Tecnología, PAU 2026 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Se pide la resistencia de un hilo conductor a partir de la resistividad del material, la longitud del hilo y su diámetro.

1. La sección del hilo es un círculo de diámetro $d=0{,}2\,\mathrm{mm}=2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m})^2}{4}$${}= 3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}$

2. Con $\rho=0{,}49\,\mu\Omega\,\mathrm{m}=0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ y $L=7\,\mathrm{m}$:

   $R$${}= \rho\,\frac{L}{S}=\frac{0{,}49\cdot10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}\cdot7\,\mathrm{m}}{3{,}142\cdot10^{-8}\,\mathrm{m^2}}$${}= 109{,}2\,\Omega$

3. Por qué no las otras: la c) ($27{,}30\,\Omega$) sale si se toma el diámetro como si fuera el radio ($S=\pi d^2$), y la b) ($17{,}15\,\Omega$), si se toma como sección el valor del diámetro, $0{,}2\,\mathrm{mm^2}$. La a) no sale de $R=\rho L/S$.

Planteamiento Se pide el coeficiente de eficiencia (COP) de una máquina frigorífica ideal: el de Carnot, que solo depende de las temperaturas absolutas de los dos focos.

1. Las temperaturas tienen que ir en kelvin:

   $T_\text{f}=7+273{,}15=280{,}15\,\mathrm{K}$$T_\text{c}=35+273{,}15=308{,}15\,\mathrm{K}$

2. En una máquina frigorífica, el efecto útil es el calor que se extrae del foco frío. Para la máquina ideal:

   $\text{COP}$${}= \frac{T_\text{f}}{T_\text{c}-T_\text{f}}$${}= \frac{280{,}15}{308{,}15-280{,}15}$${}= \frac{280{,}15}{28}$${}= 10{,}01$

3. Si se suma $273$ en lugar de $273{,}15$ sale $280/28=10{,}00$, y la opción más cercana sigue siendo la c).

4. Por qué no las otras: la d) ($11{,}01$) es el COP de la misma máquina funcionando como bomba de calor, $T_\text{c}/(T_\text{c}-T_\text{f})$; la a) ($0{,}25$) sale de hacer el cálculo con grados Celsius, $7/28$. La b) no sale de ninguna de estas expresiones.

Planteamiento Se pide la fuerza del cable AB que sostiene una placa articulada en O. Se obtiene con el equilibrio de momentos respecto a la articulación, donde la reacción desconocida no hace momento.

1. Fuerzas sobre la placa: el peso $m\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el centro de la placa, a una distancia horizontal $L$ de O (la mitad de $2L$); la tensión $T$ del cable, aplicada en B y dirigida hacia A, formando $30^\circ$ con el lado superior OB; y la reacción de la articulación en O.

2. El brazo de $T$ respecto a O es la distancia de O a la recta AB: $\overline{OB}\,\sin30^\circ=2L\cdot0{,}5=L$. El peso hace girar la placa en sentido horario y la tensión, en sentido antihorario:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad T\cdot2L\sin30^\circ$${}-m\,g\,L=0$${}\Rightarrow T=\frac{m\,g}{2\sin30^\circ}$${}= m\,g$

3. Con $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$ (el enunciado no da su valor):

   $T=5\,\mathrm{kg}\cdot9{,}807\,\mathrm{m/s^2}=49{,}04\,\mathrm{N}$

4. Por qué no las otras: la a) ($24{,}52\,\mathrm{N}=m\,g/2$) sale si se toma como brazo de $T$ todo el lado $2L$, sin el $\sin30^\circ$; la c) y la d) ($1{,}5\,m\,g$ y $2\,m\,g$) no cumplen el equilibrio de momentos.

Planteamiento Se pide la longitud entre marcas de una probeta de aluminio sometida a tracción. Primero hay que comprobar si trabaja en zona elástica; si es así, vale la ley de Hooke.

1. Sección de la probeta, con $d=10\,\mathrm{mm}$:

   $S$${}= \frac{\pi d^2}{4}$${}= \frac{\pi\cdot(10\,\mathrm{mm})^2}{4}$${}= 78{,}54\,\mathrm{mm^2}$

2. Tensión con $F=20\,\mathrm{kN}=20\,000\,\mathrm{N}$ ($1\,\mathrm{N/mm^2}=1\,\mathrm{MPa}$):

   $\sigma$${}= \frac{F}{S}=\frac{20\,000\,\mathrm{N}}{78{,}54\,\mathrm{mm^2}}$${}= 254{,}6\,\mathrm{MPa}$

3. Como $254{,}6\,\mathrm{MPa}$ es menor que el límite elástico, $275\,\mathrm{MPa}$, la probeta trabaja en zona elástica. Deformación unitaria y alargamiento, con $E=69\,\mathrm{GPa}=69\,000\,\mathrm{MPa}$ y $L_0=200\,\mathrm{mm}$:

   $\varepsilon$${}= \frac{\sigma}{E}=\frac{254{,}6}{69\,000}$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}$$\Delta L$${}= \varepsilon\,L_0$${}= 3{,}690\cdot10^{-3}\cdot200\,\mathrm{mm}$${}= 0{,}738\,\mathrm{mm}$

4. Longitud entre marcas bajo la carga:

   $L$${}= L_0+\Delta L$${}= 200+0{,}738$${}= 200{,}74\,\mathrm{mm}$

5. Por qué no las otras: con la ley de Hooke, el alargamiento de la a) ($0{,}10\,\mathrm{mm}$) correspondería a una tensión de $34{,}5\,\mathrm{MPa}$, y los de la c) y la d) ($1{,}01\,\mathrm{mm}$ y $7{,}38\,\mathrm{mm}$), a $348\,\mathrm{MPa}$ y $2\,546\,\mathrm{MPa}$, por encima incluso de la tensión de rotura; ninguna es la tensión real, $254{,}6\,\mathrm{MPa}$.

Planteamiento Se pide la función lógica de un circuito de tres puertas AND de dos entradas que van a una puerta OR; hay que leer a qué variables está conectada cada puerta.

1. Siguiendo las líneas de la figura (un punto negro es una conexión; un puente en forma de arco, un cruce sin conexión): la primera puerta AND recibe $p$ y $q$; la segunda, $q$ y $r$; la tercera, $r$ y $p$. Sus salidas son:

   $p\,q$$q\,r$$p\,r$

2. La puerta OR ($\geq1$) suma las tres salidas:

   $s=pq+qr+pr$

3. Es la función mayoría: $s=1$ cuando al menos dos de las tres entradas valen 1.

4. Por qué no las otras: la d) es la negación de esta función (haría falta un inversor a la salida); la b) y la c) son productos, que necesitarían una puerta AND a la salida, y el circuito tiene ahí una puerta OR.

Planteamiento Hay que encontrar la función de la tabla de verdad y compararla con la de cada esquema de contactos: contactos en serie hacen un producto (AND) y ramas en paralelo, una suma (OR).

1. Filas de la tabla con $d=1$: $abc=011$, $101$ y $111$. En suma de productos:

   $d=\overline{a}\,b\,c+a\,\overline{b}\,c+a\,b\,c$

2. Simplificación: $\overline{a}bc+abc=bc$ y $a\overline{b}c+abc=ac$ (el término $abc$ se puede usar dos veces, porque $x+x=x$):

   $d=b\,c+a\,c=c\,(a+b)$

3. Lectura de los esquemas: un contacto dibujado abierto, con la lámina separada del tramo siguiente, es normalmente abierto y deja pasar cuando su variable vale 1; un contacto con la lámina apoyada en un pequeño tramo vertical es normalmente cerrado y deja pasar cuando la variable vale 0. La línea vertical que une dos láminas indica que son del mismo interruptor.

4. Esquema a): arriba, $a$ abierto y $b$ cerrado en serie; abajo, $b$ abierto y $c$ cerrado. Función: $d=a\overline{b}+b\overline{c}$. Esquema b): arriba, $b$ cerrado y $c$ abierto; abajo, $a$ y $c$ abiertos: $d=\overline{b}c+ac$. Esquema c): arriba, $b$ y $c$ abiertos; abajo, $a$ y $c$ abiertos: $d=bc+ac$. Esquema d): arriba, $b$ y $c$ abiertos; abajo, $a$ cerrado y $c$ abierto: $d=bc+\overline{a}c$.

5. Solo el esquema c) da $d=bc+ac$. Los otros fallan en alguna fila: el a) da $d=1$ con $abc=100$, y el b) y el d), con $abc=001$, filas en las que la tabla dice $d=0$.

Planteamiento Se pide el rendimiento de un motor de corriente continua de imanes permanentes en condiciones nominales. Sin pérdidas por rozamiento, las únicas pérdidas son las de la resistencia del inducido, $R_\text{i}\,I^2$.

1. Potencia eléctrica absorbida:

   $P_\text{abs}$${}= V_\text{N}\,I_\text{N}$${}= 300\,\mathrm{V}\cdot16\,\mathrm{A}$${}= 4\,800\,\mathrm{W}$

2. Pérdidas en la resistencia del inducido:

   $P_\text{Cu}$${}= R_\text{i}\,I_\text{N}^2$${}= 3\,\Omega\cdot(16\,\mathrm{A})^2$${}= 768\,\mathrm{W}$

3. Potencia útil y rendimiento ($0{,}84$, es decir, un $84$ %):

   $P_\text{u}=4\,800-768=4\,032\,\mathrm{W}$$\eta=\frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}}=\frac{4\,032}{4\,800}=0{,}84$

4. Lo mismo sale con la fuerza contraelectromotriz: $E$${}= V_\text{N}-R_\text{i}I_\text{N}$${}= 300-48$${}= 252\,\mathrm{V}$ y $\eta=E/V_\text{N}=252/300=0{,}84$. La velocidad $n_\text{N}$ no hace falta.

5. Por qué no las otras: la a) ($16$ %) es la fracción de pérdidas, $768/4\,800$, no el rendimiento; la b) y la d) no salen de este balance.

Planteamiento El circuito es una fuente de corriente alterna que alimenta un condensador y una bobina en serie. El amperímetro $A_2$ mide la corriente de la serie y el voltímetro $U_3$, la tensión del condensador.

1. Reactancias a $f=60\,\mathrm{Hz}$, con $L=50\,\mathrm{mH}=0{,}05\,\mathrm{H}$ y $C=66\,\mu\mathrm{F}=66\cdot10^{-6}\,\mathrm{F}$:

   $X_L$${}= 2\pi fL$${}= 2\pi\cdot60\cdot0{,}05$${}= 18{,}85\,\Omega$$X_C$${}= \frac{1}{2\pi fC}$${}= \frac{1}{2\pi\cdot60\cdot66\cdot10^{-6}}$${}= 40{,}19\,\Omega$

2. En serie y sin resistencia, las dos reactancias se restan (las tensiones de la bobina y del condensador están en oposición):

   $Z$${}= |X_L-X_C|$${}= |18{,}85-40{,}19|$${}= 21{,}34\,\Omega$

3. La tensión de la fuente, $U_1=230\,\mathrm{V}$, es la de la serie. Corriente que marca el amperímetro:

   $A_2$${}= I=\frac{U_1}{Z}$${}= \frac{230\,\mathrm{V}}{21{,}34\,\Omega}$${}= 10{,}78\,\mathrm{A}$

4. Tensión del condensador, que marca el voltímetro (con $I=10{,}777\,\mathrm{A}$, una cifra más para no arrastrar el redondeo):

   $U_3$${}= I\,X_C$${}= 10{,}777\,\mathrm{A}\cdot40{,}19\,\Omega$${}= 433{,}1\,\mathrm{V}$

5. La tensión del condensador supera la de la fuente porque la de la bobina, $I\,X_L=203{,}1\,\mathrm{V}$, va en oposición: $433{,}1-203{,}1=230\,\mathrm{V}$.

6. Por qué no las otras: la b) da como $U_3$ la tensión de la bobina, $203{,}1\,\mathrm{V}$; la c) y la d) corresponden, aproximadamente, al mismo circuito calculado a $50\,\mathrm{Hz}$ en lugar de $60\,\mathrm{Hz}$ (a $50\,\mathrm{Hz}$ sale $I=7{,}072\,\mathrm{A}$, y las tensiones del condensador y de la bobina son $341{,}1\,\mathrm{V}$ y $111{,}1\,\mathrm{V}$).