Matemàtiques CCSS, PAU 2023 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Escrivim els percentatges en tant per u en una matriu $\boldsymbol{M}$: cada fila és un nivell del curs vinent (principiant, intermedi, avançat) i cada columna, un nivell d’aquest curs, en el mateix ordre. La multipliquem pel vector dels alumnes matriculats.

1. Matriu de reserves. Com que ningú no baixa de nivell, els elements per sobre de la diagonal són zero:

   $\boldsymbol{M}$${}= \begin{pmatrix}0{,}15&0&0\\ 0{,}5&0{,}1&0\\ 0{,}05&0{,}6&0{,}2\end{pmatrix}$

2. Vector dels alumnes matriculats aquest any:

   $\boldsymbol{N}$${}= \begin{pmatrix}100\\ 90\\ 60\end{pmatrix}$

3. Producte de la matriu pel vector:

   $\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{N}$${}= \begin{pmatrix}0{,}15\cdot 100\\ 0{,}5\cdot 100+0{,}1\cdot 90\\ 0{,}05\cdot 100+0{,}6\cdot 90+0{,}2\cdot 60\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}15\\ 50+9\\ 5+54+12\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}15\\ 59\\ 71\end{pmatrix}$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre d’alumnes que fan ioga al matí i $y$ els que en fan a la tarda. Les places del curs vinent són el producte de la matriu de percentatges pel vector d’alumnes, i aquest producte ha de donar $49$ i $51$.

1. Places de matí: el 50 % dels de matí i el 40 % dels de tarda; places de tarda: el 30 % dels de matí i el 60 % dels de tarda.

   $\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}4\\ 0{,}3&0{,}6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}49\\ 51\end{pmatrix}$${}\Longleftrightarrow \begin{cases}0{,}5x+0{,}4y=49\\ 0{,}3x+0{,}6y=51\end{cases}$

2. Multipliquem cada equació per 10:

   $\begin{cases}5x+4y=490\\ 3x+6y=510\end{cases}$

3. Multipliquem la primera per 3 i la segona per 5, i a la segona li restem la primera:

   $(15x+30y)$${}-(15x+12y)$${}= 2\,550-1\,470$${}\Longrightarrow 18y$${}= 1\,080$${}\Longrightarrow y=60$

4. Substituïm a la primera equació:

   $5x+4\cdot 60$${}= 490$${}\Longrightarrow 5x=250$${}\Longrightarrow x=50$

5. Comprovació:

   $0{,}5\cdot 50+0{,}4\cdot 60=25+24=49$$0{,}3\cdot 50+0{,}6\cdot 60=15+36=51$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ les notes de la primera, la segona i la tercera prova. Escrivim les dues dades com a equacions i mirem quines incògnites queden determinades.

1. Les dues condicions de l’enunciat:

   $\begin{cases}\dfrac{x+y+z}{3}=6\\ z=\dfrac{x+y}{2}\end{cases}$

2. Sense denominadors:

   $\begin{cases}x+y+z=18\\ -x-y+2z=0\end{cases}$

3. Sumem les dues equacions (mètode de Gauss, $F_2+F_1$): desapareixen $x$ i $y$.

   $3z=18\ \Longrightarrow\ z=6$

4. El sistema té 3 incògnites i només 2 equacions independents: és compatible indeterminat. De $x$ i $y$ només en coneixem la suma:

   $x+y=18-z=18-6=12$

Plantejament Afegim la nova condició, la mitjana de la segona i la tercera prova, i resolem el sistema de tres equacions.

1. Nova equació:

   $\dfrac{y+z}{2}=7\ \Longrightarrow\ y+z=14$

2. Sistema esglaonat, aprofitant el pas de Gauss de l’apartat anterior:

   $\begin{cases}x+y+z=18\\ 3z=18\\ y+z=14\end{cases}$

3. Resolem de baix a dalt:

   $z=6$$y=14-6=8$$x=18-8-6=4$

4. Comprovació de les tres condicions:

   $\dfrac{4+8+6}{3}=6$$\dfrac{4+8}{2}=6=z$$\dfrac{8+6}{2}=7$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre d’embarcacions que surten a fer bateigs de submarinisme i $y$ el nombre de les que fan excursions per la costa, cada dia. Cada embarcació va plena: 10 participants en un bateig i 25 en una excursió. Els valors de $x$ i $y$ han de ser enters.

1. Ingressos de cada sortida: $60\cdot 10=600$ € un bateig i $18\cdot 25=450$ € una excursió. La funció objectiu són els ingressos diaris, que volem maximitzar:

   $F(x,y)=600x+450y$

2. Instructors: 5 per bateig i 2 per excursió, amb 75 en total:

   $5x+2y\le 75$

3. Embarcacions: n’hi ha 30.

   $x+y\le 30$

4. Les quantitats no poden ser negatives:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

5. Per dibuixar les rectes frontera, en busquem els talls amb els eixos:

   $5x+2y=75:\ (15;\ 0),\ (0;\ 37{,}5)$$x+y=30:\ (30;\ 0),\ (0;\ 30)$

6. El punt $(0,\ 0)$ compleix totes les desigualtats, així que la regió factible és la part del primer quadrant que queda per sota de les dues rectes: el quadrilàter de vèrtexs $C$, $D$, $A$ i $B$ del gràfic.

   $\begin{cases}5x+2y\le 75\\ x+y\le 30\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultatFunció objectiu (ingressos diaris, en euros, que cal maximitzar): $F(x,y)=600x+450y$. Restriccions: $5x+2y\le 75$, $x+y\le 30$, $x\ge 0$, $y\ge 0$, amb $x$ i $y$ enters. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $C=(0,\ 0)$, $D=(15,\ 0)$, $A=(5,\ 25)$ i $B=(0,\ 30)$.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=600x+450y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $5x+2y\le 75$; $x+y\le 30$

Plantejament El màxim d’una funció objectiu lineal sobre una regió factible acotada s’assoleix en un vèrtex. Calculem cada vèrtex com la intersecció de dues rectes frontera i hi avaluem $F$.

1. Vèrtex $C$: rectes $x=0$ i $y=0$.

   $C=(0,\ 0)$

2. Vèrtex $D$: rectes $y=0$ i $5x+2y=75$ (compleix $15\le 30$):

   $5x=75\ \Longrightarrow\ x=15\ \Longrightarrow\ D=(15,\ 0)$

3. Vèrtex $A$: rectes $5x+2y=75$ i $x+y=30$. A la primera li restem el doble de la segona:

   $(5x+2y)-2(x+y)$${}= 75-60$${}\Longrightarrow 3x=15$${}\Longrightarrow x=5,\ y$${}= 30-5$${}= 25$${}\Longrightarrow A=(5,\ 25)$

4. Vèrtex $B$: rectes $x=0$ i $x+y=30$ (compleix $2\cdot 30=60\le 75$):

   $B=(0,\ 30)$

5. Valor de la funció objectiu a cada vèrtex:

   $F(C)=0$$F(D)=600\cdot 15=9\,000$$F(A)$${}= 600\cdot 5+450\cdot 25$${}= 3\,000+11\,250$${}= 14\,250$$F(B)=450\cdot 30=13\,500$

6. El valor més gran és $F(A)$. A $A$ es fan servir tots els instructors i totes les embarcacions:

   $5\cdot 5+2\cdot 25=75$$5+25=30$

7. Si «omplir totes les embarcacions» s’entén com que han de sortir les 30, la regió factible es redueix al segment de $x+y=30$ entre $B$ i $A$ ($0\le x\le 5$). Sobre aquest segment $F$ creix amb $x$, i el màxim continua sent $A$:

   $F(x,30-x)$${}= 600x+450(30-x)$${}= 13\,500+150x$${}\le 13\,500+150\cdot 5$${}= 14\,250$

Plantejament El primer dilluns és $t=1$ i el següent, $t=8$: n’hi ha prou de substituir. Per trobar el dia dels 100 kg resolem $f(t)=100$ dins de l’interval $[1,8]$.

1. Primer dilluns, $t=1$:

   $f(1)$${}= 10\left(-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}+10\right)$${}= 10\cdot\dfrac{-1+12-36+80}{8}$${}= 10\cdot\dfrac{55}{8}$${}= \dfrac{275}{4}$${}= 68{,}75$

2. Dilluns següent, $t=8$:

   $f(8)$${}= 10\left(-\dfrac{512}{8}+\dfrac{3\cdot 64}{2}-\dfrac{72}{2}+10\right)$${}= 10\,(-64+96-36+10)$${}= 10\cdot 6$${}= 60$

3. Despesa de 100 kg: dividim per 10 i restem 10 als dos costats.

   $-\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{3t^2}{2}$${}-\dfrac{9t}{2}+10$${}= 10$${}\Longrightarrow -\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{3t^2}{2}$${}-\dfrac{9t}{2}=0$

4. Multipliquem per $-8$ i traiem factor comú:

   $t^3-12t^2+36t=0$${}\Longrightarrow t\,(t^2-12t+36)=0$${}\Longrightarrow t\,(t-6)^2=0$

5. Les solucions són $t=0$, que no és dins de $[1,8]$, i $t=6$ (arrel doble). Comptant des del dilluns, $t=1$, el dia 6 és dissabte. Comprovació:

   $f(6)$${}= 10\left(-\dfrac{216}{8}+\dfrac{3\cdot 36}{2}-\dfrac{54}{2}+10\right)$${}= 10\,(-27+54-27+10)$${}= 100$

Plantejament Busquem el màxim i el mínim absoluts de $f$ a l’interval tancat $[1,8]$: els candidats són els punts on s’anul·la la derivada i els extrems de l’interval.

1. Derivada:

   $f'(t)$${}= 10\left(-\dfrac{3t^2}{8}+3t-\dfrac{9}{2}\right)$

2. Igualem a zero i multipliquem el parèntesi per $-\frac{8}{3}$:

   $t^2-8t+12=0$${}\Longrightarrow (t-2)(t-6)=0$${}\Longrightarrow t=2$$\text{o}\ \ t=6$

3. Signe de la derivada a cada tram:

   $f'(1)=-\dfrac{75}{4}<0$$f'(4)=15>0$$f'(7)=-\dfrac{75}{4}<0$

4. Per tant $f$ decreix a $[1,2]$, creix a $[2,6]$ i torna a decréixer a $[6,8]$: mínim relatiu a $t=2$ i màxim relatiu a $t=6$.

   $f(2)=10\,(-1+6-9+10)=60$$f(6)=100$

5. Comparem amb els valors als extrems de l’interval, calculats a l’apartat anterior:

   $f(1)=68{,}75$$f(8)=60$