Tecnología, PAU 2023 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Planteamiento Tabla de verdad de una votación de cuatro miembros por mayoría, con voto de calidad del presidente en caso de empate: hay que decidir $d$ para las 16 combinaciones de votos.

1. Regla: con 3 o 4 votos favorables el trabajo es apto; con 0 o 1, no lo es; con 2 votos a favor y 2 en contra hay empate y decide el voto del presidente, es decir, $d=p$.

2. Tabla de verdad (la columna del medio cuenta los votos favorables):

   $v_1$	$v_2$	$s$	$p$	votos a favor	$d$
   0	0	0	0	0	0
   0	0	0	1	1	0
   0	0	1	0	1	0
   0	0	1	1	2	1
   0	1	0	0	1	0
   0	1	0	1	2	1
   0	1	1	0	2	0
   0	1	1	1	3	1
   1	0	0	0	1	0
   1	0	0	1	2	1
   1	0	1	0	2	0
   1	0	1	1	3	1
   1	1	0	0	2	0
   1	1	0	1	3	1
   1	1	1	0	3	1
   1	1	1	1	4	1

3. Hay 8 filas con $d=1$: las tres de empate en que el presidente vota a favor (0011, 0101 y 1001, en el orden $v_1v_2sp$), las cuatro con tres votos favorables (0111, 1011, 1101 y 1110) y la de cuatro (1111).

Planteamiento Función lógica de la decisión: se escribe en suma de productos a partir de las filas con $d=1$ y se simplifica con un mapa de Karnaugh de cuatro variables.

1. Función canónica: un producto por cada fila con $d=1$, con la variable negada donde vale 0.

   $d$${}= \overline{v_1}\,\overline{v_2}\,s\,p$${}+\overline{v_1}\,v_2\,\overline{s}\,p$${}+\overline{v_1}\,v_2\,s\,p$${}+v_1\,\overline{v_2}\,\overline{s}\,p$${}+v_1\,\overline{v_2}\,s\,p$${}+v_1\,v_2\,\overline{s}\,p$${}+v_1\,v_2\,s\,\overline{p}$${}+v_1\,v_2\,s\,p$

2. Mapa de Karnaugh ($v_1v_2$ en las filas y $sp$ en las columnas, ambas en código Gray):

   $v_1v_2 \backslash sp$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	1	1	0
   11	0	1	1	1
   10	0	1	1	0

3. Grupo 1: la columna $sp=11$ entera (cuatro casillas), en la que solo $s$ y $p$ se mantienen a 1.

   $s\,p$

4. Grupo 2: las filas $v_1v_2=01$ y $11$ con las columnas $sp=01$ y $11$; se mantienen $v_2=1$ y $p=1$.

   $v_2\,p$

5. Grupo 3: las filas $v_1v_2=11$ y $10$ con las columnas $sp=01$ y $11$; se mantienen $v_1=1$ y $p=1$.

   $v_1\,p$

6. Grupo 4: la casilla $v_1v_2=11$, $sp=10$ (los dos vocales y el secretario a favor y el presidente en contra) con la de al lado, $sp=11$; se mantienen $v_1$, $v_2$ y $s$ a 1.

   $v_1\,v_2\,s$

7. Función simplificada, suma de los cuatro grupos:

   $d=v_1\,v_2\,s+s\,p+v_1\,p+v_2\,p$

8. Sacando $p$ factor común en tres términos queda una forma que se lee fácilmente: el trabajo es apto si el presidente vota a favor y también alguien más, o si votan a favor los otros tres.

   $d=p\,(v_1+v_2+s)+v_1\,v_2\,s$

Planteamiento Esquema con puertas lógicas de la función simplificada, que es una suma de cuatro productos sin ninguna variable negada.

1. Tres puertas AND de dos entradas dan $s\,p$, $v_1\,p$ y $v_2\,p$, y una puerta AND de tres entradas da $v_1\,v_2\,s$.

2. Una puerta OR de cuatro entradas suma las cuatro salidas y da $d$. En la figura, & es una puerta AND y $\geq1$ una puerta OR (símbolos de la norma IEC); cada punto negro es una conexión a la línea de la entrada.

3. Con la forma factorizada también se puede hacer: una OR de tres entradas ($v_1$, $v_2$, $s$) seguida de una AND de dos con $p$, una AND de tres entradas ($v_1$, $v_2$, $s$) y una OR de dos entradas a la salida.

   $d=p\,(v_1+v_2+s)+v_1\,v_2\,s$

ResultadoCuatro puertas AND (tres de dos entradas y una de tres) y una puerta OR de cuatro entradas que da $d$ (figura).

La pauta oficial da: Cuatro puertas AND ($v_1v_2s$, $sp$, $v_1p$, $v_2p$) y una OR de cuatro entradas.

Planteamiento Potencia eléctrica para subir una masa a velocidad constante con un motorreductor: la potencia mecánica es el peso por la velocidad, y la eléctrica se obtiene dividiendo entre el rendimiento del motorreductor.

1. Velocidad de subida de la masa (constante):

   $v$${}= \dfrac{h_2-h_1}{t}$${}= \dfrac{2\ \mathrm{m}-0{,}3\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{s}}$${}= 0{,}2125\ \mathrm{m/s}$

2. Como sube a velocidad constante, la pantalla tira de la masa con una fuerza igual a su peso, $m\,g$. Potencia mecánica a la salida del motorreductor, con $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$, ya que el enunciado no da su valor:

   $P_\text{mec}$${}= m\,g\,v$${}= 2\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}\cdot0{,}2125\ \mathrm{m/s}$${}= 4{,}168\ \mathrm{W}$

3. Potencia eléctrica media:

   $P_\text{eléctr}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta_\text{mot}}$${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{0{,}9}$${}= 4{,}631\ \mathrm{W}$

Planteamiento Velocidad angular y par en el eje de salida del motorreductor, que es el eje del rodillo donde se enrolla la pantalla.

1. La velocidad de la pantalla es la de la periferia del rodillo. Se considera despreciable el grosor de la tela enrollada, de manera que el radio se mantiene en $d/2=0{,}125\ \mathrm{m}$:

   $\omega_\text{mot}$${}= \dfrac{v}{d/2}$${}= \dfrac{0{,}2125\ \mathrm{m/s}}{0{,}125\ \mathrm{m}}$${}= 1{,}7\ \mathrm{rad/s}$

2. Par que el motorreductor aplica al tambor, a partir de la potencia mecánica del apartado a:

   $\Gamma_\text{mot}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\omega_\text{mot}}$${}= \dfrac{4{,}168\ \mathrm{W}}{1{,}7\ \mathrm{rad/s}}$${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

3. Comprobación: es el peso multiplicado por el radio del rodillo.

   $\Gamma_\text{mot}$${}= m\,g\,\dfrac{d}{2}$${}= 2\cdot9{,}807\cdot0{,}125$${}= 2{,}452\ \mathrm{N\,m}$

Planteamiento Incremento porcentual de la potencia eléctrica si la pantalla sube en la mitad de tiempo: la energía necesaria es la misma, pero se da en menos tiempo.

1. La energía que recibe la masa, $m\,g\,(h_2-h_1)$, no cambia, pero el tiempo pasa a ser $t/2=4$ s. Con el mismo rendimiento, la potencia se duplica:

   $P'_\text{eléctr}$${}= \dfrac{m\,g\,(h_2-h_1)}{\eta_\text{mot}\,t/2}$${}= 2\,P_\text{eléctr}$${}= 9{,}262\ \mathrm{W}$

2. Incremento relativo; multiplicado por 100, es un incremento del $100$ %:

   $\mathit{Inc}$${}= \dfrac{P'_\text{eléctr}-P_\text{eléctr}}{P_\text{eléctr}}$${}= \dfrac{2\,P_\text{eléctr}-P_\text{eléctr}}{P_\text{eléctr}}$${}= 1$

Planteamiento Coste de la energía de cada combustible: el precio dividido entre la energía que contiene cada unidad (un kilogramo de pélet o un litro de gasoil), en euros por kW h de energía del combustible.

1. Pélets: el precio está en €/kg y el poder calorífico en kW h/kg, así que el cociente sale directamente en €/(kW h):

   $ce_\text{pél}$${}= \dfrac{c_\text{pél}}{p_{c\text{\_pél}}}$${}= \dfrac{0{,}4}{4{,}8}$${}= 0{,}08333$

2. Gasoil: el poder calorífico se pasa a kW h por kilogramo ($1\ \mathrm{kW\,h}=3{,}6\ \mathrm{MJ}$) y, con la densidad, a kW h por litro:

   $p_{c\text{\_gas}}$${}= \dfrac{44{,}8}{3{,}6}$${}= 12{,}444\ \mathrm{kW\,h/kg}$$\rho\,p_{c\text{\_gas}}$${}= 0{,}85\ \mathrm{kg/L}\cdot\dfrac{44{,}8}{3{,}6}\ \mathrm{kW\,h/kg}$${}= 10{,}578\ \mathrm{kW\,h/L}$

3. El precio del gasoil es por litro; dividido entre la energía de un litro da el coste en €/(kW h):

   $ce_\text{gas}$${}= \dfrac{c_\text{gas}}{\rho\,p_{c\text{\_gas}}}$${}= \dfrac{1{,}3}{10{,}578}$${}= 0{,}1229$

Planteamiento Masa anual de pélets: la estufa tiene que recibir del combustible la demanda dividida entre su rendimiento, y cada kilogramo da $4{,}8\ \mathrm{kW\,h}$.

1. Energía que tiene que aportar el combustible:

   $E_\text{pél}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{\eta_\text{pél}}$${}= \dfrac{15\,000\ \mathrm{kW\,h}}{0{,}94}$${}= 15\,957\ \mathrm{kW\,h}$

2. Masa de pélets:

   $m_\text{pél}$${}= \dfrac{E_\text{pél}}{p_{c\text{\_pél}}}$${}= \dfrac{15\,957\ \mathrm{kW\,h}}{4{,}8\ \mathrm{kW\,h/kg}}$${}= 3\,324\ \mathrm{kg}$

Planteamiento Volumen anual de gasoil: la energía que tiene que aportar el combustible dividida entre la energía que contiene cada litro.

1. Energía que tiene que aportar el gasoil:

   $E_\text{gas}$${}= \dfrac{E_\text{cons}}{\eta_\text{gas}}$${}= \dfrac{15\,000\ \mathrm{kW\,h}}{0{,}82}$${}= 18\,293\ \mathrm{kW\,h}$

2. Con la energía de un litro del apartado a, $\rho\,p_{c\text{\_gas}}=10{,}578\ \mathrm{kW\,h/L}$:

   $V_\text{gas}$${}= \dfrac{E_\text{gas}}{\rho\,p_{c\text{\_gas}}}$${}= \dfrac{18\,293\ \mathrm{kW\,h}}{10{,}578\ \mathrm{kW\,h/L}}$${}= 1\,729\ \mathrm{L}$

Planteamiento Tiempo para que se igualen los costes de las dos estufas: la de pélets cuesta más de instalar, pero su combustible sale más barato cada año; hay que encontrar cuándo el ahorro acumulado cubre la diferencia de inversión.

1. Coste anual del combustible de cada estufa, en € al año (con una cifra más de $m_\text{pél}$ y $V_\text{gas}$):

   $C_\text{pél}$${}= m_\text{pél}\,c_\text{pél}$${}= 3\,324{,}5\cdot0{,}4$${}= 1\,329{,}8$$C_\text{gas}$${}= V_\text{gas}\,c_\text{gas}$${}= 1\,729{,}4\cdot1{,}3$${}= 2\,248{,}2$

2. El mantenimiento (400 € al año) es igual para las dos estufas y no cambia la diferencia. Ahorro anual de la estufa de pélets, en € al año:

   $\Delta c_\text{comb}$${}= C_\text{gas}-C_\text{pél}$${}= 2\,248{,}2-1\,329{,}8$${}= 918{,}4$

3. Los costes totales se igualan cuando el ahorro acumulado iguala la diferencia de inversión inicial, $7\,000-2\,000=5\,000$ €:

   $c_\text{inv\_pél}$${}+(C_\text{pél}+400)\,t$${}= c_\text{inv\_gas}$${}+(C_\text{gas}+400)\,t$${}\Rightarrow t=\dfrac{c_\text{inv\_pél}-c_\text{inv\_gas}}{\Delta c_\text{comb}}$${}= \dfrac{5\,000}{918{,}4}$${}= 5{,}444\ \text{años}$

4. A partir de ese momento, la estufa de pélets sale más a cuenta. $0{,}444$ años son unos $5$ meses ($0{,}444\cdot12=5{,}3$).

Planteamiento Diagrama de cuerpo libre de la barra OBC: se aísla la barra y se dibujan todas las fuerzas exteriores, cada una en su punto de aplicación.

1. En el punto C, el peso de las cajas, vertical y hacia abajo (con $g=9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$, ya que el enunciado no da su valor):

   $m\,g$${}= 75\ \mathrm{kg}\cdot9{,}807\ \mathrm{m/s^2}$${}= 735{,}5\ \mathrm{N}$

2. En el punto B, la fuerza del cilindro, $F_\text{c}$, en la dirección del cilindro (la recta PB) y con sentido de P hacia B: el cilindro empuja la barra hacia arriba. Forma el ángulo $\alpha$ con la barra.

3. En el punto O, la reacción de la articulación, con dos componentes: $F_\text{H}$ (horizontal) y $F_\text{V}$ (vertical). En la figura $F_\text{H}$ va hacia la derecha y $F_\text{V}$ hacia abajo, que es el sentido que sale de las ecuaciones del apartado c.

4. La masa de la barra es despreciable: no hay peso propio. La figura recoge las tres fuerzas.

ResultadoSobre la barra actúan $m\,g$ hacia abajo en C, $F_\text{c}$ en B en la dirección PB (de P hacia B) y la reacción en O, con componentes $F_\text{H}$ y $F_\text{V}$ (figura).

La pauta oficial da: Diagrama: $m\,g$ hacia abajo en C, $F_\text{c}$ en B formando el ángulo $\alpha$ con la barra, y en O las componentes $F_\text{H}$ (hacia la derecha) y $F_\text{V}$ (hacia abajo).

Planteamiento Relación geométrica entre el ángulo $\varphi$ de la barra con la horizontal y el ángulo $\alpha$ entre la barra y el cilindro, a partir del triángulo OPB.

1. El triángulo OPB es isósceles: $OP=l$ (enunciado) y $OB=l$ (B es el punto medio de una barra de longitud $2l$). Por tanto, los ángulos en B y en P son iguales, y en B ese ángulo es $\alpha$.

2. El ángulo en O es el que forman la vertical hacia abajo (OP) y la barra (OB): $90^\circ$ hasta la horizontal más $\varphi$ hasta la barra, es decir, $90^\circ+\varphi$.

3. Los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$:

   $(90^\circ+\varphi)+2\alpha$${}= 180^\circ$${}\Rightarrow \alpha=\dfrac{90^\circ-\varphi}{2}$${}= 45^\circ-\dfrac{\varphi}{2}$

Planteamiento Fuerza del cilindro para que la barra esté en equilibrio con $\varphi=30^\circ$: se toman momentos respecto a O, donde la reacción de la articulación no hace momento.

1. Con $\varphi=30^\circ$, la relación del apartado b da $\alpha=(90^\circ-30^\circ)/2=30^\circ$.

2. Brazos respecto a O: el peso actúa en C, a una distancia horizontal $2l\cos\varphi$ de O; la fuerza del cilindro actúa en B, a una distancia $l$ de O y formando el ángulo $\alpha$ con la barra, así que su brazo es $l\sin\alpha$. El cilindro hace girar la barra hacia arriba y el peso, hacia abajo.

3. Equilibrio de momentos respecto a O:

   $\sum M_\text{O}=0:$$F_\text{c}\,l\sin\alpha-m\,g\,2l\cos\varphi=0$

4. Despejando $F_\text{c}$ y sustituyendo:

   $F_\text{c}$${}= \dfrac{2\,m\,g\cos\varphi}{\sin\alpha}$${}= \dfrac{2\cdot735{,}5\ \mathrm{N}\cdot\cos30^\circ}{\sin30^\circ}$${}= 2\,548\ \mathrm{N}$

5. Las reacciones en O no se piden, pero completan el diagrama. En P, el cilindro forma el ángulo $\alpha=30^\circ$ con la vertical OP, de modo que la recta PB forma $60^\circ$ con la horizontal y $F_\text{c}$ apunta hacia arriba y hacia la izquierda. Ecuaciones de fuerzas, con $F_\text{H}$ hacia la derecha y $F_\text{V}$ hacia abajo:

   $\sum F_x=0:\ F_\text{H}-F_\text{c}\cos60^\circ=0$$\sum F_y$${}= 0:\ F_\text{c}\sin60^\circ-m\,g$${}-F_\text{V}=0$

6. Sustituyendo, salen positivas, es decir, con el sentido supuesto:

   $F_\text{H}=2\,548\cdot0{,}5=1\,274\ \mathrm{N}$$F_\text{V}$${}= 2\,548\cdot0{,}8660-735{,}5$${}= 1\,471\ \mathrm{N}$

Planteamiento Presión relativa del aceite dentro del cilindro: la fuerza que ejerce el cilindro dividida entre la superficie del émbolo.

1. Superficie del émbolo, con $d_\text{int}=40\ \mathrm{mm}=0{,}04\ \mathrm{m}$:

   $A$${}= \dfrac{\pi\,d_\text{int}^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}$${}= 1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. El cilindro empuja (el vástago sale), así que el aceite actúa sobre toda la cara del émbolo:

   $p_\text{int}$${}= \dfrac{F_\text{c}}{A}$${}= \dfrac{2\,548\ \mathrm{N}}{1{,}2566\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}}$${}= 2{,}028\cdot10^{6}\ \mathrm{Pa}$${}= 2{,}028\ \mathrm{MPa}$

Planteamiento Relación de transmisión de un reductor de una sola etapa: el piñón del motor mueve la rueda de salida, y las velocidades angulares van en proporción inversa al número de dientes.

1. Las dos ruedas engranadas tienen la misma velocidad lineal en el punto de contacto, es decir, $\omega_\text{entrada}\,z_\text{p}$${}= \omega_\text{salida}\,z_\text{r}$:

   $\tau$${}= \dfrac{\omega_\text{salida}}{\omega_\text{entrada}}$${}= \dfrac{z_\text{p}}{z_\text{r}}$${}= \dfrac{9}{62}$${}= 0{,}1452$

Planteamiento Curva par-velocidad de un motor de corriente continua de imanes permanentes alimentado a tensión constante: el par disminuye linealmente con la velocidad.

1. Con $U=24$ V, la expresión del par queda (con $\omega$ en rad/s y el par en N m):

   $\Gamma_\text{mot}$${}= 0{,}08\cdot24-0{,}01\,\omega$${}= 1{,}92-0{,}01\,\omega$

2. Es una recta. Par de arranque ($\omega=0$): $\Gamma_\text{mot}=1{,}92\ \mathrm{N\,m}$.

3. La velocidad es máxima cuando el par es nulo (motor en vacío):

   $1{,}92-0{,}01\,\omega_\text{máx}=0$${}\Rightarrow \omega_\text{máx}$${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$

4. Pasada a $\mathrm{min^{-1}}$:

   $n_\text{máx}$${}= \omega_\text{máx}\,\dfrac{60}{2\pi}$${}= 192{,}0\cdot\dfrac{60}{2\pi}$${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$

5. Escalas de la gráfica (figura): par de $0$ a $2{,}5\ \mathrm{N\,m}$ en el eje vertical, con divisiones de $0{,}5\ \mathrm{N\,m}$, y velocidad de $0$ a $2\,000\ \mathrm{min^{-1}}$ en el horizontal, con divisiones de $500\ \mathrm{min^{-1}}$. La recta va del punto $(0;\ 1{,}92\ \mathrm{N\,m})$ al punto $(1\,833\ \mathrm{min^{-1}};\ 0)$.

ResultadoRecta $\Gamma_\text{mot}=1{,}92-0{,}01\,\omega$ (figura); $n_\text{máx}=1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$, es decir, $\omega_\text{máx}=192{,}0\ \mathrm{rad/s}$.

La pauta oficial da: La velocidad es máxima cuando el par es nulo: $n_\text{máx}$${}= 192{,}0\ \mathrm{rad/s}$${}= 1\,833\ \mathrm{min^{-1}}$

Planteamiento Intensidad que consume el motor en régimen nominal: se calcula el par a esa velocidad, la potencia mecánica y, con el rendimiento, la potencia eléctrica, que es $U\,I$.

1. Velocidad angular del motor:

   $\omega_\text{mot}$${}= n_\text{mot}\,\dfrac{2\pi}{60}$${}= 1\,000\cdot\dfrac{2\pi}{60}$${}= 104{,}72\ \mathrm{rad/s}$

2. Par a esa velocidad:

   $\Gamma_\text{mot}$${}= 1{,}92-0{,}01\cdot104{,}72$${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}$

3. Potencia mecánica:

   $P_\text{mec}$${}= \Gamma_\text{mot}\,\omega_\text{mot}$${}= 0{,}8728\ \mathrm{N\,m}\cdot104{,}72\ \mathrm{rad/s}$${}= 91{,}40\ \mathrm{W}$

4. Potencia eléctrica, con el rendimiento:

   $P_\text{eléctr}$${}= \dfrac{P_\text{mec}}{\eta}$${}= \dfrac{91{,}40\ \mathrm{W}}{0{,}55}$${}= 166{,}18\ \mathrm{W}$

5. Intensidad, de $P_\text{eléctr}=U\,I$:

   $I$${}= \dfrac{P_\text{eléctr}}{U}$${}= \dfrac{166{,}18\ \mathrm{W}}{24\ \mathrm{V}}$${}= 6{,}924\ \mathrm{A}$