Tecnología, PAU 2025 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Electrónica digital combinacional: hay que pasar las condiciones del enunciado a una tabla de verdad de cuatro variables ($l$, $n$, $t$, $i$), obtener la función $p$, simplificarla y dibujarla con puertas lógicas.

1. Traducimos las dos condiciones en que la persiana sube. Primera: hay luz ($l = 1$), la temperatura no es alta ($t = 0$) y el modo nocturno no está activado ($n = 0$). Segunda: hay personas ($i = 1$) y la temperatura es alta ($t = 1$), sean cuales sean $l$ y $n$. En cualquier otro caso, $p = 0$.

2. Tabla de verdad (la fila es el número binario $l\,n\,t\,i$, con $l$ como bit de más peso):

   Fila	$l$	$n$	$t$	$i$	$p$
   0	0	0	0	0	0
   1	0	0	0	1	0
   2	0	0	1	0	0
   3	0	0	1	1	1
   4	0	1	0	0	0
   5	0	1	0	1	0
   6	0	1	1	0	0
   7	0	1	1	1	1
   8	1	0	0	0	1
   9	1	0	0	1	1
   10	1	0	1	0	0
   11	1	0	1	1	1
   12	1	1	0	0	0
   13	1	1	0	1	0
   14	1	1	1	0	0
   15	1	1	1	1	1

3. Las filas con $p = 1$ son la 3, la 7, la 8, la 9, la 11 y la 15. La función canónica en suma de productos tiene un producto por cada una de esas filas (la variable va negada donde vale 0):

   $p$${}= \overline{l}\,\overline{n}\,t\,i + \overline{l}\,n\,t\,i$${}+ l\,\overline{n}\,\overline{t}\,\overline{i} + l\,\overline{n}\,\overline{t}\,i$${}+ l\,\overline{n}\,t\,i + l\,n\,t\,i$

4. Mapa de Karnaugh ($l\,n$ en las filas y $t\,i$ en las columnas, en código Gray):

   $ln \backslash ti$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	0	1	0
   11	0	0	1	0
   10	1	1	1	0

5. Grupo 1: la columna $t\,i = 11$ entera (filas 3, 7, 15 y 11). En ella $t = 1$ e $i = 1$, mientras que $l$ y $n$ cambian:

   $t\,i$

6. Grupo 2: la pareja de la fila $l\,n = 10$ con $t\,i = 00$ y $t\,i = 01$ (filas 8 y 9). En ella $l = 1$, $n = 0$ y $t = 0$:

   $l\,\overline{n}\,\overline{t}$

7. Los dos grupos cubren los seis unos. La función simplificada es su suma, que es justo la traducción directa de las dos condiciones del enunciado:

   $p = l\,\overline{n}\,\overline{t} + t\,i$

8. Diagrama de puertas (figura): dos puertas NOT dan $\overline{n}$ y $\overline{t}$; una puerta AND de tres entradas hace $l\,\overline{n}\,\overline{t}$; una AND de dos entradas hace $t\,i$, y una OR de dos entradas suma los dos productos y da $p$. En la figura se usan los símbolos normalizados: «1» con un círculo en la salida es NOT, «&» es AND y «$\geq 1$» es OR.

9. Comprobación: la función simplificada vale 1 exactamente en las filas 3, 7, 8, 9, 11 y 15 de la tabla, y 0 en las demás.

Resultado$p = l\,\overline{n}\,\overline{t} + t\,i$: dos puertas NOT, una AND de tres entradas, una AND de dos entradas y una OR de dos entradas (figura).

La pauta oficial da: Tabla de verdad con $p = 1$ en las combinaciones $l\,n\,t\,i$ = $0011$, $0111$, $1000$, $1001$, $1011$ y $1111$; $p$${}= \overline{l}\,\overline{n}\,t\,i + \overline{l}\,n\,t\,i$${}+ l\,\overline{n}\,\overline{t}\,\overline{i} + l\,\overline{n}\,\overline{t}\,i$${}+ l\,\overline{n}\,t\,i + l\,n\,t\,i$; simplificando, $p = l\,\overline{n}\,\overline{t} + t\,i$; esquema con dos puertas NOT, dos AND y una OR.

Planteamiento Potencia mecánica para subir el coche entero: el trabajo es el aumento de energía potencial de la masa que soportan las dos columnas, realizado en el tiempo de elevación.

1. Cada columna soporta $m = 1\,900\,\mathrm{kg}$; el coche entero, que se apoya en las dos, tiene una masa $2\,m$:

   $m_\text{coche}$${}= 2\,m=2 \cdot 1\,900$${}= 3\,800\,\mathrm{kg}$

2. Trabajo para subirlo la altura $h$ (con $g = 9{,}807\,\mathrm{m/s^2}$):

   $W$${}= m_\text{coche}\,g\,h$${}= 3\,800 \cdot 9{,}807 \cdot 1{,}8$${}= 67\,080\,\mathrm{J}$

3. Potencia mecánica, repartiendo ese trabajo en $t = 45\,\mathrm{s}$:

   $P_\text{mec} = \frac{W}{t} = \frac{67\,080}{45} = 1\,491\,\mathrm{W}$

Planteamiento Potencia eléctrica de cada motor: los dos motores se reparten la potencia mecánica, y el rendimiento del conjunto, $\eta = 0{,}4$, hace que consuman más.

1. Cada motor sube una columna, es decir, da la mitad de la potencia mecánica, y tiene que consumir más de lo que da, según el rendimiento del conjunto:

   $P_\text{eléc} = \frac{P_\text{mec}/2}{\eta} = \frac{P_\text{mec}}{2\,\eta}$

2. Con $P_\text{mec}$ sin redondear ($1\,490{,}7\,\mathrm{W}$):

   $P_\text{eléc}$${}= \frac{1\,490{,}7}{2 \cdot 0{,}4}$${}= 1\,863\,\mathrm{W}$

Planteamiento Transmisión tornillo-tuerca: cada vuelta del tornillo hace subir la tuerca (y el coche) un paso de rosca, $p = 7\,\mathrm{mm}$.

1. Pasamos la altura a milímetros: $h = 1{,}8\,\mathrm{m} = 1\,800\,\mathrm{mm}$. Las vueltas son la altura dividida por el paso:

   $n_\text{vueltas}$${}= \frac{h}{p}=\frac{1\,800}{7}$${}= 257{,}1\,\text{vueltas}$

Planteamiento Diseño del reductor: la relación de transmisión es el cociente entre la velocidad del motor y la que debe tener el tornillo para dar las $257{,}1$ vueltas en $45\,\mathrm{s}$.

1. Velocidad del tornillo, con $n_\text{vueltas} = 1\,800/7 = 257{,}14$:

   $n_\text{tor}$${}= \frac{n_\text{vueltas}}{t}$${}= \frac{257{,}14}{45}$${}= 5{,}714\,\text{vueltas/s}$

2. En vueltas por minuto, como el motor:

   $n_\text{tor}$${}= 5{,}714 \cdot 60$${}= 342{,}8\,\mathrm{min}^{-1}$

3. Relación de transmisión del reductor:

   $i = \frac{n_\text{mot}}{n_\text{tor}} = \frac{1\,420}{342{,}8} = 4{,}142$

4. Como $i > 1$, el reductor reduce la velocidad: el tornillo gira unas $4{,}14$ veces más despacio que el motor.

Planteamiento Calentamiento de agua con un quemador de gas: primero, la energía para llevar el agua de $15\,^\circ\mathrm{C}$ hasta la ebullición; después, cuánto gas hay que quemar teniendo en cuenta el rendimiento del quemador.

1. Masa de agua, con una densidad de $1\,\mathrm{kg/L}$:

   $m_\text{agua} = \rho\,V = 1 \cdot 2 = 2\,\mathrm{kg}$

2. El agua hierve a $100\,^\circ\mathrm{C}$ (a la presión atmosférica normal). Calor útil para calentarla:

   $Q_\text{u}$${}= m_\text{agua}\,c_\text{e}\,(T_\text{eb} - T_1)$${}= 2 \cdot 4{,}186 \cdot (100 - 15)$${}= 711{,}6\,\mathrm{kJ}$

3. Solo el $20$ % de la energía del gas llega al agua ($\eta = 0{,}2$). Energía que debe liberar el gas:

   $E = \frac{Q_\text{u}}{\eta} = \frac{711{,}6}{0{,}2} = 3\,558\,\mathrm{kJ}$

4. Masa de gas, con $p_\text{c}$${}= 45{,}8\,\mathrm{MJ/kg}$${}= 45\,800\,\mathrm{kJ/kg}$:

   $m_\text{gas1}$${}= \frac{E}{p_\text{c}}$${}= \frac{3\,558}{45\,800}$${}= 0{,}07769\,\mathrm{kg}$${}= 77{,}69\,\mathrm{g}$

Planteamiento Tiempo de calentamiento: el quemador al máximo quema $c = 155\,\mathrm{g/h}$, y hay que quemar los $77{,}69\,\mathrm{g}$ del apartado anterior.

1. Tiempo para quemar ese gas:

   $t_1$${}= \frac{m_\text{gas1}}{c}$${}= \frac{77{,}69\,\mathrm{g}}{155\,\mathrm{g/h}}$${}= 0{,}5012\,\mathrm{h}$

2. En minutos:

   $t_1 = 0{,}5012 \cdot 60 = 30{,}07\,\mathrm{min}$

Planteamiento Consumo total del cartucho: se suma el gas para hervir el agua y el que se quema durante la cocción, con el caudal reducido al $30$ %, y se compara con los $230\,\mathrm{g}$ del cartucho.

1. Caudal durante la cocción, y el tiempo en horas ($t_2 = 18\,\mathrm{min} = 0{,}3\,\mathrm{h}$):

   $c_2 = 0{,}3\,c = 0{,}3 \cdot 155 = 46{,}5\,\mathrm{g/h}$

2. Gas quemado durante la cocción:

   $m_\text{gas2}$${}= c_2\,t_2$${}= 46{,}5 \cdot 0{,}3$${}= 13{,}95\,\mathrm{g}$

3. Gas de todo el proceso:

   $m_\text{gas}$${}= m_\text{gas1} + m_\text{gas2}$${}= 77{,}69 + 13{,}95$${}= 91{,}64\,\mathrm{g}$

4. Porcentaje del cartucho:

   $\Delta$${}= \frac{m_\text{gas}}{m_\text{cartucho}} \cdot 100$${}= \frac{91{,}64}{230} \cdot 100$${}= 39{,}84\,\%$