Matemàtiques CCSS, PAU 2025 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 4) resolt

Plantejament Es demanen dues probabilitats: la que una bicicleta necessiti revisió postvenda (probabilitat total) i la que sigui elèctrica sabent que l’ha necessitada (Bayes). Anomenem $C$ «és convencional», $E$ «és elèctrica» i $R$ «ha necessitat una revisió postvenda».

1. Dades:

   $P(C)=0{,}25$$P(E)=0{,}75$$P(R\mid C)=0{,}05$$P(R\mid E)=0{,}15$

2. Probabilitat total:

   $P(R)$${}= P(C)\,P(R\mid C)$${}+P(E)\,P(R\mid E)$${}= 0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}75\cdot 0{,}15$${}= 0{,}0125+0{,}1125$${}= 0{,}125$

3. Bayes:

   $P(E\mid R)$${}= \frac{P(E)\,P(R\mid E)}{P(R)}$${}= \frac{0{,}1125}{0{,}125}$${}= 0{,}9$

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que necessiten revisió, i decidir si ha baixat del 15 %. La mostra és gran ($n=100$), així que fem servir la fórmula de la proporció amb $z_\gamma=1{,}96$.

1. Proporció de la mostra:

   $\hat p=\frac{8}{100}=0{,}08$

2. Error típic:

   $\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= \sqrt{\frac{0{,}08\cdot 0{,}92}{100}}$${}= \sqrt{0{,}000736}$${}\approx 0{,}027129$

3. Marge d’error:

   $z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}027129$${}\approx 0{,}053173$

4. Extrems:

   $0{,}08-0{,}053173\approx 0{,}0268$$0{,}08+0{,}053173\approx 0{,}1332$

5. El valor d’abans, $0{,}15$, queda fora de l’interval, per sobre del seu extrem superior:

   $0{,}1332<0{,}15$

Plantejament Es demanen tres coses: la constant $k$, el nombre màxim de microorganismes i l’instant en què s’assoleix. La funció és en desenes: els 50 microorganismes de l’inici ($x=0$) són $5$ desenes. El màxim es busca amb la derivada, per a $x\ge 0$.

1. A l’inici, $x=0$:

   $f(0)=\frac{15\cdot 0}{9+0^2}+k=k=5$

2. Derivada del quocient (la constant $k$ desapareix en derivar):

   $f'(x)$${}= \frac{15(9+x^2)-15x\cdot 2x}{(9+x^2)^2}$${}= \frac{135-15x^2}{(9+x^2)^2}$${}= \frac{15(9-x^2)}{(9+x^2)^2}$

3. El denominador sempre és positiu, així que $f'(x)=0$ quan $9-x^2=0$, és a dir, $x=3$ o $x=-3$; només $x=3$ és un temps vàlid. Signe de $f'$ a cada costat:

   $f'(1)=\frac{15\cdot 8}{100}=1{,}2>0$$f'(4)=\frac{15\cdot(-7)}{625}=-0{,}168<0$

4. La funció creix fins a $x=3$ i decreix a partir d’aquí: a $x=3$ hi ha un màxim, i és el valor més gran per a tot $x\ge 0$. El seu valor:

   $f(3)$${}= \frac{15\cdot 3}{9+9}+5$${}= \frac{45}{18}+5$${}= 2{,}5+5$${}= 7{,}5$

Plantejament Es demana el valor al qual tendeix el nombre de microorganismes quan passa molt de temps: el límit de $f(x)$ quan $x\to+\infty$.

1. Al quocient, el denominador és de grau 2 i el numerador de grau 1, així que el quocient tendeix a 0:

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{15x}{9+x^2}=0$

2. Per tant:

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+5=5$

ResultatA llarg termini, el nombre de microorganismes s’estabilitza en $5$ desenes, és a dir, en $50$ microorganismes, els mateixos que a l’inici (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\ (50)$

Plantejament Es demana escriure les dades en forma de matrius i calcular amb un producte el cost de la comanda a cada proveïdor. Posem els proveïdors a les files i els productes (oli, farina, sal) a les columnes de la matriu de preus; la comanda és un vector columna amb els productes en el mateix ordre.

1. Matriu de preus $P$ (files: proveïdors 1r, 2n i 3r; columnes: oli en €/L, farina i sal en €/kg):

   $P$${}= \begin{pmatrix}3&0{,}6&1\\ 3{,}5&1&0{,}7\\ 2{,}5&0{,}8&0{,}9\end{pmatrix}$

2. Vector columna de la comanda $Q$ (litres d’oli, kg de farina, kg de sal). Una matriu $3\times 3$ per una $3\times 1$ dona una $3\times 1$, un cost per proveïdor:

   $Q$${}= \begin{pmatrix}300\\ 700\\ 25\end{pmatrix}$

3. Producte, cada fila per la comanda:

   $P\cdot Q$${}= \begin{pmatrix}3\cdot 300+0{,}6\cdot 700+1\cdot 25\\ 3{,}5\cdot 300+1\cdot 700+0{,}7\cdot 25\\ 2{,}5\cdot 300+0{,}8\cdot 700+0{,}9\cdot 25\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}900+420+25\\ 1\,050+700+17{,}5\\ 750+560+22{,}5\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1\,345\\ 1\,767{,}5\\ 1\,332{,}5\end{pmatrix}$

Plantejament Es demana el benefici diari en funció de $x$, el preu de venda que el fa màxim i aquest benefici. Si el preu puja $x$ cops 0,01 €, el paquet es ven a $1{,}1+0{,}01x$ euros i es venen $1\,000-10x$ paquets; cada paquet deixa de benefici el seu preu menys els $0{,}5$ € que costa produir-lo.

1. Benefici per paquet:

   $1{,}1+0{,}01x-0{,}5=0{,}6+0{,}01x$

2. Benefici diari: benefici per paquet pels paquets venuts (amb $0\le x\le 100$, perquè el nombre de paquets no sigui negatiu):

   $B(x)$${}= (0{,}6+0{,}01x)(1\,000-10x)$${}= 600-6x+10x-0{,}1x^2$${}= -0{,}1x^2+4x+600$

3. Derivem i igualem a zero:

   $B'(x)$${}= -0{,}2x+4=0$${}\Longrightarrow x=\frac{4}{0{,}2}$${}= 20$

4. Signe de la derivada a cada costat: $B$ creix abans de $x=20$ i decreix després, així que a $x=20$ hi ha un màxim:

   $B'(10)=2>0$$B'(30)=-2<0$

5. Preu de venda i benefici màxim:

   $1{,}1+0{,}01\cdot 20=1{,}3$$B(20)$${}= (0{,}6+0{,}2)(1\,000-200)$${}= 0{,}8\cdot 800$${}= 640$

Plantejament Es demana quant oli, farina i sal s’ha comprat al primer proveïdor (oli a 3 €/L, farina a 0,6 €/kg i sal a 1 €/kg). Anomenem $x$ els litres d’oli, $y$ els quilos de farina i $z$ els quilos de sal; cada dada és una equació.

1. Despesa total:

   $3x+0{,}6y+z=1\,320$

2. El triple de farina que de sal:

   $y=3z$

3. El que s’ha gastat en farina, $0{,}6y$, és el 30 % del que s’ha gastat en oli, $3x$:

   $0{,}6y$${}= 0{,}3\cdot 3x$${}\Longrightarrow 0{,}6y$${}= 0{,}9x$${}\Longrightarrow y=1{,}5x$

4. De les dues últimes equacions, $z=\frac{y}{3}=0{,}5x$. Substituïm $y$ i $z$ a la primera:

   $3x+0{,}6\cdot 1{,}5x+0{,}5x$${}= 1\,320$${}\Longrightarrow 4{,}4x$${}= 1\,320$${}\Longrightarrow x=300$

5. Les altres dues quantitats:

   $y=1{,}5\cdot 300=450$$z=0{,}5\cdot 300=150$

6. Comprovació de la despesa total:

   $3\cdot 300+0{,}6\cdot 450+150$${}= 900+270+150$${}= 1\,320$

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al pes mitjà dels paquets i decidir si l’etiqueta de 500 g és incorrecta. El pes és normal amb desviació típica coneguda, $\sigma=4$ g, així que fem servir la fórmula de la mitjana amb $\sigma$ coneguda i $z_\gamma=1{,}96$.

1. Mitjana de la mostra ($n=9$):

   $\bar x$${}= \frac{501+506+497+495+503+491+512+505+499}{9}$${}= \frac{4\,509}{9}$${}= 501$

2. Marge d’error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{9}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{3}$${}\approx 2{,}6133$

3. Extrems de l’interval:

   $501-2{,}6133\approx 498{,}39$$501+2{,}6133\approx 503{,}61$

4. El pes de l’etiqueta, $500$ g, és dins de l’interval:

   $498{,}39<500<503{,}61$