Tecnología, PAU 2025 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Sistema combinacional de cuatro entradas ($a$, $m$, $b$, $p$) y una salida $r$: hay que hacer la tabla de verdad con los criterios de rechazo, simplificar la función y dibujarla como un esquema de contactos.

1. Combinaciones posibles de los sensores de tamaño: grande ($a\,m\,b = 111$), mediano ($011$), pequeño ($001$) y muy pequeño ($000$). Las otras cuatro ($010$, $100$, $101$ y $110$) no corresponden a ninguno de los cuatro tamaños: son condiciones imposibles, y el sistema las rechaza.

2. Se acepta ($r = 0$) solo en tres casos: mediano que pesa más de 3 quilates ($a\,m\,b\,p = 0111$), grande que pesa más de 3 quilates ($1111$) y pequeño que no pesa más de 3 quilates ($0010$). El resto de combinaciones se rechazan ($r = 1$).

3. Tabla de verdad (la fila es el número binario $a\,m\,b\,p$, con $a$ como bit de más peso):

   Fila	$a$	$m$	$b$	$p$	$r$
   0	0	0	0	0	1
   1	0	0	0	1	1
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	1
   5	0	1	0	1	1
   6	0	1	1	0	1
   7	0	1	1	1	0
   8	1	0	0	0	1
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	1
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	1
   13	1	1	0	1	1
   14	1	1	1	0	1
   15	1	1	1	1	0

4. Como solo hay tres ceros, es más corto escribir la función canónica como producto de sumas: un factor por cada fila con $r = 0$, con la variable negada donde vale 1:

   $r$${}= (a + m + \overline{b} + p)\,(a + \overline{m} + \overline{b} + \overline{p})\,(\overline{a} + \overline{m} + \overline{b} + \overline{p})$

5. Para simplificar, mapa de Karnaugh ($a\,m$ en las filas y $b\,p$ en las columnas, en código Gray):

   $am \backslash bp$	00	01	11	10
   00	1	1	1	0
   01	1	1	0	1
   11	1	1	0	1
   10	1	1	1	1

6. Grupos de unos: las dos columnas con $b = 0$ (ocho unos) dan $\overline{b}$; las celdas con $m = 0$ y $p = 1$ (filas 1, 3, 9 y 11) dan $\overline{m}\,p$; las celdas con $m = 1$ y $p = 0$ (filas 4, 6, 12 y 14) dan $m\,\overline{p}$, y la fila $a\,m = 10$ entera (filas 8, 9, 10 y 11) da $a\,\overline{m}$ y cubre el único 1 que faltaba, el de la fila 10:

   $r = \overline{b} + \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + a\,\overline{m}$

7. Para la fila 10 también sirve el grupo $a\,\overline{p}$ (filas 8, 10, 12 y 14) en lugar de $a\,\overline{m}$; las dos funciones dan la misma tabla:

   $r = \overline{b} + \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + a\,\overline{p}$

8. Esquema de contactos (figura): cada producto es una rama de contactos en serie, y la suma son las ramas en paralelo. Un contacto normalmente abierto se cierra cuando su variable vale 1, y uno normalmente cerrado, cuando vale 0. Las cuatro ramas en paralelo que alimentan la salida $r$ son: $a$ (normalmente abierto) en serie con $\overline{m}$ (normalmente cerrado); $\overline{m}$ en serie con $p$ (normalmente abierto); $m$ (normalmente abierto) en serie con $\overline{p}$ (normalmente cerrado), y $\overline{b}$ (normalmente cerrado) solo. Con la función alternativa del paso anterior, la primera rama sería $a$ (normalmente abierto) en serie con $\overline{p}$ (normalmente cerrado).

9. Comprobación: el esquema conduce ($r = 1$) en las trece combinaciones de rechazo y no conduce en las tres de aceptación ($0010$, $0111$ y $1111$).

Resultado$r = \overline{b} + \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + a\,\overline{m}$ (o $a\,\overline{p}$ en lugar de $a\,\overline{m}$): cuatro ramas de contactos en paralelo (figura).

La pauta oficial da: Tabla de verdad con $r = 0$ solo en las combinaciones $a\,m\,b\,p$ = $0010$, $0111$ y $1111$; $r$${}= (a + m + \overline{b} + p)\,(a + \overline{m} + \overline{b} + p)\,(\overline{a} + \overline{m} + \overline{b} + \overline{p})$; simplificando, $r = \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + \overline{b} + a\,\overline{m}$ o bien $r = \overline{m}\,p + m\,\overline{p} + \overline{b} + a\,\overline{p}$; esquema de contactos de cuatro ramas en paralelo.

Planteamiento Trabajo para subir la cabina llena: es el aumento de energía potencial de la masa a plena carga en el desnivel entre las dos estaciones.

1. Sin contar pérdidas, el trabajo es la energía potencial ganada; solo cuenta el desnivel $h$, no la longitud del recorrido. Se toma $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$.

2. Trabajo mecánico:

   $W$${}= M\,g\,h$${}= 4\,900 \cdot 9{,}807 \cdot 544$${}= 2{,}614 \cdot 10^{7}\,\mathrm{J}$

Planteamiento Potencia media: el trabajo del apartado a) repartido en el tiempo que dura el viaje.

1. El tiempo de viaje es un dato: $t_\text{v} = 5\,\mathrm{min} = 300\,\mathrm{s}$. (Con la longitud y la velocidad media saldrían $d/v = 1\,357/5 = 271\,\mathrm{s}$, no $300\,\mathrm{s}$: esos dos datos de la ficha no cuadran del todo con el tiempo de viaje. Como el enunciado da directamente el tiempo de viaje, se usa ese.)

2. Con $W$ sin redondear ($26{,}142\,\mathrm{MJ}$):

   $P_\text{sum}$${}= \frac{W}{t_\text{v}}$${}= \frac{26{,}142 \cdot 10^{6}}{300}$${}= 87\,140\,\mathrm{W}$

Planteamiento Rendimiento del teleférico: cociente entre la potencia útil (la que sube la cabina) y la potencia que consume el motor.

1. Rendimiento:

   $\eta$${}= \frac{P_\text{sum}}{P_\text{cons}}$${}= \frac{87{,}14}{115}$${}= 0{,}7577$

2. En porcentaje, un $75{,}77$ %: el resto de la potencia consumida son pérdidas.

Planteamiento Coste eléctrico del mes de junio: se cuenta cuántos viajes hace la cabina cada día, la energía que consume en ellos el motor y el precio de la energía, durante los 30 días de junio.

1. Con una frecuencia de paso de $15\,\mathrm{min}$ durante $9\,\mathrm{h}$, la cabina hace cada día:

   $N = \frac{9 \cdot 60}{15} = 36\,\text{viajes}$

2. El motor consume $P_\text{cons} = 115\,\mathrm{kW}$ durante los $5\,\mathrm{min}$ de cada viaje de subida. Tiempo de funcionamiento diario y energía diaria:

   $t_\text{día} = 36 \cdot \frac{5}{60} = 3\,\mathrm{h}$$E_\text{día}$${}= P_\text{cons}\,t_\text{día}$${}= 115 \cdot 3$${}= 345\,\mathrm{kW\,h}$

3. Junio tiene 30 días:

   $E_\text{junio}$${}= 30 \cdot 345$${}= 10\,350\,\mathrm{kW\,h}$

4. Coste del mes: $c_\text{junio}$${}= 10\,350 \cdot 0{,}21$${}= 2\,173{,}5$ €.

5. Se ha supuesto que el motor solo consume mientras la cabina sube, a la potencia de la ficha, y que cada salida es un viaje completo de $5\,\mathrm{min}$.

Planteamiento Diagrama de sólido libre de la guía OC: se aísla la guía y se dibujan todas las fuerzas externas que actúan sobre ella, cada una en su punto de aplicación.

1. Se aísla la guía OC (sin la pared ni el hilo) y se dibujan cuatro fuerzas, todas en el plano del dibujo.

2. Peso de la guía, $P_1 = m_\text{madera}\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el centro de la guía (es homogénea), a $l/2 = 0{,}5\,\mathrm{m}$ de O.

3. Peso de la botella, $P_2 = m_\text{agua}\,g$, vertical hacia abajo, a la distancia $x$ de O (donde está el gancho).

4. Fuerza del hilo, $T$, aplicada en B ($d = 0{,}3\,\mathrm{m}$ de O) y dirigida de B hacia A: forma $\varphi = 30^\circ$ con la horizontal, hacia arriba y hacia la pared.

5. Reacción de la articulación O, con dos componentes: $R_{Ox}$ horizontal, hacia fuera de la pared (equilibra la componente horizontal de $T$), y $R_{Oy}$ vertical. El sentido de $R_{Oy}$ se supone hacia arriba; si al resolver saliera negativa, iría hacia abajo.

ResultadoDiagrama con $P_1$ en $l/2$, $P_2$ en $x$, $T$ en B hacia A formando $30^\circ$ con la horizontal y la reacción de O, $R_{Ox}$ y $R_{Oy}$ (figura).

La pauta oficial da: Diagrama con las componentes de la reacción en O ($O_\text{H}$, $O_\text{V}$), $T$ en B formando $\varphi$ con la horizontal, $m_\text{madera}\,g$ en $l/2$ y $m_\text{agua}\,g$ en $x$.

Planteamiento Ecuación de equilibrio de momentos respecto a la articulación O, donde la reacción no hace momento: de ella sale $T$ en función de la posición $x$ de la botella.

1. Masa de agua de la botella ($\rho = 1\,\mathrm{kg/L}$): $m_\text{agua} = \rho\,V = 2\,\mathrm{kg}$. Se toma $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$.

2. Equilibrio de momentos respecto a O. La componente horizontal de $T$ pasa por O y no hace momento; la vertical, $T\sin\varphi$, tiene brazo $d$, y los dos pesos hacen momento en sentido contrario:

   $\sum M_O$${}= 0:\quad T\sin\varphi \cdot d$${}- m_\text{madera}\,g\,\frac{l}{2}$${}- m_\text{agua}\,g\,x=0$

3. Despejando $T$:

   $T$${}= \frac{m_\text{madera}\,g\,\frac{l}{2} + m_\text{agua}\,g\,x}{d\sin\varphi}$

4. Con los datos ($d\sin\varphi = 0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15\,\mathrm{m}$):

   $T$${}= \frac{0{,}75 \cdot 9{,}807 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 9{,}807\,x}{0{,}15}$${}= 24{,}52 + 130{,}8\,x$

5. Con $x$ en metros, $T$ sale en newtons. $T$ crece con $x$: cuanto más lejos de la pared se cuelga la botella, más tenso va el hilo.

Planteamiento Fuerza máxima del hilo: la que hace llegar la tensión de tracción a la resistencia del algodón, $\sigma = 80\,\mathrm{MPa}$.

1. Sección del hilo, con $d_\text{f} = 1{,}4\,\mathrm{mm} = 1{,}4 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}$:

   $S$${}= \frac{\pi\,d_\text{f}^2}{4}$${}= \frac{\pi\,(1{,}4 \cdot 10^{-3})^2}{4}$${}= 1{,}5394 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m^2}$

2. Fuerza máxima, con $\sigma = 80\,\mathrm{MPa} = 80 \cdot 10^{6}\,\mathrm{Pa}$:

   $T_\text{max}$${}= \sigma\,S=80 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}5394 \cdot 10^{-6}$${}= 123{,}2\,\mathrm{N}$

Planteamiento Posición máxima de la botella: la $x$ con la que la fuerza del hilo del apartado b) llega a la máxima del apartado c).

1. Se iguala la expresión de $T$ a $T_\text{max}$ y se despeja $x$:

   $x_\text{max}$${}= \frac{T_\text{max}\,d\sin\varphi - m_\text{madera}\,g\,\frac{l}{2}}{m_\text{agua}\,g}$

2. Con $T_\text{max} = 123{,}15\,\mathrm{N}$ (sin redondear):

   $x_\text{max}$${}= \frac{123{,}15 \cdot 0{,}15 - 0{,}75 \cdot 9{,}807 \cdot 0{,}5}{2 \cdot 9{,}807}$${}= \frac{18{,}47 - 3{,}678}{19{,}61}$${}= 0{,}7543\,\mathrm{m}$

3. Es menos que la longitud de la guía ($l = 1\,\mathrm{m}$), así que el gancho puede llegar. Si la botella se cuelga más lejos de O, el hilo se rompe.