Quants exercicis de funcions i derivades han sortit a la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya?

Entre 2022 i 2026, 33 exercicis en 15 dels 15 exàmens que tenim resolts (cada any, l’ordinària i l’extraordinària, i també la sèrie d’incidències). Han sortit els anys 2026, 2025, 2024, 2023 i 2022.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada resultat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra (gairebé sempre per arrodoniment), ho posem al costat amb l’explicació.

Què faig si el meu resultat no coincideix amb la pauta?

Mira primer si és el mateix valor escrit d’una altra manera: una fracció i el seu decimal, o un interval amb més o menys decimals. Les pautes puntuen per separat el plantejament, el càlcul i la resposta: escriu la fórmula que fas servir amb cada dada al seu lloc i acaba amb una frase que contesti el que demana l’enunciat (quin preu, quina empresa, si el valor queda dins de l’interval).

Puc imprimir els exercicis?

Sí. El botó d’imprimir prepara un full amb els enunciats oficials, amb espai per respondre, i les solucions a part. Cada exercici enllaça també el PDF oficial de l’examen i de la pauta.

Funcions i derivades: exercicis PAU Matemàtiques CCSS

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un metge comença a fer divulgació sobre salut a les xarxes socials. A mesura que publica continguts relacionats amb aquest tema, observa un augment en el nombre de seguidors. En un moment determinat grava un vídeo polèmic i perd un petit nombre de seguidors, però al cap d’uns dies en publica un altre que té molt d’èxit i, a partir d’aleshores, el nombre de seguidors torna a créixer. La funció que descriu el nombre de seguidors en funció del temps $t$ , mesurat en setmanes, és $f(t)$ ${}= 10t^3-120t^2$ ${}+450t+700$ , $t\in[0,10]$ .

1.1 Quants seguidors té a l’inici? Quants en té al cap de 10 setmanes?

Estudieu els intervals de creixement i decreixement de la funció i determineu-ne els extrems locals. Feu un esbós de la gràfica utilitzant la informació obtinguda.

[1,5 punts]

1.2 Quina setmana penja el vídeo polèmic i quants seguidors té en aquell moment? Quina setmana penja el vídeo que té molt d’èxit? Al llarg de les 10 setmanes, en quin moment té més seguidors?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.11,5 punts

Plantejament Els seguidors inicials i finals són $f(0)$ i $f(10)$ . El creixement i el decreixement depenen del signe de la derivada $f'(t)$ : busquem on s’anul·la i estudiem-ne el signe a cada tros de l’interval $[0,10]$ .

Seguidors a l’inici i al cap de 10 setmanes:
$f(0)=700$ $f(10)$ ${}= 10\cdot 1\,000$ ${}-120\cdot 100+450\cdot 10$ ${}+700$ ${}= 3\,200$
Derivem i factoritzem:
$f'(t)$ ${}= 30t^2-240t+450$ ${}= 30\left(t^2-8t+15\right)$ ${}= 30(t-3)(t-5)$
La derivada s’anul·la a $t=3$ i a $t=5$ . Signe de $f'$ en un punt de cada tros:
$f'(1)$ ${}= 30\cdot(-2)\cdot(-4)$ ${}= 240$ ${}> 0$ $f'(4)=30\cdot 1\cdot(-1)=-30<0$ $f'(6)=30\cdot 3\cdot 1=90>0$
Per tant, $f$ creix a $(0,3)$ , decreix a $(3,5)$ i torna a créixer a $(5,10)$ . Valors als punts on canvia el creixement:
$f(3)$ ${}= 270-1\,080+1\,350$ ${}+700$ ${}= 1\,240$ $f(5)$ ${}= 1\,250-3\,000+2\,250$ ${}+700$ ${}= 1\,200$
A $t=3$ la funció passa de créixer a decréixer (màxim local) i a $t=5$ , de decréixer a créixer (mínim local).
Esbós: la corba surt de $(0,700)$ , puja fins a $(3,1\,240)$ , baixa una mica fins a $(5,1\,200)$ i després puja fins a $(10,3\,200)$ (vegeu la gràfica).

ResultatA l’inici té $700$ seguidors i al cap de 10 setmanes, $3\,200$ . La funció és creixent a $(0,3)\cup(5,10)$ i decreixent a $(3,5)$ ; té un màxim local a $(3,\,1\,240)$ i un mínim local a $(5,\,1\,200)$ .

La pauta oficial dona: $f(0)=700$ , $f(10)=3200$ ; $\nearrow (0,3)\cup(5,10)$ , $\searrow (3,5)$ ; $\max (3,1240)$ , $\min (5,1200)$

Gràfica de f(t)=10t³−120t²+450t+700 entre t=0 i t=10: puja des de (0,700) fins al màxim local (3, 1 240), baixa fins al mínim local (5, 1 200) i torna a pujar fins a (10, 3 200), que és el valor més gran.

1.21 punt

Plantejament El vídeo polèmic és el moment en què els seguidors deixen de créixer i comencen a baixar (el màxim local), i el vídeo d’èxit, el moment en què tornen a créixer (el mínim local). El màxim de tot l’interval es busca comparant el màxim local amb el valor a l’extrem $t=10$ .

Pel que s’ha vist a 1.1, els seguidors comencen a baixar a $t=3$ :
$f(3)=1\,240$
I tornen a pujar a partir de $t=5$ , el mínim local.
El màxim absolut a $[0,10]$ és el més gran entre el màxim local i els valors als extrems:
$f(0)=700$ $f(3)=1\,240$ $f(10)=3\,200$

ResultatPenja el vídeo polèmic la setmana $3$ , quan té $1\,240$ seguidors, i el vídeo d’èxit la setmana $5$ . On té més seguidors és al final, la setmana $10$ , amb $3\,200$ .

La pauta oficial dona: $t=3\ (1240)$ , $t=5$ , $t=10\ (3200)$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En una localitat costanera han obert un nou local d’oci nocturn amb diverses pistes de ball i zones de descans. Per a accedir-hi, cal comprar una entrada que inclou una consumició. Després d’unes quantes setmanes, els propietaris s’han adonat que si el preu de l’entrada és de 15 €, l’afluència és de 180 clients. També s’han adonat que la relació entre el preu de l’entrada i el nombre de clients és lineal, de manera que per cada euro de més en el preu de l’entrada perden 20 clients. L’aforament del local és de 320 persones.

3.1 Comproveu que el nombre de persones que entren al local en funció del preu és donat per la funció $f(x)=480-20x$ . A partir de quin preu cal vendre l’entrada per a aconseguir omplir el local? A quin preu no hi anirà ningú?

[0,75 punts]

3.2 Trobeu una funció que determini els ingressos obtinguts amb les entrades en funció del preu de l’entrada. Quins són els ingressos quan el preu de l’entrada és de 15 €? I quan és de 18 €?

[0,75 punts]

3.3 A quin preu cal posar l’entrada per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins són aquests ingressos?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.10,75 punts

Plantejament Es demana comprovar la funció d’assistents $f(x)$ , amb $x$ el preu de l’entrada en euros, i trobar el preu amb què s’omple el local (320 persones) i el preu amb què no hi va ningú.

La relació és lineal: per cada euro de més es perden 20 clients (pendent $-20$ ) i amb 15 € hi van 180 clients, així que la recta passa per $(15,180)$ :
$f(x)$ ${}= 180-20(x-15)$ ${}= 180-20x+300$ ${}= 480-20x$
Local ple, 320 persones:
$480-20x$ ${}= 320$ ${}\Longrightarrow 20x$ ${}= 160$ ${}\Longrightarrow x=8$
Com que $f$ és decreixent, amb un preu de 8 € o menys hi van com a mínim 320 persones i el local s’omple. No hi va ningú quan
$480-20x=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{480}{20}=24$

Resultat $f(x)=480-20x$ compleix les dues dades de l’enunciat. El local s’omple si l’entrada costa $8$ € (o menys), i amb una entrada de $24$ € no hi va ningú.

La pauta oficial dona: $f(x)=480-20x$ ; $f(x)=320\Rightarrow x=8$ ; $f(x)=0\Rightarrow x=24$

3.20,75 punts

Plantejament Es demana la funció d’ingressos segons el preu i el seu valor a 15 € i a 18 €. Els ingressos són el preu de l’entrada pel nombre d’assistents.

Ingressos (el model val entre 8 € i 24 €: per sota de 8 € l’aforament limita l’assistència a 320 persones, i per sobre de 24 € no hi va ningú):
$I(x)$ ${}= x\cdot f(x)$ ${}= x(480-20x)$ ${}= -20x^2+480x$ $8\le x\le 24$
Amb l’entrada a 15 € i a 18 €:
$I(15)=15\cdot 180=2\,700$ $I(18)$ ${}= 18\cdot(480-360)$ ${}= 18\cdot 120$ ${}= 2\,160$

Resultat $I(x)=-20x^2+480x$ euros. Amb l’entrada a 15 € s’ingressen $2\,700$ €, i a 18 €, $2\,160$ €.

La pauta oficial dona: $I(x)=-20x^2+480x$ ; $I(15)=2700$ ; $I(18)=2160$

3.31 punt

Plantejament Es demana el preu que fa màxims els ingressos i el valor d’aquests ingressos. Busquem el màxim d’ $I(x)$ a $[8,24]$ amb la derivada i justifiquem que és un màxim amb el seu signe.

Derivem i igualem a zero:
$I'(x)=-40x+480=0\ \Longrightarrow\ x=12$
$x=12$ és dins de $[8,24]$ . Signe de la derivada a cada costat:
$I'(10)=80>0$ $I'(14)=-80<0$
$I$ creix fins a $x=12$ i decreix després: a $x=12$ hi ha un màxim, que és el valor més gran a tot $[8,24]$ . Ingressos màxims (hi van $f(12)=240$ persones, menys que l’aforament):
$I(12)$ ${}= 12\cdot(480-240)$ ${}= 12\cdot 240$ ${}= 2\,880$

ResultatEls ingressos són màxims amb l’entrada a $12$ €, i aleshores són de $2\,880$ € (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $I'(x)=-40x+480$ ; $x=12$ ; $I(12)=2880$

Paràbola dels ingressos I(x)=−20x²+480x per a x entre 8 i 24 €: surt de (8, 2 560), puja fins al vèrtex (12, 2 880), que és el màxim, i baixa passant per (15, 2 700) i (18, 2 160) fins a (24, 0).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Sistemes d’equacions, Probabilitat

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

A en Bernat l’han contractat com a gerent d’una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

4.1 Fent una anàlisi econòmica del darrer exercici, en Bernat ha descobert que l’empresa va tenir uns ingressos totals de 42.500 € per la venda de paraigües. Tot i així, no hi ha cap document que indiqui quants paraigües de cada tipus es van vendre; només que el preu de venda de cada paraigua plegable era de 25 € i el del paraigua bastó era de 15 €. Regirant entre la documentació, també ha trobat que es va fer servir un total de 2.375 $\mathrm{m}^2$ de tela impermeable. Per a fabricar un paraigua plegable, es necessita 1 $\mathrm{m}^2$ d’aquesta tela, mentre que per a un paraigua bastó se’n necessiten 1,5 $\mathrm{m}^2$ .

Sabent que no va quedar cap paraigua al magatzem en finalitzar la temporada, quants paraigües de cada model es van vendre?

[1,25 punts]

4.2 Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que determina el benefici, en milers d’euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$ , en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d’unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+2x$ .

Quins beneficis s’obtindran en total si es fabriquen 100 paraigües de cada tipus? Per a cada model de paraigua, calculeu entre quins valors ha d’estar compresa la variable $x$ perquè l’empresa no tingui pèrdues.

[1,25 punts]

OPCIÓ B

4.1 Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que expressa el benefici, en milers d’euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$ , en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d’unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+2x$ . L’empresa fabricarà el nombre de paraigües de cada tipus que maximitzi la seva funció de beneficis.

Amb quin dels dos productes es necessita una menor quantitat de paraigües per a assolir el màxim de beneficis? Amb quin dels dos productes s’obtenen més beneficis?

[1,25 punts]

4.2 Un dia arriben a l’empresa dos lots de paraigües bastó que havia encarregat el gerent anterior per analitzar dues maneres diferents de tractar la tela impermeable: mitjançant la impregnació amb un nou producte químic o mitjançant un recobriment de tefló. Entre els dos lots, hi ha 60 paraigües amb la tela recoberta de tefló i 80 paraigües impermeabilitzats amb el mètode d’impregnació. Sabem que un 98 % dels paraigües amb recobriment de tefló aguanten bé la pluja, però només el 95 % dels que han rebut el tractament d’impregnació l’aguanten bé.

En sortir de la feina, cau un xàfec sobtat i en Bernat agafa un dels nous paraigües, però té la mala sort que és un dels defectuosos i queda ben xop. Quina és la probabilitat que el paraigua que ha agafat sigui dels que estan recoberts de tefló?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11,25 punts

Plantejament Es demana quants paraigües de cada model es van vendre. Anomenem $x$ el nombre de paraigües plegables i $y$ el de paraigües bastó venuts. Com que no en va quedar cap al magatzem, tots els paraigües fabricats amb la tela es van vendre: els ingressos i la tela donen dues equacions.

Ingressos (25 € cada plegable i 15 € cada bastó) i tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable i 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastó):
$\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$
Aïllem $x$ de la segona equació i substituïm a la primera:
$x$ ${}= 2\,375-1{,}5y$ ${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$ ${}= 42\,500$ ${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$ ${}= 42\,500$
Resolem:
$22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$ $x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$
Comprovació:
$25\cdot 1\,250+15\cdot 750$ ${}= 31\,250+11\,250$ ${}= 42\,500$ $1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

ResultatEs van vendre $1\,250$ paraigües plegables i $750$ paraigües bastó.

La pauta oficial dona: $1250$ plegables i $750$ bastó

4.21,25 punts

Plantejament Es demana el benefici total de fabricar 100 paraigües de cada tipus i, per a cada model, els valors de $x$ sense pèrdues. Com que $x$ va en centenars d’unitats, 100 paraigües són $x=1$ , i les funcions donen milers d’euros. No hi ha pèrdues quan el benefici és més gran o igual que 0.

Beneficis amb $x=1$ :
$p(1)=1\cdot(3-1)=2$ $b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$
En total, en milers d’euros ( $2\,000$ € dels plegables i $1\,600$ € dels paraigües bastó):
$p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$
Plegables: amb $x\ge 0$ , el signe de $p(x)=x(3-x)$ és el de $3-x$ :
$p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$
Bastó: traiem $x$ factor comú, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$ , i amb $x\ge 0$ el signe és el del parèntesi:
$b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultatFabricant 100 paraigües de cada tipus s’obtenen $3{,}6$ milers d’euros, és a dir, $3\,600$ €. No hi ha pèrdues amb els plegables si $0\le x\le 3$ (fins a 300 paraigües) ni amb els paraigües bastó si $0\le x\le 5$ (fins a 500 paraigües); vegeu la gràfica.

La pauta oficial dona: $p(1)=2$ , $b(1)=\frac{8}{5}$ ; $3600\ \text{€}$ ; $0\le x\le 3$ ; $0\le x\le 5$

Les dues funcions de benefici per a x entre 0 i 6: la paràbola p(x)=x(3−x), que és positiva entre 0 i 3 i negativa després de 3, i la paràbola b(x)=−2/5x²+2x, positiva entre 0 i 5. Els trams on cada una és positiva o zero, 0≤x≤3 i 0≤x≤5, són els valors sense pèrdues; a x=1 hi ha els punts (1, 2) i (1; 1,6).

Opció B

4.11,25 punts

Plantejament Es demana amb quin dels dos models calen menys paraigües per arribar al benefici màxim i amb quin es guanya més. Busquem el màxim de cada funció amb la seva derivada ( $x$ en centenars de paraigües, beneficis en milers d’euros).

Derivades, igualades a zero:
$p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$ $b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$
Signe de cada derivada a banda i banda: les dues funcions passen de créixer a decréixer, així que els dos punts són màxims:
$p'(1)=1>0$ $p'(2)=-1<0$ $b'(2)=0{,}4>0$ $b'(3)=-0{,}4<0$
Beneficis màxims:
$p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$ $b(2{,}5)$ ${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$ ${}= -2{,}5+5$ ${}= 2{,}5$

ResultatAmb els paraigües plegables calen menys unitats: el benefici màxim s’assoleix amb $150$ paraigües plegables, davant de $250$ paraigües bastó. Amb els paraigües bastó es guanya més: $2\,500$ € com a màxim, davant de $2\,250$ € amb els plegables (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $x=1{,}5$ , $x=2{,}5$ ; $p(1{,}5)=2{,}25$ , $b(2{,}5)=2{,}5$

Les dues funcions de benefici per a x entre 0 i 5: la paràbola p(x)=x(3−x) té el màxim a (1,5; 2,25) i la paràbola b(x)=−2/5x²+2x, a (2,5; 2,5). El màxim de p arriba abans (menys paraigües) i el de b és més alt (més benefici).

4.21,25 punts

Plantejament Es demana la probabilitat que el paraigua sigui de tefló sabent que és defectuós. És la condicionada «al revés» de les dades, així que fem servir la probabilitat total i la fórmula de Bayes. Anomenem $T$ «recobert de tefló», $I$ «impregnat» i $D$ «defectuós» (no aguanta la pluja).

Entre els dos lots hi ha $60+80=140$ paraigües, així que:
$P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$ $P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$
Si aguanta bé el 98 % dels de tefló, en falla el 2 %; dels impregnats en falla el 5 %:
$P(D\mid T)=0{,}02$ $P(D\mid I)=0{,}05$
Probabilitat total que sigui defectuós:
$P(D)$ ${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$ ${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$ ${}= \frac{0{,}26}{7}$ ${}= \frac{13}{350}$ ${}\approx 0{,}0371$
Bayes:
$P(T\mid D)$ ${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$ ${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$ ${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$ ${}= \frac{3}{13}$ ${}\approx 0{,}2308$

ResultatLa probabilitat que el paraigua defectuós sigui dels recoberts de tefló és $P(T\mid D)=\dfrac{3}{13}\approx 0{,}2308$ .

La pauta oficial dona: $P(D)=0{,}0371$ ; $P(T\mid D)=0{,}2310$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsLa pauta té un error

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa comercialitza un accessori tecnològic. Segons diversos estudis de mercat, la relació entre el preu de venda $p$ (en euros) i la quantitat demanada setmanal $d(p)$ (en unitats) és donada per la funció $d(p)=500-10p-p^2$ , $0<p<15$ .

Es defineix també l’ingrés setmanal de l’empresa com a $I(p)=p\cdot d(p)$ .

1.1 Determineu el preu $p$ que maximitza l’ingrés setmanal $I(p)$ . Per a aquest preu, calculeu la quantitat demanada setmanal corresponent i el valor de l’ingrés màxim.

[1,5 punts]

1.2 El concepte de l’elasticitat de la demanda respecte al preu mesura, com el seu nom indica, la sensibilitat de la quantitat demanada davant dels canvis relatius en el preu, i s’utilitza per a analitzar com responen els consumidors a les variacions de preus. Per a funcions derivables, l’elasticitat de la demanda respecte al preu és donada per l’expressió $E(p)=\dfrac{p}{d(p)}d'(p)$ , en què $d'(p)$ denota la derivada de la funció $d(p)$ .

Calculeu l’expressió de l’elasticitat de la demanda respecte al preu $E(p)$ i determineu-ne el valor per a un preu de 5 € i per a un preu de 10 €.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.11,5 punts

Plantejament Escrivim $I(p)$ com a polinomi, el derivem i busquem on $I'(p)=0$ dins de $(0,15)$ . El signe de la derivada abans i després del punt crític confirma que és un màxim.

Ingrés setmanal:
$I(p)$ ${}= p\left(500-10p-p^2\right)$ ${}= 500p-10p^2-p^3$ $0<p<15$
Derivada:
$I'(p)=500-20p-3p^2$
Igualem a zero ( $3p^2+20p-500=0$ ):
$p$ ${}= \frac{-20\pm\sqrt{20^2+4\cdot 3\cdot 500}}{2\cdot 3}$ ${}= \frac{-20\pm\sqrt{6\,400}}{6}$ ${}= \frac{-20\pm 80}{6}$ ${}\Longrightarrow p=10$ $\text{o}\ \ p=-\frac{50}{3}$
Només $p=10$ és dins de $(0,15)$ . Signe de $I'$ a banda i banda:
$I'(9)=500-180-243=77>0$ $I'(11)$ ${}= 500-220-363$ ${}= -83$ ${}< 0$
$I$ creix fins a $p=10$ i decreix després: és el màxim de tot l’interval. Demanda i ingrés:
$d(10)=500-100-100=300$ $I(10)=10\cdot 300=3\,000$

ResultatL’ingrés és màxim amb un preu de $p=10$ €: es demanen $300$ unitats setmanals i l’ingrés màxim és de $3\,000$ €.

La pauta oficial dona: $p=10$ , $d(10)=300$ , $I(10)=3\,000$

1.21 punt

Plantejament Derivem $d(p)$ i substituïm a la fórmula de l’elasticitat que dona l’enunciat; després hi posem $p=5$ i $p=10$ .

Derivada de la demanda:
$d'(p)=-10-2p$
Elasticitat:
$E(p)$ ${}= \frac{p}{d(p)}\,d'(p)$ ${}= \frac{p(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ${}= -\frac{2p^2+10p}{500-10p-p^2}$ $0<p<15$
Per a $p=5$ :
$E(5)$ ${}= \frac{5\cdot(-20)}{500-50-25}$ ${}= \frac{-100}{425}$ ${}= -\frac{4}{17}$ ${}\approx -0{,}2353$
Per a $p=10$ :
$E(10)=\frac{10\cdot(-30)}{500-100-100}=\frac{-300}{300}=-1$
Interpretació: a $5$ € la demanda és poc sensible al preu ( $|E|<1$ ); a $10$ € val $-1$ , que és just el preu on l’ingrés és màxim (apartat 1.1).

Resultat $E(p)$ ${}= \dfrac{p(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ; $E(5)=-\dfrac{4}{17}\approx -0{,}2353$ i $E(10)=-1$ .

La pauta oficial dona: $E(p)$ ${}= \frac{p}{d(p)}qd'(p)$ ${}= \frac{p\cdot(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ; $E(5)=-\frac{4}{17}=-0{,}2353$ , $E(10)=-1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Probabilitat, Sistemes d’equacions, Matrius

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d’arreu del país, i imparteixen seminaris en línia.

El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d’activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

4.1 Aquest curs, durant una setmana concreta, el formulari d’inscripció del web de l’associació rep 15 inscripcions independents, cadascuna de les quals correspon a un dels tres tipus d’activitats.

Suposant que la distribució de les inscripcions es manté com el curs passat, calculeu la probabilitat que exactament 10 de les 15 inscripcions siguin per a activitats presencials.

Determineu el nombre esperat d’inscripcions a activitats presencials d’aquella setmana.

[1,5 punts]

4.2 El curs passat, per a dur a terme les 240 activitats, els tres amics van decidir organitzar-se de manera que cada activitat fos duta a terme per una sola persona; és a dir, no hi havia activitats desenvolupades per més d’un d’ells. Si sabem que la Carme va participar en 30 activitats més que el Martí i que el Saïd va participar en 18 activitats més que el Martí, de quantes activitats es va encarregar cadascun dels tres amics?

[1 punt]

OPCIÓ B

4.1 Per estudiar l’efecte d’una campanya de promoció dels tallers familiars d’aquest curs, els tres amics modelitzen el nombre de famílies inscrites mitjançant la funció $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$ , en què $t$ representa el nombre de dies des de l’inici de la campanya i $f(t)$ correspon al nombre de famílies inscrites aquell dia.

Hi ha algun dia en què el nombre de famílies inscrites sigui exactament 20? En cas afirmatiu, indiqueu quin.

Quin dia s’assoleix el nombre màxim de famílies inscrites? Quin és aquest nombre màxim?

[1,5 punts]

4.2 Els tres amics també volen analitzar com es reparteixen entre ells la feina de preparació de les activitats. Per fer-ho, revisen com s’han organitzat durant una setmana concreta. En total, en aquest període han dedicat 24 hores a la preparació de tallers familiars, 21 hores a la preparació de xerrades en centres educatius i 15 hores a la preparació de seminaris en línia.

La distribució de la feina de preparació de cadascun dels tres tipus d’activitats és la següent:

— la Carme s’encarrega del 50 % de la preparació dels tallers familiars, del 30 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia; — el Saïd s’encarrega del 30 % de la preparació dels tallers familiars, del 50 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia; — el Martí s’encarrega del 20 % de la preparació dels tallers familiars, del 20 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 60 % de la preparació dels seminaris en línia.

Agrupem aquesta informació en les matrius següents:

$\boldsymbol{R}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\ 0{,}30&0{,}50&0{,}20\\ 0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ , $\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}24\\ 21\\ 15\end{pmatrix}$ ,

que corresponen a la matriu de repartiment percentual i al vector d’hores totals dedicades a la preparació de cada tipus d’activitat, respectivament.

Calculeu el vector $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ i interpreteu-ne el significat.

Quin dels tres amics ha dedicat més hores a la preparació d’activitats?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11,5 punts

Plantejament Cada inscripció és presencial amb la proporció del curs passat, i les 15 són independents: el nombre $X$ d’inscripcions presencials és una binomial. Calculem $P(X=10)$ amb la fórmula de la binomial i l’esperança amb $E(X)=np$ .

Activitats presencials del curs passat: $96+84=180$ de $240$ :
$p=\frac{180}{240}=0{,}75$ $1-p=0{,}25$
Distribució:
$X\sim B(15;\ 0{,}75)$
Fórmula de la binomial, amb $\binom{15}{10}=3\,003$ :
$P(X=10)$ ${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$ ${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$ ${}\approx 0{,}1651$
Esperança:
$E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$
L’esperança és una mitjana: no cal que sigui un nombre enter. Vol dir que, de mitjana, unes 11 de cada 15 inscripcions són presencials.

Resultat $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; el nombre esperat d’inscripcions presencials és $E(X)=11{,}25$ .

La pauta oficial dona: $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; $E(X)=11{,}25\ (\approx 11)$

4.21 punt

Plantejament Anomenem $x$ , $y$ i $z$ les activitats de la Carme, el Saïd i el Martí. Les tres dades donen un sistema de tres equacions, que resolem per Gauss.

Sistema:
$\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$
Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3-F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$
Resolem:
$z=\frac{192}{3}=64$ $y=64+18=82$ $x=64+30=94$

ResultatLa Carme es va encarregar de $94$ activitats, el Saïd de $82$ i el Martí de $64$ .

La pauta oficial dona: $x=94$ , $y=82$ , $z=64$

Opció B

4.11,5 punts

Plantejament Per saber si algun dia hi ha 20 famílies, resolem $f(t)=20$ . Per al màxim, derivem $f$ , busquem on s’anul·la per a $t\ge 0$ i comprovem el canvi de signe.

Equació $f(t)=20$ :
$\frac{100t}{t^2+4}$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow 100t$ ${}= 20t^2+80$ ${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$ ${}\Longrightarrow t=1$ $\text{o}\ \ t=4$
Derivada (regla del quocient):
$f'(t)$ ${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$ ${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$
$f'(t)=0$ per a $t=\pm 2$ ; només té sentit $t=2$ . El denominador és positiu, així que el signe és el de $4-t^2$ :
$0<t<2:\ f'(t)>0$ $t>2:\ f'(t)<0$
Per tant, $t=2$ és el màxim. Valor:
$f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultatSí: hi ha exactament 20 famílies inscrites els dies $t=1$ i $t=4$ . El màxim s’assoleix el dia $t=2$ , amb $25$ famílies.

La pauta oficial dona: $t=1$ , $t=4$ ; $t=2$ , $f(2)=25$

Gràfica de f(t)=100t/(t²+4) per a t≥0: puja des de l’origen fins al màxim (2,25) i després baixa lentament. La recta horitzontal y=20 talla la corba a t=1 i a t=4.

4.21 punt

Plantejament Cada fila de $\boldsymbol{R}$ diu quina part de cada tipus de preparació fa una persona. Multiplicar-la per les hores de cada tipus i sumar dona les hores de preparació d’aquella persona.

Producte fila per columna:
$\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$
Comprovació: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparació es reparteix sencera), i el total d’hores es conserva:
$21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Resultat $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$ : són les hores de preparació de la Carme, el Saïd i el Martí. Qui n’hi ha dedicat més és la Carme, amb $21{,}3$ hores.

La pauta oficial dona: $(21{,}3;\ 20{,}7;\ 18)$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferent

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció

$f(x)$ ${}= \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{35x^2}{2}$ ${}+300x+250$ ,

en què $x\in[0,24]$ representa el temps en hores.

a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim.

[1,5 punts]

b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,5 punts

Plantejament El valor inicial és $f(0)$ i el benefici, $f(24)-f(0)$ . Per al màxim en un interval tancat, busquem els extrems relatius amb la derivada i els comparem amb els valors als extrems de l’interval.

Valor inicial i final:
$f(0)=250$ $f(24)$ ${}= \frac{24^3}{3}-\frac{35\cdot 24^2}{2}$ ${}+300\cdot 24+250$ ${}= 4\,608-10\,080$ ${}+7\,200+250$ ${}= 1\,978$
Benefici al cap de 24 hores:
$1\,978-250=1\,728$
Derivada i punts crítics:
$f'(x)$ ${}= x^2-35x+300$ ${}= (x-15)(x-20)=0$ ${}\Longrightarrow x=15$ $\text{o}\ \ x=20$
Signe de la derivada en un punt de cada tros:
$f'(10)=50>0$ $f'(17)=-6<0$ $f'(22)=14>0$
$f$ creix a $[0,15)$ , decreix a $(15,20)$ i creix a $(20,24]$ : màxim relatiu a $x=15$ i mínim relatiu a $x=20$ . El màxim absolut és a $x=15$ o a $x=24$ :
$f(15)$ ${}= 1\,125-3\,937{,}5$ ${}+4\,500+250$ ${}= 1\,937{,}5$ ${}< f(24)$ ${}= 1\,978$

ResultatValor inicial $250$ €; al cap de 24 hores ha guanyat $1\,728$ €. El valor màxim s’assoleix al final del dia, $x=24$ , i és de $1\,978$ €.

La pauta oficial dona: $f(0)=250$ ; $1978-250=1728$ ; $f(15)=1937{,}5$ ; $\max f(24)=1978$

Gràfica del valor de la inversió entre x=0 i x=24: puja de (0,250) fins al màxim relatiu (15; 1 937,5), baixa fins al mínim relatiu a x=20 (valor 5 750/3≈1 916,7) i torna a pujar fins a (24; 1 978), que és el màxim absolut.

b)1 punt

Plantejament Pel creixement de l’apartat a, el mínim absolut només pot ser a l’inici, $x=0$ , o al mínim relatiu, $x=20$ . Si el mínim és positiu, la inversió no és mai negativa.

Valor al mínim relatiu:
$f(20)$ ${}= \frac{8\,000}{3}-7\,000+6\,000$ ${}+250$ ${}= \frac{5\,750}{3}$ ${}\approx 1\,916{,}7$
Comparem amb el valor inicial:
$f(0)=250<\frac{5\,750}{3}$

ResultatNo: el valor mínim és $250$ €, a l’inici del dia ( $x=0$ ), i la inversió no és negativa en cap moment.

La pauta oficial dona: $f(20)=1916{,}67$ ; $\min f(0)=250$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Probabilitat, Sistemes d’equacions, Matrius

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.

A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària?

[1,25 punts]

b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites.

[1,25 punts]

OPCIÓ B

a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus $D1$ per al grup de docents universitaris, el detall de tipus $D2$ per al grup de docents de secundària i el detall de tipus $D3$ per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem $E1$ , $E2$ i $E3$ . La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus $D1$ , $D2$ i $D3$ (files) segons les empreses $E1$ , $E2$ i $E3$ (columnes):

$\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$

La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila $(x,y,z)$ , en què $x$ representa la quantitat de detalls de tipus $D1$ , $y$ és la quantitat de detalls de tipus $D2$ i $z$ correspon a la quantitat de detalls de tipus $D3$ que cal comprar.

L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció.

Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu.

[1,25 punts]

b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més.

Si anomenem $x$ el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de $x$ . Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1,25 punts

Plantejament Anomenem $U$ , $S$ i $I$ els tres nivells (universitat, secundària, infantil i primària) i $A$ «ser dona». La probabilitat de ser dona surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de secundària sabent que és dona, del teorema de Bayes.

Dades (la resta, $1-0{,}1-0{,}5$ , és infantil i primària):
$P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$ $P(A\mid U)$ ${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$ ${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$ ${}= 0{,}65$
Probabilitat total:
$P(A)$ ${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$ ${}+0{,}4\cdot 0{,}65$ ${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$ ${}= 0{,}56$
Bayes:
$P(S\mid A)$ ${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$ ${}= \frac{13}{28}$ ${}\approx 0{,}4643$

Resultat $P(A)=0{,}56$ i $P(S\mid A)=\dfrac{13}{28}\approx 0{,}4643$ .

La pauta oficial dona: $P(A)=0{,}56$ ; $P(S\mid A)=0{,}4643$

b)1,25 punts

Plantejament Anomenem $x$ , $y$ i $z$ els inscrits d’universitat, de secundària i d’infantil i primària. Els percentatges de cada nivell i el nombre de dones donen tres equacions.

El 10 % del total és d’universitat i el 50 %, de secundària:
$x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$ $y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$
Les dones són 476:
$0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$ ${}= 476$ ${}\Rightarrow 40x+52y+65z$ ${}= 47\,600$
Gauss amb $F_1:\ x-y+z=0$ . Fem $F_2+9F_1$ i $F_3-40F_1$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$
De la segona fila, $y=\frac{5}{4}z$ . A la tercera:
$92\cdot\frac{5}{4}z+25z$ ${}= 115z+25z$ ${}= 140z$ ${}= 47\,600$ ${}\Rightarrow z=340$
Les altres incògnites:
$y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$ $x=y-z=425-340=85$
Comprovació per un altre camí: $P(A)=0{,}56$ és la fracció de dones, així que el total d’inscrits és
$\frac{476}{0{,}56}=850$ $0{,}1\cdot 850=85$ $0{,}5\cdot 850=425$ $0{,}4\cdot 850=340$

ResultatHi ha $85$ docents d’universitat, $425$ de secundària i $340$ d’infantil i primària.

La pauta oficial dona: $x=85$ , $y=425$ , $z=340$

Opció B

a)1,25 punts

Plantejament Amb $1\,000$ persones i els mateixos percentatges, la comanda és el vector fila de detalls de cada tipus. Multiplicat per la matriu de preus, cada component dona el cost total a una empresa.

Comanda: el 10 %, el 50 % i el 40 % de $1\,000$ :
$(x,y,z)=(100,\ 500,\ 400)$
Producte:
$(100\ \ 500\ \ 400)\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$ ${}= (125+375+400\ \ \ 100+500+340\ \ \ 125+575+320)$ ${}= (900\ \ \ 940\ \ \ 1\,020)$

ResultatCostaria $900$ € a $E1$ , $940$ € a $E2$ i $1\,020$ € a $E3$ . El millor preu és el de l’empresa $E1$ : $900$ €.

La pauta oficial dona: $(900\ \ 940\ \ 1020)$ ; $E1$ , $900\ \text{€}$

b)1,25 punts

Plantejament Si s’aplica $x$ vegades el descompte, el preu és $80-x$ i les reserves, $100+2x$ ; els ingressos són el producte. Busquem el màxim d’aquesta paràbola amb la derivada.

Funció d’ingressos:
$I(x)$ ${}= (80-x)(100+2x)$ ${}= -2x^2+60x+8\,000$
Derivada:
$I'(x)=-4x+60=0\ \Longrightarrow\ x=15$
Per a $x<15$ , $I'(x)>0$ , i per a $x>15$ , $I'(x)<0$ : és un màxim. Preu i ingressos:
$80-15=65$ $I(15)=65\cdot 130=8\,450$

Resultat $I(x)$ ${}= (80-x)(100+2x)$ ${}= -2x^2+60x+8\,000$ . Els ingressos són màxims amb un preu de $65$ € per habitació doble (130 reserves i $8\,450$ € d’ingressos).

La pauta oficial dona: $I(x)=-2x^2+60x+8000$ ; $65\ \text{€}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció

$f(x)=\dfrac{15x}{9+x^2}+k$ ,

en què $x$ representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi.

a) Determineu el valor de $k$ si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia 50 microorganismes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim?

[1,75 punts]

b) En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini?

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,75 punts

Plantejament Es demanen tres coses: la constant $k$ , el nombre màxim de microorganismes i l’instant en què s’assoleix. La funció és en desenes: els 50 microorganismes de l’inici ( $x=0$ ) són $5$ desenes. El màxim es busca amb la derivada, per a $x\ge 0$ .

A l’inici, $x=0$ :
$f(0)=\frac{15\cdot 0}{9+0^2}+k=k=5$
Derivada del quocient (la constant $k$ desapareix en derivar):
$f'(x)$ ${}= \frac{15(9+x^2)-15x\cdot 2x}{(9+x^2)^2}$ ${}= \frac{135-15x^2}{(9+x^2)^2}$ ${}= \frac{15(9-x^2)}{(9+x^2)^2}$
El denominador sempre és positiu, així que $f'(x)=0$ quan $9-x^2=0$ , és a dir, $x=3$ o $x=-3$ ; només $x=3$ és un temps vàlid. Signe de $f'$ a cada costat:
$f'(1)=\frac{15\cdot 8}{100}=1{,}2>0$ $f'(4)=\frac{15\cdot(-7)}{625}=-0{,}168<0$
La funció creix fins a $x=3$ i decreix a partir d’aquí: a $x=3$ hi ha un màxim, i és el valor més gran per a tot $x\ge 0$ . El seu valor:
$f(3)$ ${}= \frac{15\cdot 3}{9+9}+5$ ${}= \frac{45}{18}+5$ ${}= 2{,}5+5$ ${}= 7{,}5$

Resultat $k=5$ . El màxim s’assoleix a les $3$ hores de l’inici de l’estudi i és de $7{,}5$ desenes, és a dir, $75$ microorganismes.

La pauta oficial dona: $k=5$ ; $f'(x)=\frac{135-15x^2}{(9+x^2)^2}$ ; $x=3$ ; $f(3)=7{,}5\ (75)$

b)0,75 punts

Plantejament Es demana el valor al qual tendeix el nombre de microorganismes quan passa molt de temps: el límit de $f(x)$ quan $x\to+\infty$ .

Al quocient, el denominador és de grau 2 i el numerador de grau 1, així que el quocient tendeix a 0:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{15x}{9+x^2}=0$
Per tant:
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+5=5$

ResultatA llarg termini, el nombre de microorganismes s’estabilitza en $5$ desenes, és a dir, en $50$ microorganismes, els mateixos que a l’inici (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\ (50)$

Gràfica de f(x)=15x/(9+x²)+5 per a x entre 0 i 24 hores: surt de (0, 5), puja fins al màxim (3; 7,5) i després baixa a poc a poc, acostant-se a la recta horitzontal y=5 (traç discontinu), que és el valor on s’estabilitza.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Matrius, Sistemes d’equacions, Inferència estadística

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) L’empresa necessita 300 litres d’oli, 700 kg de farina i 25 kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic?

[1,25 punts]

b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de 0,5 €. Si l’empresa el ven per 1,1 €, es venen 1.000 paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada 0,01 € que s’apuja el preu de venda del paquet disminueix en 10 el nombre de paquets venuts. Anomenarem $x$ el nombre de cops que apugem 0,01 € el preu de venda del paquet.

Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de $x$ i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim. Quin és aquest benefici?

[1,25 punts]

OPCIÓ B

a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat 1.320 €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el 30 % dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat?

[1,25 punts]

b) En el control de qualitat, s’ha pres una mostra a l’atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s’han obtingut els valors següents:

501, 506, 497, 495, 503, 491, 512, 505, 499.

Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 4 g. A partir d’aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l’etiqueta que diu que els paquets són de 500 g és incorrecta.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1,25 punts

Plantejament Es demana escriure les dades en forma de matrius i calcular amb un producte el cost de la comanda a cada proveïdor. Posem els proveïdors a les files i els productes (oli, farina, sal) a les columnes de la matriu de preus; la comanda és un vector columna amb els productes en el mateix ordre.

Matriu de preus $P$ (files: proveïdors 1r, 2n i 3r; columnes: oli en €/L, farina i sal en €/kg):
$P$ ${}= \begin{pmatrix}3&0{,}6&1\\ 3{,}5&1&0{,}7\\ 2{,}5&0{,}8&0{,}9\end{pmatrix}$
Vector columna de la comanda $Q$ (litres d’oli, kg de farina, kg de sal). Una matriu $3\times 3$ per una $3\times 1$ dona una $3\times 1$ , un cost per proveïdor:
$Q$ ${}= \begin{pmatrix}300\\ 700\\ 25\end{pmatrix}$
Producte, cada fila per la comanda:
$P\cdot Q$ ${}= \begin{pmatrix}3\cdot 300+0{,}6\cdot 700+1\cdot 25\\ 3{,}5\cdot 300+1\cdot 700+0{,}7\cdot 25\\ 2{,}5\cdot 300+0{,}8\cdot 700+0{,}9\cdot 25\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}900+420+25\\ 1\,050+700+17{,}5\\ 750+560+22{,}5\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}1\,345\\ 1\,767{,}5\\ 1\,332{,}5\end{pmatrix}$

ResultatLa comanda costa $1\,345$ € amb el primer proveïdor, $1\,767{,}5$ € amb el segon i $1\,332{,}5$ € amb el tercer. El més econòmic és el tercer proveïdor.

La pauta oficial dona: $P\cdot Q=(1345;\ 1767{,}5;\ 1332{,}5)$ ; el tercer proveïdor

b)1,25 punts

Plantejament Es demana el benefici diari en funció de $x$ , el preu de venda que el fa màxim i aquest benefici. Si el preu puja $x$ cops 0,01 €, el paquet es ven a $1{,}1+0{,}01x$ euros i es venen $1\,000-10x$ paquets; cada paquet deixa de benefici el seu preu menys els $0{,}5$ € que costa produir-lo.

Benefici per paquet:
$1{,}1+0{,}01x-0{,}5=0{,}6+0{,}01x$
Benefici diari: benefici per paquet pels paquets venuts (amb $0\le x\le 100$ , perquè el nombre de paquets no sigui negatiu):
$B(x)$ ${}= (0{,}6+0{,}01x)(1\,000-10x)$ ${}= 600-6x+10x-0{,}1x^2$ ${}= -0{,}1x^2+4x+600$
Derivem i igualem a zero:
$B'(x)$ ${}= -0{,}2x+4=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{4}{0{,}2}$ ${}= 20$
Signe de la derivada a cada costat: $B$ creix abans de $x=20$ i decreix després, així que a $x=20$ hi ha un màxim:
$B'(10)=2>0$ $B'(30)=-2<0$
Preu de venda i benefici màxim:
$1{,}1+0{,}01\cdot 20=1{,}3$ $B(20)$ ${}= (0{,}6+0{,}2)(1\,000-200)$ ${}= 0{,}8\cdot 800$ ${}= 640$

Resultat $B(x)=-0{,}1x^2+4x+600$ euros diaris. El benefici és màxim si el paquet es ven a $1{,}30$ €, i aleshores és de $640$ € al dia (es venen $800$ paquets).

La pauta oficial dona: $B(x)=-0{,}1x^2+4x+600$ ; $x=20$ ; $1{,}3\ \text{€}$ ; $B(20)=640\ \text{€}$

Opció B

a)1,25 punts

Plantejament Es demana quant oli, farina i sal s’ha comprat al primer proveïdor (oli a 3 €/L, farina a 0,6 €/kg i sal a 1 €/kg). Anomenem $x$ els litres d’oli, $y$ els quilos de farina i $z$ els quilos de sal; cada dada és una equació.

Despesa total:
$3x+0{,}6y+z=1\,320$
El triple de farina que de sal:
$y=3z$
El que s’ha gastat en farina, $0{,}6y$ , és el 30 % del que s’ha gastat en oli, $3x$ :
$0{,}6y$ ${}= 0{,}3\cdot 3x$ ${}\Longrightarrow 0{,}6y$ ${}= 0{,}9x$ ${}\Longrightarrow y=1{,}5x$
De les dues últimes equacions, $z=\frac{y}{3}=0{,}5x$ . Substituïm $y$ i $z$ a la primera:
$3x+0{,}6\cdot 1{,}5x+0{,}5x$ ${}= 1\,320$ ${}\Longrightarrow 4{,}4x$ ${}= 1\,320$ ${}\Longrightarrow x=300$
Les altres dues quantitats:
$y=1{,}5\cdot 300=450$ $z=0{,}5\cdot 300=150$
Comprovació de la despesa total:
$3\cdot 300+0{,}6\cdot 450+150$ ${}= 900+270+150$ ${}= 1\,320$

ResultatS’han comprat $300$ litres d’oli, $450$ kg de farina i $150$ kg de sal.

La pauta oficial dona: $x=300$ , $y=450$ , $z=150$

b)1,25 punts

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al pes mitjà dels paquets i decidir si l’etiqueta de 500 g és incorrecta. El pes és normal amb desviació típica coneguda, $\sigma=4$ g, així que fem servir la fórmula de la mitjana amb $\sigma$ coneguda i $z_\gamma=1{,}96$ .

Mitjana de la mostra ( $n=9$ ):
$\bar x$ ${}= \frac{501+506+497+495+503+491+512+505+499}{9}$ ${}= \frac{4\,509}{9}$ ${}= 501$
Marge d’error:
$z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{9}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{3}$ ${}\approx 2{,}6133$
Extrems de l’interval:
$501-2{,}6133\approx 498{,}39$ $501+2{,}6133\approx 503{,}61$
El pes de l’etiqueta, $500$ g, és dins de l’interval:
$498{,}39<500<503{,}61$

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al pes mitjà és $[498{,}39;\ 503{,}61]$ g. Com que conté $500$ g, amb una confiança del 95 % no es pot afirmar que l’etiqueta sigui incorrecta.

La pauta oficial dona: $\bar x=501$ ; $[498{,}39;\ 503{,}61]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un agricultor ha observat que si es planten 25 pereres per hectàrea, el rendiment és de 370 peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en 10 peres per perera.

a) Anomenem $x$ el nombre de pereres de més que plantem, addicionals a les 25 inicials. Calculeu la funció de la producció total de peres per hectàrea $P(x)$ en funció de $x$ .

[1 punt]

b) Quin és el nombre total de pereres per hectàrea que cal plantar per a obtenir el màxim de producció per hectàrea? Quina és aquesta producció màxima? A partir de quantes pereres per hectàrea no s’obté cap producció?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Amb $x$ pereres de més n’hi ha $25+x$ , i cadascuna fa $10x$ peres menys que abans, $370-10x$ . La producció per hectàrea és el producte de les dues quantitats.

Producció total:
$P(x)$ ${}= (25+x)(370-10x)$ ${}= 9\,250-250x+370x$ ${}-10x^2$ ${}= -10x^2+120x+9\,250$

Resultat $P(x)$ ${}= (25+x)(370-10x)$ ${}= -10x^2+120x+9\,250$ peres per hectàrea.

La pauta oficial dona: $P(x)=-10x^2+120x+9250$

b)1,5 punts

Plantejament $P(x)$ és una paràbola cap avall: el màxim és on s’anul·la la derivada. La producció és nul·la on $P(x)=0$ , és a dir, on el rendiment per arbre, $370-10x$ , arriba a zero.

Derivada:
$P'(x)=-20x+120=0\ \Longrightarrow\ x=6$
Per a $x<6$ , $P'(x)>0$ , i per a $x>6$ , $P'(x)<0$ : és un màxim. Pereres i producció:
$25+6=31$ $P(6)$ ${}= 31\cdot(370-60)$ ${}= 31\cdot 310$ ${}= 9\,610$
Producció nul·la:
$-10x^2+120x$ ${}+9\,250=0$ ${}\Longrightarrow x^2-12x-925=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{12\pm\sqrt{144+3\,700}}{2}$ ${}= \frac{12\pm 62}{2}$
Surt $x=37$ o $x=-25$ . El valor $x=-25$ correspon a $25-25=0$ pereres (no plantar-ne cap). El valor $x=37$ dona
$25+37=62\ \text{pereres}$ $370-10\cdot 37$ ${}= 0\ \text{peres per arbre}$
Amb 62 pereres cada arbre ja no fa cap pera; amb més, el model donaria un rendiment negatiu, que no té sentit: la producció és zero.

ResultatCal plantar $31$ pereres per hectàrea, amb una producció màxima de $9\,610$ peres per hectàrea. A partir de $62$ pereres per hectàrea no s’obté cap producció.

La pauta oficial dona: $31$ ; $P(6)=9610$ ; $25+37=62$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Probabilitat, Matrius

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L’empresa té tres línies de fabricació: $L1$ , $L2$ i $L3$ . La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D’altra banda, sabem que el preu de venda dels vehicles elèctrics és de 40.000 € i el preu de venda dels vehicles de motor de combustió és de 30.000 €.

	Cotxes elèctrics	Cotxes de motor de combustió
$L1$	20	80
$L2$	30	100
$L3$	40	110

El cost mitjà de manteniment i consum per cada 100 km és d’1 € per als vehicles elèctrics i de 6 € per als de motor de combustió.

El 2 % de la producció de vehicles de motor de combustió surt de l’empresa amb algun defecte, mentre que només l’1 % dels vehicles elèctrics surt amb alguna tara.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Obteniu, mitjançant un producte de matrius, la matriu que expressa els ingressos per cada línia un cop s’hagin venut tots els cotxes.

Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la fàbrica, quina és la probabilitat que sigui de motor de combustió si sabem que ha sortit defectuós?

[1,5 punts]

b) És més car comprar un cotxe elèctric, però té menys despeses per kilòmetres recorreguts que un de combustió. Determineu la funció que representa la despesa acumulada, entre la compra i els kilòmetres recorreguts, per a cada tipus de vehicle en funció del nombre de kilòmetres recorreguts, $x$ . Si un conductor fa 20.000 km l’any, a partir de quants anys li sortirà més a compte el cotxe elèctric que el de combustió?

[1 punt]

OPCIÓ B

a) Hi ha hagut una errada en el recompte de vehicles elèctrics de la $L2$ . El valor 30 de la taula de l’enunciat és erroni, però sabem que si es venguessin tots els vehicles de la $L2$ , els ingressos d’aquesta línia serien de 3.720.000 €. Quants cotxes elèctrics hi ha realment a la $L2$ ?

Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la $L2$ , quina és la probabilitat que sigui de motor elèctric, si sabem que ha sortit defectuós?

[1,5 punts]

b) Si sabem que la despesa acumulada entre la compra i els kilòmetres recorreguts d’un vehicle de combustió és de 36.000 €, quants kilòmetres ha recorregut? Quina despesa acumulada tindria un vehicle elèctric que hagués recorregut aquest mateix nombre de kilòmetres?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1,5 punts

Plantejament Els ingressos de cada línia són el nombre de cotxes elèctrics per $40\,000$ més el de cotxes de combustió per $30\,000$ : és el producte de la matriu de la taula pel vector columna de preus. Per a la probabilitat, anomenem $E$ , $C$ i $D$ «elèctric», «combustió» i «defectuós», i fem servir el teorema de Bayes.

Producte (files: $L1$ , $L2$ , $L3$ ):
$\begin{pmatrix}20&80\\ 30&100\\ 40&110\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40\,000\\ 30\,000\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}800\,000+2\,400\,000\\ 1\,200\,000+3\,000\,000\\ 1\,600\,000+3\,300\,000\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$
A la fàbrica hi ha $20+30+40=90$ cotxes elèctrics i $80+100+110=290$ de combustió, $380$ en total:
$P(E)=\frac{90}{380}$ $P(C)=\frac{290}{380}$ $P(D\mid E)=0{,}01$ $P(D\mid C)=0{,}02$
Bayes (el factor $\frac{1}{380}$ es simplifica):
$P(C\mid D)$ ${}= \frac{0{,}02\cdot 290}{0{,}02\cdot 290+0{,}01\cdot 90}$ ${}= \frac{5{,}8}{5{,}8+0{,}9}$ ${}= \frac{58}{67}$ ${}\approx 0{,}8657$

ResultatIngressos per línia: $\begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$ € ( $L1$ , $L2$ , $L3$ ). $P(C\mid D)=\dfrac{58}{67}\approx 0{,}8657$ .

La pauta oficial dona: $(3\,200\,000;\ 4\,200\,000;\ 4\,900\,000)$ ; $P(C\mid D)=0{,}8657$

b)1 punt

Plantejament La despesa acumulada és el preu de compra més el cost per quilòmetre ( $\frac{1}{100}$ € o $\frac{6}{100}$ € per km) multiplicat pels quilòmetres. Igualem les dues funcions per trobar on es creuen.

Funcions de despesa (en euros, amb $x$ en km):
$D_E(x)=40\,000+\frac{x}{100}$ $D_C(x)=30\,000+\frac{6x}{100}$
Igualem:
$40\,000+0{,}01x$ ${}= 30\,000+0{,}06x$ ${}\Longrightarrow 10\,000$ ${}= 0{,}05x$ ${}\Longrightarrow x=200\,000\ \mathrm{km}$
Per a $x>200\,000$ km, $D_E(x)<D_C(x)$ (el pendent de $D_E$ és més petit). Amb $20\,000$ km l’any:
$\frac{200\,000}{20\,000}=10$

Resultat $D_E(x)=40\,000+\dfrac{x}{100}$ i $D_C(x)=30\,000+\dfrac{6x}{100}$ . Als $10$ anys ( $200\,000$ km) les despeses s’igualen; a partir d’aleshores surt més a compte el cotxe elèctric.

La pauta oficial dona: $D_E(x)=40000+\frac{1}{100}x$ , $D_T(x)=30000+\frac{6}{100}x$ ; $x=200\,000$ ; $10$

Les dues rectes de despesa en funció dels quilòmetres: DE(x)=40 000+x/100 comença més amunt però creix més a poc a poc que DC(x)=30 000+6x/100. Es tallen al punt (200 000; 42 000); a la dreta d’aquest punt la recta de l’elèctric queda per sota.

Opció B

a)1,5 punts

Plantejament Si $x$ és el nombre real d’elèctrics a $L2$ , els ingressos de la línia són $40\,000x+100\cdot 30\,000$ . Després apliquem Bayes només amb els vehicles de $L2$ .

Equació:
$40\,000x+3\,000\,000$ ${}= 3\,720\,000$ ${}\Longrightarrow 40\,000x$ ${}= 720\,000$ ${}\Longrightarrow x=18$
A $L2$ hi ha $18$ elèctrics i $100$ de combustió ( $118$ en total):
$P(E)=\frac{18}{118}$ $P(C)=\frac{100}{118}$
Bayes (el factor $\frac{1}{118}$ es simplifica):
$P(E\mid D)$ ${}= \frac{0{,}01\cdot 18}{0{,}01\cdot 18+0{,}02\cdot 100}$ ${}= \frac{0{,}18}{2{,}18}$ ${}= \frac{9}{109}$ ${}\approx 0{,}0826$

ResultatA $L2$ hi ha realment $18$ cotxes elèctrics. $P(E\mid D)=\dfrac{9}{109}\approx 0{,}0826$ .

La pauta oficial dona: $x=18$ ; $P(E\mid D)=0{,}0825$

b)1 punt

Plantejament Fem servir les funcions de despesa: igualem la de combustió a $36\,000$ € per trobar els quilòmetres i els substituïm a la de l’elèctric.

Combustió:
$30\,000+\frac{6x}{100}$ ${}= 36\,000$ ${}\Longrightarrow \frac{6x}{100}$ ${}= 6\,000$ ${}\Longrightarrow x=100\,000\ \mathrm{km}$
Elèctric amb els mateixos quilòmetres:
$D_E(100\,000)$ ${}= 40\,000+\frac{100\,000}{100}$ ${}= 41\,000$

ResultatHa recorregut $100\,000$ km. Un cotxe elèctric amb els mateixos quilòmetres tindria una despesa acumulada de $41\,000$ €.

La pauta oficial dona: $x=100\,000$ ; $41\,000$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4 € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció $g(x)=0{,}01x^2+0{,}1x+10$ , en què $x$ representa el nombre de kilòmetres recorreguts.

a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de 10 km? I si en fem un de 80 km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia B només pel sol fet de pujar al taxi?

[1 punt]

b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincideixen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament La tarifa de la companyia A és un cost fix més un preu per kilòmetre: $f(x)=0{,}4x+20$ . Per comparar les dues tarifes n’hi ha prou de substituir $x=10$ i $x=80$ a $f$ i a $g$ . El cost fix de B és el que es paga sense recórrer cap kilòmetre, $g(0)$ .

Recorregut de 10 km:
$f(10)=0{,}4\cdot 10+20=24$ $g(10)$ ${}= 0{,}01\cdot 100+0{,}1\cdot 10+10$ ${}= 12$
La companyia B és més barata, amb una diferència de
$24-12=12$
Recorregut de 80 km:
$f(80)=0{,}4\cdot 80+20=52$ $g(80)$ ${}= 0{,}01\cdot 6\,400+0{,}1\cdot 80$ ${}+10$ ${}= 82$
Ara la companyia A és més barata, amb una diferència de
$82-52=30$
Cost amb $x=0$ km a la companyia B:
$g(0)=10$

ResultatPer a 10 km és més econòmica la companyia B ( $12$ € davant de $24$ €, $12$ € menys). Per a 80 km ho és la companyia A ( $52$ € davant de $82$ €, $30$ € menys). Sí: la companyia B té un cost fix de $10$ €, ja que $g(0)=10$ .

La pauta oficial dona: $f(10)=24$ , $g(10)=12$ ; $f(80)=52$ , $g(80)=82$ ; $12$ ; $30$ ; $g(0)=10$

b)1,5 punts

Plantejament Les tarifes coincideixen quan $f(x)=g(x)$ . Per sota d’aquest valor, la diferència de preu és una funció de $x$ , $D(x)$ , i en busquem el màxim amb la derivada.

Igualem les dues tarifes:
$0{,}4x+20$ ${}= 0{,}01x^2+0{,}1x+10$ ${}\Longrightarrow 0{,}01x^2-0{,}3x-10=0$ ${}\Longrightarrow x^2-30x-1\,000=0$
Resolem l’equació de segon grau:
$x$ ${}= \frac{30\pm\sqrt{900+4\,000}}{2}$ ${}= \frac{30\pm 70}{2}$ ${}\Longrightarrow x=50$ $\text{o}\ \ x=-20$
Una distància negativa no té sentit: les tarifes coincideixen a $x=50$ km (totes dues valen $f(50)=g(50)=40$ €). Per a $0\le x<50$ la tarifa B és la més barata (a 10 km ja ho hem vist), i la diferència és
$D(x)$ ${}= f(x)-g(x)$ ${}= 0{,}4x+20$ ${}-\left(0{,}01x^2+0{,}1x+10\right)$ ${}= -0{,}01x^2+0{,}3x+10$
Derivem i igualem a zero:
$D'(x)$ ${}= -0{,}02x+0{,}3=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{0{,}3}{0{,}02}$ ${}= 15$
Signe de la derivada a banda i banda de $x=15$ : $D$ creix abans i decreix després, per tant és un màxim.
$D'(10)=0{,}1>0$ $D'(20)=-0{,}1<0$
Valor de la diferència màxima:
$D(15)$ ${}= -0{,}01\cdot 225+0{,}3\cdot 15$ ${}+10$ ${}= -2{,}25+4{,}5+10$ ${}= 12{,}25$

ResultatLes dues tarifes coincideixen per a $x=50$ km. Per a trajectes de menys de 50 km, la diferència de preu és màxima per a $x=15$ km i val $D(15)=12{,}25$ €.

La pauta oficial dona: $x=50$ ; $D(x)=-0{,}01x^2+0{,}3x+10$ ; $x=15$ ; $D(15)=12{,}25$

Gràfiques de les dues tarifes entre x=0 i x=80 km: la recta f(x)=0,4x+20 i la paràbola g(x)=0,01x²+0,1x+10. Es tallen a (50; 40); abans d’aquest punt la paràbola queda per sota de la recta i després, per sobre. Un segment vertical a x=15 uneix (15; 13,75) i (15; 26): és la diferència màxima, D(15)=12,25.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a 300 km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa 1,96 € per litre i que el conductor cobra 14,70 € l’hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat $x$ (en kilòmetres per hora), és donat per la funció $G(x)=5+\frac{x^2}{98}$ .

a) Calculeu el temps que el conductor trigarà a fer el viatge i el cost total del viatge si el tractor fa tot el recorregut a 40 km/h (la velocitat màxima permesa per a aquest tipus de vehicle). Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a $C(x)=\frac{7.350}{x}+6x$ .

[1,25 punts]

b) Calculeu quina és la velocitat que fa que el cost total del viatge sigui mínim. Quin és aquest cost?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament A velocitat constant $x$ , el viatge dura $\frac{300}{x}$ hores. El cost és el gasoil (litres per hora × hores × preu del litre) més el sou del conductor (hores × 14,70 €).

Temps a 40 km/h:
$t=\frac{300}{40}=7{,}5\ \mathrm{h}$
Consum per hora a 40 km/h:
$G(40)$ ${}= 5+\frac{1\,600}{98}$ ${}= 5+\frac{800}{49}$ ${}= \frac{1\,045}{49}\ \mathrm{L/h}$
Cost del gasoil i del conductor:
$\frac{1\,045}{49}\cdot 7{,}5\cdot 1{,}96$ ${}= 1\,045\cdot 0{,}3$ ${}= 313{,}5$ $7{,}5\cdot 14{,}70=110{,}25$
Cost total a 40 km/h:
$313{,}5+110{,}25=423{,}75$
Per a una velocitat qualsevol $x$ , amb $1{,}96\cdot 300=588$ , $\frac{588}{98}=6$ i $14{,}70\cdot 300=4\,410$ :
$C(x)$ ${}= \left(5+\frac{x^2}{98}\right)\cdot\frac{300}{x}\cdot 1{,}96$ ${}+\frac{300}{x}\cdot 14{,}70$ ${}= \frac{2\,940}{x}+6x+\frac{4\,410}{x}$ ${}= \frac{7\,350}{x}+6x$
Comprovació amb el valor d’abans:
$C(40)$ ${}= \frac{7\,350}{40}+6\cdot 40$ ${}= 183{,}75+240$ ${}= 423{,}75$

ResultatA 40 km/h el viatge dura $7{,}5$ hores i costa $423{,}75$ €. El cost en funció de la velocitat és $C(x)=\dfrac{7\,350}{x}+6x$ , com es volia comprovar.

La pauta oficial dona: $7{,}5\ \mathrm{h}$ ; $423{,}75$ ; $C(x)=\frac{7\,350}{x}+6x$

b)1,25 punts

Plantejament Busquem el mínim de $C(x)$ per a $x>0$ (i com a màxim 40 km/h): punts on s’anul·la la derivada i signe de la derivada a banda i banda.

Derivada:
$C'(x)=-\frac{7\,350}{x^2}+6$
Igualem a zero:
$6$ ${}= \frac{7\,350}{x^2}$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= \frac{7\,350}{6}$ ${}= 1\,225$ ${}\Longrightarrow x=\pm 35$
Una velocitat negativa no té sentit; ens quedem amb $x=35$ km/h, que no passa de 40 km/h. Signe de $C'$ a banda i banda: $C$ decreix abans de 35 i creix després, per tant és un mínim.
$C'(30)=-\frac{7\,350}{900}+6=-\frac{13}{6}<0$ $C'(40)=-\frac{7\,350}{1\,600}+6=\frac{45}{32}>0$
Cost mínim:
$C(35)$ ${}= \frac{7\,350}{35}+6\cdot 35$ ${}= 210+210$ ${}= 420$

ResultatEl cost és mínim si el tractor va a $35$ km/h, i aleshores el viatge costa $420$ €.

La pauta oficial dona: $x=35$ ; $C(35)=420$

Gràfica de C(x)=7 350/x+6x per a x entre 10 i 60: baixa fins al mínim (35; 420) i després torna a pujar. Una línia vertical discontínua marca x=40, la velocitat màxima, amb C(40)=423,75, just a la dreta del mínim.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Una empresa de paqueteria té unes tarifes d’enviaments de paquets que depenen del pes de cada paquet, tot i que no de manera lineal. Volem enviar un paquet a una distància aproximada de 650 km. La informació que ofereix l’empresa al seu web sobre els preus per a enviar un paquet a aquesta distància és la següent:

— si un paquet pesa fins a 2 kg, l’enviament té un cost fix de 30 €; — si un paquet pesa més de 2 kg però menys d’11 kg, els primers 2 kg costen 15 €/kg i la resta de kilograms es paguen a 12 €/kg; — si un paquet pesa entre 11 i 25 kg, ambdós inclosos, els primers 11 kg costen 13 €/kg i la resta costen 15 €/kg; — a partir de 25 kg, cal posar-se en contacte amb l’empresa.

a) Quant costarà enviar un paquet de 9,5 kg? I un de 13 kg? Trobeu la funció definida a trossos que dona el preu de l’enviament d’un paquet de fins a 25 kg en funció del seu pes i estudieu-ne la continuïtat.

[1,75 punts]

b) Si hem pagat 162 € per un enviament, quant pesava el paquet que hem enviat?

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,75 punts

Plantejament Es demana el preu de dos enviaments concrets, la funció a trossos que dona el preu $f(x)$ segons el pes $x$ (en kg, amb $0<x\le 25$ ) i l’estudi de la seva continuïtat. Cada tram de la tarifa és un tros de la funció, i la continuïtat només pot fallar on canvia la tarifa: a $x=2$ i a $x=11$ .

Un paquet de 9,5 kg és al segon tram (més de 2 kg i menys d’11 kg): els 2 primers kilograms es paguen a 15 €/kg i els $9{,}5-2=7{,}5$ kg restants, a 12 €/kg:
$2\cdot 15+7{,}5\cdot 12=30+90=120$
Un paquet de 13 kg és al tercer tram (entre 11 i 25 kg): els 11 primers kilograms es paguen a 13 €/kg i els $13-11=2$ kg restants, a 15 €/kg:
$11\cdot 13+2\cdot 15=143+30=173$
Amb un pes qualsevol $x$ , el segon tram costa $2\cdot 15+12(x-2)$ ${}= 30+12(x-2)$ i el tercer, $11\cdot 13+15(x-11)$ ${}= 143+15(x-11)$ . Simplificant cada tros:
$f(x)$ ${}= \begin{cases}30 & \text{si } 0<x\le 2\\ 6+12x & \text{si } 2<x<11\\ -22+15x & \text{si } 11\le x\le 25\end{cases}$
Dins de cada tram, $f$ és un polinomi i, per tant, és contínua. A $x=2$ comparem els límits laterals amb el valor de la funció:
$\lim_{x\to 2^-}f(x)=30$ $\lim_{x\to 2^+}f(x)=6+12\cdot 2=30$ $f(2)=30$
Els tres valors coincideixen, així que $f$ és contínua a $x=2$ . A $x=11$ :
$\lim_{x\to 11^-}f(x)$ ${}= 6+12\cdot 11$ ${}= 138$ $\lim_{x\to 11^+}f(x)$ ${}= -22+15\cdot 11$ ${}= 143$ ${}= f(11)$
Els límits laterals a $x=11$ són diferents, així que $f$ no és contínua en aquest punt: hi té una discontinuïtat de salt, perquè el preu passa d’acostar-se a $138$ € a valer $143$ € (vegeu la gràfica).

ResultatEnviar un paquet de 9,5 kg costa $120$ € i un de 13 kg, $173$ €. El preu és $f(x)=30$ si $0<x\le 2$ , $f(x)=6+12x$ si $2<x<11$ i $f(x)=-22+15x$ si $11\le x\le 25$ . La funció és contínua a tot el seu domini excepte a $x=11$ , on té una discontinuïtat de salt (límits laterals $138$ i $143$ ).

La pauta oficial dona: $120$ ; $173$ ; $f(x)$ ${}= \begin{cases}30&0<x\le 2\\ 6+12x&2<x<11\\ -22+15x&11\le x\le 25\end{cases}$ ; $\lim_{x\to 11^-}f(x)$ ${}= 138$ ${}\ne \lim_{x\to 11^+}f(x)$ ${}= 143$

Gràfica del preu f(x) entre x=0 i x=25 kg: un tram horitzontal a l’altura 30 fins a x=2; després la recta 6+12x, que puja fins a acostar-se a 138 quan x s’acosta a 11 (punt buit a (11, 138)); a x=11 la gràfica salta al punt ple (11, 143) i continua amb la recta −22+15x fins a (25, 353). El salt a x=11 és la discontinuïtat, i un requadre ampliat el mostra: el punt buit a (11, 138) i el ple a (11, 143); a x=2 els dos trams s’uneixen.

b)0,75 punts

Plantejament Es demana el pes del paquet pel qual s’han pagat 162 €, és a dir, el valor de $x$ amb $f(x)=162$ . Primer mirem en quin tram pot ser aquest preu i després resolem l’equació d’aquest tram.

Al primer tram el preu sempre és $30$ €. Al segon, $f$ és creixent i no arriba a $138$ €. Al tercer, $f$ creix des de $f(11)=143$ € fins a
$f(25)=-22+15\cdot 25=353$
Com que $162$ és entre $143$ i $353$ , el paquet és del tercer tram:
$-22+15x$ ${}= 162$ ${}\Longrightarrow 15x$ ${}= 184$ ${}\Longrightarrow x=\frac{184}{15}$ ${}\approx 12{,}27$
El valor és dins del tram ( $11\le 12{,}27\le 25$ ). Comprovació:
$-22+15\cdot\frac{184}{15}=-22+184=162$

ResultatEl paquet pesava $\dfrac{184}{15}\approx 12{,}27$ kg.

La pauta oficial dona: $-22+15x$ ${}= 162$ ${}\Rightarrow x=\frac{184}{15}$ ${}= 12{,}27\ \mathrm{kg}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Una empresa de lloguer de vehicles disposa d’una flota de 250 vehicles. Si el preu del lloguer diari d’un vehicle és de 50 €, aconsegueix llogar-los tots. S’ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que s’incrementa el preu diari del lloguer es lloguen dos vehicles menys. Cada vehicle llogat genera un cost diari d’1 € de manteniment.

a) Si anomenem $x$ el nombre d’euros que s’incrementa el preu del lloguer, escriviu la funció que determina els beneficis obtinguts en funció de $x$ .

[1 punt]

b) A quin preu cal llogar els vehicles per a aconseguir el màxim de beneficis? Quin és aquest benefici màxim?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana el benefici diari en funció de $x$ , els euros que puja el preu. Si el preu puja $x$ euros, cada vehicle es lloga a $50+x$ euros i es lloguen $250-2x$ vehicles. El benefici és el que s’ingressa menys el que costa el manteniment dels vehicles llogats.

Ingressos diaris: preu d’un lloguer pel nombre de vehicles llogats:
$I(x)$ ${}= (50+x)(250-2x)$ ${}= 12\,500-100x$ ${}+250x-2x^2$ ${}= -2x^2+150x+12\,500$
Costos diaris: $1$ € per vehicle llogat:
$C(x)=1\cdot(250-2x)=250-2x$
Benefici:
$B(x)$ ${}= I(x)-C(x)$ ${}= -2x^2+150x$ ${}+12\,500-(250-2x)$ ${}= -2x^2+152x+12\,250$
Comprovació amb $x=0$ : es lloguen els 250 vehicles a 50 €, i el benefici és $250\cdot 50-250=12\,250$ €. A més, el nombre de vehicles llogats no pot ser negatiu: $250-2x\ge 0$ , és a dir, $0\le x\le 125$ .

Resultat $B(x)=-2x^2+152x+12\,250$ euros diaris, per a $0\le x\le 125$ .

La pauta oficial dona: $B(x)=-2x^2+152x+12250$

b)1,5 punts

Plantejament Es demana el preu que fa màxim el benefici i el valor d’aquest benefici màxim. Busquem el màxim de $B(x)$ a $[0,125]$ amb la derivada, justifiquem que és un màxim amb el signe de $B'$ i després passem de $x$ al preu.

Derivem i igualem a zero:
$B'(x)$ ${}= -4x+152=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{152}{4}$ ${}= 38$
Signe de la derivada a cada costat de $x=38$ :
$B'(30)=32>0$ $B'(40)=-8<0$
$B$ creix a $[0,38)$ i decreix a $(38,125]$ : a $x=38$ hi ha un màxim, i és el valor més gran de tot el domini. Preu del lloguer i vehicles llogats:
$50+38=88$ $250-2\cdot 38=174$
Benefici màxim:
$B(38)$ ${}= -2\cdot 38^2+152\cdot 38$ ${}+12\,250$ ${}= -2\,888+5\,776+12\,250$ ${}= 15\,138$

ResultatCal llogar cada vehicle a $88$ € al dia (es lloguen $174$ vehicles). El benefici màxim és de $15\,138$ € diaris (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $B'(x)=-4x+152$ ; $x=38$ ; $50+38=88\ \text{€}$ ; $B(38)=15138\ \text{€}$

Paràbola del benefici B(x)=−2x²+152x+12 250 per a x entre 0 i 125: surt de (0, 12 250), puja fins al màxim (38, 15 138) i després baixa fins a (125, 0), quan ja no es lloga cap vehicle.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció $B(x)=-x^2+260x-12.000$ , en què $x$ representa el dia des de l’inici de l’activitat de l’empresa.

a) Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia 45? Quins dies va obtenir un benefici de 4.000 €?

[1 punt]

b) Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues.

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament El resultat del dia 45 és $B(45)$ : si surt negatiu, és una pèrdua. Els dies amb un benefici de 4 000 € són les solucions de $B(x)=4\,000$ .

Dia 45:
$B(45)$ ${}= -45^2+260\cdot 45$ ${}-12\,000$ ${}= -2\,025+11\,700$ ${}-12\,000$ ${}= -2\,325$
Benefici de 4 000 €:
$-x^2+260x-12\,000$ ${}= 4\,000$ ${}\Longrightarrow x^2-260x+16\,000=0$
Resolem l’equació de segon grau:
$x$ ${}= \frac{260\pm\sqrt{67\,600-64\,000}}{2}$ ${}= \frac{260\pm 60}{2}$ ${}\Longrightarrow x=100$ $\text{o}\ \ x=160$

ResultatEl dia 45 l’empresa va perdre $2\,325$ € ( $B(45)=-2\,325$ ). Va obtenir un benefici de $4\,000$ € els dies $100$ i $160$ .

La pauta oficial dona: $B(45)=-2\,325$ ; $x=100$ , $x=160$

b)1,5 punts

Plantejament $B$ és una paràbola cap avall: té un màxim on s’anul·la la derivada. L’empresa no té pèrdues quan $B(x)\ge 0$ , és a dir, entre les dues arrels de $B$ .

Derivada i punt crític:
$B'(x)=-2x+260=0\ \Longrightarrow\ x=130$
Signe de la derivada a banda i banda: $B$ creix abans del dia 130 i decreix després, per tant és un màxim.
$B'(100)=60>0$ $B'(160)=-60<0$
Benefici màxim:
$B(130)$ ${}= -16\,900+33\,800$ ${}-12\,000$ ${}= 4\,900$
Arrels de $B$ :
$-x^2+260x$ ${}-12\,000=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{260\pm\sqrt{67\,600-48\,000}}{2}$ ${}= \frac{260\pm 140}{2}$ ${}\Longrightarrow x=60$ $\text{o}\ \ x=200$
Entre les dues arrels la paràbola és positiva (per exemple, $B(130)=4\,900>0$ ), i fora d’elles és negativa:
$B(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 60\le x\le 200$

ResultatEl benefici màxim es va obtenir el dia $130$ i va ser de $4\,900$ €. L’empresa no va tenir pèrdues entre els dies $60$ i $200$ (aquests dos dies, $B=0$ : ni guanys ni pèrdues).

La pauta oficial dona: $x=130$ ; $B(130)=4\,900$ ; $[60,\ 200]$

Paràbola B(x)=−x²+260x−12 000 entre x=0 i x=260: talla l’eix horitzontal a (60, 0) i (200, 0), té el vèrtex (màxim) a (130, 4 900) i passa per (45, −2 325). Una recta horitzontal discontínua a B=4 000 la talla a (100, 4 000) i (160, 4 000). Entre 60 i 200 la corba és per sobre de l’eix.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

L’Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent:

La capsa ha de tenir un volum de 4 litres.

a) Expresseu l’alçària de la capsa ( $y$ ) en funció de la longitud del costat de la base ( $x$ ).

[0,5 punts]

b) L’Ona vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants centímetres ha de mesurar el costat de la base ( $x$ ) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària ( $y$ )? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa?

[2 punts]

Capsa oberta (sense tapa) en forma de prisma de base quadrada, dibuixada en perspectiva amb les arestes amagades discontínues. Els dos costats de la base estan marcats amb x i l’alçària, amb y.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament El volum d’un prisma de base quadrada és l’àrea de la base per l’alçària, $x^2y$ . Com que es demanen centímetres, passem el volum a $\mathrm{cm}^3$ : $1$ litre $=1\ \mathrm{dm}^3=1\,000\ \mathrm{cm}^3$ .

Volum:
$4\ \text{litres}=4\,000\ \mathrm{cm}^3$
Condició del volum:
$x^2y=4\,000\ \Longrightarrow\ y=\frac{4\,000}{x^2}$

Resultat $y=\dfrac{4\,000}{x^2}$ , amb $x$ i $y$ en centímetres.

La pauta oficial dona: $y=\frac{4\,000}{x^2}$

b)2 punts

Plantejament El cartró és la superfície de la capsa: la base ( $x^2$ ) i les quatre cares laterals ( $4xy$ ), sense tapa. La posem en funció només de $x$ amb l’apartat a i en busquem el mínim per a $x>0$ .

Superfície en funció de $x$ :
$S(x)$ ${}= x^2+4xy$ ${}= x^2+4x\cdot\frac{4\,000}{x^2}$ ${}= x^2+\frac{16\,000}{x}$
Derivada:
$S'(x)=2x-\frac{16\,000}{x^2}$
Igualem a zero:
$2x=\frac{16\,000}{x^2}\ \Longrightarrow\ x^3=8\,000\ \Longrightarrow\ x=20$
Signe de la derivada a banda i banda: $S$ decreix abans de 20 i creix després, per tant és un mínim.
$S'(10)=20-160=-140<0$ $S'(40)=80-10=70>0$
Alçària:
$y=\frac{4\,000}{20^2}=\frac{4\,000}{400}=10$
Cartró necessari:
$S(20)$ ${}= 20^2+\frac{16\,000}{20}$ ${}= 400+800$ ${}= 1\,200$

ResultatEl costat de la base ha de fer $20$ cm i l’alçària, $10$ cm. Farà servir $1\,200\ \mathrm{cm}^2$ de cartró.

La pauta oficial dona: $x=20$ ; $y=10$ ; $S=1\,200\ \mathrm{cm}^2$

Gràfica de la superfície S(x)=x²+16 000/x per a x entre 5 i 40: baixa fins al mínim (20, 1 200) i després puja.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El preu d’un vol entre Barcelona i Islàndia és de 500 €. Una companyia aèria té capacitat per a 300 passatgers diaris, però hi ha una determinada època de l’any en què només ven 180 bitllets. Després de fer un estudi de mercat, la companyia s’adona que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers és lineal, de manera que per cada 5 € de descompte en el preu del bitllet aconsegueix dos passatgers més.

a) Si anomenem $x$ el nombre de vegades que s’aplica el descompte, escriviu la funció que dona els ingressos diaris de la companyia per la venda de bitllets en funció de $x$ .

[1 punt]

b) A quin preu cal vendre cada bitllet per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins ingressos s’obtindran amb aquest preu?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Cada vegada que s’aplica el descompte, el preu baixa 5 € i es venen 2 bitllets més. Els ingressos són el preu d’un bitllet multiplicat pel nombre de bitllets venuts.

Preu del bitllet després d’aplicar $x$ vegades el descompte de 5 €:
$p(x)=500-5x$
Nombre de bitllets venuts (2 més per cada descompte):
$n(x)=180+2x$
Els ingressos diaris són el producte de les dues expressions:
$I(x)$ ${}= p(x)\cdot n(x)$ ${}= (500-5x)(180+2x)$
Desenvolupem el producte:
$I(x)$ ${}= 90\,000+1\,000x$ ${}-900x-10x^2$ ${}= -10x^2+100x$ ${}+90\,000$
La funció té sentit mentre no se superi la capacitat de l’avió, de 300 passatgers:
$180+2x\le 300\ \Longrightarrow\ 0\le x\le 60$

ResultatEls ingressos diaris, en euros, són $I(x)$ ${}= (500-5x)(180+2x)$ ${}= -10x^2+100x$ ${}+90\,000$ , amb $0\le x\le 60$ .

La pauta oficial dona: $I(x)$ ${}= (500-5x)\cdot(180+2x)$ ${}= -10x^2+100x$ ${}+90\,000$

b)1,5 punts

Plantejament Busquem el màxim de $I(x)$ amb la derivada i després calculem el preu del bitllet i els ingressos corresponents.

Derivem:
$I'(x)=-20x+100$
Igualem a zero:
$-20x+100=0\ \Longrightarrow\ x=5$
Signe de la derivada a banda i banda de $x=5$ : els ingressos creixen abans i decreixen després, per tant és un màxim.
$I'(4)=20>0$ $I'(6)=-20<0$
Preu del bitllet i passatgers amb 5 descomptes (190 passatgers, per sota de la capacitat de 300):
$p(5)=500-5\cdot 5=475$ $n(5)=180+2\cdot 5=190$
Ingressos màxims:
$I(5)=475\cdot 190=90\,250$

ResultatCal vendre cada bitllet a $475$ € (aplicant $5$ vegades el descompte). Els ingressos diaris seran de $90\,250$ €.

La pauta oficial dona: $I'(x)=-20x+100$ ; $x=5$ ; $500-5\cdot 5=475$ ; $I=475\cdot 190=90\,250$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El nombre de kilograms de menjar que han gastat en un alberg d’animals durant una setmana concreta es pot calcular mitjançant la funció $f(t)$ ${}= 10\left(-\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{3t^2}{2}-\dfrac{9t}{2}+10\right)$ , en què $t$ és el temps en dies i va des del dia $t=1$ (dilluns) fins al dia $t=8$ (dilluns de la setmana següent).

a) Calculeu quants kilograms de menjar es van gastar el primer dilluns i el dilluns següent. Trobeu quin dia d’aquella setmana es van gastar 100 kg de menjar.

[1 punt]

b) Determineu els dies de la setmana en què la despesa en menjar va ser més gran i els dies en què va ser més petita. Quants kilograms de menjar es van gastar aquests dies?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament El primer dilluns és $t=1$ i el següent, $t=8$ : n’hi ha prou de substituir. Per trobar el dia dels 100 kg resolem $f(t)=100$ dins de l’interval $[1,8]$ .

Primer dilluns, $t=1$ :
$f(1)$ ${}= 10\left(-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}+10\right)$ ${}= 10\cdot\dfrac{-1+12-36+80}{8}$ ${}= 10\cdot\dfrac{55}{8}$ ${}= \dfrac{275}{4}$ ${}= 68{,}75$
Dilluns següent, $t=8$ :
$f(8)$ ${}= 10\left(-\dfrac{512}{8}+\dfrac{3\cdot 64}{2}-\dfrac{72}{2}+10\right)$ ${}= 10\,(-64+96-36+10)$ ${}= 10\cdot 6$ ${}= 60$
Despesa de 100 kg: dividim per 10 i restem 10 als dos costats.
$-\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{3t^2}{2}$ ${}-\dfrac{9t}{2}+10$ ${}= 10$ ${}\Longrightarrow -\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{3t^2}{2}$ ${}-\dfrac{9t}{2}=0$
Multipliquem per $-8$ i traiem factor comú:
$t^3-12t^2+36t=0$ ${}\Longrightarrow t\,(t^2-12t+36)=0$ ${}\Longrightarrow t\,(t-6)^2=0$
Les solucions són $t=0$ , que no és dins de $[1,8]$ , i $t=6$ (arrel doble). Comptant des del dilluns, $t=1$ , el dia 6 és dissabte. Comprovació:
$f(6)$ ${}= 10\left(-\dfrac{216}{8}+\dfrac{3\cdot 36}{2}-\dfrac{54}{2}+10\right)$ ${}= 10\,(-27+54-27+10)$ ${}= 100$

ResultatEl primer dilluns es van gastar $68{,}75$ kg de menjar i el dilluns següent, $60$ kg. Els 100 kg es van gastar el dia $t=6$ , el dissabte.

La pauta oficial dona: $f(1)=\dfrac{275}{4}=68{,}75$ ; $f(8)=60$ ; $t=6$

b)1,5 punts

Plantejament Busquem el màxim i el mínim absoluts de $f$ a l’interval tancat $[1,8]$ : els candidats són els punts on s’anul·la la derivada i els extrems de l’interval.

Derivada:
$f'(t)$ ${}= 10\left(-\dfrac{3t^2}{8}+3t-\dfrac{9}{2}\right)$
Igualem a zero i multipliquem el parèntesi per $-\frac{8}{3}$ :
$t^2-8t+12=0$ ${}\Longrightarrow (t-2)(t-6)=0$ ${}\Longrightarrow t=2$ $\text{o}\ \ t=6$
Signe de la derivada a cada tram:
$f'(1)=-\dfrac{75}{4}<0$ $f'(4)=15>0$ $f'(7)=-\dfrac{75}{4}<0$
Per tant $f$ decreix a $[1,2]$ , creix a $[2,6]$ i torna a decréixer a $[6,8]$ : mínim relatiu a $t=2$ i màxim relatiu a $t=6$ .
$f(2)=10\,(-1+6-9+10)=60$ $f(6)=100$
Comparem amb els valors als extrems de l’interval, calculats a l’apartat anterior:
$f(1)=68{,}75$ $f(8)=60$

ResultatLa despesa més gran va ser el dissabte ( $t=6$ ), amb $100$ kg. La més petita va ser el dimarts ( $t=2$ ) i el dilluns de la setmana següent ( $t=8$ ), tots dos dies amb $60$ kg.

La pauta oficial dona: $t=2$ , $t=6$ ; $f(2)=f(8)=60$ ; $f(6)=100$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

En els últims mesos, la demanda de gel hidroalcohòlic ha baixat molt respecte als primers moments de la pandèmia. La funció $f(x)=\dfrac{12+8x}{4x+1}$ , en què $x\in[0,+\infty)$ indica el nombre de mesos transcorreguts des de l’inici de la pandèmia, dona les vendes mensuals, en milions de litres, de gel hidroalcohòlic.

a) Determineu si la funció $f(x)$ és contínua en tot el seu domini. Calculeu la taxa de variació mitjana a l’interval $[0,1]$ . A quin valor tendiran les vendes mensuals de gel al llarg del temps?

[1,25 punts]

b) Comproveu que la funció és decreixent en tot el domini i trobeu la recta tangent en el punt $x=1$ .

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament És una funció racional: només pot ser discontínua on s’anul·la el denominador. La taxa de variació mitjana és l’increment de $f$ dividit per l’increment de $x$ , i el comportament a llarg termini el dona el límit quan $x\to+\infty$ .

El denominador s’anul·la en un punt que no és del domini:
$4x+1=0\ \Longrightarrow\ x=-\dfrac{1}{4}\notin[0,+\infty)$
Per tant $f$ és contínua en tot el domini. Valors als extrems de $[0,1]$ :
$f(0)=\dfrac{12}{1}=12$ $f(1)=\dfrac{12+8}{4+1}=\dfrac{20}{5}=4$
Taxa de variació mitjana:
$\mathrm{TVM}[0,1]$ ${}= \dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}$ ${}= \dfrac{4-12}{1}$ ${}= -8$
Límit a l’infinit: numerador i denominador són de primer grau, i el límit és el quocient dels coeficients de $x$ .
$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{12+8x}{4x+1}=\dfrac{8}{4}=2$

ResultatLa funció és contínua en tot el domini, perquè l’únic punt on no ho és, $x=-\frac{1}{4}$ , en queda fora. La taxa de variació mitjana a $[0,1]$ és $-8$ : en el primer mes les vendes mensuals van passar de $12$ a $4$ milions de litres, és a dir, van baixar $8$ milions de litres. A llarg termini, les vendes mensuals tendiran a $2$ milions de litres.

La pauta oficial dona: $x=-\dfrac{1}{4}\notin[0,+\infty)$ ; $\mathrm{TVM}[0,1]=-8$ ; $\lim_{x\to\infty}f(x)=2$

b)1,25 punts

Plantejament Estudiem el signe de la derivada. Per a la tangent fem servir $y-f(1)=f'(1)\,(x-1)$ .

Derivada d’un quocient:
$f'(x)$ ${}= \dfrac{8(4x+1)-4(12+8x)}{(4x+1)^2}$ ${}= \dfrac{32x+8-48-32x}{(4x+1)^2}$ ${}= \dfrac{-40}{(4x+1)^2}$
El numerador és negatiu i el denominador és un quadrat que no s’anul·la al domini, per tant és positiu:
$f'(x)=\dfrac{-40}{(4x+1)^2}<0$ $(x\ge 0)$
Pendent i punt de tangència a $x=1$ :
$f'(1)=\dfrac{-40}{25}=-\dfrac{8}{5}$ $f(1)=4$
Recta tangent:
$y-4$ ${}= -\dfrac{8}{5}(x-1)$ ${}\Longrightarrow y=-\dfrac{8}{5}x+\dfrac{8}{5}+4$ ${}= -\dfrac{8}{5}x+\dfrac{28}{5}$

ResultatCom que $f'(x)=\dfrac{-40}{(4x+1)^2}<0$ per a tot $x\ge 0$ , la funció és decreixent en tot el domini. La recta tangent a $x=1$ és $y=-\dfrac{8}{5}x+\dfrac{28}{5}$ .

La pauta oficial dona: $f'(x)=\dfrac{-40}{(4x+1)^2}$ ; $y=-\dfrac{8}{5}x+\dfrac{28}{5}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El cost anual de la neteja de les instal·lacions d’una empresa que va obrir fa 20 anys, expressat en centenars d’euros, és donat per la funció

$C(t)$ ${}= \begin{cases}\dfrac{t^2}{10}+10, & \text{si } t\in[0,10]\\ 28-\dfrac{(t-14)^2}{2}, & \text{si } t\in(10,20]\end{cases}$

en què $t$ és el temps expressat en anys.

a) Quin va ser el cost de la neteja de l’empresa en el moment d’obrir? I al cap de 10 anys de funcionament? Comproveu que en aquest punt la funció és contínua. Quin és el cost de la neteja de l’empresa al cap de 20 anys de funcionament?

[1,25 punts]

b) Representeu gràficament la funció $C(t)$ . En quin moment el cost de la neteja de l’empresa va ser màxim?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Cada valor es calcula amb el tram que correspon a $t$ . Per a la continuïtat a $t=10$ comparem el valor de la funció amb els dos límits laterals.

En el moment d’obrir, $t=0$ (primer tram):
$C(0)=\dfrac{0^2}{10}+10=10$
Als 10 anys, $t=10$ (primer tram):
$C(10)=\dfrac{10^2}{10}+10=20$
Límits laterals a $t=10$ :
$\lim_{t\to 10^-}C(t)$ ${}= \dfrac{10^2}{10}+10$ ${}= 20$ $\lim_{t\to 10^+}C(t)$ ${}= 28-\dfrac{(10-14)^2}{2}$ ${}= 28-8$ ${}= 20$
Els dos límits coincideixen amb $C(10)=20$ : la funció és contínua a $t=10$ . Als 20 anys (segon tram):
$C(20)$ ${}= 28-\dfrac{(20-14)^2}{2}$ ${}= 28-18$ ${}= 10$

ResultatEn obrir, el cost va ser de $10$ centenars d’euros ( $1\,000$ €), i als 10 anys, de $20$ centenars d’euros ( $2\,000$ €). La funció és contínua a $t=10$ , perquè $\lim_{t\to 10^-}C(t)$ ${}= \lim_{t\to 10^+}C(t)$ ${}= C(10)$ ${}= 20$ . Als 20 anys, el cost és de $10$ centenars d’euros ( $1\,000$ €).

La pauta oficial dona: $C(0)=10$ ; $C(10)=20$ ; $\lim_{t\to 10^+}C(t)=20$ ; $C(20)=10$

b)1,25 punts

Plantejament Cada tram és un tros de paràbola. Busquem el vèrtex de cadascuna, en calculem uns quants valors i comparem els màxims dels dos trams.

Primer tram: paràbola oberta cap amunt amb el vèrtex a $t=0$ , així que a $[0,10]$ és creixent, de $C(0)=10$ a $C(10)=20$ . Un punt intermedi:
$C(5)=\dfrac{25}{10}+10=12{,}5$
Segon tram: paràbola oberta cap avall amb el vèrtex a $t=14$ . Derivada i signe:
$C'(t)=-(t-14)$ $C'(12)=2>0$ $C'(16)=-2<0$
El segon tram creix fins a $t=14$ i decreix després. Valors per dibuixar-lo:
$C(12)=28-2=26$ $C(14)=28$ $C(16)=26$ $C(18)=28-8=20$
Comparem el màxim del segon tram amb el valor més gran del primer, $C(10)=20$ :
$C(14)=28>20$

ResultatLa gràfica puja per la paràbola $\dfrac{t^2}{10}+10$ des de $(0,\ 10)$ fins a $(10,\ 20)$ i continua, sense salt, per la paràbola $28-\dfrac{(t-14)^2}{2}$ , que arriba al vèrtex $(14,\ 28)$ i baixa fins a $(20,\ 10)$ . El cost màxim es va donar al cap de $14$ anys i va ser de $28$ centenars d’euros ( $2\,800$ €).

La pauta oficial dona: $M=(14,\ 28)$ ; $t=14$ ; $28$

Gràfica de C(t) entre t=0 i t=20: un arc de paràbola creixent de (0, 10) a (10, 20) i, sense salt, un arc de paràbola cap avall que puja fins al màxim (14, 28) i baixa fins a (20, 10). Una línia vertical discontínua marca t=10, on s’uneixen els dos trams.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una jove emprenedora vol crear una empresa de baldufes, que té pensat d’imprimir amb una impressora 3D a partir d’un disseny matemàtic fet amb el programa GeoGebra. Per a fer-ho, fa girar el perfil de la funció $f(x)=-x^3+2x^2$ al voltant de l’eix de les abscisses entre els dos punts de tall amb aquest eix, i així obté una baldufa tombada. Les unitats estan expressades en centímetres.

a) Quina serà l’alçària de la baldufa? Observeu que per a obtenir-la heu de calcular la distància entre els dos punts de tall amb l’eix de les abscisses.

[1 punt]

b) Quina serà l’amplària de la baldufa? Observeu que l’amplària correspon al doble del valor que pren la funció en el màxim que hi ha entre els dos punts de tall amb l’eix de les abscisses.

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Busquem els punts de tall de $f$ amb l’eix d’abscisses, $f(x)=0$ , i en calculem la distància.

Traiem factor comú $x^2$ :
$-x^3+2x^2=0$ ${}\Longrightarrow x^2(2-x)=0$ ${}\Longrightarrow x=0$ $\text{o}\ \ x=2$
Distància entre els dos punts de tall:
$2-0=2$

ResultatEls punts de tall són $x=0$ (arrel doble) i $x=2$ , de manera que l’alçària de la baldufa és de $2$ cm.

La pauta oficial dona: $x=0$ , $x=2$ ; $2$

b)1,5 punts

Plantejament Busquem el màxim de $f$ entre $x=0$ i $x=2$ amb la derivada; l’amplària és el doble del valor màxim, perquè en girar el perfil aquest valor és el radi de la baldufa en la part més ampla.

Derivada:
$f'(x)=-3x^2+4x=x\,(4-3x)$
S’anul·la a $x=0$ , que és un extrem de l’interval, i a:
$4-3x=0\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{4}{3}$
La derivada passa de positiva a negativa, així que $x=\frac{4}{3}$ és un màxim:
$f'(1)=1>0$ $f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right)$ ${}= -\tfrac{27}{4}+6$ ${}= -\tfrac{3}{4}$ ${}< 0$
Valor màxim de la funció:
$f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)$ ${}= -\dfrac{64}{27}+2\cdot\dfrac{16}{9}$ ${}= -\dfrac{64}{27}+\dfrac{96}{27}$ ${}= \dfrac{32}{27}$
L’amplària és el doble d’aquest valor:
$2\cdot\dfrac{32}{27}=\dfrac{64}{27}\approx 2{,}37$

ResultatL’amplària de la baldufa és de $\dfrac{64}{27}\approx 2{,}37$ cm.

La pauta oficial dona: $f'(x)=-3x^2+4x$ ; $x=\dfrac{4}{3}$ ; $f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{32}{27}$ ; $2\cdot\dfrac{32}{27}=\dfrac{64}{27}\approx 2{,}37$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta té un error

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d’èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000 €. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de $C(x)=x^2+34.880x+1.100$ euros, en què $x$ representa el nombre de vehicles fabricats.

a) Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues?

[1,25 punts]

b) Quants vehicles ha de fabricar per tal d’obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament El benefici és ingressos menys despeses, i no hi ha pèrdues quan el benefici és més gran o igual que zero.

Com que ven tots els cotxes que fabrica, els ingressos són:
$I(x)=35\,000x$
Benefici:
$B(x)$ ${}= 35\,000x$ ${}-(x^2+34\,880x+1\,100)$ ${}= -x^2+120x-1\,100$
Zeros del benefici:
$-x^2+120x-1\,100=0$ ${}\Longrightarrow x=\dfrac{120\pm\sqrt{14\,400-4\,400}}{2}$ ${}= \dfrac{120\pm 100}{2}$ ${}\Longrightarrow x=10$ $\text{o}\ \ x=110$
És una paràbola oberta cap avall: és positiva entre les dues arrels i negativa fora. Per exemple:
$B(0)=-1\,100<0$ $B(60)=2\,500>0$ $B(120)=-1\,100<0$

ResultatLa producció ha d’estar entre $10$ i $110$ vehicles, tots dos inclosos ( $10\le x\le 110$ ): en aquests dos valors el benefici és exactament $0$ , i entremig és positiu.

La pauta oficial dona: $f(x)=-x^2+120x-1\,100$ ; $x=10$ , $x=110$ ; $x\in[10,110]$

b)1,25 punts

Plantejament Busquem el màxim de $B(x)$ amb la derivada.

Derivem i igualem a zero:
$B'(x)=-2x+120=0\ \Longrightarrow\ x=60$
Signe de la derivada a banda i banda de $x=60$ : el benefici creix abans i decreix després, per tant és un màxim.
$B'(50)=20>0$ $B'(70)=-20<0$
Benefici màxim:
$B(60)$ ${}= -3\,600+7\,200-1\,100$ ${}= 2\,500$

ResultatCal fabricar $60$ vehicles, i el benefici màxim és de $2\,500$ €.

La pauta oficial dona: $f'(x)=-2x+120$ ; $x=60$ ; $f(60)=2\,500$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El nombre de noves persones infectades per una malaltia, en milers, és donat per la funció següent:

$f(t)=\dfrac{30t}{t^2-2t+4},\quad t\ge 0$

en què $t$ representa el temps transcorregut, en setmanes, des que es va iniciar la infecció.

a) Quants malalts s’infectaran a la setmana 1 i quants a la setmana 2? Podem pensar que, a llarg termini, aquesta infecció desapareixerà?

[1 punt]

b) En quin instant es produeix el nombre màxim d’infectats per aquesta malaltia? Quin és aquest nombre?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Substituïm $t=1$ i $t=2$ , i per al llarg termini calculem el límit quan $t\to+\infty$ . Els resultats són milers de persones.

Setmana 1:
$f(1)=\dfrac{30}{1-2+4}=\dfrac{30}{3}=10$
Setmana 2:
$f(2)=\dfrac{60}{4-4+4}=\dfrac{60}{4}=15$
A llarg termini: dividim numerador i denominador per $t^2$ , la potència més alta del denominador.
$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{30t}{t^2-2t+4}$ ${}= \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\frac{30}{t}}{1-\frac{2}{t}+\frac{4}{t^2}}$ ${}= \dfrac{0}{1}=0$

ResultatA la setmana 1 s’infectaran $10$ milers de persones ( $10\,000$ ) i a la setmana 2, $15$ milers ( $15\,000$ ). Sí: com que $\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$ , a llarg termini el nombre de noves infeccions tendeix a zero i la infecció desapareixerà.

La pauta oficial dona: $f(1)=10$ ; $f(2)=15$ ; $\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$

b)1,5 punts

Plantejament Busquem el màxim de $f$ per a $t\ge 0$ amb la derivada. El denominador no s’anul·la mai, perquè $t^2-2t+4=(t-1)^2+3>0$ , així que $f$ és derivable a tot el domini.

Derivada d’un quocient:
$f'(t)$ ${}= \dfrac{30(t^2-2t+4)-30t(2t-2)}{(t^2-2t+4)^2}$ ${}= \dfrac{30t^2-60t+120-60t^2+60t}{(t^2-2t+4)^2}$ ${}= \dfrac{120-30t^2}{(t^2-2t+4)^2}$
Igualem a zero. La solució $t=-2$ no té sentit, perquè $t\ge 0$ .
$120-30t^2=0\ \Longrightarrow\ t^2=4\ \Longrightarrow\ t=2$
Signe de la derivada: $f$ creix fins a $t=2$ i decreix a partir d’aquí, per tant $t=2$ és el màxim absolut.
$f'(1)=\dfrac{120-30}{3^2}=10>0$ $f'(3)$ ${}= \dfrac{120-270}{7^2}$ ${}= -\dfrac{150}{49}$ ${}< 0$
Valor màxim, calculat a l’apartat anterior:
$f(2)=15$

ResultatEl nombre màxim de noves infeccions es produeix a la setmana $t=2$ , i és de $15$ milers de persones ( $15\,000$ ).

La pauta oficial dona: $f'(t)$ ${}= \dfrac{120-30t^2}{(t^2-2t+4)^2}$ ; $t=2$ ; $f(2)=15$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Experimentalment s’ha comprovat que la producció d’un tipus de fruita determinat que es cultiva en hivernacles depèn de la temperatura, segons la funció $f(x)=-x^2+46x-360$ , en què $x$ representa la temperatura de l’hivernacle en graus Celsius i $f(x)$ és la producció anual en centenars de quilograms per hectàrea. El preu de venda de la fruita es manté estable a 1,2 euros per cada quilogram.

a) Determineu l’interval de temperatures entre les quals cal mantenir l’hivernacle perquè hi hagi producció de fruita. Calculeu els ingressos anuals per hectàrea si es manté l’hivernacle a 20 °C de temperatura.

[1,25 punts]

b) A quina temperatura s’obté la producció màxima de fruita? Quins ingressos per hectàrea s’obtenen en aquest cas?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Hi ha producció quan $f(x)>0$ . La gràfica de $f$ és una paràbola cap avall (el coeficient de $x^2$ és negatiu), de manera que és positiva entre els dos zeros.

Zeros de $f$ :
$-x^2+46x-360=0$ ${}\Longrightarrow x^2-46x+360=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{46\pm\sqrt{2\,116-1\,440}}{2}$ ${}= \frac{46\pm 26}{2}$
Les dues solucions:
$x=10$ $x=36$
Producció a $20$ °C, en centenars de quilograms per hectàrea:
$f(20)=-400+920-360=160$
Són $16\,000$ kg per hectàrea, que a $1{,}2$ € el quilogram donen
$16\,000\cdot 1{,}2=19\,200$

ResultatHi ha producció si la temperatura està entre $10$ °C i $36$ °C, és a dir, $x\in(10,\ 36)$ . A $20$ °C els ingressos anuals són de $19\,200$ € per hectàrea.

La pauta oficial dona: $(10,\ 36)$ ; $f(20)=160$ ; $19\,200$

b)1,25 punts

Plantejament Busquem el màxim de $f$ : el punt on s’anul·la la derivada i el signe de la derivada a banda i banda.

Derivada i punt crític:
$f'(x)=-2x+46=0\ \Longrightarrow\ x=23$
Signe de la derivada: $f$ creix abans de $23$ i decreix després, per tant és un màxim.
$f'(22)=2>0$ $f'(24)=-2<0$
Producció màxima, en centenars de quilograms per hectàrea:
$f(23)$ ${}= -529+1\,058-360$ ${}= 169$
Són $16\,900$ kg per hectàrea, i els ingressos:
$16\,900\cdot 1{,}2=20\,280$

ResultatLa producció és màxima a $23$ °C: $16\,900$ kg per hectàrea, que donen uns ingressos de $20\,280$ € per hectàrea.

La pauta oficial dona: $x=23$ ; $f(23)=169$ ; $20\,280$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un grup de biòlegs està estudiant un cultiu de bacteris. La població d’aquests bacteris (en centenars) és donada per la funció $P(t)=a+\frac{12t}{t^2+b}$ , en què $a$ i $b$ són constants positives reals i $t\ge 0$ és el temps transcorregut en minuts.

Sabem que a l’instant inicial de l’estudi la població de bacteris era de 6 centenars i que el valor màxim de població s’ha assolit al cap de 2 minuts d’haver iniciat l’estudi.

a) Trobeu els valors de les constants $a$ i $b$ .

[1,25 punts]

b) Calculeu la població màxima de bacteris i estudieu-ne el comportament a llarg termini, és a dir, cap a quin valor s’estabilitza el nombre de bacteris.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament La població inicial dona $P(0)=6$ , i el màxim a $t=2$ dona $P'(2)=0$ .

A l’instant inicial ( $b>0$ , el denominador no s’anul·la):
$P(0)=a+\frac{12\cdot 0}{0+b}=a=6$
Derivada de la fracció (regla del quocient):
$P'(t)$ ${}= \frac{12(t^2+b)-12t\cdot 2t}{(t^2+b)^2}$ ${}= \frac{12b-12t^2}{(t^2+b)^2}$
Imposem $P'(2)=0$ (n’hi ha prou que s’anul·li el numerador):
$12b-12\cdot 4=0\ \Longrightarrow\ b=4$
Comprovem que és un màxim: amb $b=4$ el numerador és $12(4-t^2)$ , positiu si $0\le t<2$ i negatiu si $t>2$ , de manera que $P$ creix i després decreix.
$P'(t)=\frac{12(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$

Resultat $a=6$ i $b=4$ , és a dir, $P(t)=6+\dfrac{12t}{t^2+4}$ .

La pauta oficial dona: $a=6$ ; $b=4$

b)1,25 punts

Plantejament La població màxima és $P(2)$ . A llarg termini cal calcular el límit de $P(t)$ quan $t\to+\infty$ .

Població màxima, en centenars:
$P(2)=6+\frac{24}{4+4}=6+3=9$
El grau del denominador ( $2$ ) és més gran que el del numerador ( $1$ ), i la fracció tendeix a $0$ :
$\lim_{t\to+\infty}P(t)$ ${}= 6+\lim_{t\to+\infty}\frac{12t}{t^2+4}$ ${}= 6+0$ ${}= 6$

ResultatLa població màxima és de $9$ centenars ( $900$ bacteris), als $2$ minuts. A llarg termini la població s’estabilitza al voltant de $6$ centenars ( $600$ bacteris).

La pauta oficial dona: $P(2)=9$ ; $\lim_{t\to\infty}P(t)=6$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En els models matemàtics que s’utilitzen per a descriure l’evolució d’una malaltia, s’anomena $R_0$ el nombre mitjà de noves infeccions que cada persona infectada provoca en la població. Quan aquest nombre és inferior a 1, cada individu infectat transmet la malaltia, de mitjana, a menys d’una persona i la malaltia tendeix a desaparèixer. En canvi, si $R_0$ és més gran que 1, la malaltia s’estén i es produeix una epidèmia.

Quan es descobreix una vacuna efectiva contra la malaltia, es pot controlar l’epidèmia vacunant només una proporció $p$ de la població. És el que es coneix com a immunitat de grup. Efectivament, un cop vacunada una proporció $p\in(0,\ 1)$ de la població, la nova $R_0$ , que s’anomena efectiva i es denota amb $R_e$ , és el producte de la $R_0$ original per la proporció d’individus que no estan vacunats, $1-p$ . I s’aconsegueix controlar l’epidèmia si la $R_e$ és inferior a 1.

a) En el cas del xarampió, s’estima que $R_0=15$ . Si analitzem una població amb un percentatge d’individus vacunats del 95 %, segons el model descrit, hi ha risc que es produeixi una epidèmia de xarampió en aquesta població?

[0,75 punts]

b) En el cas concret de l’anomenada grip espanyola del 1918, s’estima que $R_0=4$ . Calculeu quin percentatge de població hauria calgut vacunar, com a mínim, per a aturar l’epidèmia d’aquesta malaltia.

[0,75 punts]

c) Expresseu, en general, el llindar de població mínima que cal vacunar en funció del valor $R_0$ d’una malaltia. Feu un esbós d’aquesta funció per als valors de $R_0$ entre 1 i 20.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament Calculem $R_e=R_0(1-p)$ amb $R_0=15$ i $p=0{,}95$ i el comparem amb $1$ .

Proporció de no vacunats i $R_e$ :
$R_e$ ${}= 15\cdot(1-0{,}95)$ ${}= 15\cdot 0{,}05$ ${}= 0{,}75$
Comparem amb $1$ :
$0{,}75<1$

Resultat $R_e=0{,}75<1$ : segons el model, no hi ha risc d’epidèmia de xarampió en aquesta població.

La pauta oficial dona: $R_e=15\cdot 0{,}05=0{,}75<1$

b)0,75 punts

Plantejament Busquem les proporcions $p$ que fan $R_e=4(1-p)<1$ .

Inequació:
$4(1-p)$ ${}< 1$ ${}\Longrightarrow 1-p$ ${}< \frac{1}{4}$ ${}\Longrightarrow p$ ${}> 1-\frac{1}{4}$ ${}= \frac{3}{4}=0{,}75$

ResultatCaldria vacunar més del $75\ \%$ de la població: el llindar mínim és el $75\ \%$ (exactament al $75\ \%$ seria $R_e=1$ , que encara no és inferior a $1$ ).

La pauta oficial dona: $p>\frac{3}{4}=0{,}75$ ; $75\ \%$

c)1 punt

Plantejament Fem el mateix amb $R_0$ qualsevol: $R_0(1-p)<1$ . Per a l’esbós, estudiem els valors als extrems, el creixement i la forma de la funció.

Aïllem $p$ (dividim per $R_0>0$ ):
$R_0(1-p)$ ${}< 1$ ${}\Longrightarrow 1-p$ ${}< \frac{1}{R_0}$ ${}\Longrightarrow p$ ${}> 1-\frac{1}{R_0}$
El llindar és la funció
$p(R_0)=1-\frac{1}{R_0}$ $1\le R_0\le 20$
Valors als extrems de l’interval (i el de l’apartat b):
$p(1)=0$ $p(4)=\frac{3}{4}=0{,}75$ $p(20)=\frac{19}{20}=0{,}95$
La derivada és sempre positiva: la funció és creixent i no té extrems relatius.
$p'(R_0)=\frac{1}{R_0^2}>0$
La segona derivada és negativa: la funció és còncava i creix cada cop més a poc a poc, acostant-se a $1$ (asímptota horitzontal $p=1$ quan $R_0\to+\infty$ ).
$p''(R_0)=-\frac{2}{R_0^3}<0$

ResultatEl llindar mínim de vacunació és $p(R_0)=1-\dfrac{1}{R_0}$ . Entre $R_0=1$ i $R_0=20$ la funció creix de $0$ a $0{,}95$ : puja de pressa al principi (amb $R_0=4$ ja cal un $75\ \%$ ) i després s’aplana per sota de $1$ .

La pauta oficial dona: $p(R_0)=1-\frac{1}{R_0}$ ; $p(1)=0$ ; $p(20)=\frac{19}{20}=0{,}95$ ; $p'(R_0)=\frac{1}{R_0^2}>0$

Gràfica de p(R₀)=1−1/(R₀) per a R₀ entre 1 i 20: comença a (1; 0), puja de pressa fins a (4; 0,75) i després s’aplana fins a (20; 0,95), sempre per sota de la recta discontínua p=1.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El valor d’un producte electrònic, en funció del nombre de mesos que fa que està a la venda, $t$ , és donat per la funció $f(t)=-(t+25)(t-75)$ .

a) Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(t)$ . En quin moment el producte assolirà el valor màxim? Quin és aquest valor màxim?

[1,25 punts]

b) Sabem que el producte es deixarà de comercialitzar quan arribi a un valor de 475 €. En quin moment es deixarà de comercialitzar?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Desenvolupem el producte, derivem i estudiem el signe de la derivada.

Producte:
$f(t)$ ${}= -(t^2-75t+25t-1\,875)$ ${}= -t^2+50t+1\,875$
Derivada i punt crític:
$f'(t)=-2t+50=0\ \Longrightarrow\ t=25$
Signe de la derivada: positiva abans de $25$ i negativa després.
$f'(0)=50>0$ $f'(30)=-10<0$
Valor màxim:
$f(25)$ ${}= -(25+25)(25-75)$ ${}= -50\cdot(-50)$ ${}= 2\,500$

Resultat $f$ creix a $(-\infty,25)$ i decreix a $(25,+\infty)$ ; en aquest context ( $t\ge 0$ ), el valor creix durant els primers $25$ mesos i després baixa. El valor màxim s’assoleix als $25$ mesos i és de $2\,500$ €.

La pauta oficial dona: $f(t)=-t^2+50t+1\,875$ ; creix a $(-\infty,25)$ i decreix a $(25,+\infty)$ ; màxim a $t=25$ , $f(25)=2\,500$

b)1,25 punts

Plantejament Resolem l’equació $f(t)=475$ i ens quedem amb la solució que té sentit (temps positiu).

Equació:
$-t^2+50t+1\,875$ ${}= 475$ ${}\Longrightarrow t^2-50t-1\,400=0$
Fórmula de l’equació de segon grau:
$t$ ${}= \frac{50\pm\sqrt{2\,500+5\,600}}{2}$ ${}= \frac{50\pm 90}{2}$ ${}\Longrightarrow t=70$ $\text{o}\ \ t=-20$
$t=-20$ no té sentit (temps negatiu). Comprovació:
$f(70)=-(95)(-5)=475$

ResultatEl producte es deixarà de comercialitzar al cap de $70$ mesos.

La pauta oficial dona: $t^2-50t-1\,400=0$ ; $t=70$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una fàbrica de vehicles produeix cotxes d’un model anomenat Paradís i els ven a 58.000 €. Sabem que els costos mensuals de producció són donats per la funció $C(x)=\frac{1}{2}x^2-64x+4.704$ (en milers d’euros), en què $x$ denota el nombre de cotxes que es fabriquen mensualment.

a) Suposant que es venen tots els cotxes que es fabriquen, verifiqueu que la funció de beneficis és $B(x)=-\frac{1}{2}x^2+122x-4.704$ (en milers d’euros).

[0,75 punts]

b) Determineu el nombre de cotxes que cal fabricar mensualment per a no tenir pèrdues. Per a quin nombre d’unitats produïdes s’obté el benefici màxim i quin és aquest benefici màxim?

[1 punt]

c) Es vol augmentar el preu de venda per unitat, de manera que el benefici màxim s’obtingui amb 130 unitats (la funció que dona el cost mensual en milers d’euros no varia). Quin ha de ser el nou preu de venda del cotxe?

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament Treballem en milers d’euros: cada cotxe es ven per $58$ milers d’euros. El benefici és ingressos menys costos.

Ingressos de $x$ cotxes:
$I(x)=58x$
Benefici:
$B(x)$ ${}= 58x$ ${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$ ${}= -\frac{1}{2}x^2+122x-4\,704$

Resultat $B(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+122x-4\,704$ milers d’euros, com es volia verificar.

La pauta oficial dona: $B(x)$ ${}= 58x$ ${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$ ${}= -\frac{1}{2}x^2+122x-4\,704$

b)1 punt

Plantejament No hi ha pèrdues quan $B(x)\ge 0$ : busquem els zeros de la paràbola (cap avall). El màxim és on s’anul·la la derivada.

Zeros (multipliquem per $-2$ ):
$x^2-244x+9\,408=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{244\pm\sqrt{59\,536-37\,632}}{2}$ ${}= \frac{244\pm\sqrt{21\,904}}{2}$ ${}= \frac{244\pm 148}{2}$
Les dues arrels; entre elles la paràbola és positiva:
$x=48$ $x=196$
Màxim: derivada igual a zero, i la segona derivada és negativa.
$B'(x)=-x+122=0\ \Longrightarrow\ x=122$ $B''(x)=-1<0$
Benefici màxim, en milers d’euros:
$B(122)$ ${}= -\frac{14\,884}{2}+14\,884$ ${}-4\,704$ ${}= -7\,442+14\,884-4\,704$ ${}= 2\,738$

ResultatNo hi ha pèrdues si es fabriquen entre $48$ i $196$ cotxes al mes ( $x\in[48,196]$ ). El benefici màxim s’obté amb $122$ cotxes i és de $2\,738$ milers d’euros, és a dir, $2\,738\,000$ €.

La pauta oficial dona: $[48,196]$ ; $x=122$ ; $B(122)=2\,738$

c)0,75 punts

Plantejament Anomenem $a$ el nou preu en milers d’euros. Escrivim el benefici amb aquest preu i imposem que el vèrtex de la paràbola sigui a $x=130$ .

Nova funció de benefici:
$F(x)$ ${}= ax$ ${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$ ${}= -\frac{1}{2}x^2+(64+a)x$ ${}-4\,704$
Derivada igual a zero a $x=130$ (el màxim d’aquesta paràbola és on s’anul·la la derivada):
$F'(x)=-x+64+a$ $F'(130)=0$ ${}\Longrightarrow 64+a$ ${}= 130$ ${}\Longrightarrow a=66$

ResultatEl nou preu de venda ha de ser de $66$ milers d’euros, és a dir, $66\,000$ € per cotxe.

La pauta oficial dona: $a=66$ ; $66\,000$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Considereu la funció $f(x)=e^{3x}$ .

a) Calculeu el pendent de la recta tangent a la gràfica d’aquesta funció en el punt d’abscissa $x=0$ .

[1,25 punts]

b) Obteniu l’equació d’aquesta recta tangent.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament El pendent de la tangent a $x=0$ és $f'(0)$ .

Derivada (regla de la cadena):
$f'(x)=3e^{3x}$
A $x=0$ :
$f'(0)=3e^{0}=3$

ResultatEl pendent de la recta tangent a $x=0$ és $m=3$ .

La pauta oficial dona: $f'(x)=3e^{3x}$ ; $f'(0)=3$

b)1,25 punts

Plantejament La recta tangent passa pel punt $(0,f(0))$ i té pendent $3$ .

Punt de tangència:
$f(0)=e^{0}=1$
Equació punt-pendent:
$y-1=3(x-0)\ \Longrightarrow\ y=3x+1$

ResultatLa recta tangent és $y=3x+1$ .

La pauta oficial dona: $f(0)=1$ ; $y=3x+1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El cost de producció (en euros) de $x$ unitats d’un producte determinat és donat per la funció $C(x)=0{,}02x^2+3x+100$ . Aquestes unitats es posen a la venda i el preu de venda unitari (en euros) depèn del nombre d’unitats produïdes $x$ . Concretament, és donat per la funció $p(x)=47-0{,}06x$ . Suposem que es venen totes les unitats que es produeixen.

a) Determineu la funció que dona els beneficis obtinguts en funció del nombre d’unitats produïdes $x$ .

[1,25 punts]

b) Determineu quantes unitats cal produir per a obtenir el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament El benefici és la diferència entre els ingressos i els costos. Els ingressos són el nombre d’unitats pel preu de cada unitat.

Ingressos:
$I(x)$ ${}= x\cdot p(x)$ ${}= x(47-0{,}06x)$ ${}= 47x-0{,}06x^2$
Benefici:
$B(x)$ ${}= I(x)-C(x)$ ${}= 47x-0{,}06x^2$ ${}-0{,}02x^2-3x-100$ ${}= -0{,}08x^2+44x-100$

Resultat $B(x)=-0{,}08x^2+44x-100$ euros.

La pauta oficial dona: $I(x)=47x-0{,}06x^2$ ; $B(x)=-0{,}08x^2+44x-100$

b)1,25 punts

Plantejament Busquem el màxim de $B$ : derivada igual a zero i comprovació que és un màxim.

Derivada i punt crític:
$B'(x)$ ${}= -0{,}16x+44=0$ ${}\Longrightarrow x=\frac{44}{0{,}16}$ ${}= 275$
És un màxim: la derivada és positiva abans de $275$ i negativa després (la paràbola té el coeficient de $x^2$ negatiu).
$B'(200)=12>0$ $B'(300)=-4<0$
Benefici màxim:
$B(275)$ ${}= -0{,}08\cdot 75\,625$ ${}+44\cdot 275-100$ ${}= -6\,050+12\,100-100$ ${}= 5\,950$

ResultatCal produir $275$ unitats, i el benefici màxim és de $5\,950$ €.

La pauta oficial dona: $B'(x)=-0{,}16x+44$ ; $x=275$ ; $B(275)=5\,950$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) té previst muntar una exposició. S’estima que el nombre de visitants setmanals que rebrà l’exposició, expressat en desenes de persones, és donat per la funció $f(x)=\frac{240x}{x^2-2x+4}$ , en què $x\ge 1$ representa el temps, expressat en setmanes, que fa que l’exposició està oberta al públic.

a) Quantes persones aniran a veure l’exposició la primera setmana? Calculeu la taxa de variació mitjana del nombre de visitants entre la setmana 1 i la setmana 4.

[1 punt]

b) Quina setmana es preveu que anirà més gent a veure l’exposició? Quants visitants s’estima que hi aniran aquella setmana?

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament La funció dona desenes de persones: $f(1)$ multiplicat per $10$ és el nombre de visitants de la primera setmana. La taxa de variació mitjana entre $1$ i $4$ és $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ .

Primera setmana:
$f(1)$ ${}= \frac{240}{1-2+4}$ ${}= \frac{240}{3}$ ${}= 80$ ${}\Longrightarrow 80\cdot 10$ ${}= 800$
Quarta setmana:
$f(4)=\frac{960}{16-8+4}=\frac{960}{12}=80$
Taxa de variació mitjana:
$\mathrm{TVM}[1,4]$ ${}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ ${}= \frac{80-80}{3}=0$

ResultatLa primera setmana hi aniran $800$ persones. La taxa de variació mitjana entre les setmanes 1 i 4 és $0$ : la quarta setmana s’esperen tants visitants com la primera.

La pauta oficial dona: $f(1)=80$ ; $800$ ; $\mathrm{TVM}[1,4]=0$

b)1,5 punts

Plantejament Busquem el màxim de $f$ per a $x\ge 1$ : derivada (regla del quocient), punts on s’anul·la i signe a banda i banda.

Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{240(x^2-2x+4)-240x(2x-2)}{(x^2-2x+4)^2}$ ${}= \frac{-240x^2+960}{(x^2-2x+4)^2}$
El denominador sempre és positiu. Zeros del numerador:
$-240x^2+960=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 4$ ${}\Longrightarrow x=\pm 2$
Només $x=2$ és dins de $x\ge 1$ . El numerador $240(4-x^2)$ és positiu si $1\le x<2$ i negatiu si $x>2$ : $f$ creix fins a la setmana $2$ i després decreix, i té el màxim a $x=2$ .
$f'(1)=\frac{720}{9}=80>0$ $f'(3)=\frac{-1\,200}{49}<0$
Valor màxim, en desenes de persones:
$f(2)$ ${}= \frac{480}{4-4+4}$ ${}= 120$ ${}\Longrightarrow 120\cdot 10$ ${}= 1\,200$

ResultatLa setmana amb més visitants serà la segona, amb $1\,200$ persones.

La pauta oficial dona: $f'(x)=\frac{-240x^2+960}{(x^2-2x+4)^2}$ ; $x=2$ ; $f(2)=120$ ; $1\,200$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 6

2,5 puntsLa pauta té un error

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un inversor s’adona que en el moment actual les seves accions tenen unes pèrdues de 2.000 €. El seu assessor financer té una previsió del valor de les accions per als propers 30 dies. Li diu que el valor de les accions ja ha començat a augmentar i que d’aquí a pocs dies deixarà de tenir pèrdues. Segons les previsions, durant els propers 10 dies el valor de les accions creixerà; del dia 10 al dia 20 els beneficis disminuiran, i a partir d’aquest dia els beneficis tornaran a créixer. L’assessor també diu a l’inversor que la previsió dels beneficis per als propers 30 dies té com a model la funció $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ , en què $x\in[0,30]$ .

a) Calculeu els valors dels paràmetres $a$ , $b$ i $c$ .

[1,5 punts]

b) Si l’inversor vol vendre les seves accions durant aquests 30 dies, quin és el dia en el qual obtindrà més beneficis de la venda? Quins beneficis obtindrà?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,5 punts

Plantejament Les pèrdues actuals donen $f(0)=-2\,000$ . El canvi de creixement a decreixement al dia $10$ i de decreixement a creixement al dia $20$ vol dir que la derivada s’hi anul·la: $f'(10)=0$ i $f'(20)=0$ .

Situació actual:
$f(0)=c=-2\,000$
Derivada:
$f'(x)=3x^2+2ax+b$
Les dues condicions sobre la derivada:
$\begin{cases}f'(10)=300+20a+b=0\\ f'(20)=1\,200+40a+b=0\end{cases}$
Restant la primera equació de la segona:
$900+20a=0\ \Longrightarrow\ a=-45$
Substituint a la primera:
$b$ ${}= -300-20\cdot(-45)$ ${}= -300+900$ ${}= 600$
Comprovació: amb aquests valors $f'(x)$ ${}= 3x^2-90x+600$ ${}= 3(x-10)(x-20)$ , positiva abans de $10$ , negativa entre $10$ i $20$ i positiva després, tal com diu l’assessor.
$f'(x)=3(x-10)(x-20)$

Resultat $a=-45$ , $b=600$ i $c=-2\,000$ , és a dir, $f(x)$ ${}= x^3-45x^2+600x$ ${}-2\,000$ .

La pauta oficial dona: $c=-2\,000$ ; $a=-45$ ; $b=600$

b)1 punt

Plantejament Busquem el màxim absolut de $f$ a $[0,30]$ . Pot ser al màxim relatiu ( $x=10$ ) o en un extrem de l’interval; a $x=20$ hi ha un mínim relatiu.

Valors als candidats:
$f(0)=-2\,000$ $f(10)$ ${}= 1\,000-4\,500+6\,000$ ${}-2\,000$ ${}= 500$
I al mínim relatiu ( $x=20$ ) i a l’altre extrem de l’interval ( $x=30$ ):
$f(20)$ ${}= 8\,000-18\,000$ ${}+12\,000-2\,000=0$ $f(30)$ ${}= 27\,000-40\,500$ ${}+18\,000-2\,000$ ${}= 2\,500$
El valor més gran és $f(30)=2\,500$ : el benefici torna a créixer després del dia $20$ i supera el del dia $10$ .
$2\,500>500>0>-2\,000$

ResultatEl millor dia per vendre és el dia $30$ , i obtindrà uns beneficis de $2\,500$ €.

La pauta oficial dona: $f(10)=500$ ; $f(0)=-2\,000$ ; $f(30)=2\,500$ ; $x=30$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

El que més s’ha repetit als exàmens

Trobar màxims, mínims i creixement d’una funció amb la derivada

Comparar dues opcions igualant les seves funcions

Avaluar una funció en valors donats i resoldre una equació amb ella

Plantejar la funció que cal optimitzar a partir d’un enunciat

Escriure la funció d’ingressos o de beneficis en funció d’una variable

Trobar les constants d’una funció a partir del que diu l’enunciat

Calcular valors, la taxa de variació mitjana, la continuïtat i el comportament a llarg termini

Calcular el pendent i l’equació de la recta tangent en un punt

Els exercicis, del més recent al més antic

1.11,5 punts

1.21 punt

3.10,75 punts

3.20,75 punts

3.31 punt

4.11,25 punts

4.21,25 punts

4.11,25 punts

4.21,25 punts

1.11,5 punts

1.21 punt

4.11,5 punts

4.21 punt

4.11,5 punts

4.21 punt

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,75 punts

b)0,75 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,75 punts

b)0,75 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)0,5 punts

b)2 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)0,75 punts

b)0,75 punts

c)1 punt

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)0,75 punts

b)1 punt