Tecnología, PAU 2024 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Se pide la tabla de verdad del acceso $a$ en función del horario $h$ y de los tres sistemas de control $c$, $t$ y $e$. Con cuatro variables de entrada hay $2^4=16$ combinaciones. La regla del enunciado: en horario laboral ($h=1$) basta con un sistema válido; fuera del horario laboral ($h=0$) hacen falta al menos dos.

1. Fuera del horario laboral ($h=0$, las ocho primeras filas), $a=1$ solo cuando al menos dos de $c$, $t$ y $e$ valen $1$: filas 3, 5, 6 y 7.

2. En horario laboral ($h=1$, las ocho últimas filas), $a=1$ siempre que alguno de los tres sistemas valga $1$; solo se deniega el acceso en la fila 8, con los tres sistemas sin validar.

3. Tabla de verdad (la fila es el número binario $hcte$, con $h$ como bit de más peso):

   Fila	$h$	$c$	$t$	$e$	$a$
   0	0	0	0	0	0
   1	0	0	0	1	0
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	0
   5	0	1	0	1	1
   6	0	1	1	0	1
   7	0	1	1	1	1
   8	1	0	0	0	0
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	1
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	1
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	1
   15	1	1	1	1	1

Planteamiento Se pide la función lógica de $a$ y, si se puede, simplificarla. A partir de la tabla se escribe la función canónica y después se simplifica con un mapa de Karnaugh.

1. Filas con $a=1$: 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15. La primera forma canónica (suma de productos) tiene un término por cada una, con la variable negada donde vale $0$, $a$${}= \sum m(3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15)$:

   $a$${}= \overline{h}\,\overline{c}\,t\,e+\overline{h}\,c\,\overline{t}\,e$${}+\overline{h}\,c\,t\,\overline{e}+\overline{h}\,c\,t\,e$${}+h\,\overline{c}\,\overline{t}\,e+h\,\overline{c}\,t\,\overline{e}$${}+h\,\overline{c}\,t\,e+h\,c\,\overline{t}\,\overline{e}$${}+h\,c\,\overline{t}\,e+h\,c\,t\,\overline{e}$${}+h\,c\,t\,e$

2. Como solo hay cinco ceros (filas 0, 1, 2, 4 y 8), es más corta la segunda forma canónica (producto de sumas), con un factor por cada cero y la variable negada donde vale $1$:

   $a$${}= (h+c+t+e)(h+c+t+\overline{e})(h+c+\overline{t}+e)(h+\overline{c}+t+e)(\overline{h}+c+t+e)$

3. Mapa de Karnaugh ($hc$ en las filas y $te$ en las columnas, las dos en código Gray):

   $hc \backslash te$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	1	1	1
   11	1	1	1	1
   10	0	1	1	1

4. Grupos de cuatro unos, los mayores posibles: la columna $te=11$ entera (filas 3, 7, 15 y 11) da $t\,e$; las filas $hc=01$ y $11$ con las columnas $te=01$ y $11$ (5, 7, 13 y 15) dan $c\,e$; las filas $hc=01$ y $11$ con las columnas $te=11$ y $10$ (7, 6, 15 y 14) dan $c\,t$.

5. Las filas $hc=11$ y $10$ con las columnas $te=01$ y $11$ (13, 15, 9 y 11) dan $h\,e$; las filas $hc=11$ y $10$ con las columnas $te=11$ y $10$ (15, 14, 11 y 10) dan $h\,t$; y la fila $hc=11$ entera (12, 13, 15 y 14) da $h\,c$.

6. Hacen falta los seis grupos: cada uno es el único que cubre una de las filas 3, 5, 6, 9, 10 y 12. La función simplificada es la suma de los seis productos:

   $a=t\,e+c\,e+c\,t+h\,e+h\,t+h\,c$

7. Se lee así: se puede entrar con dos sistemas válidos cualesquiera ($c\,t$, $c\,e$ o $t\,e$) o, en horario laboral, con uno solo ($h\,c$, $h\,t$ o $h\,e$). Sacando factor común se puede escribir más corta, y es la misma función:

   $a=c\,(e+h+t)+e\,(h+t)+h\,t$

Planteamiento Se pide el circuito de puertas lógicas de la función simplificada $a=t\,e+c\,e+c\,t+h\,e+h\,t+h\,c$: una suma (OR) de seis productos (AND) de dos variables, sin ninguna variable negada.

1. Seis puertas AND de dos entradas hacen los productos:

   $t\,e$$c\,e$$c\,t$$h\,e$$h\,t$$h\,c$

2. Una puerta OR de seis entradas los suma y da la salida $a$. No hace falta ningún inversor. En la figura, cada puerta AND es un rectángulo con «&» y la puerta OR, un rectángulo con «≥1» (símbolos IEC); los puntos negros marcan las conexiones.

3. Con la forma factorizada $a=c\,(e+h+t)+e\,(h+t)+h\,t$ también puede hacerse: una OR de tres entradas ($e+h+t$) y una AND con $c$, una OR de dos entradas ($h+t$) y una AND con $e$, una AND para $h\,t$ y una OR final de tres entradas. Tiene la misma tabla de verdad.

ResultadoSeis puertas AND de dos entradas ($t\,e$, $c\,e$, $c\,t$, $h\,e$, $h\,t$ y $h\,c$) conectadas a una puerta OR de seis entradas, que da $a$ (esquema en la figura).

La pauta oficial da: Seis puertas AND de dos entradas y una puerta OR de seis entradas que da $a$.

Planteamiento Se pide la potencia eléctrica que el motor toma de la batería durante la subida. A velocidad constante y sin otras pérdidas, la potencia mecánica es la necesaria para vencer la componente del peso paralela a la subida; la potencia eléctrica es esta potencia dividida por el rendimiento del motor.

1. Velocidad en unidades del SI:

   $v=\dfrac{8\,\mathrm{km/h}}{3{,}6}=2{,}222\,\mathrm{m/s}$

2. Componente del peso paralela a la pendiente, que es la fuerza que debe hacer el motor a velocidad constante (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $F$${}= m\,g\,\sin\alpha$${}= 70\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot\sin 7^\circ$${}= 83{,}66\,\mathrm{N}$

3. Potencia mecánica en la rueda:

   $P_\text{mec}$${}= F\,v=m\,g\,v\,\sin\alpha$${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 2{,}222\,\mathrm{m/s}$${}= 185{,}9\,\mathrm{W}$

4. Potencia eléctrica consumida:

   $P_\text{eléc}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$${}= \dfrac{185{,}9\,\mathrm{W}}{0{,}85}$${}= 218{,}7\,\mathrm{W}$

5. Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $218{,}8\,\mathrm{W}$: la diferencia solo está en la cuarta cifra.

Planteamiento Se pide la velocidad angular del eje del motor y el par que da. Como la rueda está conectada directamente al eje, giran juntos: la velocidad del patinete es la velocidad de la periferia de la rueda, y el par es la potencia mecánica dividida por la velocidad angular.

1. Radio de la rueda: $r=d_\text{rueda}/2=70\,\mathrm{mm}=0{,}070\,\mathrm{m}$. Velocidad angular del eje, que es la de la rueda:

   $\omega_\text{mot}$${}= \dfrac{v}{d_\text{rueda}/2}$${}= \dfrac{2{,}222\,\mathrm{m/s}}{0{,}070\,\mathrm{m}}$${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}$

2. En vueltas por minuto:

   $n$${}= 31{,}75\,\mathrm{rad/s}\cdot\dfrac{60\,\mathrm{s/min}}{2\pi\,\mathrm{rad}}$${}= 303{,}2\,\mathrm{min}^{-1}$

3. Par del motor: como $P_\text{mec}=\Gamma\,\omega_\text{mot}$ y $v=\omega_\text{mot}\,r$, el par es la fuerza del apartado a) por el radio de la rueda:

   $\Gamma$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$${}= F\,\dfrac{d_\text{rueda}}{2}$${}= 83{,}66\,\mathrm{N}\cdot 0{,}070\,\mathrm{m}$${}= 5{,}856\,\mathrm{N\,m}$

Planteamiento Se pide qué porcentaje de la energía de la batería se gasta en el trayecto. La energía consumida es la potencia eléctrica por la duración del trayecto.

1. Duración del trayecto:

   $t$${}= \dfrac{s}{v}$${}= \dfrac{2\,\mathrm{km}}{8\,\mathrm{km/h}}$${}= 0{,}25\,\mathrm{h}$${}= 900\,\mathrm{s}$

2. Energía eléctrica consumida:

   $E_\text{cons}$${}= P_\text{eléc}\,t$${}= 218{,}7\,\mathrm{W}\cdot 0{,}25\,\mathrm{h}$${}= 54{,}68\,\mathrm{W\,h}$

3. Fracción de la energía de la batería, es decir, el $21{,}87$ %:

   $\Delta$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{E_\text{bat}}$${}= \dfrac{54{,}68\,\mathrm{W\,h}}{250\,\mathrm{W\,h}}$${}= 0{,}2187$

Planteamiento Se pide el trabajo que hace el motor para acelerar el coche desde el reposo hasta $50\,\mathrm{km/h}$. Sin resistencias pasivas y en un circuito horizontal, todo este trabajo se convierte en energía cinética del coche (teorema de la energía cinética).

1. Velocidad final en unidades del SI:

   $v=\dfrac{50\,\mathrm{km/h}}{3{,}6}=13{,}89\,\mathrm{m/s}$

2. El trabajo del motor es igual a la variación de energía cinética, y la inicial es cero. Para no arrastrar el redondeo de la velocidad, se hace el cálculo con el cociente entero:

   $W$${}= \Delta E_\text{c}$${}= \dfrac{1}{2}\,m\,v^2$${}= \dfrac{1}{2}\cdot 1\,250\,\mathrm{kg}\cdot\left(\dfrac{50}{3{,}6}\,\mathrm{m/s}\right)^2$${}= 120{,}56\,\mathrm{kJ}$${}\approx 120{,}6\,\mathrm{kJ}$

Planteamiento Se pide la masa de gasolina quemada. Con un rendimiento de $0{,}25$, el combustible debe aportar cuatro veces el trabajo útil; la masa sale de dividir esta energía por el poder calorífico.

1. Energía que debe aportar la gasolina:

   $E_\text{cons}$${}= \dfrac{W}{\eta}$${}= \dfrac{120{,}56\,\mathrm{kJ}}{0{,}25}$${}\approx 482\,\mathrm{kJ}$

2. Masa de gasolina, con $p_\text{c}=46\,\mathrm{MJ/kg}=46\,000\,\mathrm{kJ/kg}$:

   $m_\text{gas}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{p_\text{c}}$${}= \dfrac{W}{\eta\,p_\text{c}}$${}= \dfrac{120{,}56\,\mathrm{kJ}}{0{,}25\cdot 46\,000\,\mathrm{kJ/kg}}$${}= 0{,}01048\,\mathrm{kg}$${}= 10{,}48\,\mathrm{g}$

Planteamiento Se pide la masa de $\mathrm{CO_2}$ emitida. El factor de emisión va por litro, así que primero hay que pasar la masa de gasolina a volumen con la densidad.

1. Volumen de gasolina ($\rho=0{,}72\,\mathrm{g/cm^3}=0{,}72\,\mathrm{kg/L}$):

   $V$${}= \dfrac{m_\text{gas}}{\rho}$${}= \dfrac{10{,}48\,\mathrm{g}}{0{,}72\,\mathrm{g/cm^3}}$${}= 14{,}56\,\mathrm{cm^3}$${}= 0{,}01456\,\mathrm{L}$

2. Masa de $\mathrm{CO_2}$ emitida:

   $m_{\mathrm{CO_2}}$${}= V\cdot\mathit{FE}$${}= 0{,}01456\,\mathrm{L}\cdot 2{,}157\,\mathrm{kg/L}$${}= 0{,}03141\,\mathrm{kg}$${}= 31{,}41\,\mathrm{g}$

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre del pie: el pie aislado, con todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él, cada una en su punto de aplicación y con su sentido.

1. El peso del pie, $m\,g$, vertical y hacia abajo, aplicado en el centro de inercia G, a una distancia horizontal $b=35\,\mathrm{mm}$ a la derecha de O.

2. La fuerza del músculo tibial anterior, $F_\text{m}$, aplicada en Q y dirigida hacia arriba a lo largo del músculo, inclinada $\varphi=9^\circ$ hacia la izquierda respecto a la vertical. Su distancia a O es el brazo $a=30\,\mathrm{mm}$.

3. La reacción de la articulación en O, desconocida en módulo y en dirección. Se dibuja con sus dos componentes, $O_\text{H}$ (horizontal) y $O_\text{V}$ (vertical), en un sentido cualquiera; el signo del resultado dirá si el sentido elegido era el bueno. En la figura, $O_\text{H}$ hacia la derecha y $O_\text{V}$ hacia arriba.

4. No hay ninguna otra fuerza: el pie no toca el suelo.

ResultadoTres fuerzas sobre el pie: el peso $m\,g$ en G (vertical, hacia abajo), la fuerza del músculo $F_\text{m}$ en Q (hacia arriba, inclinada $9^\circ$ hacia la izquierda respecto a la vertical) y la reacción en O, con componentes $O_\text{H}$ y $O_\text{V}$ (diagrama en la figura).

La pauta oficial da: Diagrama de cuerpo libre: $O_\text{V}$ y $O_\text{H}$ en O, $F_\text{m}$ en Q y el peso $m\,g$ en G.

Planteamiento Se pide la fuerza del músculo. La ecuación de momentos respecto a O la aísla directamente, porque las dos componentes de la reacción pasan por O y no hacen momento.

1. Momentos respecto a O, positivos en sentido antihorario: $F_\text{m}$ hace girar el pie en sentido antihorario con el brazo $a$, y el peso en sentido horario con el brazo $b$:

   $\sum M_\text{O}=0:\quad F_\text{m}\,a-m\,g\,b=0$

2. Despejamos la fuerza (tomamos $g=9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; las distancias pueden quedar en milímetros porque solo sale un cociente):

   $F_\text{m}$${}= \dfrac{m\,g\,b}{a}$${}= \dfrac{2{,}2\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 35\,\mathrm{mm}}{30\,\mathrm{mm}}$${}= 25{,}171\,\mathrm{N}$${}\approx 25{,}17\,\mathrm{N}$

3. La cota $c=40\,\mathrm{mm}$ no hace falta: el peso es vertical y su brazo respecto a O es la distancia horizontal $b$. Con $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ sale $25{,}18\,\mathrm{N}$.

Planteamiento Se piden las dos componentes de la reacción en O, con las ecuaciones de equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.

1. Componentes de $F_\text{m}$: horizontal, $F_\text{m}\sin\varphi$, hacia la izquierda; vertical, $F_\text{m}\cos\varphi$, hacia arriba.

2. Equilibrio horizontal, con $O_\text{H}$ dibujada hacia la derecha:

   $\sum F_x$${}= 0:\quad O_\text{H}-F_\text{m}\sin\varphi=0$${}\Rightarrow O_\text{H}$${}= 25{,}171\,\mathrm{N}\cdot\sin 9^\circ$${}= 3{,}938\,\mathrm{N}$

3. Equilibrio vertical, con $O_\text{V}$ dibujada hacia arriba:

   $\sum F_y=0:\quad O_\text{V}+F_\text{m}\cos\varphi-m\,g=0$

4. Con $m\,g$${}= 2{,}2\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 21{,}575\,\mathrm{N}$:

   $O_\text{V}$${}= m\,g-F_\text{m}\cos\varphi$${}= 21{,}575\,\mathrm{N}$${}-25{,}171\,\mathrm{N}\cdot\cos 9^\circ$${}= 21{,}575\,\mathrm{N}-24{,}861\,\mathrm{N}$${}= -3{,}286\,\mathrm{N}$

5. El signo negativo quiere decir que $O_\text{V}$ tiene el sentido contrario al dibujado: la articulación empuja el pie hacia abajo con $3{,}286\,\mathrm{N}$. $O_\text{H}$ ha salido positiva, hacia la derecha, como se había dibujado.

6. Módulo de la reacción total en O:

   $O$${}= \sqrt{O_\text{H}^2+O_\text{V}^2}$${}= \sqrt{(3{,}938\,\mathrm{N})^2+(3{,}286\,\mathrm{N})^2}$${}= 5{,}129\,\mathrm{N}$

Planteamiento Se pide la reactancia de la bobina a $50\,\mathrm{Hz}$.

1. Inductancia en henrios: $L_1=7\,\mathrm{mH}=0{,}007\,\mathrm{H}$. Reactancia inductiva:

   $X_{L_1}$${}= \omega\,L_1$${}= 2\pi f\,L_1$${}= 2\pi\cdot 50\,\mathrm{Hz}\cdot 0{,}007\,\mathrm{H}$${}= 2{,}199\,\Omega$

Planteamiento Se pide el factor de potencia de la carga $R_1$–$L_1$ en serie, que es el coseno del ángulo de desfase entre la tensión y la corriente. Sale del triángulo de impedancias, de catetos $R_1$ y $X_{L_1}$.

1. Tangente del ángulo de desfase:

   $\tan\varphi$${}= \dfrac{X_{L_1}}{R_1}$${}= \dfrac{2{,}199\,\Omega}{5\,\Omega}$${}= 0{,}4398$

2. Ángulo y factor de potencia:

   $\varphi$${}= \arctan 0{,}4398$${}= 23{,}74^\circ$${}\Rightarrow \cos\varphi=\cos 23{,}74^\circ$${}= 0{,}9154$

3. Es lo mismo que $R_1/Z$, con la impedancia del apartado c): $5\,\Omega/5{,}462\,\Omega=0{,}9154$. También sale de las potencias, $\cos\varphi=P/S=W_1/(U_1\,A_1)$, una vez conocidas la corriente y la tensión (apartados d y e). La carga es inductiva: la corriente va retrasada respecto a la tensión.

Planteamiento Se pide el módulo de la impedancia equivalente: la resistencia y la reactancia en serie (los aparatos de medida se consideran ideales).

1. Módulo de la impedancia en serie:

   $Z$${}= \sqrt{R_1^2+X_{L_1}^2}$${}= \sqrt{(5\,\Omega)^2+(2{,}199\,\Omega)^2}$${}= 5{,}4622\,\Omega$${}\approx 5{,}462\,\Omega$

Planteamiento Se pide la corriente que marca el amperímetro. El vatímetro mide la potencia activa, y en esta carga solo la resistencia consume potencia activa; la bobina ideal no consume.

1. Potencia activa de la resistencia, $W_1=R_1\,I^2$, donde $I$ es la corriente eficaz, la que marca el amperímetro:

   $A_1$${}= \sqrt{\dfrac{W_1}{R_1}}$${}= \sqrt{\dfrac{950\,\mathrm{W}}{5\,\Omega}}$${}= 13{,}784\,\mathrm{A}$${}\approx 13{,}78\,\mathrm{A}$

Planteamiento Se pide el valor eficaz de la tensión de la fuente, que es la corriente por la impedancia (ley de Ohm en corriente alterna).

1. Con una cifra más de la impedancia y de la corriente, para no arrastrar redondeos:

   $U_1$${}= Z\,A_1$${}= 5{,}4622\,\Omega\cdot 13{,}784\,\mathrm{A}$${}= 75{,}29\,\mathrm{V}$

2. Comprobación: la potencia aparente es $S$${}= U_1\,A_1$${}= 75{,}29\,\mathrm{V}\cdot 13{,}784\,\mathrm{A}$${}= 1\,038\,\mathrm{V\,A}$, y $P/S=950/1\,038=0{,}915$, el factor de potencia del apartado b).