Matemàtiques CCSS, PAU 2026 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Es demanen dues probabilitats: la que un alumne faci servir la T-jove (probabilitat total, amb els tres mitjans de transport) i la que arribi en tren sabent que fa servir la T-jove (Bayes). Anomenem $T$, $B$ i $M$ arribar en tren, en autobús i per mitjans propis, i $J$ fer servir la T-jove.

1. Dades (els mitjans propis són la resta, $1-0{,}45-0{,}35=0{,}2$):

   $P(T)=0{,}45$$P(B)=0{,}35$$P(M)=0{,}2$$P(J\mid T)=0{,}7$$P(J\mid B)=0{,}6$$P(J\mid M)=0$

2. Probabilitat total:

   $P(J)$${}= P(T)\,P(J\mid T)$${}+P(B)\,P(J\mid B)$${}+P(M)\,P(J\mid M)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}7+0{,}35\cdot 0{,}6$${}+0{,}2\cdot 0$${}= 0{,}315+0{,}21$${}= 0{,}525$

3. Bayes:

   $P(T\mid J)$${}= \frac{P(T)\,P(J\mid T)}{P(J)}$${}= \frac{0{,}315}{0{,}525}$${}= \frac{3}{5}=0{,}6$

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que tarda l’alumnat a arribar al campus. La mostra és gran ($n=300$) i la desviació típica que tenim és la de la mostra, $s=8$, així que fem servir la tercera fórmula amb $z_\gamma=1{,}96$.

1. Dades:

   $n=300$$\bar x=53$$s=8$$z_\gamma=1{,}96$

2. Error típic i marge d’error:

   $\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{300}}\approx 0{,}46188$$z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}46188$${}\approx 0{,}9053$

3. Extrems de l’interval:

   $53-0{,}9053\approx 52{,}09$$53+0{,}9053\approx 53{,}91$

Plantejament Es demana comprovar la funció d’assistents $f(x)$, amb $x$ el preu de l’entrada en euros, i trobar el preu amb què s’omple el local (320 persones) i el preu amb què no hi va ningú.

1. La relació és lineal: per cada euro de més es perden 20 clients (pendent $-20$) i amb 15 € hi van 180 clients, així que la recta passa per $(15,180)$:

   $f(x)$${}= 180-20(x-15)$${}= 180-20x+300$${}= 480-20x$

2. Local ple, 320 persones:

   $480-20x$${}= 320$${}\Longrightarrow 20x$${}= 160$${}\Longrightarrow x=8$

3. Com que $f$ és decreixent, amb un preu de 8 € o menys hi van com a mínim 320 persones i el local s’omple. No hi va ningú quan

   $480-20x=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{480}{20}=24$

Plantejament Es demana la funció d’ingressos segons el preu i el seu valor a 15 € i a 18 €. Els ingressos són el preu de l’entrada pel nombre d’assistents.

1. Ingressos (el model val entre 8 € i 24 €: per sota de 8 € l’aforament limita l’assistència a 320 persones, i per sobre de 24 € no hi va ningú):

   $I(x)$${}= x\cdot f(x)$${}= x(480-20x)$${}= -20x^2+480x$$8\le x\le 24$

2. Amb l’entrada a 15 € i a 18 €:

   $I(15)=15\cdot 180=2\,700$$I(18)$${}= 18\cdot(480-360)$${}= 18\cdot 120$${}= 2\,160$

Plantejament Es demana el preu que fa màxims els ingressos i el valor d’aquests ingressos. Busquem el màxim d’$I(x)$ a $[8,24]$ amb la derivada i justifiquem que és un màxim amb el seu signe.

1. Derivem i igualem a zero:

   $I'(x)=-40x+480=0\ \Longrightarrow\ x=12$

2. $x=12$ és dins de $[8,24]$. Signe de la derivada a cada costat:

   $I'(10)=80>0$$I'(14)=-80<0$

3. $I$ creix fins a $x=12$ i decreix després: a $x=12$ hi ha un màxim, que és el valor més gran a tot $[8,24]$. Ingressos màxims (hi van $f(12)=240$ persones, menys que l’aforament):

   $I(12)$${}= 12\cdot(480-240)$${}= 12\cdot 240$${}= 2\,880$

ResultatEls ingressos són màxims amb l’entrada a $12$ €, i aleshores són de $2\,880$ € (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $I'(x)=-40x+480$; $x=12$; $I(12)=2880$

Plantejament Es demana quants paraigües de cada model es van vendre. Anomenem $x$ el nombre de paraigües plegables i $y$ el de paraigües bastó venuts. Com que no en va quedar cap al magatzem, tots els paraigües fabricats amb la tela es van vendre: els ingressos i la tela donen dues equacions.

1. Ingressos (25 € cada plegable i 15 € cada bastó) i tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable i 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastó):

   $\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$

2. Aïllem $x$ de la segona equació i substituïm a la primera:

   $x$${}= 2\,375-1{,}5y$${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$${}= 42\,500$${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$${}= 42\,500$

3. Resolem:

   $22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$$x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$

4. Comprovació:

   $25\cdot 1\,250+15\cdot 750$${}= 31\,250+11\,250$${}= 42\,500$$1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

Plantejament Es demana el benefici total de fabricar 100 paraigües de cada tipus i, per a cada model, els valors de $x$ sense pèrdues. Com que $x$ va en centenars d’unitats, 100 paraigües són $x=1$, i les funcions donen milers d’euros. No hi ha pèrdues quan el benefici és més gran o igual que 0.

1. Beneficis amb $x=1$:

   $p(1)=1\cdot(3-1)=2$$b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$

2. En total, en milers d’euros ($2\,000$ € dels plegables i $1\,600$ € dels paraigües bastó):

   $p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$

3. Plegables: amb $x\ge 0$, el signe de $p(x)=x(3-x)$ és el de $3-x$:

   $p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$

4. Bastó: traiem $x$ factor comú, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$, i amb $x\ge 0$ el signe és el del parèntesi:

   $b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultatFabricant 100 paraigües de cada tipus s’obtenen $3{,}6$ milers d’euros, és a dir, $3\,600$ €. No hi ha pèrdues amb els plegables si $0\le x\le 3$ (fins a 300 paraigües) ni amb els paraigües bastó si $0\le x\le 5$ (fins a 500 paraigües); vegeu la gràfica.

La pauta oficial dona: $p(1)=2$, $b(1)=\frac{8}{5}$; $3600\ \text{€}$; $0\le x\le 3$; $0\le x\le 5$

Plantejament Es demana amb quin dels dos models calen menys paraigües per arribar al benefici màxim i amb quin es guanya més. Busquem el màxim de cada funció amb la seva derivada ($x$ en centenars de paraigües, beneficis en milers d’euros).

1. Derivades, igualades a zero:

   $p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$$b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$

2. Signe de cada derivada a banda i banda: les dues funcions passen de créixer a decréixer, així que els dos punts són màxims:

   $p'(1)=1>0$$p'(2)=-1<0$$b'(2)=0{,}4>0$$b'(3)=-0{,}4<0$

3. Beneficis màxims:

   $p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$$b(2{,}5)$${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$${}= -2{,}5+5$${}= 2{,}5$

ResultatAmb els paraigües plegables calen menys unitats: el benefici màxim s’assoleix amb $150$ paraigües plegables, davant de $250$ paraigües bastó. Amb els paraigües bastó es guanya més: $2\,500$ € com a màxim, davant de $2\,250$ € amb els plegables (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $x=1{,}5$, $x=2{,}5$; $p(1{,}5)=2{,}25$, $b(2{,}5)=2{,}5$

Plantejament Es demana la probabilitat que el paraigua sigui de tefló sabent que és defectuós. És la condicionada «al revés» de les dades, així que fem servir la probabilitat total i la fórmula de Bayes. Anomenem $T$ «recobert de tefló», $I$ «impregnat» i $D$ «defectuós» (no aguanta la pluja).

1. Entre els dos lots hi ha $60+80=140$ paraigües, així que:

   $P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$$P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$

2. Si aguanta bé el 98 % dels de tefló, en falla el 2 %; dels impregnats en falla el 5 %:

   $P(D\mid T)=0{,}02$$P(D\mid I)=0{,}05$

3. Probabilitat total que sigui defectuós:

   $P(D)$${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$${}= \frac{0{,}26}{7}$${}= \frac{13}{350}$${}\approx 0{,}0371$

4. Bayes:

   $P(T\mid D)$${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$${}= \frac{3}{13}$${}\approx 0{,}2308$