coinciden con el valor de $U^2/R$ calculado con estos datos.

Planteamiento Se pide el cilindro más pequeño de la lista que pueda hacer $65\,000\,\mathrm{N}$ en el avance sin pasar de la presión máxima de la bomba. En un cilindro de simple efecto, en el avance el aceite empuja toda la sección del émbolo, de diámetro $d_\text{int}$.

1. La fuerza en el avance es la presión por el área del émbolo. Con la presión máxima, el diámetro mínimo es:

   $F$${}= p_\text{máx}\,\frac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}\Rightarrow d_\text{int,mín}$${}= \sqrt{\frac{4F}{\pi\,p_\text{máx}}}$

2. Sustituyendo, con $20\,\mathrm{MPa} = 20\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$:

   $d_\text{int,mín}$${}= \sqrt{\frac{4\cdot 65\,000\,\mathrm{N}}{\pi\cdot 20\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}}}$${}= 0{,}06433\,\mathrm{m}$${}= 64{,}33\,\mathrm{mm}$

3. Los modelos de $\mathrm{M_1}$ a $\mathrm{M_4}$, con $d_\text{int} \le 60\,\mathrm{mm}$, no llegan a hacer la fuerza. El más pequeño con $d_\text{int} \ge 64{,}33\,\mathrm{mm}$ es el $\mathrm{M_5}$, de $70\,\mathrm{mm}$.

Planteamiento Se pide la presión que debe dar la bomba con el modelo $\mathrm{M_5}$. A velocidad constante, la fuerza del cilindro es igual a la carga, $65\,000\,\mathrm{N}$, y la presión es esa fuerza dividida por el área del émbolo.

1. Área del émbolo en el avance ($d_\text{int} = 70\,\mathrm{mm} = 0{,}07\,\mathrm{m}$):

   $A_\text{avance}$${}= \frac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(0{,}07\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}$

2. Presión necesaria:

   $p_0$${}= \frac{F}{A_\text{avance}}$${}= \frac{65\,000\,\mathrm{N}}{3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}$${}= 16{,}89\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$${}= 16{,}89\,\mathrm{MPa}$

3. Es menor que los $20\,\mathrm{MPa}$ máximos de la bomba, como debía ser al elegir un cilindro mayor que el mínimo.

Planteamiento Se piden la velocidad de avance del vástago y la potencia del cilindro. Todo el caudal de la bomba entra en la cámara del émbolo: la velocidad es el caudal dividido por el área, y la potencia es la fuerza por la velocidad.

1. Caudal en unidades del SI:

   $q$${}= 3\,\mathrm{m^3/h}$${}= \frac{3\,\mathrm{m^3}}{3\,600\,\mathrm{s}}$${}= 8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}$

2. Velocidad del vástago:

   $v_\text{vástago}$${}= \frac{q}{A_\text{avance}}$${}= \frac{8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}}{3{,}8485\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}$${}= 0{,}2165\,\mathrm{m/s}$${}= 216{,}5\,\mathrm{mm/s}$

3. Potencia que desarrolla el cilindro:

   $P_\text{cil}$${}= F\,v_\text{vástago}$${}= 65\,000\,\mathrm{N}\cdot 0{,}2165\,\mathrm{m/s}$${}= 14{,}07\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}$${}= 14{,}07\,\mathrm{kW}$

4. Comprobación: la potencia hidráulica que entra en el cilindro, presión por caudal, da lo mismo:

   $p_0\,q$${}= 16{,}89\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}\cdot 8{,}3333\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}$${}= 14{,}07\,\mathrm{kW}$

5. Si la velocidad se redondea a $0{,}216\,\mathrm{m/s}$ antes de multiplicar, sale $14{,}04\,\mathrm{kW}$; la diferencia es solo de redondeo.

Planteamiento Se pide la tensión normal en el vástago mientras empuja la carga. El vástago transmite la fuerza $F$ y trabaja a compresión; la tensión es la fuerza dividida por la sección del vástago.

1. Sección del vástago ($d_\text{vástago} = 40\,\mathrm{mm} = 0{,}04\,\mathrm{m}$):

   $A_\text{vástago}$${}= \frac{\pi\,d_\text{vástago}^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(0{,}04\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}$

2. Tensión normal de compresión:

   $\sigma$${}= \frac{F}{A_\text{vástago}}$${}= \frac{65\,000\,\mathrm{N}}{1{,}2566\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}}$${}= 51{,}73\cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$${}= 51{,}73\,\mathrm{MPa}$