Matemàtiques CCSS, PAU 2022 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ el nombre de monedes de 50 cèntims, d’1 € i de 2 €. L’enunciat només dona dues condicions per a tres incògnites; mirem quin tipus de sistema és.

1. Total de monedes i relació entre les de 50 cèntims i les de 2 €:

   $\begin{cases}x+y+z=40\\ x=2z\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=40\\ x-2z=0\end{cases}$

2. Gauss ($F_2-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&40\\ 1&0&-2&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&40\\ 0&-1&-3&-40\end{array}\right)$

3. Queden dues equacions independents per a tres incògnites: el sistema és compatible indeterminat ($\operatorname{rang}=2<3$). Prenem $z=\lambda$ com a paràmetre:

   $z=\lambda$$x=2\lambda$$y=40-3\lambda$

4. Com que són nombres de monedes, han de ser naturals: $y\ge 0$ implica que $\lambda\le 13$.

   $\lambda\in\{0,1,2,\ldots,13\}$

Plantejament El valor total és $0{,}5x+y+2z$ euros. Substituïm la solució de l’apartat a i mirem si el paràmetre desapareix.

1. Substitució:

   $0{,}5\cdot 2\lambda+(40-3\lambda)+2\lambda$${}= \lambda+40-3\lambda+2\lambda$${}= 40$

Plantejament Fem els dos productes amb les incògnites $a$, $b$ i $c$, igualem element a element amb $\boldsymbol{C}$ i resolem el sistema que en surt.

1. Primer producte:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{X}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\ 0&c\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a&b\\ a&b+c\end{pmatrix}$

2. Segon producte:

   $\begin{pmatrix}a&b\\ a&b+c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\ -1&-3\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a-b&2a-3b\\ a-b-c&2a-3b-3c\end{pmatrix}$

3. Igualem amb $\boldsymbol{C}$:

   $\begin{cases}a-b=-1\\ 2a-3b=-2\\ a-b-c=-3\\ 2a-3b-3c=-8\end{cases}$

4. De la primera, $a=b-1$; substituint a la segona:

   $2(b-1)-3b$${}= -2$${}\Longrightarrow -b-2$${}= -2$${}\Longrightarrow b=0$$a=-1$

5. De la tercera:

   $-1-0-c=-3\ \Longrightarrow\ c=2$

6. La quarta equació també es compleix, de manera que el sistema és compatible:

   $2\cdot(-1)-3\cdot 0-3\cdot 2=-8$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre d’habitacions reservades amb la tarifa estàndard i $y$ el de la tarifa reduïda, per a una nit. El que l’enunciat anomena benefici són els ingressos d’aquella nit.

1. Funció objectiu (ingressos per nit, en euros), que cal maximitzar:

   $F(x,y)=120x+90y$

2. Restriccions: com a màxim $420$ habitacions, almenys el $20\ \%$ de $420$ amb la tarifa reduïda ($0{,}2\cdot 420=84$), estàndard almenys el doble que reduïda, i quantitats no negatives:

   $\begin{cases}x+y\le 420\\ y\ge 84\\ x\ge 2y\\ x\ge 0\end{cases}$

3. Rectes que limiten la regió:

   $r_1:\ x+y=420$$r_2:\ y=84$$r_3:\ x=2y$

4. La regió factible és el triangle que queda per sobre de $r_2$, per sota de $r_1$ i a la dreta de $r_3$ (la condició $x\ge 0$ ja la compleix, perquè $x\ge 2y\ge 168$). Els vèrtexs són els talls de les rectes dues a dues; els calculem a l’apartat b.

   $x\ge 2y\ge 2\cdot 84=168$

ResultatLa funció objectiu és $F(x,y)=120x+90y$, amb les restriccions $x+y\le 420$, $y\ge 84$, $x\ge 2y$ i $x\ge 0$. La regió factible és el triangle de vèrtexs $A=(280,\ 140)$, $B=(336,\ 84)$ i $C=(168,\ 84)$ (gràfica).

La pauta oficial dona: $F(x,y)=120x+90y$; $x\ge 0$; $y\ge 84$; $x+y\le 420$; $x\ge 2y$

Plantejament La funció objectiu assoleix el màxim en un vèrtex de la regió: calculem cada vèrtex com el tall de dues rectes i hi avaluem $F$.

1. Vèrtex $A$: tall de $r_1$ i $r_3$. Substituint $x=2y$ a $x+y=420$:

   $3y=420\ \Longrightarrow\ y=140$$x=280$$A=(280,\ 140)$

2. Vèrtex $B$: tall de $r_1$ i $r_2$:

   $x=420-84=336$$B=(336,\ 84)$

3. Vèrtex $C$: tall de $r_2$ i $r_3$:

   $x=2\cdot 84=168$$C=(168,\ 84)$

4. Funció objectiu a cada vèrtex:

   $F(A)=33\,600+12\,600=46\,200$$F(B)=40\,320+7\,560=47\,880$$F(C)=20\,160+7\,560=27\,720$

5. El valor més gran és el de $B$:

   $47\,880>46\,200>27\,720$

Plantejament Treballem en milers d’euros: cada cotxe es ven per $58$ milers d’euros. El benefici és ingressos menys costos.

1. Ingressos de $x$ cotxes:

   $I(x)=58x$

2. Benefici:

   $B(x)$${}= 58x$${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$${}= -\frac{1}{2}x^2+122x-4\,704$

Plantejament No hi ha pèrdues quan $B(x)\ge 0$: busquem els zeros de la paràbola (cap avall). El màxim és on s’anul·la la derivada.

1. Zeros (multipliquem per $-2$):

   $x^2-244x+9\,408=0$${}\Longrightarrow x=\frac{244\pm\sqrt{59\,536-37\,632}}{2}$${}= \frac{244\pm\sqrt{21\,904}}{2}$${}= \frac{244\pm 148}{2}$

2. Les dues arrels; entre elles la paràbola és positiva:

   $x=48$$x=196$

3. Màxim: derivada igual a zero, i la segona derivada és negativa.

   $B'(x)=-x+122=0\ \Longrightarrow\ x=122$$B''(x)=-1<0$

4. Benefici màxim, en milers d’euros:

   $B(122)$${}= -\frac{14\,884}{2}+14\,884$${}-4\,704$${}= -7\,442+14\,884-4\,704$${}= 2\,738$

Plantejament Anomenem $a$ el nou preu en milers d’euros. Escrivim el benefici amb aquest preu i imposem que el vèrtex de la paràbola sigui a $x=130$.

1. Nova funció de benefici:

   $F(x)$${}= ax$${}-\left(\frac{1}{2}x^2-64x+4\,704\right)$${}= -\frac{1}{2}x^2+(64+a)x$${}-4\,704$

2. Derivada igual a zero a $x=130$ (el màxim d’aquesta paràbola és on s’anul·la la derivada):

   $F'(x)=-x+64+a$$F'(130)=0$${}\Longrightarrow 64+a$${}= 130$${}\Longrightarrow a=66$

Plantejament El pendent de la tangent a $x=0$ és $f'(0)$.

1. Derivada (regla de la cadena):

   $f'(x)=3e^{3x}$

2. A $x=0$:

   $f'(0)=3e^{0}=3$

Plantejament La recta tangent passa pel punt $(0,f(0))$ i té pendent $3$.

1. Punt de tangència:

   $f(0)=e^{0}=1$

2. Equació punt-pendent:

   $y-1=3(x-0)\ \Longrightarrow\ y=3x+1$