Matemàtiques CCSS, PAU 2024 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els euros invertits en BTC, ETH i LNK. Les dues condicions són dues equacions: la inversió en BTC és igual a la de les altres dues juntes, i els interessos sumen el 13 % del total.

1. Plantejament:

   $\begin{cases}x=y+z\\ 0{,}15x+0{,}10y+0{,}13z=0{,}13(x+y+z)\end{cases}$

2. Simplifiquem la segona equació (passem-ho tot a l’esquerra):

   $0{,}02x-0{,}03y=0$

3. Hi substituïm $x=y+z$:

   $0{,}02(y+z)-0{,}03y=0$${}\Longrightarrow 0{,}02z-0{,}01y=0$${}\Longrightarrow y=2z$

Plantejament Afegim l’equació del total, $x+y+z=150\,000$, i fem servir les dues relacions que ja tenim: $x=y+z$ i $y=2z$.

1. Com que $x=y+z$, el total és el doble de $y+z$:

   $x+y+z$${}= 2(y+z)$${}= 150\,000$${}\Longrightarrow y+z$${}= 75\,000$

2. Amb $y=2z$:

   $2z+z=75\,000\ \Longrightarrow\ z=25\,000$$y=2\cdot 25\,000=50\,000$

3. I la inversió en BTC:

   $x$${}= y+z$${}= 50\,000+25\,000$${}= 75\,000$

4. Comprovació del rendiment (13 % de 150 000 € són 19 500 €):

   $0{,}15\cdot 75\,000$${}+0{,}10\cdot 50\,000$${}+0{,}13\cdot 25\,000$${}= 11\,250+5\,000+3\,250$${}= 19\,500$

Plantejament El volum d’un prisma de base quadrada és l’àrea de la base per l’alçària, $x^2y$. Com que es demanen centímetres, passem el volum a $\mathrm{cm}^3$: $1$ litre $=1\ \mathrm{dm}^3=1\,000\ \mathrm{cm}^3$.

1. Volum:

   $4\ \text{litres}=4\,000\ \mathrm{cm}^3$

2. Condició del volum:

   $x^2y=4\,000\ \Longrightarrow\ y=\frac{4\,000}{x^2}$

Plantejament El cartró és la superfície de la capsa: la base ($x^2$) i les quatre cares laterals ($4xy$), sense tapa. La posem en funció només de $x$ amb l’apartat a i en busquem el mínim per a $x>0$.

1. Superfície en funció de $x$:

   $S(x)$${}= x^2+4xy$${}= x^2+4x\cdot\frac{4\,000}{x^2}$${}= x^2+\frac{16\,000}{x}$

2. Derivada:

   $S'(x)=2x-\frac{16\,000}{x^2}$

3. Igualem a zero:

   $2x=\frac{16\,000}{x^2}\ \Longrightarrow\ x^3=8\,000\ \Longrightarrow\ x=20$

4. Signe de la derivada a banda i banda: $S$ decreix abans de 20 i creix després, per tant és un mínim.

   $S'(10)=20-160=-140<0$$S'(40)=80-10=70>0$

5. Alçària:

   $y=\frac{4\,000}{20^2}=\frac{4\,000}{400}=10$

6. Cartró necessari:

   $S(20)$${}= 20^2+\frac{16\,000}{20}$${}= 400+800$${}= 1\,200$

ResultatEl costat de la base ha de fer $20$ cm i l’alçària, $10$ cm. Farà servir $1\,200\ \mathrm{cm}^2$ de cartró.

La pauta oficial dona: $x=20$; $y=10$; $S=1\,200\ \mathrm{cm}^2$

Plantejament Multiplicar $\boldsymbol{A}$ per una columna d’uns suma les dues columnes de $\boldsymbol{A}$: dona el total d’espectadors de cada franja d’edat. Per tenir els ingressos, cada total s’ha de multiplicar pel preu de la seva entrada i sumar, que és el que fa una matriu fila de preus a l’esquerra.

1. Producte:

   $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}122&620\\ 930&433\\ 384&281\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}122+620\\ 930+433\\ 384+281\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}742\\ 1\,363\\ 665\end{pmatrix}$

2. Cada fila és el total de persones d’una franja d’edat entre les dues sales: 742 menors de 18 anys, 1 363 d’entre 18 i 65 anys i 665 de més de 65 anys. Per la propietat associativa, $\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$:

   $(a\quad b\quad c)\begin{pmatrix}742\\ 1\,363\\ 665\end{pmatrix}$${}= 742a+1\,363b+665c$

3. Perquè siguin els ingressos, $a$, $b$ i $c$ han de ser els preus de cada franja:

   $\boldsymbol{C}=(5\quad 8{,}5\quad 6{,}5)$

4. Ingressos de la setmana:

   $5\cdot 742+8{,}5\cdot 1\,363$${}+6{,}5\cdot 665$${}= \frac{10\cdot 742+17\cdot 1\,363+13\cdot 665}{2}$${}= \frac{7\,420+23\,171+8\,645}{2}$${}= \frac{39\,236}{2}$${}= 19\,618$

Plantejament Fem el mateix càlcul amb $\boldsymbol{D}$ en lloc de $\boldsymbol{A}$: $\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{B}$ són els ingressos d’aquella setmana, que depenen de $x$, i els igualem a 12 076 €.

1. Total de cada franja:

   $\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}84+23\\ 338+x\\ 256+408\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}107\\ 338+x\\ 664\end{pmatrix}$

2. Ingressos:

   $\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{B}$${}= 5\cdot 107$${}+8{,}5(338+x)$${}+6{,}5\cdot 664$${}= 535+2\,873+8{,}5x$${}+4\,316$${}= 7\,724+8{,}5x$

3. Igualem als ingressos coneguts:

   $7\,724+8{,}5x$${}= 12\,076$${}\Longrightarrow 8{,}5x$${}= 4\,352$${}\Longrightarrow x=\frac{4\,352}{8{,}5}$${}= 512$

Plantejament Cada abonat fa servir una sola zona, així que $A1$ i $A2$ es reparteixen tots els casos. La probabilitat d’horari de matí, $B1$, s’obté amb el teorema de la probabilitat total.

1. Dades:

   $P(A1)=0{,}4$$P(A2)=0{,}6$$P(B1\mid A1)=0{,}55$$P(B1\mid A2)=0{,}45$

2. Probabilitat total:

   $P(B1)$${}= P(A1)\,P(B1\mid A1)$${}+P(A2)\,P(B1\mid A2)$${}= 0{,}4\cdot 0{,}55+0{,}6\cdot 0{,}45$${}= 0{,}22+0{,}27$${}= 0{,}49$

Plantejament Es demana $P(A1\mid B1)$: el teorema de Bayes, amb el denominador de l’apartat a.

1. Teorema de Bayes:

   $P(A1\mid B1)$${}= \frac{P(A1)\,P(B1\mid A1)}{P(B1)}$${}= \frac{0{,}22}{0{,}49}$${}= \frac{22}{49}$${}\approx 0{,}4490$

Plantejament El temps és normal amb $\sigma=2$ coneguda, així que fem servir la fórmula de la nota amb $z_\gamma=1{,}96$ (confiança del 95 %) i $n=10$.

1. Mitjana de la mostra:

   $\bar x$${}= \frac{33+29+28+31+34+35+32+29+37+35}{10}$${}= \frac{323}{10}$${}= 32{,}3$

2. Marge d’error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}$${}= 1{,}96\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}$${}= \frac{3{,}92}{\sqrt{10}}$${}\approx 1{,}2396$

3. Extrems de l’interval:

   $32{,}3-1{,}2396\approx 31{,}06$$32{,}3+1{,}2396\approx 33{,}54$

Plantejament Si el valor que dona l’empresa, 30 minuts, queda fora de l’interval de confiança, les dades no són compatibles amb aquesta mitjana amb una confiança del 95 %.

1. Comparem 30 amb l’interval de l’apartat a:

   $30<31{,}06$

2. Tot l’interval queda per sobre de 30, així que 30 no és un valor plausible per a la mitjana:

   $30\notin[31{,}06;\ 33{,}54]$