Programació lineal: exercicis de la PAU de Matemàtiques CCSS resolts

Plantejament Anomenem $x$ el nombre d’embarcacions que surten a fer bateigs de submarinisme i $y$ el nombre de les que fan excursions per la costa, cada dia. Cada embarcació va plena: 10 participants en un bateig i 25 en una excursió. Els valors de $x$ i $y$ han de ser enters.

1. Ingressos de cada sortida: $60\cdot 10=600$ € un bateig i $18\cdot 25=450$ € una excursió. La funció objectiu són els ingressos diaris, que volem maximitzar:

   $F(x,y)=600x+450y$

2. Instructors: 5 per bateig i 2 per excursió, amb 75 en total:

   $5x+2y\le 75$

3. Embarcacions: n’hi ha 30.

   $x+y\le 30$

4. Les quantitats no poden ser negatives:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

5. Per dibuixar les rectes frontera, en busquem els talls amb els eixos:

   $5x+2y=75:\ (15;\ 0),\ (0;\ 37{,}5)$$x+y=30:\ (30;\ 0),\ (0;\ 30)$

6. El punt $(0,\ 0)$ compleix totes les desigualtats, així que la regió factible és la part del primer quadrant que queda per sota de les dues rectes: el quadrilàter de vèrtexs $C$, $D$, $A$ i $B$ del gràfic.

   $\begin{cases}5x+2y\le 75\\ x+y\le 30\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultatFunció objectiu (ingressos diaris, en euros, que cal maximitzar): $F(x,y)=600x+450y$. Restriccions: $5x+2y\le 75$, $x+y\le 30$, $x\ge 0$, $y\ge 0$, amb $x$ i $y$ enters. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $C=(0,\ 0)$, $D=(15,\ 0)$, $A=(5,\ 25)$ i $B=(0,\ 30)$.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=600x+450y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $5x+2y\le 75$; $x+y\le 30$

Plantejament El màxim d’una funció objectiu lineal sobre una regió factible acotada s’assoleix en un vèrtex. Calculem cada vèrtex com la intersecció de dues rectes frontera i hi avaluem $F$.

1. Vèrtex $C$: rectes $x=0$ i $y=0$.

   $C=(0,\ 0)$

2. Vèrtex $D$: rectes $y=0$ i $5x+2y=75$ (compleix $15\le 30$):

   $5x=75\ \Longrightarrow\ x=15\ \Longrightarrow\ D=(15,\ 0)$

3. Vèrtex $A$: rectes $5x+2y=75$ i $x+y=30$. A la primera li restem el doble de la segona:

   $(5x+2y)-2(x+y)$${}= 75-60$${}\Longrightarrow 3x=15$${}\Longrightarrow x=5,\ y$${}= 30-5$${}= 25$${}\Longrightarrow A=(5,\ 25)$

4. Vèrtex $B$: rectes $x=0$ i $x+y=30$ (compleix $2\cdot 30=60\le 75$):

   $B=(0,\ 30)$

5. Valor de la funció objectiu a cada vèrtex:

   $F(C)=0$$F(D)=600\cdot 15=9\,000$$F(A)$${}= 600\cdot 5+450\cdot 25$${}= 3\,000+11\,250$${}= 14\,250$$F(B)=450\cdot 30=13\,500$

6. El valor més gran és $F(A)$. A $A$ es fan servir tots els instructors i totes les embarcacions:

   $5\cdot 5+2\cdot 25=75$$5+25=30$

7. Si «omplir totes les embarcacions» s’entén com que han de sortir les 30, la regió factible es redueix al segment de $x+y=30$ entre $B$ i $A$ ($0\le x\le 5$). Sobre aquest segment $F$ creix amb $x$, i el màxim continua sent $A$:

   $F(x,30-x)$${}= 600x+450(30-x)$${}= 13\,500+150x$${}\le 13\,500+150\cdot 5$${}= 14\,250$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre de coques sense farcir i $y$ el nombre de coques farcides de crema. Treballem en kilograms: una coca sense farcir gasta $0{,}5$ kg de farina i $0{,}3$ kg de sucre, i una de farcida, $0{,}4$ kg de farina i $0{,}12$ kg de sucre.

1. La funció objectiu són els ingressos, en euros, que volem maximitzar:

   $F(x,y)=15x+25y$

2. Farina, 60 kg (multipliquem per 10):

   $0{,}5x+0{,}4y\le 60\ \Longleftrightarrow\ 5x+4y\le 600$

3. Sucre, 30 kg (multipliquem per 100 i dividim per 6; si només es multiplica per 10, surt la mateixa restricció escrita com $3x+1{,}2y\le 300$):

   $0{,}3x+0{,}12y$${}\le 30$${}\Longleftrightarrow 30x+12y$${}\le 3\,000$${}\Longleftrightarrow 5x+2y$${}\le 500$

4. Comandes mínimes:

   $x\ge 60$$y\ge 30$

5. Per dibuixar les rectes frontera de la farina i del sucre, en busquem dos punts de cadascuna:

   $5x+4y=600:\ (120,\ 0),\ (0,\ 150)$$5x+2y=500:\ (100,\ 0),\ (0,\ 250)$

6. El punt $(70,\ 40)$ compleix totes les condicions ($510\le 600$ i $430\le 500$). La regió factible és el quadrilàter limitat per les rectes $x=60$, $y=30$, $5x+4y=600$ i $5x+2y=500$: el de vèrtexs $A$, $B$, $C$ i $D$ del gràfic.

   $\begin{cases}5x+4y\le 600\\ 5x+2y\le 500\\ x\ge 60,\ y\ge 30\end{cases}$

ResultatFunció objectiu (ingressos, en euros, que cal maximitzar): $F(x,y)=15x+25y$. Restriccions: $5x+4y\le 600$ (farina), $5x+2y\le 500$ (sucre), $x\ge 60$ i $y\ge 30$, amb $x$ i $y$ enters. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $A=(60,\ 30)$, $B=(88,\ 30)$, $C=(80,\ 50)$ i $D=(60,\ 75)$.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=15x+25y$; $x\ge 60$; $y\ge 30$; $5x+4y\le 600$; $3x+1{,}2y\le 300$

Plantejament El màxim s’assoleix en un vèrtex de la regió factible. Calculem cada vèrtex com la intersecció de dues rectes, hi avaluem $F$ i, amb el millor, comptem els ingredients gastats.

1. Vèrtex $A$: rectes $x=60$ i $y=30$.

   $A=(60,\ 30)$

2. Vèrtex $B$: rectes $y=30$ i $5x+2y=500$ (compleix $5\cdot 88+4\cdot 30=560\le 600$):

   $5x+60$${}= 500$${}\Longrightarrow x=88$${}\Longrightarrow B=(88,\ 30)$

3. Vèrtex $C$: rectes $5x+4y=600$ i $5x+2y=500$. Les restem:

   $2y=100\ \Longrightarrow\ y=50$$5x$${}= 500-2\cdot 50$${}= 400$${}\Longrightarrow x=80$${}\Longrightarrow C=(80,\ 50)$

4. Vèrtex $D$: rectes $x=60$ i $5x+4y=600$ (compleix $5\cdot 60+2\cdot 75=450\le 500$):

   $300+4y$${}= 600$${}\Longrightarrow y=75$${}\Longrightarrow D=(60,\ 75)$

5. Funció objectiu als vèrtexs:

   $F(A)=900+750=1\,650$$F(B)=1\,320+750=2\,070$$F(C)=1\,200+1\,250=2\,450$$F(D)=900+1\,875=2\,775$

6. El màxim és a $D$. Ingredients gastats amb 60 coques sense farcir i 75 de farcides:

   $\text{farina: }0{,}5\cdot 60$${}+0{,}4\cdot 75$${}= 30+30$${}= 60$$\text{sucre: }0{,}3\cdot 60$${}+0{,}12\cdot 75$${}= 18+9$${}= 27$

7. Sobrants (en kg):

   $\text{farina: }60-60=0$$\text{sucre: }30-27=3$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre de caixes A i $y$ el nombre de caixes B. Els vèrtexs de la regió factible els anomenem $O$, $P$, $Q$ i $R$, per no confondre’ls amb els tipus de caixa.

1. Ingressos per caixa, en euros:

   $\text{A: }8\cdot 0{,}60+2\cdot 0{,}70=4{,}8+1{,}4=6{,}2$$\text{B: }5\cdot 0{,}60+5\cdot 0{,}70=3+3{,}5=6{,}5$

2. La funció objectiu són els ingressos totals, que volem maximitzar:

   $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$

3. Taronges disponibles, $24\,000$ kg:

   $8x+5y\le 24\,000$

4. Mandarines disponibles, $12\,000$ kg:

   $2x+5y\le 12\,000$

5. Les quantitats no poden ser negatives:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

6. Talls de les rectes frontera amb els eixos, per dibuixar-les:

   $8x+5y$${}= 24\,000:\ (3\,000;\ 0),\ (0;\ 4\,800)$$2x+5y$${}= 12\,000:\ (6\,000;\ 0),\ (0;\ 2\,400)$

7. El punt $(0;\ 0)$ compleix totes les desigualtats, així que la regió factible és la part del primer quadrant que queda per sota de les dues rectes: el quadrilàter $OPQR$ del gràfic.

   $\begin{cases}8x+5y\le 24\,000\\ 2x+5y\le 12\,000\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultatFunció objectiu (ingressos, en euros, que cal maximitzar): $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$. Restriccions: $8x+5y\le 24\,000$ (taronges), $2x+5y\le 12\,000$ (mandarines), $x\ge 0$, $y\ge 0$. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $O=(0;\ 0)$, $P=(3\,000;\ 0)$, $Q=(2\,000;\ 1\,600)$ i $R=(0;\ 2\,400)$.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $8x+5y\le 24\,000$; $2x+5y\le 12\,000$

Plantejament El màxim s’assoleix en un vèrtex. Calculem cada vèrtex com la intersecció de dues rectes i hi avaluem $F$.

1. Vèrtex $O$: rectes $x=0$ i $y=0$.

   $O=(0;\ 0)$

2. Vèrtex $P$: rectes $y=0$ i $8x+5y=24\,000$ (compleix $2\cdot 3\,000=6\,000\le 12\,000$):

   $8x$${}= 24\,000$${}\Longrightarrow x=3\,000$${}\Longrightarrow P=(3\,000;\ 0)$

3. Vèrtex $Q$: rectes $8x+5y=24\,000$ i $2x+5y=12\,000$. Les restem:

   $6x=12\,000\ \Longrightarrow\ x=2\,000$$5y$${}= 12\,000-4\,000$${}\Longrightarrow y=1\,600$${}\Longrightarrow Q=(2\,000;\ 1\,600)$

4. Vèrtex $R$: rectes $x=0$ i $2x+5y=12\,000$ (compleix $5\cdot 2\,400=12\,000\le 24\,000$):

   $5y$${}= 12\,000$${}\Longrightarrow y=2\,400$${}\Longrightarrow R=(0;\ 2\,400)$

5. Funció objectiu als vèrtexs:

   $F(O)=0$$F(P)=6{,}2\cdot 3\,000=18\,600$$F(Q)$${}= 6{,}2\cdot 2\,000+6{,}5\cdot 1\,600$${}= 12\,400+10\,400$${}= 22\,800$$F(R)=6{,}5\cdot 2\,400=15\,600$

6. El màxim és a $Q$, on es venen totes les taronges i totes les mandarines:

   $8\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=24\,000$$2\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=12\,000$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre de paneres de tipus A i $y$ el de paneres de tipus B (nombres naturals). Els pernils i el torró limiten la producció; el cava no, perquè n’hi ha prou. Volem fer el màxim nombre de paneres, $x+y$.

1. Funció objectiu (nombre total de paneres), que cal maximitzar:

   $f(x,y)=x+y$

2. Restriccions: pernils ($1$ i $2$ per panera, $40$ en total), torró ($5$ i $2$ per panera, $120$ en total) i quantitats no negatives:

   $\begin{cases}x+2y\le 40\\ 5x+2y\le 120\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

3. Rectes que limiten la regió: $r_1$ talla els eixos a $(40,\ 0)$ i $(0,\ 20)$, i $r_2$ a $(24,\ 0)$ i $(0,\ 60)$. La regió factible és el quadrilàter que queda per sota de les dues rectes, dins del primer quadrant.

   $r_1:\ x+2y=40$$r_2:\ 5x+2y=120$

4. Vèrtex $O$: tall dels eixos $x=0$ i $y=0$.

   $O=(0,\ 0)$

5. Vèrtex $P$: tall de $y=0$ amb $r_2$ (el tall de $y=0$ amb $r_1$, $(40,\ 0)$, no compleix $r_2$ perquè $5\cdot 40=200>120$).

   $5x=120\ \Longrightarrow\ P=(24,\ 0)$

6. Vèrtex $Q$: tall de $r_1$ i $r_2$. Restant la primera equació de la segona:

   $4x=80\ \Longrightarrow\ x=20$$2y=40-20\ \Longrightarrow\ y=10$$Q=(20,\ 10)$

7. Vèrtex $R$: tall de $x=0$ amb $r_1$ (el tall amb $r_2$, $(0,\ 60)$, no compleix $r_1$ perquè $2\cdot 60=120>40$).

   $2y=40\ \Longrightarrow\ R=(0,\ 20)$

8. Valor de la funció objectiu a cada vèrtex:

   $f(O)=0$$f(P)=24$$f(Q)=20+10=30$$f(R)=20$

9. El màxim és a $Q$, que té coordenades enteres. Comprovació dels recursos: es fan servir tots els pernils i tot el torró, i $20+3\cdot 10=50$ ampolles de cava.

   $20+2\cdot 10=40$$5\cdot 20+2\cdot 10=120$

ResultatLa funció objectiu és $f(x,y)=x+y$, amb les restriccions $x+2y\le 40$, $5x+2y\le 120$, $x\ge 0$ i $y\ge 0$. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $O=(0,\ 0)$, $P=(24,\ 0)$, $Q=(20,\ 10)$ i $R=(0,\ 20)$. L’empresa ha de fer $20$ paneres de tipus A i $10$ de tipus B: $30$ paneres en total.

La pauta oficial dona: $f(x,y)=x+y$; $x+2y\le 40$; $5x+2y\le 120$; $(0,\ 0)$, $(24,\ 0)$, $(20,\ 10)$, $(0,\ 20)$; $x=20$, $y=10$; $30$

Plantejament Ara $x=y$: substituïm $y$ per $x$ a les restriccions i busquem el nombre natural $x$ més gran que les compleix.

1. Pernils:

   $x+2x$${}\le 40$${}\Longrightarrow 3x$${}\le 40$${}\Longrightarrow x$${}\le \frac{40}{3}=13{,}33\ldots$

2. Torró:

   $5x+2x$${}\le 120$${}\Longrightarrow 7x$${}\le 120$${}\Longrightarrow x$${}\le \frac{120}{7}$${}= 17{,}14\ldots$

3. Les dues condicions alhora deixen $x\le 13{,}33\ldots$, i el nombre de paneres ha de ser natural:

   $x=y=13$

4. Comprovació: calen $39$ pernils i $91$ barres de torró, i no n’hi ha prou per a una panera més de cada tipus ($14$ de cada tipus demanarien $42$ pernils).

   $13+2\cdot 13=39\le 40$$5\cdot 13+2\cdot 13=91\le 120$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre d’habitacions reservades amb la tarifa estàndard i $y$ el de la tarifa reduïda, per a una nit. El que l’enunciat anomena benefici són els ingressos d’aquella nit.

1. Funció objectiu (ingressos per nit, en euros), que cal maximitzar:

   $F(x,y)=120x+90y$

2. Restriccions: com a màxim $420$ habitacions, almenys el $20\ \%$ de $420$ amb la tarifa reduïda ($0{,}2\cdot 420=84$), estàndard almenys el doble que reduïda, i quantitats no negatives:

   $\begin{cases}x+y\le 420\\ y\ge 84\\ x\ge 2y\\ x\ge 0\end{cases}$

3. Rectes que limiten la regió:

   $r_1:\ x+y=420$$r_2:\ y=84$$r_3:\ x=2y$

4. La regió factible és el triangle que queda per sobre de $r_2$, per sota de $r_1$ i a la dreta de $r_3$ (la condició $x\ge 0$ ja la compleix, perquè $x\ge 2y\ge 168$). Els vèrtexs són els talls de les rectes dues a dues; els calculem a l’apartat b.

   $x\ge 2y\ge 2\cdot 84=168$

ResultatLa funció objectiu és $F(x,y)=120x+90y$, amb les restriccions $x+y\le 420$, $y\ge 84$, $x\ge 2y$ i $x\ge 0$. La regió factible és el triangle de vèrtexs $A=(280,\ 140)$, $B=(336,\ 84)$ i $C=(168,\ 84)$ (gràfica).

La pauta oficial dona: $F(x,y)=120x+90y$; $x\ge 0$; $y\ge 84$; $x+y\le 420$; $x\ge 2y$

Plantejament La funció objectiu assoleix el màxim en un vèrtex de la regió: calculem cada vèrtex com el tall de dues rectes i hi avaluem $F$.

1. Vèrtex $A$: tall de $r_1$ i $r_3$. Substituint $x=2y$ a $x+y=420$:

   $3y=420\ \Longrightarrow\ y=140$$x=280$$A=(280,\ 140)$

2. Vèrtex $B$: tall de $r_1$ i $r_2$:

   $x=420-84=336$$B=(336,\ 84)$

3. Vèrtex $C$: tall de $r_2$ i $r_3$:

   $x=2\cdot 84=168$$C=(168,\ 84)$

4. Funció objectiu a cada vèrtex:

   $F(A)=33\,600+12\,600=46\,200$$F(B)=40\,320+7\,560=47\,880$$F(C)=20\,160+7\,560=27\,720$

5. El valor més gran és el de $B$:

   $47\,880>46\,200>27\,720$

Plantejament Volem minimitzar la radiació que absorbeixen les parts en bon estat, $4x+5y$, amb dues condicions: almenys $60$ grays a la part malmesa i com a màxim $27$ grays al voltant.

1. Funció objectiu, que cal minimitzar:

   $F(x,y)=4x+5y$

2. Restriccions:

   $\begin{cases}6x+4y\ge 60\\ 3x+y\le 27\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

3. Rectes que limiten la regió: $r_1$ talla els eixos a $(10,\ 0)$ i $(0,\ 15)$, i $r_2$ a $(9,\ 0)$ i $(0,\ 27)$. La regió és la part del primer quadrant per sobre de $r_1$ i per sota de $r_2$.

   $r_1:\ 6x+4y=60$$r_2:\ 3x+y=27$

4. Vèrtex $A$: tall de $x=0$ amb $r_1$.

   $4y=60\ \Longrightarrow\ A=(0,\ 15)$

5. Vèrtex $B$: tall de $x=0$ amb $r_2$.

   $y=27\ \Longrightarrow\ B=(0,\ 27)$

6. Vèrtex $C$: tall de $r_1$ i $r_2$. De $r_2$, $y=27-3x$; substituint a $r_1$:

   $6x+4(27-3x)$${}= 60$${}\Longrightarrow -6x$${}= -48$${}\Longrightarrow x=8$$y=27-24=3$$C=(8,\ 3)$

7. L’eix $y=0$ no fa cap vèrtex: els seus talls amb les rectes, $(10,\ 0)$ i $(9,\ 0)$, no compleixen l’altra restricció. La regió factible és, doncs, el triangle $ABC$, que és tancat.

   $3\cdot 10=30>27$$6\cdot 9=54<60$

8. Funció objectiu a cada vèrtex:

   $F(A)=75$$F(B)=135$$F(C)=32+15=47$

9. El valor més petit és el de $C$:

   $47<75<135$

ResultatLa funció objectiu és $F(x,y)=4x+5y$, amb les restriccions $6x+4y\ge 60$, $3x+y\le 27$, $x\ge 0$ i $y\ge 0$; la regió factible és el triangle de vèrtexs $A=(0,\ 15)$, $B=(0,\ 27)$ i $C=(8,\ 3)$. Cal utilitzar $8$ grays de raigs de cobalt i $3$ grays de raigs de cesi; les parts en bon estat absorbeixen llavors $47$ grays, el mínim possible.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=4x+5y$; $3x+y\le 27$; $6x+4y\ge 60$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $(8,\ 3)$

Plantejament Substituïm $x=7$ i $y=5$ a les dues restriccions i a la funció objectiu.

1. Part malmesa (com a mínim $60$):

   $6\cdot 7+4\cdot 5=42+20=62\ge 60$

2. Voltant (com a màxim $27$):

   $3\cdot 7+5=26\le 27$

3. Radiació absorbida per les parts en bon estat:

   $F(7,\ 5)$${}= 28+25$${}= 53$${}> 47=F(8,\ 3)$