Matrius: exercicis de la PAU de Matemàtiques CCSS resolts

Plantejament Tots els estudiants tenen la mateixa probabilitat de ser escollits, així que apliquem la regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Quan sabem que l’estudiant fa màster, els casos possibles són només els $533$ estudiants de màster (probabilitat condicionada).

1. Doctorat i Lletres: $48$ estudiants d’un total de $2\,000$:

   $P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$

2. Enginyeria sabent que fa màster: $178$ dels $533$ estudiants de màster:

   $P(E\mid M)$${}= \frac{P(E\cap M)}{P(M)}$${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$${}= \frac{178}{533}$${}\approx 0{,}3340$

Plantejament Posem les facultats a les files i els nivells a les columnes. Sumar les files equival a multiplicar per l’esquerra pel vector fila $(1\ 1\ 1)$; l’import total és el producte del vector de totals pel vector columna de preus.

1. Matriu de la taula (files: C, E, L; columnes: G, M, D):

   $A$${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$

2. Totals per nivell:

   $T$${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$

3. Vector de preus de matrícula (G, M, D), en euros:

   $P$${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$

4. Import total:

   $T\cdot P$${}= 1\,333\cdot 1\,000$${}+533\cdot 1\,500$${}+134\cdot 500$${}= 1\,333\,000+799\,500$${}+67\,000$${}= 2\,199\,500$

Plantejament Regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Si sabem que l’estudiant és d’Enginyeria, els casos possibles són només els $668$ estudiants d’aquesta facultat.

1. Màster i Ciències: $172$ estudiants d’un total de $2\,000$:

   $P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$

2. Màster sabent que és d’Enginyeria: $178$ dels $668$ estudiants d’Enginyeria:

   $P(M\mid E)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els becats de grau, de màster i de doctorat. Cada frase de l’enunciat és una equació; els totals de grau i de màster els traiem de la taula.

1. Total de becats:

   $x+y+z=1\,036$

2. La meitat dels estudiants de grau i màster ($1\,333$ i $533$ a la taula) estan becats:

   $x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$

3. Tants becats de màster com de doctorat:

   $y=z$

4. Gauss (ordre $x$, $y$, $z$): $F_2-F_1$ i després $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$

5. De la segona fila, $z=103$; de la tercera, $y=2z-103=103$; i de la primera:

   $x=1\,036-103-103=830$

Plantejament Cada inscripció és presencial amb la proporció del curs passat, i les 15 són independents: el nombre $X$ d’inscripcions presencials és una binomial. Calculem $P(X=10)$ amb la fórmula de la binomial i l’esperança amb $E(X)=np$.

1. Activitats presencials del curs passat: $96+84=180$ de $240$:

   $p=\frac{180}{240}=0{,}75$$1-p=0{,}25$

2. Distribució:

   $X\sim B(15;\ 0{,}75)$

3. Fórmula de la binomial, amb $\binom{15}{10}=3\,003$:

   $P(X=10)$${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$${}\approx 0{,}1651$

4. Esperança:

   $E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$

5. L’esperança és una mitjana: no cal que sigui un nombre enter. Vol dir que, de mitjana, unes 11 de cada 15 inscripcions són presencials.

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ les activitats de la Carme, el Saïd i el Martí. Les tres dades donen un sistema de tres equacions, que resolem per Gauss.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$

2. Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3-F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$

3. Resolem:

   $z=\frac{192}{3}=64$$y=64+18=82$$x=64+30=94$

Plantejament Per saber si algun dia hi ha 20 famílies, resolem $f(t)=20$. Per al màxim, derivem $f$, busquem on s’anul·la per a $t\ge 0$ i comprovem el canvi de signe.

1. Equació $f(t)=20$:

   $\frac{100t}{t^2+4}$${}= 20$${}\Longrightarrow 100t$${}= 20t^2+80$${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$${}\Longrightarrow t=1$$\text{o}\ \ t=4$

2. Derivada (regla del quocient):

   $f'(t)$${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$

3. $f'(t)=0$ per a $t=\pm 2$; només té sentit $t=2$. El denominador és positiu, així que el signe és el de $4-t^2$:

   $0<t<2:\ f'(t)>0$$t>2:\ f'(t)<0$

4. Per tant, $t=2$ és el màxim. Valor:

   $f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultatSí: hi ha exactament 20 famílies inscrites els dies $t=1$ i $t=4$. El màxim s’assoleix el dia $t=2$, amb $25$ famílies.

La pauta oficial dona: $t=1$, $t=4$; $t=2$, $f(2)=25$

Plantejament Cada fila de $\boldsymbol{R}$ diu quina part de cada tipus de preparació fa una persona. Multiplicar-la per les hores de cada tipus i sumar dona les hores de preparació d’aquella persona.

1. Producte fila per columna:

   $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$

2. Comprovació: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparació es reparteix sencera), i el total d’hores es conserva:

   $21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Plantejament Anomenem $U$, $S$ i $I$ els tres nivells (universitat, secundària, infantil i primària) i $A$ «ser dona». La probabilitat de ser dona surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de secundària sabent que és dona, del teorema de Bayes.

1. Dades (la resta, $1-0{,}1-0{,}5$, és infantil i primària):

   $P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$$P(A\mid U)$${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$${}= 0{,}65$

2. Probabilitat total:

   $P(A)$${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$${}+0{,}4\cdot 0{,}65$${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$${}= 0{,}56$

3. Bayes:

   $P(S\mid A)$${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$${}= \frac{13}{28}$${}\approx 0{,}4643$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els inscrits d’universitat, de secundària i d’infantil i primària. Els percentatges de cada nivell i el nombre de dones donen tres equacions.

1. El 10 % del total és d’universitat i el 50 %, de secundària:

   $x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$$y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$

2. Les dones són 476:

   $0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$${}= 476$${}\Rightarrow 40x+52y+65z$${}= 47\,600$

3. Gauss amb $F_1:\ x-y+z=0$. Fem $F_2+9F_1$ i $F_3-40F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$

4. De la segona fila, $y=\frac{5}{4}z$. A la tercera:

   $92\cdot\frac{5}{4}z+25z$${}= 115z+25z$${}= 140z$${}= 47\,600$${}\Rightarrow z=340$

5. Les altres incògnites:

   $y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$$x=y-z=425-340=85$

6. Comprovació per un altre camí: $P(A)=0{,}56$ és la fracció de dones, així que el total d’inscrits és

   $\frac{476}{0{,}56}=850$$0{,}1\cdot 850=85$$0{,}5\cdot 850=425$$0{,}4\cdot 850=340$

Plantejament Amb $1\,000$ persones i els mateixos percentatges, la comanda és el vector fila de detalls de cada tipus. Multiplicat per la matriu de preus, cada component dona el cost total a una empresa.

1. Comanda: el 10 %, el 50 % i el 40 % de $1\,000$:

   $(x,y,z)=(100,\ 500,\ 400)$

2. Producte:

   $(100\ \ 500\ \ 400)\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$${}= (125+375+400\ \ \ 100+500+340\ \ \ 125+575+320)$${}= (900\ \ \ 940\ \ \ 1\,020)$

Plantejament Si s’aplica $x$ vegades el descompte, el preu és $80-x$ i les reserves, $100+2x$; els ingressos són el producte. Busquem el màxim d’aquesta paràbola amb la derivada.

1. Funció d’ingressos:

   $I(x)$${}= (80-x)(100+2x)$${}= -2x^2+60x+8\,000$

2. Derivada:

   $I'(x)=-4x+60=0\ \Longrightarrow\ x=15$

3. Per a $x<15$, $I'(x)>0$, i per a $x>15$, $I'(x)<0$: és un màxim. Preu i ingressos:

   $80-15=65$$I(15)=65\cdot 130=8\,450$

Plantejament Es demana escriure les dades en forma de matrius i calcular amb un producte el cost de la comanda a cada proveïdor. Posem els proveïdors a les files i els productes (oli, farina, sal) a les columnes de la matriu de preus; la comanda és un vector columna amb els productes en el mateix ordre.

1. Matriu de preus $P$ (files: proveïdors 1r, 2n i 3r; columnes: oli en €/L, farina i sal en €/kg):

   $P$${}= \begin{pmatrix}3&0{,}6&1\\ 3{,}5&1&0{,}7\\ 2{,}5&0{,}8&0{,}9\end{pmatrix}$

2. Vector columna de la comanda $Q$ (litres d’oli, kg de farina, kg de sal). Una matriu $3\times 3$ per una $3\times 1$ dona una $3\times 1$, un cost per proveïdor:

   $Q$${}= \begin{pmatrix}300\\ 700\\ 25\end{pmatrix}$

3. Producte, cada fila per la comanda:

   $P\cdot Q$${}= \begin{pmatrix}3\cdot 300+0{,}6\cdot 700+1\cdot 25\\ 3{,}5\cdot 300+1\cdot 700+0{,}7\cdot 25\\ 2{,}5\cdot 300+0{,}8\cdot 700+0{,}9\cdot 25\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}900+420+25\\ 1\,050+700+17{,}5\\ 750+560+22{,}5\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1\,345\\ 1\,767{,}5\\ 1\,332{,}5\end{pmatrix}$

Plantejament Es demana el benefici diari en funció de $x$, el preu de venda que el fa màxim i aquest benefici. Si el preu puja $x$ cops 0,01 €, el paquet es ven a $1{,}1+0{,}01x$ euros i es venen $1\,000-10x$ paquets; cada paquet deixa de benefici el seu preu menys els $0{,}5$ € que costa produir-lo.

1. Benefici per paquet:

   $1{,}1+0{,}01x-0{,}5=0{,}6+0{,}01x$

2. Benefici diari: benefici per paquet pels paquets venuts (amb $0\le x\le 100$, perquè el nombre de paquets no sigui negatiu):

   $B(x)$${}= (0{,}6+0{,}01x)(1\,000-10x)$${}= 600-6x+10x-0{,}1x^2$${}= -0{,}1x^2+4x+600$

3. Derivem i igualem a zero:

   $B'(x)$${}= -0{,}2x+4=0$${}\Longrightarrow x=\frac{4}{0{,}2}$${}= 20$

4. Signe de la derivada a cada costat: $B$ creix abans de $x=20$ i decreix després, així que a $x=20$ hi ha un màxim:

   $B'(10)=2>0$$B'(30)=-2<0$

5. Preu de venda i benefici màxim:

   $1{,}1+0{,}01\cdot 20=1{,}3$$B(20)$${}= (0{,}6+0{,}2)(1\,000-200)$${}= 0{,}8\cdot 800$${}= 640$

Plantejament Es demana quant oli, farina i sal s’ha comprat al primer proveïdor (oli a 3 €/L, farina a 0,6 €/kg i sal a 1 €/kg). Anomenem $x$ els litres d’oli, $y$ els quilos de farina i $z$ els quilos de sal; cada dada és una equació.

1. Despesa total:

   $3x+0{,}6y+z=1\,320$

2. El triple de farina que de sal:

   $y=3z$

3. El que s’ha gastat en farina, $0{,}6y$, és el 30 % del que s’ha gastat en oli, $3x$:

   $0{,}6y$${}= 0{,}3\cdot 3x$${}\Longrightarrow 0{,}6y$${}= 0{,}9x$${}\Longrightarrow y=1{,}5x$

4. De les dues últimes equacions, $z=\frac{y}{3}=0{,}5x$. Substituïm $y$ i $z$ a la primera:

   $3x+0{,}6\cdot 1{,}5x+0{,}5x$${}= 1\,320$${}\Longrightarrow 4{,}4x$${}= 1\,320$${}\Longrightarrow x=300$

5. Les altres dues quantitats:

   $y=1{,}5\cdot 300=450$$z=0{,}5\cdot 300=150$

6. Comprovació de la despesa total:

   $3\cdot 300+0{,}6\cdot 450+150$${}= 900+270+150$${}= 1\,320$

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al pes mitjà dels paquets i decidir si l’etiqueta de 500 g és incorrecta. El pes és normal amb desviació típica coneguda, $\sigma=4$ g, així que fem servir la fórmula de la mitjana amb $\sigma$ coneguda i $z_\gamma=1{,}96$.

1. Mitjana de la mostra ($n=9$):

   $\bar x$${}= \frac{501+506+497+495+503+491+512+505+499}{9}$${}= \frac{4\,509}{9}$${}= 501$

2. Marge d’error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{9}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{4}{3}$${}\approx 2{,}6133$

3. Extrems de l’interval:

   $501-2{,}6133\approx 498{,}39$$501+2{,}6133\approx 503{,}61$

4. El pes de l’etiqueta, $500$ g, és dins de l’interval:

   $498{,}39<500<503{,}61$

Plantejament Els ingressos de cada línia són el nombre de cotxes elèctrics per $40\,000$ més el de cotxes de combustió per $30\,000$: és el producte de la matriu de la taula pel vector columna de preus. Per a la probabilitat, anomenem $E$, $C$ i $D$ «elèctric», «combustió» i «defectuós», i fem servir el teorema de Bayes.

1. Producte (files: $L1$, $L2$, $L3$):

   $\begin{pmatrix}20&80\\ 30&100\\ 40&110\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40\,000\\ 30\,000\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}800\,000+2\,400\,000\\ 1\,200\,000+3\,000\,000\\ 1\,600\,000+3\,300\,000\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}3\,200\,000\\ 4\,200\,000\\ 4\,900\,000\end{pmatrix}$

2. A la fàbrica hi ha $20+30+40=90$ cotxes elèctrics i $80+100+110=290$ de combustió, $380$ en total:

   $P(E)=\frac{90}{380}$$P(C)=\frac{290}{380}$$P(D\mid E)=0{,}01$$P(D\mid C)=0{,}02$

3. Bayes (el factor $\frac{1}{380}$ es simplifica):

   $P(C\mid D)$${}= \frac{0{,}02\cdot 290}{0{,}02\cdot 290+0{,}01\cdot 90}$${}= \frac{5{,}8}{5{,}8+0{,}9}$${}= \frac{58}{67}$${}\approx 0{,}8657$

Plantejament La despesa acumulada és el preu de compra més el cost per quilòmetre ($\frac{1}{100}$ € o $\frac{6}{100}$ € per km) multiplicat pels quilòmetres. Igualem les dues funcions per trobar on es creuen.

1. Funcions de despesa (en euros, amb $x$ en km):

   $D_E(x)=40\,000+\frac{x}{100}$$D_C(x)=30\,000+\frac{6x}{100}$

2. Igualem:

   $40\,000+0{,}01x$${}= 30\,000+0{,}06x$${}\Longrightarrow 10\,000$${}= 0{,}05x$${}\Longrightarrow x=200\,000\ \mathrm{km}$

3. Per a $x>200\,000$ km, $D_E(x)<D_C(x)$ (el pendent de $D_E$ és més petit). Amb $20\,000$ km l’any:

   $\frac{200\,000}{20\,000}=10$

Resultat$D_E(x)=40\,000+\dfrac{x}{100}$ i $D_C(x)=30\,000+\dfrac{6x}{100}$. Als $10$ anys ($200\,000$ km) les despeses s’igualen; a partir d’aleshores surt més a compte el cotxe elèctric.

La pauta oficial dona: $D_E(x)=40000+\frac{1}{100}x$, $D_T(x)=30000+\frac{6}{100}x$; $x=200\,000$; $10$

Plantejament Si $x$ és el nombre real d’elèctrics a $L2$, els ingressos de la línia són $40\,000x+100\cdot 30\,000$. Després apliquem Bayes només amb els vehicles de $L2$.

1. Equació:

   $40\,000x+3\,000\,000$${}= 3\,720\,000$${}\Longrightarrow 40\,000x$${}= 720\,000$${}\Longrightarrow x=18$

2. A $L2$ hi ha $18$ elèctrics i $100$ de combustió ($118$ en total):

   $P(E)=\frac{18}{118}$$P(C)=\frac{100}{118}$

3. Bayes (el factor $\frac{1}{118}$ es simplifica):

   $P(E\mid D)$${}= \frac{0{,}01\cdot 18}{0{,}01\cdot 18+0{,}02\cdot 100}$${}= \frac{0{,}18}{2{,}18}$${}= \frac{9}{109}$${}\approx 0{,}0826$

Plantejament Fem servir les funcions de despesa: igualem la de combustió a $36\,000$ € per trobar els quilòmetres i els substituïm a la de l’elèctric.

1. Combustió:

   $30\,000+\frac{6x}{100}$${}= 36\,000$${}\Longrightarrow \frac{6x}{100}$${}= 6\,000$${}\Longrightarrow x=100\,000\ \mathrm{km}$

2. Elèctric amb els mateixos quilòmetres:

   $D_E(100\,000)$${}= 40\,000+\frac{100\,000}{100}$${}= 41\,000$

Plantejament Multipliquem cada matriu pel seu nombre, sumem element a element i després sumem cada fila i cada columna del resultat.

1. Productes per un nombre:

   $10\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}10&-10&0\\ -10&0&10\\ 0&10&-10\end{pmatrix}$$3\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}0&-3&3\\ 3&0&-3\\ -3&3&0\end{pmatrix}$$18\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}0&54&0\\ 18&18&18\\ 36&-18&36\end{pmatrix}$

2. Suma:

   $10\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{B}+18\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}10&41&3\\ 11&18&25\\ 33&-5&26\end{pmatrix}$

3. Sumes de les files:

   $10+41+3=54$$11+18+25=54$$33-5+26=54$

4. Sumes de les columnes:

   $10+11+33=54$$41+18-5=54$$3+25+26=54$