Tecnología, PAU 2022 de Cataluña: el examen de junio (serie 5) resuelto

Planteamiento Tabla de verdad: el número de entrada es $8a + 4b + 2c + d$ y el led debe encenderse para los números 0, 4, 8 y 12, que son el 0 y los múltiplos de 4 hasta 15.

1. Cada fila es una combinación de las cuatro entradas; al lado escribimos el número en decimal y la salida:

   $a$	$b$	$c$	$d$	Número	$l$
   0	0	0	0	0	1
   0	0	0	1	1	0
   0	0	1	0	2	0
   0	0	1	1	3	0
   0	1	0	0	4	1
   0	1	0	1	5	0
   0	1	1	0	6	0
   0	1	1	1	7	0
   1	0	0	0	8	1
   1	0	0	1	9	0
   1	0	1	0	10	0
   1	0	1	1	11	0
   1	1	0	0	12	1
   1	1	0	1	13	0
   1	1	1	0	14	0
   1	1	1	1	15	0

2. El led se enciende en las cuatro filas en las que los dos últimos dígitos valen 0 ($c = 0$ y $d = 0$): un número binario es múltiplo de 4 cuando acaba en 00.

Planteamiento Función lógica en suma de productos a partir de las filas con $l = 1$, y simplificación con álgebra de Boole, comprobada con el mapa de Karnaugh.

1. Forma canónica, un producto por cada fila con $l = 1$ (la variable va negada donde vale 0):

   $l$${}= \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+ \overline{a}\,b\,\overline{c}\,\overline{d}$${}+ a\,\overline{b}\,\overline{c}\,\overline{d} + a\,b\,\overline{c}\,\overline{d}$

2. Sacando factor común $\overline{c}\,\overline{d}$:

   $l$${}= \overline{c}\,\overline{d}\,(\overline{a}\,\overline{b} + \overline{a}\,b + a\,\overline{b} + a\,b)$

3. El paréntesis contiene las cuatro combinaciones posibles de $a$ y $b$, así que vale siempre 1:

   $\overline{a}\,(\overline{b} + b) + a\,(\overline{b} + b)$${}= \overline{a} + a$${}= 1$

4. Función simplificada:

   $l = \overline{c}\,\overline{d}$

5. En el mapa de Karnaugh ($ab$ en las filas y $cd$ en las columnas) los cuatro unos llenan entera la columna $cd = 00$, un grupo de cuatro que da el mismo término:

   $ab \backslash cd$	00	01	11	10
   00	1	0	0	0
   01	1	0	0	0
   11	1	0	0	0
   10	1	0	0	0

6. Por De Morgan también puede escribirse $l = \overline{c + d}$: el led se enciende cuando ni $c$ ni $d$ valen 1.

Planteamiento Esquema de contactos de la función $l = \overline{c}\,\overline{d}$: un producto lógico son contactos en serie, y una variable negada es un contacto normalmente cerrado, que deja pasar la corriente cuando la variable vale 0.

1. $\overline{c}$ es un contacto normalmente cerrado accionado por $c$, y $\overline{d}$, un contacto normalmente cerrado accionado por $d$.

2. El producto $\overline{c}\,\overline{d}$ son estos dos contactos en serie, y a continuación el led $l$. El led solo recibe corriente cuando ninguno de los dos contactos está accionado, es decir, cuando $c = 0$ y $d = 0$.

3. En la figura, cada contacto lleva el nombre de la variable que lo acciona y se dibuja normalmente cerrado; el círculo con una cruz es el led.

ResultadoDos contactos normalmente cerrados, accionados por $c$ y por $d$, en serie con el led $l$ (figura).

La pauta oficial da: Dos contactos normalmente cerrados, $c$ y $d$, en serie con el led $l$.

Planteamiento Emisiones diarias de cada coche: la energía eléctrica o el gasoil que gasta en el trayecto de un día, multiplicado por su factor de emisión.

1. Distancia diaria:

   $d$${}= d_{\text{urbano}}$${}+ d_{\text{extraurbano}}$${}= 10\,\mathrm{km} + 120\,\mathrm{km}$${}= 130\,\mathrm{km}$

2. Energía eléctrica diaria del coche eléctrico (el consumo es por cada $100\,\mathrm{km}$):

   $E_{\text{eléctr}}$${}= c_{\text{eléctr}}\,d$${}= \frac{13{,}3\,\mathrm{kW\,h}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 130\,\mathrm{km}$${}= 17{,}29\,\mathrm{kW\,h}$

3. Emisiones equivalentes del coche eléctrico, con el factor del mix eléctrico ($241\,\mathrm{g} = 0{,}241\,\mathrm{kg}$ por cada $\mathrm{kW\,h}$):

   $m_{\text{eléctr}}$${}= E_{\text{eléctr}}\,FE_{\text{eléctr}}$${}= 17{,}29\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}241\,\mathrm{kg/(kW\,h)}$${}= 4{,}167\,\mathrm{kg}$

4. Gasoil diario del coche de gasoil, con un consumo distinto en ciudad y en carretera:

   $V_{\text{gas}}$${}= \frac{4{,}4\,\mathrm{L}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 10\,\mathrm{km}$${}+ \frac{3{,}6\,\mathrm{L}}{100\,\mathrm{km}}\cdot 120\,\mathrm{km}$${}= 0{,}44\,\mathrm{L} + 4{,}32\,\mathrm{L}$${}= 4{,}76\,\mathrm{L}$

5. Emisiones del coche de gasoil:

   $m_{\text{gas}}$${}= V_{\text{gas}}\,FE_{\text{gas}}$${}= 4{,}76\,\mathrm{L}\cdot 2{,}87\,\mathrm{kg/L}$${}= 13{,}66\,\mathrm{kg}$

Planteamiento Coste diario de la energía de cada coche: la energía eléctrica o el gasoil del día, por precio unitario.

1. Coche eléctrico:

   $cd_{\text{eléctr}}$${}= E_{\text{eléctr}}\,p_{\text{eléctr}}$${}= 17{,}29\,\mathrm{kW\,h}\cdot 0{,}14\,\text{€}/(\mathrm{kW\,h})$${}= 2{,}421\,\text{€}$

2. Coche de gasoil:

   $cd_{\text{gas}}$${}= V_{\text{gas}}\,p_{\text{gas}}$${}= 4{,}76\,\mathrm{L}\cdot 1{,}209\,\text{€}/\mathrm{L}$${}= 5{,}755\,\text{€}$

Planteamiento Tiempo de retorno del sobrecoste: lo que cuesta de más el coche eléctrico se recupera con lo que se ahorra cada día en energía (el mantenimiento es igual y no cuenta).

1. Sobrecoste de adquisición:

   $\Delta c_{\text{v}}$${}= c_{\text{v\_eléctr}}$${}- c_{\text{v\_gas}}$${}= 25\,700\,\text{€} - 18\,000\,\text{€}$${}= 7\,700\,\text{€}$

2. Ahorro por día de trayecto, con los costes diarios sin redondear ($5{,}7548$ € y $2{,}4206$ €):

   $cd_{\text{gas}} - cd_{\text{eléctr}}$${}= 5{,}7548\,\text{€} - 2{,}4206\,\text{€}$${}= 3{,}3342\,\text{€}$

3. Días de trayecto necesarios para que los dos coches hayan costado lo mismo, $c_{\text{v\_eléctr}}$${}+ cd_{\text{eléctr}}\,N$${}= c_{\text{v\_gas}} + cd_{\text{gas}}\,N$:

   $N$${}= \frac{\Delta c_{\text{v}}}{cd_{\text{gas}} - cd_{\text{eléctr}}}$${}= \frac{7\,700\,\text{€}}{3{,}3342\,\text{€}}$${}= 2\,309{,}4$${}\approx 2\,309\ \text{días}$

4. A 280 días de trayecto al año:

   $t$${}= \frac{2\,309{,}4\ \text{días}}{280\ \text{días/año}}$${}= 8{,}248\ \text{años}$${}\approx 8{,}2\ \text{años}$

5. Es decir, unos 8 años y 3 meses de trayectos: a partir de ahí el coche eléctrico ya sale más barato.

Planteamiento Calor necesario para calentar el agua (calor sensible): masa por calor específico por incremento de temperatura.

1. Masa de agua: $350\,\mathrm{mL}$ de agua son $m = 350\,\mathrm{g}$ (densidad $1\,\mathrm{g/mL}$). Incremento de temperatura: $\Delta T = 95\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = 75\,^\circ\mathrm{C}$.

2. Energía necesaria:

   $E_{\text{agua}}$${}= m\,c_{\text{e}}\,\Delta T$${}= 350\,\mathrm{g}\cdot 4{,}18\,\mathrm{J/(g\,^\circ C)}\cdot 75\,^\circ\mathrm{C}$${}= 1{,}097\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$

Planteamiento Resistencia del elemento calefactor a partir de la potencia que consume a la tensión de la red, con $P = U^2/R$.

1. Despejando $R$:

   $P_{\text{calent}}$${}= \frac{U^2}{R}$${}\Rightarrow R=\frac{U^2}{P_{\text{calent}}}$${}= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{1\,200\,\mathrm{W}}$${}= 44{,}08\,\Omega$

2. Comprobación: la intensidad que circula es $I = P/U = 1\,200/230 = 5{,}217\,\mathrm{A}$, y $U/I$ vuelve a dar $44{,}08\,\Omega$.

Planteamiento Energía eléctrica que consume el calentador: potencia por tiempo de funcionamiento.

1. Energía consumida:

   $E_{\text{cons}}$${}= P_{\text{calent}}\,t_{\text{calent}}$${}= 1\,200\,\mathrm{W}\cdot 125\,\mathrm{s}$${}= 1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$${}= 150\,\mathrm{kJ}$

2. En kilovatios hora, $150\,\mathrm{kJ}/(3\,600\,\mathrm{kJ/(kW\,h)})$${}= 0{,}041\,67\,\mathrm{kW\,h}$, menos de la mitad de lo que consume la vitrocerámica.

Planteamiento Rendimiento de cada alternativa: energía útil (la que recibe el agua) dividida por la energía eléctrica consumida; se escoge la de rendimiento más alto.

1. Rendimiento del calentador, con $E_{\text{agua}} = 109{,}73\,\mathrm{kJ}$ sin redondear:

   $\eta_{\text{calent}}$${}= \frac{E_{\text{agua}}}{E_{\text{cons}}}$${}= \frac{109{,}73\,\mathrm{kJ}}{150\,\mathrm{kJ}}$${}= 0{,}7315$${}= 73{,}15\,\%$

2. Energía de la vitrocerámica en julios ($1\,\mathrm{kW\,h} = 3{,}6\cdot 10^{6}\,\mathrm{J}$):

   $E_{\text{vitro}}$${}= 0{,}11\,\mathrm{kW\,h}\cdot 3{,}6\cdot 10^{6}\,\mathrm{J/(kW\,h)}$${}= 3{,}96\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$${}= 396\,\mathrm{kJ}$

3. Rendimiento de la vitrocerámica:

   $\eta_{\text{vitro}}$${}= \frac{E_{\text{agua}}}{E_{\text{vitro}}}$${}= \frac{109{,}73\,\mathrm{kJ}}{396\,\mathrm{kJ}}$${}= 0{,}2771$${}= 27{,}71\,\%$

4. Se escoge el calentador de agua: aprovecha el $73{,}15$ % de la energía que consume, frente al $27{,}71$ % de la vitrocerámica, y para calentar la misma agua gasta $150\,\mathrm{kJ}$ en lugar de $396\,\mathrm{kJ}$. Su resistencia está sumergida y cede el calor directamente al agua.

Planteamiento Diagrama de cuerpo libre de la puerta: las fuerzas exteriores que actúan sobre la puerta, cada una en su punto y con su dirección. Las barras tienen masa despreciable y están articuladas en los dos extremos, así que cada una solo puede hacer fuerza en su propia dirección.

1. Geometría: B es la esquina inferior de la cara de la puerta que da a la pared, y A está en la misma cara, a una distancia $L$ por encima de B (las barras son iguales y paralelas, y O está a $L$ por encima de Q). El centro de masas G está en el centro de la puerta: a $s$ de cada cara y a $4L$ del borde inferior. P es la esquina inferior de la otra cara, a $2s$ de B.

2. Peso $m\,g$, vertical y hacia abajo, en G.

3. Fuerza $F$ de la persona, vertical y hacia arriba, en P.

4. Fuerza de la barra AO, $T_{\text{AO}}$, en A, en la dirección de la barra (que forma el ángulo $\varphi$ con la vertical), y fuerza de la barra BQ, $T_{\text{BQ}}$, en B, paralela a la anterior. Las dibujamos como tracción, es decir, hacia O y hacia Q; si sale un valor negativo, esa barra empuja en lugar de tirar.

ResultadoCuatro fuerzas: $m\,g$ en G (hacia abajo), $F$ en P (hacia arriba) y $T_{\text{AO}}$ en A y $T_{\text{BQ}}$ en B, ambas en la dirección de las barras, a un ángulo $\varphi$ de la vertical (figura).

La pauta oficial da: Diagrama con $m\,g$ en el centro de la puerta, $F$ en P y $T_{\text{AO}}$, $T_{\text{BQ}}$ en A y B en la dirección de las barras, a un ángulo $\varphi$ de la vertical.

Planteamiento Fuerza que debe hacer la persona, a partir del equilibrio de fuerzas de la puerta en horizontal y en vertical. Las fuerzas de las dos barras tienen la misma dirección, y con las dos ecuaciones de fuerzas basta para hallar $F$.

1. Componentes de las fuerzas de las barras: horizontal $T\sin\varphi$ (hacia la pared) y vertical $T\cos\varphi$.

2. Fuerzas horizontales (las únicas son las de las barras):

   $\sum F_x$${}= 0:\quad T_{\text{AO}}\sin\varphi$${}+ T_{\text{BQ}}\sin\varphi=0$${}\Rightarrow T_{\text{AO}}$${}= -T_{\text{BQ}}$

3. Fuerzas verticales:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad T_{\text{AO}}\cos\varphi$${}+ T_{\text{BQ}}\cos\varphi + F - m\,g=0$

4. Como $T_{\text{AO}} + T_{\text{BQ}} = 0$, los dos primeros términos se anulan. El enunciado no da $g$; con $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$:

   $F$${}= m\,g=3\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 29{,}42\,\mathrm{N}$

5. El resultado no depende de $\varphi$: en cualquier posición del recorrido la persona sostiene todo el peso de la puerta. Las dos barras hacen fuerzas iguales y de sentido contrario, que no sostienen peso: forman un par que equilibra el momento del peso y de $F$.

Planteamiento Fuerzas de las barras a partir del equilibrio de momentos de la puerta respecto del punto P (así $F$ no interviene), con $T_{\text{AO}} = -T_{\text{BQ}}$ del apartado anterior.

1. Posiciones respecto de P, con el eje $x$ hacia la pared y el eje $y$ hacia arriba: G $(s,\ 4L)$, B $(2s,\ 0)$ y A $(2s,\ L)$. El momento de una fuerza de componentes $(F_x,\ F_y)$ aplicada en $(x,\ y)$ es $M = x\,F_y - y\,F_x$, positivo en sentido antihorario.

2. Ecuación de momentos respecto de P:

   $\sum M_{\text{P}}$${}= 0:\quad -m\,g\,s$${}+ 2s\,T_{\text{BQ}}\cos\varphi$${}+ 2s\,T_{\text{AO}}\cos\varphi$${}- L\,T_{\text{AO}}\sin\varphi=0$

3. Con $T_{\text{AO}} + T_{\text{BQ}} = 0$ los dos términos con $\cos\varphi$ se anulan y queda:

   $T_{\text{AO}} = -\frac{m\,g\,s}{L\sin\varphi}$

4. Para $\varphi = 30^\circ$, con $s = 30\,\mathrm{mm} = 0{,}03\,\mathrm{m}$ y $L = 50\,\mathrm{mm} = 0{,}05\,\mathrm{m}$:

   $T_{\text{AO}}$${}= -\frac{3\cdot 9{,}807\cdot 0{,}03}{0{,}05\cdot\sin 30^\circ}\,\mathrm{N}$${}= -35{,}31\,\mathrm{N}$$T_{\text{BQ}} = -T_{\text{AO}} = 35{,}31\,\mathrm{N}$

5. Signos: $T_{\text{BQ}}$ es positiva, así que la barra BQ tira de la puerta hacia Q (trabaja a tracción); $T_{\text{AO}}$ es negativa, así que la barra AO empuja la puerta en sentido contrario al dibujado, alejando A de O (trabaja a compresión). Ambas fuerzas valen $35{,}31\,\mathrm{N}$.

Planteamiento Potencia y par en el eje de la rueda: el motor está en la misma rueda, así que gira con su velocidad angular y $P = \Gamma\,\omega$. La velocidad de avance es la velocidad lineal del borde del neumático, que rueda sin deslizar.

1. Velocidad angular de la rueda:

   $\omega_{\text{rueda}}$${}= \frac{P_{\text{mot}}}{\Gamma}$${}= \frac{15\,000\,\mathrm{W}}{150\,\mathrm{N\,m}}$${}= 100\,\mathrm{rad/s}$

2. Radio del neumático: $d/2$${}= 630\,\mathrm{mm}/2$${}= 315\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}315\,\mathrm{m}$.

3. Velocidad de avance (para pasar a km/h se multiplica por $3{,}6$):

   $v$${}= \omega_{\text{rueda}}\,\frac{d}{2}$${}= 100\,\mathrm{rad/s}\cdot 0{,}315\,\mathrm{m}$${}= 31{,}5\,\mathrm{m/s}$${}= 113{,}4\,\mathrm{km/h}$

Planteamiento Tiempo de funcionamiento y energía mecánica que da el motor: a velocidad constante, el tiempo máximo es la autonomía dividida por la velocidad, y la energía es la potencia del motor por ese tiempo.

1. Tiempo máximo:

   $t_{\text{máx}}$${}= \frac{s_{\text{máx}}}{v}$${}= \frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$${}= 1{,}764\,\mathrm{h}$${}= 6\,349\,\mathrm{s}$

2. Energía suministrada por el motor:

   $E_{\text{sum}}$${}= P_{\text{mot}}\,t_{\text{máx}}$${}= P_{\text{mot}}\,\frac{s_{\text{máx}}}{v}$${}= 15\,\mathrm{kW}\cdot\frac{200\,\mathrm{km}}{113{,}4\,\mathrm{km/h}}$${}= 26{,}46\,\mathrm{kW\,h}$

3. En julios:

   $E_{\text{sum}}$${}= 15\,000\,\mathrm{W}\cdot 6\,349\,\mathrm{s}$${}= 9{,}52\cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$${}= 95{,}2\,\mathrm{MJ}$

Planteamiento Energía que deben almacenar las baterías: el motor convierte en energía mecánica solo el $90$ % de la energía eléctrica que recibe, y las baterías ideales entregan toda la que almacenan.

1. Energía de las baterías, con $E_{\text{sum}} = 26{,}455\,\mathrm{kW\,h}$ sin redondear:

   $E_{\text{bat}}$${}= \frac{E_{\text{sum}}}{\eta_{\text{mot}}}$${}= \frac{26{,}455\,\mathrm{kW\,h}}{0{,}9}$${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}$

2. En julios:

   $E_{\text{bat}}$${}= 29{,}39\,\mathrm{kW\,h}\cdot 3{,}6\,\mathrm{MJ/(kW\,h)}$${}= 105{,}8\,\mathrm{MJ}$