Tecnología, PAU 2022 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Planteamiento Se pide la función lógica del circuito de puertas: hay que seguir la señal puerta a puerta, desde las entradas hasta $S$, y después simplificarla con el álgebra de Boole.

1. Puerta NO (el bloque «1» con círculo en la salida) sobre $a$, y puerta O ($\geq 1$) con esa salida y $b$:

   $X_1 = \overline{a} + b$

2. Segunda puerta O, con $a$ y $b$:

   $X_2 = a + b$

3. Puerta Y negada (NAND: «&» con círculo en la salida) con las dos salidas anteriores:

   $X_3 = \overline{(\overline{a} + b)\,(a + b)}$

4. Puerta NAND con $c$ y $d$:

   $X_4 = \overline{c\,d}$

5. Puerta O final, que da la función sin simplificar:

   $S = \overline{(\overline{a} + b)\,(a + b)} + \overline{c\,d}$

6. Simplificación del producto: se multiplica, $a\,\overline{a} = 0$ y $b\,b = b$, y se aplica la absorción ($b$ absorbe $\overline{a}\,b$ y $a\,b$):

   $(\overline{a} + b)\,(a + b)$${}= \overline{a}\,a + \overline{a}\,b + a\,b + b$${}= b$

7. Por tanto, la primera NAND da $\overline{b}$, y con la ley de De Morgan, $\overline{c\,d} = \overline{c} + \overline{d}$:

   $S = \overline{b} + \overline{c} + \overline{d}$

8. Otra forma de escribirlo, también por De Morgan, es $S = \overline{b\,c\,d}$: la salida solo vale $0$ cuando $b$, $c$ y $d$ valen $1$ a la vez. La entrada $a$ no influye en la salida.

Planteamiento Se pide la tabla de verdad de $S(a,b,c,d)$ para las $16$ combinaciones de entrada. Con la función simplificada, $S = 0$ solo cuando $b = c = d = 1$, sea cual sea el valor de $a$.

1. Tabla de verdad, con las filas en orden binario $a\,b\,c\,d$:

   $a$	$b$	$c$	$d$	$S$
   0	0	0	0	1
   0	0	0	1	1
   0	0	1	0	1
   0	0	1	1	1
   0	1	0	0	1
   0	1	0	1	1
   0	1	1	0	1
   0	1	1	1	0
   1	0	0	0	1
   1	0	0	1	1
   1	0	1	0	1
   1	0	1	1	1
   1	1	0	0	1
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	1
   1	1	1	1	0

2. Comprobación con el circuito original en una de las filas con $S = 0$, por ejemplo $a = 0$, $b = 1$, $c = 1$, $d = 1$: $\overline{a} + b = 1$ y $a + b = 1$, así que la primera NAND da $0$; $c\,d = 1$ y la segunda NAND también da $0$; por tanto, $S = 0 + 0 = 0$.

Planteamiento Se pide el esquema de contactos de la función simplificada, $S = \overline{b} + \overline{c} + \overline{d}$: una suma de tres variables negadas.

1. Cada variable negada es un contacto normalmente cerrado: el de $b$ hace $\overline{b}$ (conduce cuando $b = 0$), e igual para $c$ y $d$.

2. La suma (función O) son los tres contactos conectados en paralelo entre la alimentación y la salida $S$: basta con que conduzca uno para que $S = 1$.

3. La entrada $a$ no aparece en el esquema, porque no influye en $S$.

ResultadoTres contactos normalmente cerrados, $\overline{b}$, $\overline{c}$ y $\overline{d}$, conectados en paralelo antes de la salida $S$. Esquema en la figura.

La pauta oficial da: Tres contactos normalmente cerrados, $\overline{b}$, $\overline{c}$ y $\overline{d}$, en paralelo.

Planteamiento Se pide la velocidad angular del eje de salida del reductor: la del motor, pasada a rad/s, multiplicada por la relación de transmisión $\tau = \omega_\text{red}/\omega_\text{mot}$.

1. Velocidad angular del motor ($1\ \text{vuelta} = 2\pi\,\mathrm{rad}$ y $1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$):

   $\omega_\text{mot}$${}= n_\text{mot}\,\frac{2\pi}{60}$${}= 1470\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$${}= 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$

2. Velocidad del eje de salida del reductor:

   $\omega_\text{red}$${}= \tau\,\omega_\text{mot}$${}= 0{,}009\cdot 153{,}94\,\mathrm{rad/s}$${}= 1{,}385\,\mathrm{rad/s}$

Planteamiento Se pide el trabajo para subir la carga $8\,\mathrm{m}$. Como sube a velocidad constante, la energía cinética no varía y el trabajo es el aumento de energía potencial de la carga.

1. El trabajo es el peso por la altura (el enunciado no da $g$; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ saldría $157{,}0\,\mathrm{kJ}$, y los resultados de los apartados siguientes cambiarían en la cuarta cifra):

   $W$${}= m\,g\,h$${}= 2000\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}\cdot 8\,\mathrm{m}$${}= 156{,}9\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$${}= 156{,}9\,\mathrm{kJ}$

Planteamiento Se pide la potencia eléctrica que consume el conjunto motorreductor: la potencia útil, que es el trabajo dividido por el tiempo, dividida por el rendimiento del conjunto.

1. Tiempo en segundos: $t = 1{,}5\,\mathrm{min} = 90\,\mathrm{s}$. Potencia útil, con el trabajo con una cifra más ($156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}$) para que el redondeo no afecte al resultado:

   $P_\text{útil}$${}= \frac{W}{t}=\frac{156{,}91\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}}{90\,\mathrm{s}}$${}= 1\,743{,}4\,\mathrm{W}$

2. Potencia eléctrica consumida:

   $P_\text{eléc}$${}= \frac{P_\text{útil}}{\eta}$${}= \frac{1\,743{,}4\,\mathrm{W}}{0{,}6}$${}= 2\,906\,\mathrm{W}$${}= 2{,}906\,\mathrm{kW}$

3. La velocidad del apartado a) y la relación de transmisión no hacen falta para este cálculo: el trabajo y el tiempo ya dan la potencia útil.

Planteamiento Se pide la corriente que absorbe el motor de inducción monofásico. En corriente alterna monofásica, la potencia activa es $P = U\,I\cos\varphi$.

1. Despejando la corriente:

   $I$${}= \frac{P_\text{eléc}}{U\cos\varphi}$${}= \frac{2\,906\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}\cdot 0{,}85}$${}= 14{,}86\,\mathrm{A}$

Planteamiento Se pide la cilindrada total del motor: el volumen que barre un pistón en una carrera (sección del cilindro por carrera) multiplicado por el número de cilindros. La relación de compresión no hace falta para esto.

1. Volumen unitario de un cilindro, trabajando en centímetros ($d = 8{,}3\,\mathrm{cm}$, $s = 9{,}1\,\mathrm{cm}$):

   $V_1$${}= \frac{\pi\,d^2}{4}\,s$${}= \frac{\pi\,(8{,}3\,\mathrm{cm})^2}{4}\cdot 9{,}1\,\mathrm{cm}$${}= 492{,}4\,\mathrm{cm^3}$

2. Cilindrada total de los seis cilindros:

   $V$${}= n_\mathrm{c}\,V_1$${}= 6\cdot 492{,}4\,\mathrm{cm^3}$${}= 2\,954\,\mathrm{cm^3}$

Planteamiento Se pide el par que da el motor: la potencia mecánica dividida por la velocidad angular.

1. Velocidad angular del motor:

   $\omega$${}= n\,\frac{2\pi}{60}$${}= 3\,000\,\mathrm{min^{-1}}\cdot\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}}$${}= 314{,}16\,\mathrm{rad/s}$

2. Par motor:

   $\Gamma$${}= \frac{P_\text{mec}}{\omega}=\frac{20\,000\,\mathrm{W}}{314{,}16\,\mathrm{rad/s}}$${}= 63{,}66\,\mathrm{N\,m}$

Planteamiento Se pide la potencia térmica que aporta la gasolina: el caudal másico de combustible multiplicado por el poder calorífico, expresado en kW.

1. Caudal másico de gasolina (volumen por hora por densidad):

   $\dot m$${}= c\,\rho=6{,}5\,\mathrm{L/h}\cdot 0{,}8\,\mathrm{kg/L}$${}= 5{,}2\,\mathrm{kg/h}$

2. Potencia térmica, pasando la hora a segundos ($1\,\mathrm{h} = 3\,600\,\mathrm{s}$) porque $1\,\mathrm{kJ/s} = 1\,\mathrm{kW}$:

   $P_\text{térm}$${}= \dot m\,p_\mathrm{c}$${}= \frac{5{,}2\,\mathrm{kg}}{3\,600\,\mathrm{s}}\cdot 42\,000\,\mathrm{kJ/kg}$${}= 60{,}67\,\mathrm{kW}$

Planteamiento Se pide el rendimiento del motor: la potencia mecánica útil dividida por la potencia térmica consumida.

1. Rendimiento, que significa que el $32{,}97$ % de la energía del combustible se convierte en trabajo mecánico:

   $\eta$${}= \frac{P_\text{mec}}{P_\text{térm}}$${}= \frac{20\,\mathrm{kW}}{60{,}67\,\mathrm{kW}}$${}= 0{,}3297$

Planteamiento Se pide el diagrama de cuerpo libre del tablero: el tablero aislado con todas las fuerzas que actúan sobre él. Las barras AB y CD no tienen masa y están articuladas por los dos extremos, de modo que cada una solo puede hacer fuerza en su propia dirección, la de la barra.

1. Fuerza $F$ en el punto O, el extremo izquierdo del tablero, vertical hacia arriba.

2. Peso $m\,g$, vertical hacia abajo, aplicado en el centro del tablero, a $1{,}5\,L$ de O (el tablero es homogéneo y mide $3L$).

3. Fuerza de la barra AB, $F_\mathrm{AB}$, en el punto A (a $L$ de O), en la dirección de la barra, a $\varphi = 60^\circ$ de la horizontal. Los cálculos del apartado c) dan que va hacia B, es decir, hacia abajo y hacia la derecha: la barra tira del tablero.

4. Fuerza de la barra CD, $F_\mathrm{CD}$, en el punto C (a $2L$ de O), también en la dirección de la barra, paralela a AB. Va de D hacia C, es decir, hacia arriba y hacia la izquierda: la barra empuja el tablero.

5. No hay ninguna otra fuerza sobre el tablero: las articulaciones B y D actúan sobre las barras, no directamente sobre el tablero.

ResultadoTablero con cuatro fuerzas: $F$ hacia arriba en O; $m\,g$ hacia abajo en el centro, a $1{,}5\,L$ de O; $F_\mathrm{AB}$ en A, hacia abajo y hacia la derecha, y $F_\mathrm{CD}$ en C, hacia arriba y hacia la izquierda, ambas a $60^\circ$ de la horizontal. Diagrama en la figura.

La pauta oficial da: Diagrama: $F$ hacia arriba en O, $m\,g$ hacia abajo en el centro, $F_\mathrm{AB}$ en A en la dirección de la barra hacia B y $F_\mathrm{CD}$ en C en la dirección de la barra, de D hacia C.

Planteamiento Se pide la fuerza $F$ necesaria para mantener el tablero en equilibrio con $\varphi = 60^\circ$. Como las dos barras son paralelas, bastan las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.

1. Equilibrio horizontal, con los sentidos del diagrama ($F_\mathrm{AB}$ hacia abajo y a la derecha, $F_\mathrm{CD}$ hacia arriba y a la izquierda; si un valor saliera negativo, el sentido sería el opuesto):

   $\sum F_x$${}= 0:\quad F_\mathrm{AB}\cos\varphi$${}- F_\mathrm{CD}\cos\varphi=0$${}\Rightarrow F_\mathrm{AB}$${}= F_\mathrm{CD}$

2. Equilibrio vertical:

   $\sum F_y$${}= 0:\quad F - F_\mathrm{AB}\sin\varphi$${}+ F_\mathrm{CD}\sin\varphi - m\,g=0$

3. Como $F_\mathrm{AB} = F_\mathrm{CD}$, los dos términos de las barras se anulan y queda $F = m\,g$ (el enunciado no da $g$; tomamos $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$; con $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ los resultados de este ejercicio cambian en la cuarta cifra):

   $F$${}= m\,g=4\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$${}= 39{,}23\,\mathrm{N}$

Planteamiento Se piden las fuerzas que hacen las barras sobre el tablero y si trabajan a tracción o a compresión. Falta una ecuación, la de momentos, que se toma respecto a A para que $F_\mathrm{AB}$ no aparezca.

1. Momentos respecto a A (sentido antihorario positivo). $F$ está a una distancia $L$ a la izquierda de A; el peso, a $L/2$ a la derecha; $F_\mathrm{CD}$ se aplica en C, a $L$ a la derecha, y solo hace momento su componente vertical, $F_\mathrm{CD}\sin\varphi$, porque la componente horizontal pasa por A:

   $\sum M_\mathrm{A}$${}= 0:\quad -F\,L - m\,g\,\frac{L}{2}$${}+ F_\mathrm{CD}\,L\sin\varphi=0$

2. Despejando $F_\mathrm{CD}$ (la $L$ se simplifica), con $m\,g/2 = 19{,}61\,\mathrm{N}$:

   $F_\mathrm{CD}$${}= \frac{F + \frac{m\,g}{2}}{\sin\varphi}$${}= \frac{39{,}23\,\mathrm{N} + 19{,}61\,\mathrm{N}}{\sin 60^\circ}$${}= 67{,}94\,\mathrm{N}$

3. Del equilibrio horizontal del apartado anterior:

   $F_\mathrm{AB} = F_\mathrm{CD} = 67{,}94\,\mathrm{N}$

4. Los dos valores salen positivos: los sentidos del diagrama son los correctos. La barra AB tira del tablero hacia B; por acción y reacción, el tablero tira de la barra, que trabaja a tracción. La barra CD empuja el tablero hacia arriba; el tablero la comprime, y trabaja a compresión.

Planteamiento Se pide la corriente de cada estufa y la corriente total. Cada estufa recibe la tensión de $230\,\mathrm{V}$, es decir, están conectadas en paralelo; como son resistencias, la potencia es $P = U\,I$.

1. Corriente de cada estufa:

   $I_i = \frac{P_1}{U_1} = \frac{900\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}} = 3{,}913\,\mathrm{A}$

2. En paralelo, las corrientes de las siete estufas se suman:

   $I = n\,I_i = 7\cdot 3{,}913\,\mathrm{A} = 27{,}39\,\mathrm{A}$

Planteamiento Se pide la resistencia eléctrica de cada estufa a partir de su potencia y su tensión de alimentación.

1. De $P = U^2/R$:

   $R = \frac{U_1^2}{P_1} = \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{900\,\mathrm{W}} = 58{,}78\,\Omega$

2. Comprobación con la ley de Ohm:

   $R = \frac{U_1}{I_i} = \frac{230\,\mathrm{V}}{3{,}913\,\mathrm{A}} = 58{,}78\,\Omega$

Planteamiento Se pide la potencia de cada estufa si la tensión baja a $125\,\mathrm{V}$. La resistencia de la estufa es la misma (se supone que no varía con la temperatura), así que la potencia varía con el cuadrado de la tensión.

1. Potencia con la nueva tensión:

   $P_2$${}= \frac{U_2^2}{R}$${}= \frac{(125\,\mathrm{V})^2}{58{,}78\,\Omega}$${}= 265{,}8\,\mathrm{W}$

2. El mismo resultado sale sin pasar por $R$, porque $R = U_1^2/P_1 = U_2^2/P_2$:

   $P_2$${}= P_1\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2$${}= 900\,\mathrm{W}\cdot\left(\frac{125}{230}\right)^2$${}= 265{,}8\,\mathrm{W}$

3. La tensión baja hasta el $54$ % de la nominal y la potencia, hasta el $29{,}5$ %, porque depende del cuadrado de la tensión.