Quants exercicis de probabilitat han sortit a la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya?

Entre 2024 i 2026, 14 exercicis en 9 dels 15 exàmens que tenim resolts (cada any, l’ordinària i l’extraordinària, i també la sèrie d’incidències). Han sortit els anys 2026, 2025 i 2024.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada resultat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra (gairebé sempre per arrodoniment), ho posem al costat amb l’explicació.

Què faig si el meu resultat no coincideix amb la pauta?

Mira primer si és el mateix valor escrit d’una altra manera: una fracció i el seu decimal, o un interval amb més o menys decimals. Les pautes puntuen per separat el plantejament, el càlcul i la resposta: escriu la fórmula que fas servir amb cada dada al seu lloc i acaba amb una frase que contesti el que demana l’enunciat (quin preu, quina empresa, si el valor queda dins de l’interval).

Puc imprimir els exercicis?

Sí. El botó d’imprimir prepara un full amb els enunciats oficials, amb espai per respondre, i les solucions a part. Cada exercici enllaça també el PDF oficial de l’examen i de la pauta.

Probabilitat: exercicis PAU de Matemàtiques CCSS resolts

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa de telecomunicacions considera que una pàgina web és eficient si el seu temps de càrrega és inferior a 3 segons. L’empresa afirma que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients. Per comprovar aquesta afirmació, seleccionem una mostra aleatòria de $n=2.500$ pàgines web gestionades per aquesta empresa.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

3.1 Suposem que, cada vegada que seleccionem una pàgina web per a la mostra, aquesta pot ser eficient (o no ser-ho) amb una probabilitat $p=0{,}5$ i que el fet que una pàgina sigui eficient (o no) és independent del fet que la resta de pàgines ho siguin (o no). Considerem la variable aleatòria $X$ , que compta el nombre de pàgines, d’entre les 2.500 de la mostra, que són eficients.

Quina distribució té la variable $X$ ? Calculeu la probabilitat que com a molt 1.299 pàgines siguin eficients. Per a fer-ho, utilitzeu l’aproximació per la distribució normal sense fer la correcció per continuïtat.

[1,25 punts]

3.2 En la mostra de $n=2.500$ pàgines web, hem obtingut una mitjana mostral del temps de càrrega de $\bar x=2{,}95$ segons i una desviació típica mostral de $s=0{,}38$ segons. Suposeu que el temps de càrrega de les pàgines web segueix una distribució normal

Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà de càrrega de les pàgines web que gestiona l’empresa. A partir de l’interval obtingut, què podem dir sobre l’afirmació de l’empresa que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.11,25 punts

Plantejament $X$ compta els èxits (pàgines eficients) en $2\,500$ proves independents amb la mateixa probabilitat $p=0{,}5$ : és una binomial. Com que $n$ és gran, l’aproximem per una normal amb la mateixa mitjana i la mateixa variància, i tipifiquem.

Distribució de $X$ :
$X\sim B(n=2\,500,\ p=0{,}5)$
Mitjana i desviació típica de la binomial:
$\mu=np=2\,500\cdot 0{,}5=1\,250$ $\sigma$ ${}= \sqrt{np(1-p)}$ ${}= \sqrt{2\,500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}$ ${}= \sqrt{625}$ ${}= 25$
Aproximem $X$ per una normal de mitjana $1\,250$ i desviació típica $25$ (sense correcció per continuïtat) i tipifiquem:
$P(X\le 1\,299)$ ${}\approx P\left(Z\le \frac{1\,299-1\,250}{25}\right)$ ${}= P(Z\le 1{,}96)$
De la dada $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$ , per simetria cada cua deixa $\frac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$ :
$P(Z\le 1{,}96)=0{,}95+0{,}025=0{,}975$

Resultat $X\sim B(2\,500;\ 0{,}5)$ i $P(X\le 1\,299)\approx 0{,}975$ .

La pauta oficial dona: $X\sim B(2500,\ 0{,}5)$ ; $P(X\le 1299)$ ${}\approx P(Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}975$

3.21,25 punts

Plantejament La mostra és gran i no coneixem $\sigma$ , així que fem servir la tercera fórmula, amb la desviació típica mostral $s$ ; per al 95 %, $z_\gamma=1{,}96$ . Després comparem l’interval amb els 3 segons.

Marge d’error:
$z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{\sqrt{2\,500}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{50}$ ${}= 1{,}96\cdot 0{,}0076$ ${}= 0{,}014896$
Extrems de l’interval:
$2{,}95-0{,}014896\approx 2{,}9351$ $2{,}95+0{,}014896\approx 2{,}9649$
Tot l’interval queda per sota de 3 segons, així que, amb una confiança del 95 %, el temps mitjà $\mu$ és inferior a 3 segons.
El temps de càrrega $T$ és normal, i la normal és simètrica respecte de la seva mitjana: la meitat de les pàgines tarda menys que $\mu$ . Si $\mu<3$ :
$P(T<3)>P(T<\mu)=0{,}5$

ResultatL’interval de confiança del 95 % és $[2{,}9351;\ 2{,}9649]$ segons. Com que queda tot per sota de 3 segons, les dades són coherents amb l’afirmació de l’empresa: més de la meitat de les pàgines carreguen en menys de 3 segons, és a dir, són eficients.

La pauta oficial dona: $[2{,}9351,\ 2{,}9649]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Matrius, Sistemes d’equacions

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

La taula següent recull el nombre d’estudiants de grau (G), màster (M) i doctorat (D) matriculats a les tres facultats —Ciències (C), Enginyeria (E) i Lletres (L)— d’una petita universitat.

Facultat	Grau (G)	Màster (M)	Doctorat (D)	Total
Ciències (C)	450	172	41	663
Enginyeria (E)	445	178	45	668
Lletres (L)	438	183	48	669
Total	1.333	533	134	2.000

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

4.1 Si escollim un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui un estudiant de doctorat de la Facultat de Lletres?

Si escollim a l’atzar un estudiant que cursa un màster, quina és la probabilitat que estudiï a la Facultat d’Enginyeria?

[1,25 punts]

4.2 Expresseu la informació de la taula (sense els totals) mitjançant una matriu $3\times 3$ i calculeu, utilitzant un producte de matrius, el vector amb el nombre total d’estudiants de grau, màster i doctorat de la universitat.

Sabem que els estudiants de grau paguen 1.000 € de matrícula; els de màster, 1.500 €, i els de doctorat, 500 €. Per mitjà d’un producte de matrius, calculeu l’import total que ingressa la universitat en concepte de matrícules.

[1,25 punts]

OPCIÓ B

4.1 Si escollim un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui un estudiant de màster de la Facultat de Ciències?

Si escollim a l’atzar un estudiant de la Facultat d’Enginyeria, quina és la probabilitat que cursi un màster?

[1,25 punts]

4.2 Sabem que, en total, hi ha 1.036 estudiants que gaudeixen d’una beca. També sabem que, si considerem conjuntament els estudiants de grau i màster, la meitat estan becats, i que hi ha el mateix nombre d’estudiants becats de màster que de doctorat.

Determineu quants estudiants becats hi ha de cada nivell educatiu (grau, màster i doctorat).

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11,25 punts

Plantejament Tots els estudiants tenen la mateixa probabilitat de ser escollits, així que apliquem la regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Quan sabem que l’estudiant fa màster, els casos possibles són només els $533$ estudiants de màster (probabilitat condicionada).

Doctorat i Lletres: $48$ estudiants d’un total de $2\,000$ :
$P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$
Enginyeria sabent que fa màster: $178$ dels $533$ estudiants de màster:
$P(E\mid M)$ ${}= \frac{P(E\cap M)}{P(M)}$ ${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$ ${}= \frac{178}{533}$ ${}\approx 0{,}3340$

Resultat $P(D\cap L)=\dfrac{3}{125}=0{,}024$ i $P(E\mid M)=\dfrac{178}{533}\approx 0{,}3340$ .

La pauta oficial dona: $P(D\cap L)=\frac{3}{125}=0{,}024$ ; $P(E\mid M)=\frac{178}{533}\approx 0{,}3340$

4.21,25 punts

Plantejament Posem les facultats a les files i els nivells a les columnes. Sumar les files equival a multiplicar per l’esquerra pel vector fila $(1\ 1\ 1)$ ; l’import total és el producte del vector de totals pel vector columna de preus.

Matriu de la taula (files: C, E, L; columnes: G, M, D):
$A$ ${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$
Totals per nivell:
$T$ ${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$ ${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$ ${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$
Vector de preus de matrícula (G, M, D), en euros:
$P$ ${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$
Import total:
$T\cdot P$ ${}= 1\,333\cdot 1\,000$ ${}+533\cdot 1\,500$ ${}+134\cdot 500$ ${}= 1\,333\,000+799\,500$ ${}+67\,000$ ${}= 2\,199\,500$

ResultatTotals per nivell: $(1\,333\ \ 533\ \ 134)$ (grau, màster, doctorat). La universitat ingressa $2\,199\,500$ € en matrícules.

La pauta oficial dona: $T=(1333\ \ 533\ \ 134)$ ; $T\cdot P=2\,199\,500$

Opció B

4.11,25 punts

Plantejament Regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Si sabem que l’estudiant és d’Enginyeria, els casos possibles són només els $668$ estudiants d’aquesta facultat.

Màster i Ciències: $172$ estudiants d’un total de $2\,000$ :
$P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$
Màster sabent que és d’Enginyeria: $178$ dels $668$ estudiants d’Enginyeria:
$P(M\mid E)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Resultat $P(M\cap C)=\dfrac{43}{500}=0{,}086$ i $P(M\mid E)=\dfrac{89}{334}\approx 0{,}2665$ .

La pauta oficial dona: $P(M\cap C)=\frac{43}{500}=0{,}086$ ; $P(M\mid E)=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

4.21,25 punts

Plantejament Anomenem $x$ , $y$ i $z$ els becats de grau, de màster i de doctorat. Cada frase de l’enunciat és una equació; els totals de grau i de màster els traiem de la taula.

Total de becats:
$x+y+z=1\,036$
La meitat dels estudiants de grau i màster ( $1\,333$ i $533$ a la taula) estan becats:
$x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$
Tants becats de màster com de doctorat:
$y=z$
Gauss (ordre $x$ , $y$ , $z$ ): $F_2-F_1$ i després $F_3+F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$
De la segona fila, $z=103$ ; de la tercera, $y=2z-103=103$ ; i de la primera:
$x=1\,036-103-103=830$

ResultatHi ha $830$ becats de grau, $103$ de màster i $103$ de doctorat.

La pauta oficial dona: $x=830$ , $y=103$ , $z=103$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Al campus d’una universitat, el 45 % de l’alumnat hi arriba en tren, el 35 % en autobús i la resta utilitzant mitjans propis. Dels usuaris del tren, el 70 % usa la T-jove, mentre que el 30 % restant fa servir altres tipus de bitllets. Dels usuaris de l’autobús, el 60 % utilitza la T-jove i el 40 % usa altres tipus de bitllets. Dels que arriben al campus per mitjans propis, cap no fa servir la T-jove.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

2.1 Si escollim un alumne a l’atzar, quina és la probabilitat que faci servir la T-jove per a arribar al campus? Si sabem que un alumne usa la T-jove per a arribar-hi, quina és la probabilitat que ho faci en tren?

[1,25 punts]

2.2 Volem fer un estudi per a saber quant temps tarda l’alumnat a arribar al campus de la universitat des que surt per la porta de casa. Per això vam demanar a una mostra de 300 estudiants que calculessin aquesta dada un dia determinat. Vam obtenir que aquests 300 estudiants de mitjana havien tardat 53 minuts a arribar al campus, i que la desviació típica era de 8 minuts.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per al temps que tarden els alumnes a arribar al campus.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

2.11,25 punts

Plantejament Es demanen dues probabilitats: la que un alumne faci servir la T-jove (probabilitat total, amb els tres mitjans de transport) i la que arribi en tren sabent que fa servir la T-jove (Bayes). Anomenem $T$ , $B$ i $M$ arribar en tren, en autobús i per mitjans propis, i $J$ fer servir la T-jove.

Dades (els mitjans propis són la resta, $1-0{,}45-0{,}35=0{,}2$ ):
$P(T)=0{,}45$ $P(B)=0{,}35$ $P(M)=0{,}2$ $P(J\mid T)=0{,}7$ $P(J\mid B)=0{,}6$ $P(J\mid M)=0$
Probabilitat total:
$P(J)$ ${}= P(T)\,P(J\mid T)$ ${}+P(B)\,P(J\mid B)$ ${}+P(M)\,P(J\mid M)$ ${}= 0{,}45\cdot 0{,}7+0{,}35\cdot 0{,}6$ ${}+0{,}2\cdot 0$ ${}= 0{,}315+0{,}21$ ${}= 0{,}525$
Bayes:
$P(T\mid J)$ ${}= \frac{P(T)\,P(J\mid T)}{P(J)}$ ${}= \frac{0{,}315}{0{,}525}$ ${}= \frac{3}{5}=0{,}6$

ResultatLa probabilitat que un alumne escollit a l’atzar faci servir la T-jove és $P(J)=0{,}525$ . Si fa servir la T-jove, la probabilitat que arribi en tren és $P(T\mid J)=0{,}6$ .

La pauta oficial dona: $P(J)=0{,}525$ ; $P(T\mid J)=\frac{3}{5}=0{,}6$

2.21,25 punts

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que tarda l’alumnat a arribar al campus. La mostra és gran ( $n=300$ ) i la desviació típica que tenim és la de la mostra, $s=8$ , així que fem servir la tercera fórmula amb $z_\gamma=1{,}96$ .

Dades:
$n=300$ $\bar x=53$ $s=8$ $z_\gamma=1{,}96$
Error típic i marge d’error:
$\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{300}}\approx 0{,}46188$ $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot 0{,}46188$ ${}\approx 0{,}9053$
Extrems de l’interval:
$53-0{,}9053\approx 52{,}09$ $53+0{,}9053\approx 53{,}91$

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que tarda l’alumnat a arribar al campus és $[52{,}09;\ 53{,}91]$ minuts.

La pauta oficial dona: $[52{,}0947;\ 53{,}9053]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Sistemes d’equacions, Funcions i derivades

A en Bernat l’han contractat com a gerent d’una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

4.1 Fent una anàlisi econòmica del darrer exercici, en Bernat ha descobert que l’empresa va tenir uns ingressos totals de 42.500 € per la venda de paraigües. Tot i així, no hi ha cap document que indiqui quants paraigües de cada tipus es van vendre; només que el preu de venda de cada paraigua plegable era de 25 € i el del paraigua bastó era de 15 €. Regirant entre la documentació, també ha trobat que es va fer servir un total de 2.375 $\mathrm{m}^2$ de tela impermeable. Per a fabricar un paraigua plegable, es necessita 1 $\mathrm{m}^2$ d’aquesta tela, mentre que per a un paraigua bastó se’n necessiten 1,5 $\mathrm{m}^2$ .

Sabent que no va quedar cap paraigua al magatzem en finalitzar la temporada, quants paraigües de cada model es van vendre?

[1,25 punts]

4.2 Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que determina el benefici, en milers d’euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$ , en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d’unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+2x$ .

Quins beneficis s’obtindran en total si es fabriquen 100 paraigües de cada tipus? Per a cada model de paraigua, calculeu entre quins valors ha d’estar compresa la variable $x$ perquè l’empresa no tingui pèrdues.

[1,25 punts]

OPCIÓ B

4.1 Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que expressa el benefici, en milers d’euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$ , en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d’unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\dfrac{2}{5}x^2+2x$ . L’empresa fabricarà el nombre de paraigües de cada tipus que maximitzi la seva funció de beneficis.

Amb quin dels dos productes es necessita una menor quantitat de paraigües per a assolir el màxim de beneficis? Amb quin dels dos productes s’obtenen més beneficis?

[1,25 punts]

4.2 Un dia arriben a l’empresa dos lots de paraigües bastó que havia encarregat el gerent anterior per analitzar dues maneres diferents de tractar la tela impermeable: mitjançant la impregnació amb un nou producte químic o mitjançant un recobriment de tefló. Entre els dos lots, hi ha 60 paraigües amb la tela recoberta de tefló i 80 paraigües impermeabilitzats amb el mètode d’impregnació. Sabem que un 98 % dels paraigües amb recobriment de tefló aguanten bé la pluja, però només el 95 % dels que han rebut el tractament d’impregnació l’aguanten bé.

En sortir de la feina, cau un xàfec sobtat i en Bernat agafa un dels nous paraigües, però té la mala sort que és un dels defectuosos i queda ben xop. Quina és la probabilitat que el paraigua que ha agafat sigui dels que estan recoberts de tefló?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11,25 punts

Plantejament Es demana quants paraigües de cada model es van vendre. Anomenem $x$ el nombre de paraigües plegables i $y$ el de paraigües bastó venuts. Com que no en va quedar cap al magatzem, tots els paraigües fabricats amb la tela es van vendre: els ingressos i la tela donen dues equacions.

Ingressos (25 € cada plegable i 15 € cada bastó) i tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable i 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastó):
$\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$
Aïllem $x$ de la segona equació i substituïm a la primera:
$x$ ${}= 2\,375-1{,}5y$ ${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$ ${}= 42\,500$ ${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$ ${}= 42\,500$
Resolem:
$22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$ $x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$
Comprovació:
$25\cdot 1\,250+15\cdot 750$ ${}= 31\,250+11\,250$ ${}= 42\,500$ $1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

ResultatEs van vendre $1\,250$ paraigües plegables i $750$ paraigües bastó.

La pauta oficial dona: $1250$ plegables i $750$ bastó

4.21,25 punts

Plantejament Es demana el benefici total de fabricar 100 paraigües de cada tipus i, per a cada model, els valors de $x$ sense pèrdues. Com que $x$ va en centenars d’unitats, 100 paraigües són $x=1$ , i les funcions donen milers d’euros. No hi ha pèrdues quan el benefici és més gran o igual que 0.

Beneficis amb $x=1$ :
$p(1)=1\cdot(3-1)=2$ $b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$
En total, en milers d’euros ( $2\,000$ € dels plegables i $1\,600$ € dels paraigües bastó):
$p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$
Plegables: amb $x\ge 0$ , el signe de $p(x)=x(3-x)$ és el de $3-x$ :
$p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$
Bastó: traiem $x$ factor comú, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$ , i amb $x\ge 0$ el signe és el del parèntesi:
$b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultatFabricant 100 paraigües de cada tipus s’obtenen $3{,}6$ milers d’euros, és a dir, $3\,600$ €. No hi ha pèrdues amb els plegables si $0\le x\le 3$ (fins a 300 paraigües) ni amb els paraigües bastó si $0\le x\le 5$ (fins a 500 paraigües); vegeu la gràfica.

La pauta oficial dona: $p(1)=2$ , $b(1)=\frac{8}{5}$ ; $3600\ \text{€}$ ; $0\le x\le 3$ ; $0\le x\le 5$

Les dues funcions de benefici per a x entre 0 i 6: la paràbola p(x)=x(3−x), que és positiva entre 0 i 3 i negativa després de 3, i la paràbola b(x)=−2/5x²+2x, positiva entre 0 i 5. Els trams on cada una és positiva o zero, 0≤x≤3 i 0≤x≤5, són els valors sense pèrdues; a x=1 hi ha els punts (1, 2) i (1; 1,6).

Opció B

4.11,25 punts

Plantejament Es demana amb quin dels dos models calen menys paraigües per arribar al benefici màxim i amb quin es guanya més. Busquem el màxim de cada funció amb la seva derivada ( $x$ en centenars de paraigües, beneficis en milers d’euros).

Derivades, igualades a zero:
$p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$ $b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$
Signe de cada derivada a banda i banda: les dues funcions passen de créixer a decréixer, així que els dos punts són màxims:
$p'(1)=1>0$ $p'(2)=-1<0$ $b'(2)=0{,}4>0$ $b'(3)=-0{,}4<0$
Beneficis màxims:
$p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$ $b(2{,}5)$ ${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$ ${}= -2{,}5+5$ ${}= 2{,}5$

ResultatAmb els paraigües plegables calen menys unitats: el benefici màxim s’assoleix amb $150$ paraigües plegables, davant de $250$ paraigües bastó. Amb els paraigües bastó es guanya més: $2\,500$ € com a màxim, davant de $2\,250$ € amb els plegables (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $x=1{,}5$ , $x=2{,}5$ ; $p(1{,}5)=2{,}25$ , $b(2{,}5)=2{,}5$

Les dues funcions de benefici per a x entre 0 i 5: la paràbola p(x)=x(3−x) té el màxim a (1,5; 2,25) i la paràbola b(x)=−2/5x²+2x, a (2,5; 2,5). El màxim de p arriba abans (menys paraigües) i el de b és més alt (més benefici).

4.21,25 punts

Plantejament Es demana la probabilitat que el paraigua sigui de tefló sabent que és defectuós. És la condicionada «al revés» de les dades, així que fem servir la probabilitat total i la fórmula de Bayes. Anomenem $T$ «recobert de tefló», $I$ «impregnat» i $D$ «defectuós» (no aguanta la pluja).

Entre els dos lots hi ha $60+80=140$ paraigües, així que:
$P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$ $P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$
Si aguanta bé el 98 % dels de tefló, en falla el 2 %; dels impregnats en falla el 5 %:
$P(D\mid T)=0{,}02$ $P(D\mid I)=0{,}05$
Probabilitat total que sigui defectuós:
$P(D)$ ${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$ ${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$ ${}= \frac{0{,}26}{7}$ ${}= \frac{13}{350}$ ${}\approx 0{,}0371$
Bayes:
$P(T\mid D)$ ${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$ ${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$ ${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$ ${}= \frac{3}{13}$ ${}\approx 0{,}2308$

ResultatLa probabilitat que el paraigua defectuós sigui dels recoberts de tefló és $P(T\mid D)=\dfrac{3}{13}\approx 0{,}2308$ .

La pauta oficial dona: $P(D)=0{,}0371$ ; $P(T\mid D)=0{,}2310$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En una assignatura d’un màster de dos anys, el 70 % dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d’aprovar l’assignatura és del 60 % per als estudiants de primer curs i del 85 % per als de segon curs.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

3.1 Si escollim un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que aprovi l’assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l’assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs?

[1,25 punts]

3.2 El professor vol estimar la nova proporció d’estudiants que aproven l’assignatura després d’introduir un nou mètode d’ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de $n=80$ estudiants i observa que 55 d’ells han aprovat.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció $p$ d’aprovats amb el nou mètode. L’interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d’aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.11,25 punts

Plantejament Anomenem $P_1$ i $P_2$ «ser de primer» i «ser de segon» curs, i $A$ «aprovar». La probabilitat d’aprovar surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de primer sabent que ha aprovat, del teorema de Bayes.

Dades:
$P(P_1)=0{,}70$ $P(P_2)=1-0{,}70=0{,}30$ $P(A\mid P_1)=0{,}60$ $P(A\mid P_2)=0{,}85$
Probabilitat total:
$P(A)$ ${}= P(P_1)P(A\mid P_1)$ ${}+P(P_2)P(A\mid P_2)$ ${}= 0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}30\cdot 0{,}85$ ${}= 0{,}42+0{,}255$ ${}= 0{,}675$
Bayes:
$P(P_1\mid A)$ ${}= \frac{P(P_1)P(A\mid P_1)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}42}{0{,}675}$ ${}= \frac{28}{45}$ ${}\approx 0{,}6222$

Resultat $P(A)=0{,}675$ i $P(P_1\mid A)=\dfrac{28}{45}\approx 0{,}6222$ .

La pauta oficial dona: $P(A)=0{,}675$ ; $P(P_1\mid A)=\frac{28}{45}\approx 0{,}6222$

3.21,25 punts

Plantejament La mostra és gran, així que fem servir la fórmula de l’interval per a la proporció amb $z_\gamma=1{,}96$ . Després mirem si la proporció d’abans, $0{,}675$ (apartat 3.1), queda dins de l’interval.

Proporció mostral:
$\hat p=\frac{55}{80}=0{,}6875$
Error típic:
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= \sqrt{\frac{0{,}6875\cdot 0{,}3125}{80}}$ ${}= \frac{\sqrt{11}}{64}$ ${}\approx 0{,}05182$
Marge d’error:
$1{,}96\cdot 0{,}05182\approx 0{,}1016$
Extrems:
$0{,}6875-0{,}1016=0{,}5859$ $0{,}6875+0{,}1016=0{,}7891$
La proporció d’aprovats d’abans, $0{,}675$ , és dins de l’interval:
$0{,}5859<0{,}675<0{,}7891$

ResultatL’interval de confiança del 95 % és $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$ . Com que conté el valor anterior, $0{,}675$ , no podem afirmar amb una confiança del 95 % que el nou mètode hagi millorat la taxa d’aprovats.

La pauta oficial dona: $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Sistemes d’equacions, Funcions i derivades, Matrius

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d’arreu del país, i imparteixen seminaris en línia.

El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d’activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

4.1 Aquest curs, durant una setmana concreta, el formulari d’inscripció del web de l’associació rep 15 inscripcions independents, cadascuna de les quals correspon a un dels tres tipus d’activitats.

Suposant que la distribució de les inscripcions es manté com el curs passat, calculeu la probabilitat que exactament 10 de les 15 inscripcions siguin per a activitats presencials.

Determineu el nombre esperat d’inscripcions a activitats presencials d’aquella setmana.

[1,5 punts]

4.2 El curs passat, per a dur a terme les 240 activitats, els tres amics van decidir organitzar-se de manera que cada activitat fos duta a terme per una sola persona; és a dir, no hi havia activitats desenvolupades per més d’un d’ells. Si sabem que la Carme va participar en 30 activitats més que el Martí i que el Saïd va participar en 18 activitats més que el Martí, de quantes activitats es va encarregar cadascun dels tres amics?

[1 punt]

OPCIÓ B

4.1 Per estudiar l’efecte d’una campanya de promoció dels tallers familiars d’aquest curs, els tres amics modelitzen el nombre de famílies inscrites mitjançant la funció $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$ , en què $t$ representa el nombre de dies des de l’inici de la campanya i $f(t)$ correspon al nombre de famílies inscrites aquell dia.

Hi ha algun dia en què el nombre de famílies inscrites sigui exactament 20? En cas afirmatiu, indiqueu quin.

Quin dia s’assoleix el nombre màxim de famílies inscrites? Quin és aquest nombre màxim?

[1,5 punts]

4.2 Els tres amics també volen analitzar com es reparteixen entre ells la feina de preparació de les activitats. Per fer-ho, revisen com s’han organitzat durant una setmana concreta. En total, en aquest període han dedicat 24 hores a la preparació de tallers familiars, 21 hores a la preparació de xerrades en centres educatius i 15 hores a la preparació de seminaris en línia.

La distribució de la feina de preparació de cadascun dels tres tipus d’activitats és la següent:

— la Carme s’encarrega del 50 % de la preparació dels tallers familiars, del 30 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia; — el Saïd s’encarrega del 30 % de la preparació dels tallers familiars, del 50 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia; — el Martí s’encarrega del 20 % de la preparació dels tallers familiars, del 20 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 60 % de la preparació dels seminaris en línia.

Agrupem aquesta informació en les matrius següents:

$\boldsymbol{R}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\ 0{,}30&0{,}50&0{,}20\\ 0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ , $\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}24\\ 21\\ 15\end{pmatrix}$ ,

que corresponen a la matriu de repartiment percentual i al vector d’hores totals dedicades a la preparació de cada tipus d’activitat, respectivament.

Calculeu el vector $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ i interpreteu-ne el significat.

Quin dels tres amics ha dedicat més hores a la preparació d’activitats?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11,5 punts

Plantejament Cada inscripció és presencial amb la proporció del curs passat, i les 15 són independents: el nombre $X$ d’inscripcions presencials és una binomial. Calculem $P(X=10)$ amb la fórmula de la binomial i l’esperança amb $E(X)=np$ .

Activitats presencials del curs passat: $96+84=180$ de $240$ :
$p=\frac{180}{240}=0{,}75$ $1-p=0{,}25$
Distribució:
$X\sim B(15;\ 0{,}75)$
Fórmula de la binomial, amb $\binom{15}{10}=3\,003$ :
$P(X=10)$ ${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$ ${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$ ${}\approx 0{,}1651$
Esperança:
$E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$
L’esperança és una mitjana: no cal que sigui un nombre enter. Vol dir que, de mitjana, unes 11 de cada 15 inscripcions són presencials.

Resultat $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; el nombre esperat d’inscripcions presencials és $E(X)=11{,}25$ .

La pauta oficial dona: $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; $E(X)=11{,}25\ (\approx 11)$

4.21 punt

Plantejament Anomenem $x$ , $y$ i $z$ les activitats de la Carme, el Saïd i el Martí. Les tres dades donen un sistema de tres equacions, que resolem per Gauss.

Sistema:
$\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$
Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3-F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$
Resolem:
$z=\frac{192}{3}=64$ $y=64+18=82$ $x=64+30=94$

ResultatLa Carme es va encarregar de $94$ activitats, el Saïd de $82$ i el Martí de $64$ .

La pauta oficial dona: $x=94$ , $y=82$ , $z=64$

Opció B

4.11,5 punts

Plantejament Per saber si algun dia hi ha 20 famílies, resolem $f(t)=20$ . Per al màxim, derivem $f$ , busquem on s’anul·la per a $t\ge 0$ i comprovem el canvi de signe.

Equació $f(t)=20$ :
$\frac{100t}{t^2+4}$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow 100t$ ${}= 20t^2+80$ ${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$ ${}\Longrightarrow t=1$ $\text{o}\ \ t=4$
Derivada (regla del quocient):
$f'(t)$ ${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$ ${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$
$f'(t)=0$ per a $t=\pm 2$ ; només té sentit $t=2$ . El denominador és positiu, així que el signe és el de $4-t^2$ :
$0<t<2:\ f'(t)>0$ $t>2:\ f'(t)<0$
Per tant, $t=2$ és el màxim. Valor:
$f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultatSí: hi ha exactament 20 famílies inscrites els dies $t=1$ i $t=4$ . El màxim s’assoleix el dia $t=2$ , amb $25$ famílies.

La pauta oficial dona: $t=1$ , $t=4$ ; $t=2$ , $f(2)=25$

Gràfica de f(t)=100t/(t²+4) per a t≥0: puja des de l’origen fins al màxim (2,25) i després baixa lentament. La recta horitzontal y=20 talla la corba a t=1 i a t=4.

4.21 punt

Plantejament Cada fila de $\boldsymbol{R}$ diu quina part de cada tipus de preparació fa una persona. Multiplicar-la per les hores de cada tipus i sumar dona les hores de preparació d’aquella persona.

Producte fila per columna:
$\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$
Comprovació: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparació es reparteix sencera), i el total d’hores es conserva:
$21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Resultat $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$ : són les hores de preparació de la Carme, el Saïd i el Martí. Qui n’hi ha dedicat més és la Carme, amb $21{,}3$ hores.

La pauta oficial dona: $(21{,}3;\ 20{,}7;\ 18)$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg.

[1 punt]

b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l’atzar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta.

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Si $X$ és el pes, $X\sim N(580,\,25)$ (mitjana i desviació típica). Tipifiquem amb $Z=\frac{X-580}{25}$ i fem servir el valor de $Z$ que dona l’enunciat.

Tipifiquem els dos extrems:
$\frac{531-580}{25}=\frac{-49}{25}=-1{,}96$ $\frac{629-580}{25}=\frac{49}{25}=1{,}96$
Per tant:
$P(531\le X\le 629)$ ${}= P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$

Resultat $P(531\le X\le 629)=0{,}95$ .

La pauta oficial dona: $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$

b)1,5 punts

Plantejament La població és normal amb $\sigma=25$ coneguda, així que fem servir la segona fórmula amb $z_\gamma=1{,}96$ . Si l’interval conté 580 kg, les dades no permeten dir que la mitjana hagi canviat.

Mitjana de la mostra:
$\bar x$ ${}= \frac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}$ ${}= \frac{5\,814}{10}$ ${}= 581{,}4$
Marge d’error:
$z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{25}{\sqrt{10}}$ ${}= \frac{49}{\sqrt{10}}$ ${}\approx 15{,}50$
Extrems de l’interval:
$581{,}4-\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 565{,}90$ $581{,}4+\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 596{,}90$
El valor d’abans, $580$ , és dins de l’interval:
$565{,}90<580<596{,}90$

ResultatL’interval de confiança del 95 % és $[565{,}90;\ 596{,}90]$ kg. Com que conté $580$ kg, amb una confiança del 95 % no podem afirmar que la mitjana del pes hagi canviat.

La pauta oficial dona: $\bar x=581{,}4$ ; $[565{,}9048,\ 596{,}8952]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Sistemes d’equacions, Matrius, Funcions i derivades

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.

A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària?

[1,25 punts]

b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites.

[1,25 punts]

OPCIÓ B

a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus $D1$ per al grup de docents universitaris, el detall de tipus $D2$ per al grup de docents de secundària i el detall de tipus $D3$ per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem $E1$ , $E2$ i $E3$ . La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus $D1$ , $D2$ i $D3$ (files) segons les empreses $E1$ , $E2$ i $E3$ (columnes):

$\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$

La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila $(x,y,z)$ , en què $x$ representa la quantitat de detalls de tipus $D1$ , $y$ és la quantitat de detalls de tipus $D2$ i $z$ correspon a la quantitat de detalls de tipus $D3$ que cal comprar.

L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció.

Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu.

[1,25 punts]

b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més.

Si anomenem $x$ el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de $x$ . Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1,25 punts

Plantejament Anomenem $U$ , $S$ i $I$ els tres nivells (universitat, secundària, infantil i primària) i $A$ «ser dona». La probabilitat de ser dona surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de secundària sabent que és dona, del teorema de Bayes.

Dades (la resta, $1-0{,}1-0{,}5$ , és infantil i primària):
$P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$ $P(A\mid U)$ ${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$ ${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$ ${}= 0{,}65$
Probabilitat total:
$P(A)$ ${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$ ${}+0{,}4\cdot 0{,}65$ ${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$ ${}= 0{,}56$
Bayes:
$P(S\mid A)$ ${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$ ${}= \frac{13}{28}$ ${}\approx 0{,}4643$

Resultat $P(A)=0{,}56$ i $P(S\mid A)=\dfrac{13}{28}\approx 0{,}4643$ .

La pauta oficial dona: $P(A)=0{,}56$ ; $P(S\mid A)=0{,}4643$

b)1,25 punts

Plantejament Anomenem $x$ , $y$ i $z$ els inscrits d’universitat, de secundària i d’infantil i primària. Els percentatges de cada nivell i el nombre de dones donen tres equacions.

El 10 % del total és d’universitat i el 50 %, de secundària:
$x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$ $y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$
Les dones són 476:
$0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$ ${}= 476$ ${}\Rightarrow 40x+52y+65z$ ${}= 47\,600$
Gauss amb $F_1:\ x-y+z=0$ . Fem $F_2+9F_1$ i $F_3-40F_1$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$
De la segona fila, $y=\frac{5}{4}z$ . A la tercera:
$92\cdot\frac{5}{4}z+25z$ ${}= 115z+25z$ ${}= 140z$ ${}= 47\,600$ ${}\Rightarrow z=340$
Les altres incògnites:
$y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$ $x=y-z=425-340=85$
Comprovació per un altre camí: $P(A)=0{,}56$ és la fracció de dones, així que el total d’inscrits és
$\frac{476}{0{,}56}=850$ $0{,}1\cdot 850=85$ $0{,}5\cdot 850=425$ $0{,}4\cdot 850=340$

ResultatHi ha $85$ docents d’universitat, $425$ de secundària i $340$ d’infantil i primària.

La pauta oficial dona: $x=85$ , $y=425$ , $z=340$

Opció B

a)1,25 punts

Plantejament Amb $1\,000$ persones i els mateixos percentatges, la comanda és el vector fila de detalls de cada tipus. Multiplicat per la matriu de preus, cada component dona el cost total a una empresa.

Comanda: el 10 %, el 50 % i el 40 % de $1\,000$ :
$(x,y,z)=(100,\ 500,\ 400)$
Producte:
$(100\ \ 500\ \ 400)\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$ ${}= (125+375+400\ \ \ 100+500+340\ \ \ 125+575+320)$ ${}= (900\ \ \ 940\ \ \ 1\,020)$

ResultatCostaria $900$ € a $E1$ , $940$ € a $E2$ i $1\,020$ € a $E3$ . El millor preu és el de l’empresa $E1$ : $900$ €.

La pauta oficial dona: $(900\ \ 940\ \ 1020)$ ; $E1$ , $900\ \text{€}$

b)1,25 punts

Plantejament Si s’aplica $x$ vegades el descompte, el preu és $80-x$ i les reserves, $100+2x$ ; els ingressos són el producte. Busquem el màxim d’aquesta paràbola amb la derivada.

Funció d’ingressos:
$I(x)$ ${}= (80-x)(100+2x)$ ${}= -2x^2+60x+8\,000$
Derivada:
$I'(x)=-4x+60=0\ \Longrightarrow\ x=15$
Per a $x<15$ , $I'(x)>0$ , i per a $x>15$ , $I'(x)<0$ : és un màxim. Preu i ingressos:
$80-15=65$ $I(15)=65\cdot 130=8\,450$

Resultat $I(x)$ ${}= (80-x)(100+2x)$ ${}= -2x^2+60x+8\,000$ . Els ingressos són màxims amb un preu de $65$ € per habitació doble (130 reserves i $8\,450$ € d’ingressos).

La pauta oficial dona: $I(x)=-2x^2+60x+8000$ ; $65\ \text{€}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica?

[1,25 punts]

b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un 15 % de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de 100 bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només 8 han requerit una revisió postvenda.

A partir d’aquestes dades, trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Es demanen dues probabilitats: la que una bicicleta necessiti revisió postvenda (probabilitat total) i la que sigui elèctrica sabent que l’ha necessitada (Bayes). Anomenem $C$ «és convencional», $E$ «és elèctrica» i $R$ «ha necessitat una revisió postvenda».

Dades:
$P(C)=0{,}25$ $P(E)=0{,}75$ $P(R\mid C)=0{,}05$ $P(R\mid E)=0{,}15$
Probabilitat total:
$P(R)$ ${}= P(C)\,P(R\mid C)$ ${}+P(E)\,P(R\mid E)$ ${}= 0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}75\cdot 0{,}15$ ${}= 0{,}0125+0{,}1125$ ${}= 0{,}125$
Bayes:
$P(E\mid R)$ ${}= \frac{P(E)\,P(R\mid E)}{P(R)}$ ${}= \frac{0{,}1125}{0{,}125}$ ${}= 0{,}9$

ResultatLa probabilitat que una bicicleta escollida a l’atzar necessiti revisió postvenda és $P(R)=0{,}125$ . Si l’ha necessitada, la probabilitat que sigui elèctrica és $P(E\mid R)=0{,}9$ .

La pauta oficial dona: $P(R)=0{,}125$ ; $P(E\mid R)=0{,}9$

b)1,25 punts

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que necessiten revisió, i decidir si ha baixat del 15 %. La mostra és gran ( $n=100$ ), així que fem servir la fórmula de la proporció amb $z_\gamma=1{,}96$ .

Proporció de la mostra:
$\hat p=\frac{8}{100}=0{,}08$
Error típic:
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= \sqrt{\frac{0{,}08\cdot 0{,}92}{100}}$ ${}= \sqrt{0{,}000736}$ ${}\approx 0{,}027129$
Marge d’error:
$z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot 0{,}027129$ ${}\approx 0{,}053173$
Extrems:
$0{,}08-0{,}053173\approx 0{,}0268$ $0{,}08+0{,}053173\approx 0{,}1332$
El valor d’abans, $0{,}15$ , queda fora de l’interval, per sobre del seu extrem superior:
$0{,}1332<0{,}15$

ResultatL’interval de confiança del 95 % per a la proporció és $[0{,}0268;\ 0{,}1332]$ , és a dir, entre un $2{,}68\ \%$ i un $13{,}32\ \%$ . Com que tot l’interval queda per sota de $0{,}15$ , amb una confiança del 95 % sí que es pot afirmar que la proporció ha disminuït.

La pauta oficial dona: $\hat p=0{,}08$ ; $[0{,}0268;\ 0{,}1332]$ (entre el $2{,}6\ \%$ i el $13{,}3\ \%$ )

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu. Un cop dins del parc, els visitants poden fer una ruta guiada o bé visitar-lo pel seu compte.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Sabem que el 60 % dels visitants hi accedeixen en cotxe, el 15 % en bicicleta i el 25 % restant a peu. També sabem que dels que hi arriben en cotxe el 80 % fan la ruta guiada, mentre que dels que hi arriben en bicicleta la fan el 60 % i dels que hi arriben a peu només la fan el 30 %.

Si escollim un visitant a l’atzar, quina és la probabilitat que faci la ruta guiada? Si sabem que ha fet la ruta guiada, quina és la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe?

[1,25 punts]

b) Volem fer un estudi del temps que passen de mitjana els visitants dins del parc. Hem preguntat a 100 visitants quanta estona han estat dins del parc i hem obtingut una mitjana de 231 minuts amb una desviació típica de 32 minuts.

Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que passen els visitants dins del parc.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Anomenem $C$ , $B$ i $P$ l’accés en cotxe, en bicicleta i a peu, i $R$ «fer la ruta guiada». La probabilitat de fer la ruta surt del teorema de la probabilitat total, i la d’haver vingut en cotxe sabent que l’ha feta, del teorema de Bayes.

Dades:
$P(C)$ ${}= 0{,}6,\ P(B)$ ${}= 0{,}15,\ P(P)$ ${}= 0{,}25$ $P(R\mid C)$ ${}= 0{,}8,\ P(R\mid B)$ ${}= 0{,}6,\ P(R\mid P)$ ${}= 0{,}3$
Probabilitat total:
$P(R)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}8+0{,}15\cdot 0{,}6$ ${}+0{,}25\cdot 0{,}3$ ${}= 0{,}48+0{,}09+0{,}075$ ${}= 0{,}645$
Bayes:
$P(C\mid R)$ ${}= \frac{P(C)P(R\mid C)}{P(R)}$ ${}= \frac{0{,}48}{0{,}645}$ ${}= \frac{32}{43}$ ${}\approx 0{,}7442$

Resultat $P(R)=0{,}645$ i $P(C\mid R)=\dfrac{32}{43}\approx 0{,}7442$ .

La pauta oficial dona: $P(R)=0{,}645$ ; $P(C\mid R)=0{,}7442$

b)1,25 punts

Plantejament La mostra és gran ( $n=100$ ) i no coneixem $\sigma$ : fem servir la tercera fórmula, amb la desviació típica de la mostra $s=32$ i $z_\gamma=1{,}96$ .

Marge d’error:
$z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$ ${}= 1{,}96\cdot\frac{32}{\sqrt{100}}$ ${}= 1{,}96\cdot 3{,}2$ ${}= 6{,}272$
Extrems de l’interval:
$231-6{,}272\approx 224{,}73$ $231+6{,}272\approx 237{,}27$

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al temps mitjà és $[224{,}73;\ 237{,}27]$ minuts.

La pauta oficial dona: $[224{,}728;\ 237{,}272]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Matrius, Funcions i derivades

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L’empresa té tres línies de fabricació: $L1$ , $L2$ i $L3$ . La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D’altra banda, sabem que el preu de venda dels vehicles elèctrics és de 40.000 € i el preu de venda dels vehicles de motor de combustió és de 30.000 €.

	Cotxes elèctrics	Cotxes de motor de combustió
$L1$	20	80
$L2$	30	100
$L3$	40	110

El cost mitjà de manteniment i consum per cada 100 km és d’1 € per als vehicles elèctrics i de 6 € per als de motor de combustió.

El 2 % de la producció de vehicles de motor de combustió surt de l’empresa amb algun defecte, mentre que només l’1 % dels vehicles elèctrics surt amb alguna tara.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Obteniu, mitjançant un producte de matrius, la matriu que expressa els ingressos per cada línia un cop s’hagin venut tots els cotxes.

Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la fàbrica, quina és la probabilitat que sigui de motor de combustió si sabem que ha sortit defectuós?

[1,5 punts]

b) És més car comprar un cotxe elèctric, però té menys despeses per kilòmetres recorreguts que un de combustió. Determineu la funció que representa la despesa acumulada, entre la compra i els kilòmetres recorreguts, per a cada tipus de vehicle en funció del nombre de kilòmetres recorreguts, $x$ . Si un conductor fa 20.000 km l’any, a partir de quants anys li sortirà més a compte el cotxe elèctric que el de combustió?

[1 punt]

OPCIÓ B

a) Hi ha hagut una errada en el recompte de vehicles elèctrics de la $L2$ . El valor 30 de la taula de l’enunciat és erroni, però sabem que si es venguessin tots els vehicles de la $L2$ , els ingressos d’aquesta línia serien de 3.720.000 €. Quants cotxes elèctrics hi ha realment a la $L2$ ?

Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la $L2$ , quina és la probabilitat que sigui de motor elèctric, si sabem que ha sortit defectuós?

[1,5 punts]

b) Si sabem que la despesa acumulada entre la compra i els kilòmetres recorreguts d’un vehicle de combustió és de 36.000 €, quants kilòmetres ha recorregut? Quina despesa acumulada tindria un vehicle elèctric que hagués recorregut aquest mateix nombre de kilòmetres?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1,5 punts

Plantejament Els ingressos de cada línia són el nombre de cotxes elèctrics per $40\,000$ més el de cotxes de combustió per $30\,000$ : és el producte de la matriu de la taula pel vector columna de preus. Per a la probabilitat, anomenem $E$ , $C$ i $D$ «elèctric», «combustió» i «defectuós», i fem servir el teorema de Bayes.

Producte (files: $L1$ , $L2$ , $L3$ ):
$\begin{pmatrix}20&80\\ 30&100\\ 40&110\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40\,000\\ 30\,000\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}800\,000+2\,400\,000\\ 1\,200\,000+3\,000\,000\\ 1\,600\,000+3\,300\,000\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$
A la fàbrica hi ha $20+30+40=90$ cotxes elèctrics i $80+100+110=290$ de combustió, $380$ en total:
$P(E)=\frac{90}{380}$ $P(C)=\frac{290}{380}$ $P(D\mid E)=0{,}01$ $P(D\mid C)=0{,}02$
Bayes (el factor $\frac{1}{380}$ es simplifica):
$P(C\mid D)$ ${}= \frac{0{,}02\cdot 290}{0{,}02\cdot 290+0{,}01\cdot 90}$ ${}= \frac{5{,}8}{5{,}8+0{,}9}$ ${}= \frac{58}{67}$ ${}\approx 0{,}8657$

ResultatIngressos per línia: $\begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$ € ( $L1$ , $L2$ , $L3$ ). $P(C\mid D)=\dfrac{58}{67}\approx 0{,}8657$ .

La pauta oficial dona: $(3\,200\,000;\ 4\,200\,000;\ 4\,900\,000)$ ; $P(C\mid D)=0{,}8657$

b)1 punt

Plantejament La despesa acumulada és el preu de compra més el cost per quilòmetre ( $\frac{1}{100}$ € o $\frac{6}{100}$ € per km) multiplicat pels quilòmetres. Igualem les dues funcions per trobar on es creuen.

Funcions de despesa (en euros, amb $x$ en km):
$D_E(x)=40\,000+\frac{x}{100}$ $D_C(x)=30\,000+\frac{6x}{100}$
Igualem:
$40\,000+0{,}01x$ ${}= 30\,000+0{,}06x$ ${}\Longrightarrow 10\,000$ ${}= 0{,}05x$ ${}\Longrightarrow x=200\,000\ \mathrm{km}$
Per a $x>200\,000$ km, $D_E(x)<D_C(x)$ (el pendent de $D_E$ és més petit). Amb $20\,000$ km l’any:
$\frac{200\,000}{20\,000}=10$

Resultat $D_E(x)=40\,000+\dfrac{x}{100}$ i $D_C(x)=30\,000+\dfrac{6x}{100}$ . Als $10$ anys ( $200\,000$ km) les despeses s’igualen; a partir d’aleshores surt més a compte el cotxe elèctric.

La pauta oficial dona: $D_E(x)=40000+\frac{1}{100}x$ , $D_T(x)=30000+\frac{6}{100}x$ ; $x=200\,000$ ; $10$

Les dues rectes de despesa en funció dels quilòmetres: DE(x)=40 000+x/100 comença més amunt però creix més a poc a poc que DC(x)=30 000+6x/100. Es tallen al punt (200 000; 42 000); a la dreta d’aquest punt la recta de l’elèctric queda per sota.

Opció B

a)1,5 punts

Plantejament Si $x$ és el nombre real d’elèctrics a $L2$ , els ingressos de la línia són $40\,000x+100\cdot 30\,000$ . Després apliquem Bayes només amb els vehicles de $L2$ .

Equació:
$40\,000x+3\,000\,000$ ${}= 3\,720\,000$ ${}\Longrightarrow 40\,000x$ ${}= 720\,000$ ${}\Longrightarrow x=18$
A $L2$ hi ha $18$ elèctrics i $100$ de combustió ( $118$ en total):
$P(E)=\frac{18}{118}$ $P(C)=\frac{100}{118}$
Bayes (el factor $\frac{1}{118}$ es simplifica):
$P(E\mid D)$ ${}= \frac{0{,}01\cdot 18}{0{,}01\cdot 18+0{,}02\cdot 100}$ ${}= \frac{0{,}18}{2{,}18}$ ${}= \frac{9}{109}$ ${}\approx 0{,}0826$

ResultatA $L2$ hi ha realment $18$ cotxes elèctrics. $P(E\mid D)=\dfrac{9}{109}\approx 0{,}0826$ .

La pauta oficial dona: $x=18$ ; $P(E\mid D)=0{,}0825$

b)1 punt

Plantejament Fem servir les funcions de despesa: igualem la de combustió a $36\,000$ € per trobar els quilòmetres i els substituïm a la de l’elèctric.

Combustió:
$30\,000+\frac{6x}{100}$ ${}= 36\,000$ ${}\Longrightarrow \frac{6x}{100}$ ${}= 6\,000$ ${}\Longrightarrow x=100\,000\ \mathrm{km}$
Elèctric amb els mateixos quilòmetres:
$D_E(100\,000)$ ${}= 40\,000+\frac{100\,000}{100}$ ${}= 41\,000$

ResultatHa recorregut $100\,000$ km. Un cotxe elèctric amb els mateixos quilòmetres tindria una despesa acumulada de $41\,000$ €.

La pauta oficial dona: $x=100\,000$ ; $41\,000$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

El Guiu i el Roc són uns grans aficionats al cinema i miren moltes pel·lícules de la plataforma a la qual estan subscrits. Els agrada tant que, si agafem una pel·lícula de la plataforma a l’atzar, la probabilitat que el Guiu l’hagi vista és de 0,5, la probabilitat que el Roc l’hagi vista és de 0,6 i la probabilitat que l’hagin vista tots dos és de 0,25.

a) Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que almenys un dels dos l’hagi vista. Calculeu també la probabilitat que l’hagi vista el Roc però no el Guiu.

[1,5 punts]

b) Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que el Guiu l’hagi vista si sabem que almenys un dels dos l’ha vista.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,5 punts

Plantejament Anomenem $G$ «el Guiu l’ha vista» i $R$ «el Roc l’ha vista». «Almenys un dels dos» és la unió $G\cup R$ ; «el Roc sí i el Guiu no» és $R\cap\overline{G}$ .

Dades:
$P(G)=0{,}5$ $P(R)=0{,}6$ $P(G\cap R)=0{,}25$
Probabilitat de la unió:
$P(G\cup R)$ ${}= P(G)+P(R)-P(G\cap R)$ ${}= 0{,}5+0{,}6-0{,}25$ ${}= 0{,}85$
Les pel·lícules que ha vist el Roc, menys les que han vist tots dos:
$P(R\cap\overline{G})$ ${}= P(R)-P(G\cap R)$ ${}= 0{,}6-0{,}25$ ${}= 0{,}35$

Resultat $P(G\cup R)=0{,}85$ i $P(R\cap\overline{G})=0{,}35$ .

La pauta oficial dona: $P(G\cup R)=0{,}85$ ; $P(R\cap\overline{G})=0{,}35$

b)1 punt

Plantejament És una probabilitat condicionada a $G\cup R$ . Si el Guiu l’ha vista, segur que almenys un dels dos l’ha vista: $G\cap(G\cup R)=G$ .

Definició de probabilitat condicionada:
$P(G\mid G\cup R)$ ${}= \frac{P\big(G\cap(G\cup R)\big)}{P(G\cup R)}$ ${}= \frac{P(G)}{P(G\cup R)}$
Substituïm (la unió s’ha calculat a l’apartat a):
$\frac{0{,}5}{0{,}85}=\frac{10}{17}\approx 0{,}5882$

Resultat $P(G\mid G\cup R)=\dfrac{10}{17}\approx 0{,}5882$ .

La pauta oficial dona: $P(G\mid G\cup R)=0{,}5882$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

En una cafeteria, al migdia, ofereixen la possibilitat d’escollir entre el menú del dia (opció A1) o un plat combinat (opció A2). Alguns clients també prenen cafè (opció B1) i d’altres no (opció B2). Si seleccionem un client de la cafeteria a l’atzar, la probabilitat que esculli el menú del dia és de 0,6 i la probabilitat que esculli un plat combinat és de 0,4. D’altra banda, la probabilitat que prengui cafè si escull el menú del dia és de 0,75, mentre que la probabilitat que prengui cafè si escull un plat combinat és de 0,5.

a) Quina és la probabilitat que el client prengui cafè?

[1,25 punts]

b) Quina és la probabilitat que hagi escollit el menú del dia si sabem que ha pres cafè?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Es demana la probabilitat que un client prengui cafè. Anomenem $A_1$ el succés «el client escull el menú del dia», $A_2$ «escull un plat combinat» i $B_1$ «pren cafè» (les opcions A1, A2 i B1 de l’enunciat). Com que tot client escull un dels dos menjars, la probabilitat de prendre cafè surt de la fórmula de la probabilitat total.

Dades de l’enunciat:
$P(A_1)=0{,}6$ $P(A_2)=0{,}4$ $P(B_1\mid A_1)=0{,}75$ $P(B_1\mid A_2)=0{,}5$
Probabilitat total (una branca de l’arbre per cada tipus de menjar):
$P(B_1)$ ${}= P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)$ ${}+P(A_2)\,P(B_1\mid A_2)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}75+0{,}4\cdot 0{,}5$ ${}= 0{,}45+0{,}2$ ${}= 0{,}65$

ResultatLa probabilitat que el client prengui cafè és $P(B_1)=0{,}65$ .

La pauta oficial dona: $P(B_1)=0{,}65$

b)1,25 punts

Plantejament Es demana $P(A_1\mid B_1)$ : la probabilitat d’haver escollit el menú del dia sabent que el client ha pres cafè. És la condicionada «al revés» de les dades, així que fem servir la fórmula de Bayes amb $P(B_1)$ de l’apartat a.

Fórmula de Bayes:
$P(A_1\mid B_1)$ ${}= \frac{P(A_1\cap B_1)}{P(B_1)}$ ${}= \frac{P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)}{P(B_1)}$ ${}= \frac{0{,}6\cdot 0{,}75}{0{,}65}$ ${}= \frac{0{,}45}{0{,}65}$ ${}= \frac{9}{13}$ ${}\approx 0{,}6923$
Comprovació: l’altre menjar, sabent que ha pres cafè, té probabilitat $\frac{0{,}4\cdot 0{,}5}{0{,}65}=\frac{4}{13}$ , i les dues sumen 1:
$\frac{9}{13}+\frac{4}{13}=1$

ResultatSabent que ha pres cafè, la probabilitat que hagi escollit el menú del dia és $P(A_1\mid B_1)=\dfrac{9}{13}\approx 0{,}6923$ .

La pauta oficial dona: $P(A_1\mid B_1)=0{,}6923$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina ( $A1$ ) i la zona del gimnàs ( $A2$ ). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció $B1$ ) o en horari de tarda (opció $B2$ ).

Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de 0,4 i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de 0,6. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de 0,55, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de 0,45.

a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí?

[1,25 punts]

b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Cada abonat fa servir una sola zona, així que $A1$ i $A2$ es reparteixen tots els casos. La probabilitat d’horari de matí, $B1$ , s’obté amb el teorema de la probabilitat total.

Dades:
$P(A1)=0{,}4$ $P(A2)=0{,}6$ $P(B1\mid A1)=0{,}55$ $P(B1\mid A2)=0{,}45$
Probabilitat total:
$P(B1)$ ${}= P(A1)\,P(B1\mid A1)$ ${}+P(A2)\,P(B1\mid A2)$ ${}= 0{,}4\cdot 0{,}55+0{,}6\cdot 0{,}45$ ${}= 0{,}22+0{,}27$ ${}= 0{,}49$

Resultat $P(B1)=0{,}49$ .

La pauta oficial dona: $P(B1)=0{,}49$

b)1,25 punts

Plantejament Es demana $P(A1\mid B1)$ : el teorema de Bayes, amb el denominador de l’apartat a.

Teorema de Bayes:
$P(A1\mid B1)$ ${}= \frac{P(A1)\,P(B1\mid A1)}{P(B1)}$ ${}= \frac{0{,}22}{0{,}49}$ ${}= \frac{22}{49}$ ${}\approx 0{,}4490$

Resultat $P(A1\mid B1)=\dfrac{22}{49}\approx 0{,}4490$ .

La pauta oficial dona: $P(A1\mid B1)=0{,}4490$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

El que més s’ha repetit als exàmens

Probabilitat total i Bayes amb un arbre de successos

Calcular probabilitats amb una taula de recomptes (Laplace i condicionada)

Tipificar una normal (o aproximar una binomial per una normal) i calcular la probabilitat

Probabilitat d’«almenys un», d’«un sí i l’altre no» i condicionada amb dades soltes

Els exercicis, del més recent al més antic

3.11,25 punts

3.21,25 punts

4.11,25 punts

4.21,25 punts

4.11,25 punts

4.21,25 punts

2.11,25 punts

2.21,25 punts

4.11,25 punts

4.21,25 punts

4.11,25 punts

4.21,25 punts

3.11,25 punts

3.21,25 punts

4.11,5 punts

4.21 punt

4.11,5 punts

4.21 punt

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

Errors típics que penalitza la pauta

Preguntes freqüents

Tens la PAU de Matemàtiques CCSS aquest curs?

Els altres temes de Matemàtiques CCSS