Matemàtiques CCSS, PAU 2022 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els quilòmetres fets en autocar, a peu i en taxi. El trajecte total és $x+y+z$; cada frase de l’enunciat dona una equació.

1. L’autocar fa la meitat del trajecte, a peu se’n fa una vintena part, i en autocar es fan $5$ km més que en taxi:

   $\begin{cases}x=\dfrac{x+y+z}{2}\\ y=\dfrac{x+y+z}{20}\\ x=z+5\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x-y-z=0\\ x-19y+z=0\\ x-z=5\end{cases}$

2. Gauss ($F_2-F_1$ i $F_3-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&-1&0\\ 1&-19&1&0\\ 1&0&-1&5\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&-1&0\\ 0&-18&2&0\\ 0&1&0&5\end{array}\right)$

3. La tercera fila dona $y$, i la segona, $z$:

   $y=5$$-18\cdot 5+2z=0\ \Longrightarrow\ z=45$

4. I la primera, $x$:

   $x=y+z=5+45=50$

5. Comprovació: el trajecte és de $100$ km; la meitat són $50$, la vintena part són $5$ i $50=45+5$.

   $x+y+z=50+5+45=100$

Plantejament El temps de cada tram és la distància dividida per la velocitat.

1. Suma dels tres temps, en hores:

   $\frac{50}{100}+\frac{5}{5}+\frac{45}{90}=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$

Plantejament La funció dona desenes de persones: $f(1)$ multiplicat per $10$ és el nombre de visitants de la primera setmana. La taxa de variació mitjana entre $1$ i $4$ és $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$.

1. Primera setmana:

   $f(1)$${}= \frac{240}{1-2+4}$${}= \frac{240}{3}$${}= 80$${}\Longrightarrow 80\cdot 10$${}= 800$

2. Quarta setmana:

   $f(4)=\frac{960}{16-8+4}=\frac{960}{12}=80$

3. Taxa de variació mitjana:

   $\mathrm{TVM}[1,4]$${}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$${}= \frac{80-80}{3}=0$

Plantejament Busquem el màxim de $f$ per a $x\ge 1$: derivada (regla del quocient), punts on s’anul·la i signe a banda i banda.

1. Derivada:

   $f'(x)$${}= \frac{240(x^2-2x+4)-240x(2x-2)}{(x^2-2x+4)^2}$${}= \frac{-240x^2+960}{(x^2-2x+4)^2}$

2. El denominador sempre és positiu. Zeros del numerador:

   $-240x^2+960=0$${}\Longrightarrow x^2$${}= 4$${}\Longrightarrow x=\pm 2$

3. Només $x=2$ és dins de $x\ge 1$. El numerador $240(4-x^2)$ és positiu si $1\le x<2$ i negatiu si $x>2$: $f$ creix fins a la setmana $2$ i després decreix, i té el màxim a $x=2$.

   $f'(1)=\frac{720}{9}=80>0$$f'(3)=\frac{-1\,200}{49}<0$

4. Valor màxim, en desenes de persones:

   $f(2)$${}= \frac{480}{4-4+4}$${}= 120$${}\Longrightarrow 120\cdot 10$${}= 1\,200$

Plantejament Volem minimitzar la radiació que absorbeixen les parts en bon estat, $4x+5y$, amb dues condicions: almenys $60$ grays a la part malmesa i com a màxim $27$ grays al voltant.

1. Funció objectiu, que cal minimitzar:

   $F(x,y)=4x+5y$

2. Restriccions:

   $\begin{cases}6x+4y\ge 60\\ 3x+y\le 27\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

3. Rectes que limiten la regió: $r_1$ talla els eixos a $(10,\ 0)$ i $(0,\ 15)$, i $r_2$ a $(9,\ 0)$ i $(0,\ 27)$. La regió és la part del primer quadrant per sobre de $r_1$ i per sota de $r_2$.

   $r_1:\ 6x+4y=60$$r_2:\ 3x+y=27$

4. Vèrtex $A$: tall de $x=0$ amb $r_1$.

   $4y=60\ \Longrightarrow\ A=(0,\ 15)$

5. Vèrtex $B$: tall de $x=0$ amb $r_2$.

   $y=27\ \Longrightarrow\ B=(0,\ 27)$

6. Vèrtex $C$: tall de $r_1$ i $r_2$. De $r_2$, $y=27-3x$; substituint a $r_1$:

   $6x+4(27-3x)$${}= 60$${}\Longrightarrow -6x$${}= -48$${}\Longrightarrow x=8$$y=27-24=3$$C=(8,\ 3)$

7. L’eix $y=0$ no fa cap vèrtex: els seus talls amb les rectes, $(10,\ 0)$ i $(9,\ 0)$, no compleixen l’altra restricció. La regió factible és, doncs, el triangle $ABC$, que és tancat.

   $3\cdot 10=30>27$$6\cdot 9=54<60$

8. Funció objectiu a cada vèrtex:

   $F(A)=75$$F(B)=135$$F(C)=32+15=47$

9. El valor més petit és el de $C$:

   $47<75<135$

ResultatLa funció objectiu és $F(x,y)=4x+5y$, amb les restriccions $6x+4y\ge 60$, $3x+y\le 27$, $x\ge 0$ i $y\ge 0$; la regió factible és el triangle de vèrtexs $A=(0,\ 15)$, $B=(0,\ 27)$ i $C=(8,\ 3)$. Cal utilitzar $8$ grays de raigs de cobalt i $3$ grays de raigs de cesi; les parts en bon estat absorbeixen llavors $47$ grays, el mínim possible.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=4x+5y$; $3x+y\le 27$; $6x+4y\ge 60$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $(8,\ 3)$

Plantejament Substituïm $x=7$ i $y=5$ a les dues restriccions i a la funció objectiu.

1. Part malmesa (com a mínim $60$):

   $6\cdot 7+4\cdot 5=42+20=62\ge 60$

2. Voltant (com a màxim $27$):

   $3\cdot 7+5=26\le 27$

3. Radiació absorbida per les parts en bon estat:

   $F(7,\ 5)$${}= 28+25$${}= 53$${}> 47=F(8,\ 3)$

Plantejament Calculem els dos productes en funció de $a$ i els igualem element a element.

1. Primer producte:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\ 0&a\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&1-a\\ 0&2a\end{pmatrix}$

2. Segon producte:

   $\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}2&1\\ 0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&-2+2\\ 0&2a\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2a\end{pmatrix}$

3. Només difereixen en l’element de la fila 1, columna 2:

   $1-a=0\ \Longrightarrow\ a=1$

4. Amb $a=1$:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2\end{pmatrix}$${}= 2\cdot\boldsymbol{I}$

Plantejament Dividim per $2$ la igualtat $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=2\boldsymbol{I}$: el producte de cada matriu per la meitat de l’altra dona la identitat.

1. Com que $\boldsymbol{A}\cdot\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\right)=\boldsymbol{I}$, la inversa de $\boldsymbol{A}$ és la meitat de $\boldsymbol{B}$ (amb $a=1$):

   $\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \frac{1}{2}\boldsymbol{B}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&1\\ 0&1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

2. Com que $\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{A}\right)\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}$, la inversa de $\boldsymbol{B}$ és la meitat de $\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{B}^{-1}$${}= \frac{1}{2}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&1\end{pmatrix}$

3. Comprovació:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Plantejament Les pèrdues actuals donen $f(0)=-2\,000$. El canvi de creixement a decreixement al dia $10$ i de decreixement a creixement al dia $20$ vol dir que la derivada s’hi anul·la: $f'(10)=0$ i $f'(20)=0$.

1. Situació actual:

   $f(0)=c=-2\,000$

2. Derivada:

   $f'(x)=3x^2+2ax+b$

3. Les dues condicions sobre la derivada:

   $\begin{cases}f'(10)=300+20a+b=0\\ f'(20)=1\,200+40a+b=0\end{cases}$

4. Restant la primera equació de la segona:

   $900+20a=0\ \Longrightarrow\ a=-45$

5. Substituint a la primera:

   $b$${}= -300-20\cdot(-45)$${}= -300+900$${}= 600$

6. Comprovació: amb aquests valors $f'(x)$${}= 3x^2-90x+600$${}= 3(x-10)(x-20)$, positiva abans de $10$, negativa entre $10$ i $20$ i positiva després, tal com diu l’assessor.

   $f'(x)=3(x-10)(x-20)$

Plantejament Busquem el màxim absolut de $f$ a $[0,30]$. Pot ser al màxim relatiu ($x=10$) o en un extrem de l’interval; a $x=20$ hi ha un mínim relatiu.

1. Valors als candidats:

   $f(0)=-2\,000$$f(10)$${}= 1\,000-4\,500+6\,000$${}-2\,000$${}= 500$

2. I al mínim relatiu ($x=20$) i a l’altre extrem de l’interval ($x=30$):

   $f(20)$${}= 8\,000-18\,000$${}+12\,000-2\,000=0$$f(30)$${}= 27\,000-40\,500$${}+18\,000-2\,000$${}= 2\,500$

3. El valor més gran és $f(30)=2\,500$: el benefici torna a créixer després del dia $20$ i supera el del dia $10$.

   $2\,500>500>0>-2\,000$