Tecnología, PAU 2023 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Se pide la tabla de verdad de la función $a(t,h,v,p)$: para cada una de las $16$ combinaciones de las cuatro entradas hay que decidir si se cumple alguna de las tres condiciones de cierre.

1. Traducción de las tres condiciones a las variables: viento fuerte, $v = 1$; temperatura alta con humedad baja, $t = 1$ y $h = 0$ (el producto $t\,\overline{h}$); cambio repentino de presión con humedad alta, $p = 1$ y $h = 1$ (el producto $h\,p$). El techo se cierra ($a = 1$) si se cumple al menos una.

2. Tabla de verdad, con las filas en orden binario $t\,h\,v\,p$; la última columna dice qué condición se cumple:

   $t$	$h$	$v$	$p$	$a$	Condición
   0	0	0	0	0	—
   0	0	0	1	0	—
   0	0	1	0	1	$v$
   0	0	1	1	1	$v$
   0	1	0	0	0	—
   0	1	0	1	1	$h\,p$
   0	1	1	0	1	$v$
   0	1	1	1	1	$v$, $h\,p$
   1	0	0	0	1	$t\,\overline{h}$
   1	0	0	1	1	$t\,\overline{h}$
   1	0	1	0	1	$v$, $t\,\overline{h}$
   1	0	1	1	1	$v$, $t\,\overline{h}$
   1	1	0	0	0	—
   1	1	0	1	1	$h\,p$
   1	1	1	0	1	$v$
   1	1	1	1	1	$v$, $h\,p$

Planteamiento Se pide la función lógica de $a$ y su simplificación. Se pasan los unos de la tabla a un mapa de Karnaugh y se agrupan en bloques lo más grandes posible.

1. Mapa de Karnaugh, con $th$ en las filas y $vp$ en las columnas, ambas en código Gray ($00$, $01$, $11$, $10$):

   $th \backslash vp$	$00$	$01$	$11$	$10$
   $00$	0	0	1	1
   $01$	0	1	1	1
   $11$	0	1	1	1
   $10$	1	1	1	1

2. Grupo 1: las dos columnas $vp = 11$ y $vp = 10$ enteras (ocho unos). En ellas siempre $v = 1$ y cambian todas las demás variables: el término es $v$.

3. Grupo 2: la fila $th = 10$ entera (cuatro unos). En ella siempre $t = 1$ y $h = 0$: el término es $t\,\overline{h}$.

4. Grupo 3: el cuadrado de las filas $th = 01$ y $th = 11$ con las columnas $vp = 01$ y $vp = 11$ (cuatro unos). En él siempre $h = 1$ y $p = 1$: el término es $h\,p$.

5. Los tres grupos cubren los doce unos. La función simplificada es la suma de los tres términos, que es justamente la frase del enunciado (viento fuerte, o calor con humedad baja, o cambio de presión con humedad alta):

   $a = v + t\,\overline{h} + h\,p$

6. También se puede escribir la función como producto de sumas a partir de los cuatro ceros de la tabla (un factor por cero, con la variable negada donde vale $1$); simplificándola se llega a la misma expresión:

   $a$${}= (t+h+v+p)\,(t+h+v+\overline{p})\,(t+\overline{h}+v+p)\,(\overline{t}+\overline{h}+v+p)$

Planteamiento Se pide el esquema de contactos de la función simplificada, $a = v + t\,\overline{h} + h\,p$: cada producto es una rama de contactos en serie, y la suma es la conexión en paralelo de las ramas.

1. Rama 1: un contacto normalmente abierto de $v$.

2. Rama 2: un contacto normalmente abierto de $t$ en serie con un contacto normalmente cerrado de $h$, que hace la función $\overline{h}$ (conduce cuando $h = 0$).

3. Rama 3: un contacto normalmente abierto de $h$ en serie con un contacto normalmente abierto de $p$.

4. Las tres ramas se conectan en paralelo entre la alimentación y la salida $a$, que se activa (el techo se cierra) cuando conduce cualquiera de las ramas.

ResultadoTres ramas en paralelo hacia la salida $a$: $v$; $t$ en serie con $\overline{h}$ (contacto cerrado); $h$ en serie con $p$. Esquema en la figura.

La pauta oficial da: Esquema de contactos con tres ramas en paralelo: $v$; $h$ en serie con $p$; $t$ en serie con $\overline{h}$ (contacto cerrado).

Planteamiento Se pide la potencia que consume cada calentador. Primero se calcula la potencia útil, la que calienta el agua, que es la misma en los dos; después se divide por el rendimiento de cada aparato.

1. Caudal másico de agua, con la densidad del agua, $1\,\mathrm{kg/L}$, y el minuto pasado a segundos:

   $q_m$${}= 10\,\mathrm{L/min}\cdot 1\,\mathrm{kg/L}$${}= 10\,\mathrm{kg/min}$${}= \frac{10}{60}\,\mathrm{kg/s}$

2. Potencia útil para calentar el agua (un incremento de $30\,^\circ\mathrm{C}$ es un incremento de $30\,\mathrm{K}$):

   $P_\mathrm{u}$${}= q_m\,c_\mathrm{e}\,\Delta T$${}= \frac{10}{60}\,\mathrm{kg/s}\cdot 4{,}187\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\cdot 30\,\mathrm{K}$${}= 20{,}935\,\mathrm{kW}$

3. Potencia consumida por el calentador de butano:

   $P_\text{but}$${}= \frac{P_\mathrm{u}}{\eta_\text{but}}$${}= \frac{20{,}935\,\mathrm{kW}}{0{,}89}$${}= 23{,}52\,\mathrm{kW}$

4. Potencia consumida por el calentador eléctrico:

   $P_\text{eléctr}$${}= \frac{P_\mathrm{u}}{\eta_\text{eléctr}}$${}= \frac{20{,}935\,\mathrm{kW}}{0{,}97}$${}= 21{,}58\,\mathrm{kW}$

Planteamiento Se pide cuántos kilogramos de butano por hora quema el calentador de gas: la potencia que consume dividida por la energía que da cada kilogramo de butano (el poder calorífico).

1. Caudal másico de butano, con la potencia en kJ/s y el poder calorífico en kJ/kg ($47\,\mathrm{MJ/kg} = 47\,000\,\mathrm{kJ/kg}$):

   $q_\text{but}$${}= \frac{P_\text{but}}{p_\text{c\_but}}$${}= \frac{23{,}522\,\mathrm{kJ/s}}{47\,000\,\mathrm{kJ/kg}}$${}= 5{,}005\cdot 10^{-4}\,\mathrm{kg/s}$

2. Pasado a kg/h, multiplicando por $3\,600\,\mathrm{s/h}$:

   $q_\text{but}$${}= 5{,}005\cdot 10^{-4}\,\mathrm{kg/s}\cdot 3\,600\,\mathrm{s/h}$${}= 1{,}802\,\mathrm{kg/h}$

Planteamiento Se pide el coste de hacer funcionar cada calentador $5\,\mathrm{h}$: para el de butano, el precio de los kilogramos de gas que quema; para el eléctrico, el precio de los kW h que consume.

1. Butano consumido en $t = 5\,\mathrm{h}$:

   $m$${}= q_\text{but}\,t$${}= 1{,}802\,\mathrm{kg/h}\cdot 5\,\mathrm{h}$${}= 9{,}01\,\mathrm{kg}$

2. Esto es una fracción de una bombona de $12{,}5\,\mathrm{kg}$, que cuesta $17{,}66$ €. Coste del butano, en euros:

   $ce_\text{but}$${}= \frac{m}{m_\text{but}}\,c_\text{but}$${}= \frac{9{,}01\,\mathrm{kg}}{12{,}5\,\mathrm{kg}}\cdot 17{,}66$${}= 12{,}73$

3. Energía eléctrica consumida en $5\,\mathrm{h}$:

   $E_\text{eléctr}$${}= P_\text{eléctr}\,t$${}= 21{,}58\,\mathrm{kW}\cdot 5\,\mathrm{h}$${}= 107{,}9\,\mathrm{kW\,h}$

4. Coste de la electricidad, en euros, a $0{,}21$ €/(kW h):

   $ce_\text{eléctr}$${}= E_\text{eléctr}\,c_\text{eléctr}$${}= 107{,}9\cdot 0{,}21$${}= 22{,}66$

5. Aunque el calentador eléctrico tiene más rendimiento, funcionar con butano sale más barato: $12{,}73$ € frente a $22{,}66$ €.

Planteamiento Se pide la masa de $\mathrm{CO_2}$ que se emite en $5\,\mathrm{h}$ con cada calentador: para el de butano, los kilogramos de gas quemados por su coeficiente de emisiones; para el eléctrico, los kW h consumidos por el factor de emisión del mix eléctrico.

1. Calentador de butano, con los $9{,}01\,\mathrm{kg}$ de butano del apartado anterior:

   $m_{\mathrm{CO_2}\text{\_but}}$${}= m\,e_\text{but}$${}= 9{,}01\,\mathrm{kg}\cdot 2{,}960\,\mathrm{kg\,CO_2/kg}$${}= 26{,}67\,\mathrm{kg\,CO_2}$

2. Calentador eléctrico, con los $107{,}9\,\mathrm{kW\,h}$ consumidos y $250\,\mathrm{g} = 0{,}250\,\mathrm{kg}$ de $\mathrm{CO_2}$ por kW h:

   $m_{\mathrm{CO_2}\text{\_eléctr}}$${}= E_\text{eléctr}\,e_\text{eléctr}$${}= 107{,}9\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}250\,\mathrm{kg\,CO_2/(kW\,h)}$${}= 26{,}98\,\mathrm{kg\,CO_2}$

3. Las dos huellas son prácticamente iguales: el calentador eléctrico emite solo unos $0{,}31\,\mathrm{kg}$ más de $\mathrm{CO_2}$ en las $5\,\mathrm{h}$.

Planteamiento Se pide la capacidad de la batería, la carga eléctrica que puede dar, en amperios hora. La energía almacenada es la capacidad por la tensión, $E_\mathrm{bat} = c\,U$.

1. Como $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{V\,A}$, dividir los W h por la tensión en voltios da A h:

   $c = \frac{E_\mathrm{bat}}{U} = \frac{240\,\mathrm{W\,h}}{36\,\mathrm{V}} = 6{,}667\,\mathrm{A\,h}$

Planteamiento Se piden las dos velocidades de subida. A velocidad constante, la potencia mecánica que da el motorreductor sirve para vencer la componente del peso a lo largo de la subida; esa potencia es la consumida por el rendimiento. No se tienen en cuenta otras resistencias al avance, porque el enunciado no da ningún dato de ellas.

1. Potencia mecánica a la salida del motorreductor:

   $P_\text{mec} = \eta\,P$

2. A velocidad constante, la fuerza que hay que hacer es la componente del peso paralela a la subida, $m\,g\sin\alpha$, y la potencia es esa fuerza por la velocidad:

   $P_\text{mec} = m\,g\,v\sin\alpha \Rightarrow v = \frac{\eta\,P}{m\,g\sin\alpha}$

3. Denominador, común a las dos velocidades ($\sin 8^\circ = 0{,}13917$; el enunciado no da $g$ y tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ las velocidades cambian en la cuarta cifra, $0{,}4442$ y $2{,}638\,\mathrm{m/s}$):

   $m\,g\sin\alpha$${}= 130\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}13917$${}= 177{,}43\,\mathrm{N}$

4. Velocidad 1 (para pasar a km/h se multiplica por $3{,}6$):

   $v_1$${}= \frac{0{,}72\cdot 109{,}5\,\mathrm{W}}{177{,}43\,\mathrm{N}}$${}= 0{,}4443\,\mathrm{m/s}$${}= 1{,}6\,\mathrm{km/h}$

5. Velocidad 2:

   $v_2$${}= \frac{0{,}72\cdot 650{,}3\,\mathrm{W}}{177{,}43\,\mathrm{N}}$${}= 2{,}639\,\mathrm{m/s}$${}= 9{,}5\,\mathrm{km/h}$

Planteamiento Se pide cuánto tiempo dura la batería a cada velocidad y qué distancia se recorre hasta que se agota. Con una potencia constante, el tiempo es la energía de la batería dividida por la potencia consumida, y la distancia es la velocidad por el tiempo.

1. Tiempo a la velocidad 1:

   $t_1$${}= \frac{E_\mathrm{bat}}{P_1}$${}= \frac{240\,\mathrm{W\,h}}{109{,}5\,\mathrm{W}}$${}= 2{,}192\,\mathrm{h}$

2. Tiempo a la velocidad 2 (unos $22$ minutos):

   $t_2$${}= \frac{E_\mathrm{bat}}{P_2}$${}= \frac{240\,\mathrm{W\,h}}{650{,}3\,\mathrm{W}}$${}= 0{,}3691\,\mathrm{h}$

3. Distancia a la velocidad 1, con el tiempo en segundos ($t_1$${}= \frac{240\cdot 3\,600\,\mathrm{J}}{109{,}5\,\mathrm{W}}$${}= 7\,890{,}4\,\mathrm{s}$):

   $s_1$${}= v_1\,t_1$${}= 0{,}4443\,\mathrm{m/s}\cdot 7\,890{,}4\,\mathrm{s}$${}= 3\,506\,\mathrm{m}$

4. Distancia a la velocidad 2 ($t_2$${}= \frac{240\cdot 3\,600\,\mathrm{J}}{650{,}3\,\mathrm{W}}$${}= 1\,328{,}6\,\mathrm{s}$):

   $s_2$${}= v_2\,t_2$${}= 2{,}639\,\mathrm{m/s}\cdot 1\,328{,}6\,\mathrm{s}$${}= 3\,506\,\mathrm{m}$

5. Las dos distancias son iguales, y no es casualidad: al multiplicar $v = \eta P/(m\,g\sin\alpha)$ por $t = E_\mathrm{bat}/P$, la potencia se simplifica. Toda la energía útil de la batería se usa para subir, y la altura ganada es la misma a cualquier velocidad (con $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ saldrían $3\,505\,\mathrm{m}$):

   $s_\text{máx}$${}= \frac{\eta\,E_\mathrm{bat}}{m\,g\sin\alpha}$${}= \frac{0{,}72\cdot 240\cdot 3\,600\,\mathrm{J}}{177{,}43\,\mathrm{N}}$${}= 3\,506\,\mathrm{m}$

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre de la barra OBC en la posición desplegada ($\varphi = 45^\circ$): la barra aislada con todas las fuerzas que actúan sobre ella, cada una en su punto de aplicación.

1. Peso de la barra, $m_\mathrm{b}\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el punto medio B, que es su centro de gravedad porque la barra es homogénea.

2. Peso de la canasta, $m_\mathrm{c}\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el punto C, donde está el centro de inercia de la canasta (la canasta es solidaria a la barra).

3. Tensión del cable, $T$, aplicada en B en la dirección del cable BP: perpendicular a la barra y hacia la polea P, es decir, hacia arriba y hacia la derecha (un cable solo puede tirar).

4. Reacción de la articulación O, que puede tener cualquier dirección: se dibujan sus dos componentes, $F_\mathrm{H}$ horizontal y $F_\mathrm{V}$ vertical. Los cálculos del apartado c) dan $F_\mathrm{H}$ hacia la izquierda y $F_\mathrm{V}$ hacia arriba.

5. Distancias: $\mathrm{OB} = \mathrm{BC} = l = 2\,\mathrm{m}$, y la barra forma un ángulo $\varphi = 45^\circ$ con el techo, que es horizontal.

ResultadoFuerzas sobre la barra OBC: $F_\mathrm{H}$ (hacia la izquierda) y $F_\mathrm{V}$ (hacia arriba) en O; $T$ perpendicular a la barra en B; los pesos $m_\mathrm{b}\,g$ en B y $m_\mathrm{c}\,g$ en C, verticales hacia abajo. Diagrama en la figura.

La pauta oficial da: Diagrama de cuerpo libre de la barra: $F_\mathrm{H}$ (hacia la izquierda) y $F_\mathrm{V}$ (hacia arriba) en O, $T$ perpendicular a la barra en B, $m_\mathrm{b}\,g$ en B y $m_\mathrm{c}\,g$ en C.

Planteamiento Se pide la tensión del cable. Las dos componentes de la reacción en O no se conocen, así que se toman momentos respecto a O: así no aparecen y queda una sola incógnita, $T$.

1. Ecuación de momentos respecto a O (sentido antihorario positivo). $T$ es perpendicular a la barra y se aplica a la distancia $l$ de O, así que su brazo es $l$. Los pesos son verticales y sus brazos son las distancias horizontales de O a B y a C, $l\cos\varphi$ y $2l\cos\varphi$:

   $\sum M_\mathrm{O}$${}= 0:\quad T\,l - m_\mathrm{b}\,g\,l\cos\varphi$${}- m_\mathrm{c}\,g\,2l\cos\varphi=0$

2. Despejando $T$ (la $l$ se simplifica):

   $T = g\cos\varphi\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})$

3. Sustituyendo con $\varphi = 45^\circ$ (el enunciado no da $g$; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ todos los resultados de este ejercicio cambian en la cuarta cifra):

   $T$${}= 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\cos 45^\circ\cdot(60 + 2\cdot 45)\,\mathrm{kg}$${}= 1\,040\,\mathrm{N}$

Planteamiento Se piden las dos componentes de la reacción en la articulación O. Se aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas horizontales y verticales, con la tensión $T$ del apartado anterior.

1. Dirección de $T$: es perpendicular a la barra, que baja a $45^\circ$, y por tanto forma $45^\circ$ con la horizontal, hacia arriba y hacia la derecha. Sus dos componentes son iguales:

   $T\sin 45^\circ$${}= T\cos 45^\circ$${}= g\cos^2 45^\circ\,(m_\mathrm{b} + 2\,m_\mathrm{c})$${}= 9{,}807\cdot 0{,}5\cdot 150\,\mathrm{N}$${}= 735{,}5\,\mathrm{N}$

2. Equilibrio horizontal, con $F_\mathrm{H}$ supuesta hacia la izquierda:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad T\sin 45^\circ - F_\mathrm{H}=0$${}\Rightarrow F_\mathrm{H}$${}= 735{,}5\,\mathrm{N}$

3. Equilibrio vertical, con $F_\mathrm{V}$ supuesta hacia arriba:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad F_\mathrm{V} + T\cos 45^\circ$${}- m_\mathrm{b}\,g - m_\mathrm{c}\,g=0$

4. Despejando $F_\mathrm{V}$:

   $F_\mathrm{V}$${}= (60 + 45)\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}- 735{,}5\,\mathrm{N}$${}= 1\,029{,}7\,\mathrm{N} - 735{,}5\,\mathrm{N}$${}= 294{,}2\,\mathrm{N}$

5. Los dos valores salen positivos: los sentidos supuestos son los correctos. La articulación empuja la barra hacia la izquierda con $735{,}5\,\mathrm{N}$ y la sostiene hacia arriba con $294{,}2\,\mathrm{N}$.

Planteamiento Se pide el par que debe hacer el motor del tambor para mantener la canasta quieta. La polea P se considera ideal, de modo que la tensión del cable es la misma $T$ hasta el tambor, y el cable se enrolla a una distancia del eje igual al radio del tambor.

1. Radio del tambor: $r = d/2 = 125\,\mathrm{mm} = 0{,}125\,\mathrm{m}$. El par es la tensión por el radio:

   $\Gamma$${}= T\,\frac{d}{2}=1\,040\,\mathrm{N}\cdot 0{,}125\,\mathrm{m}$${}= 130{,}0\,\mathrm{N\,m}$