Matemàtiques CCSS, PAU 2023 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Anomenem $x$ el nombre de coques sense farcir i $y$ el nombre de coques farcides de crema. Treballem en kilograms: una coca sense farcir gasta $0{,}5$ kg de farina i $0{,}3$ kg de sucre, i una de farcida, $0{,}4$ kg de farina i $0{,}12$ kg de sucre.

1. La funció objectiu són els ingressos, en euros, que volem maximitzar:

   $F(x,y)=15x+25y$

2. Farina, 60 kg (multipliquem per 10):

   $0{,}5x+0{,}4y\le 60\ \Longleftrightarrow\ 5x+4y\le 600$

3. Sucre, 30 kg (multipliquem per 100 i dividim per 6; si només es multiplica per 10, surt la mateixa restricció escrita com $3x+1{,}2y\le 300$):

   $0{,}3x+0{,}12y$${}\le 30$${}\Longleftrightarrow 30x+12y$${}\le 3\,000$${}\Longleftrightarrow 5x+2y$${}\le 500$

4. Comandes mínimes:

   $x\ge 60$$y\ge 30$

5. Per dibuixar les rectes frontera de la farina i del sucre, en busquem dos punts de cadascuna:

   $5x+4y=600:\ (120,\ 0),\ (0,\ 150)$$5x+2y=500:\ (100,\ 0),\ (0,\ 250)$

6. El punt $(70,\ 40)$ compleix totes les condicions ($510\le 600$ i $430\le 500$). La regió factible és el quadrilàter limitat per les rectes $x=60$, $y=30$, $5x+4y=600$ i $5x+2y=500$: el de vèrtexs $A$, $B$, $C$ i $D$ del gràfic.

   $\begin{cases}5x+4y\le 600\\ 5x+2y\le 500\\ x\ge 60,\ y\ge 30\end{cases}$

ResultatFunció objectiu (ingressos, en euros, que cal maximitzar): $F(x,y)=15x+25y$. Restriccions: $5x+4y\le 600$ (farina), $5x+2y\le 500$ (sucre), $x\ge 60$ i $y\ge 30$, amb $x$ i $y$ enters. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $A=(60,\ 30)$, $B=(88,\ 30)$, $C=(80,\ 50)$ i $D=(60,\ 75)$.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=15x+25y$; $x\ge 60$; $y\ge 30$; $5x+4y\le 600$; $3x+1{,}2y\le 300$

Plantejament El màxim s’assoleix en un vèrtex de la regió factible. Calculem cada vèrtex com la intersecció de dues rectes, hi avaluem $F$ i, amb el millor, comptem els ingredients gastats.

1. Vèrtex $A$: rectes $x=60$ i $y=30$.

   $A=(60,\ 30)$

2. Vèrtex $B$: rectes $y=30$ i $5x+2y=500$ (compleix $5\cdot 88+4\cdot 30=560\le 600$):

   $5x+60$${}= 500$${}\Longrightarrow x=88$${}\Longrightarrow B=(88,\ 30)$

3. Vèrtex $C$: rectes $5x+4y=600$ i $5x+2y=500$. Les restem:

   $2y=100\ \Longrightarrow\ y=50$$5x$${}= 500-2\cdot 50$${}= 400$${}\Longrightarrow x=80$${}\Longrightarrow C=(80,\ 50)$

4. Vèrtex $D$: rectes $x=60$ i $5x+4y=600$ (compleix $5\cdot 60+2\cdot 75=450\le 500$):

   $300+4y$${}= 600$${}\Longrightarrow y=75$${}\Longrightarrow D=(60,\ 75)$

5. Funció objectiu als vèrtexs:

   $F(A)=900+750=1\,650$$F(B)=1\,320+750=2\,070$$F(C)=1\,200+1\,250=2\,450$$F(D)=900+1\,875=2\,775$

6. El màxim és a $D$. Ingredients gastats amb 60 coques sense farcir i 75 de farcides:

   $\text{farina: }0{,}5\cdot 60$${}+0{,}4\cdot 75$${}= 30+30$${}= 60$$\text{sucre: }0{,}3\cdot 60$${}+0{,}12\cdot 75$${}= 18+9$${}= 27$

7. Sobrants (en kg):

   $\text{farina: }60-60=0$$\text{sucre: }30-27=3$

Plantejament Anomenem $x$ el preu d’un termòmetre, $y$ el d’una mascareta i $z$ el d’un test d’antígens, en euros. Cada paquet dona una equació. Classifiquem el sistema pel mètode de Gauss.

1. Sistema:

   $\begin{cases}5x+30y+10z=550\\ x+15y+20z=200\end{cases}$

2. Matriu ampliada; dividim la primera fila per 5:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}5&30&10&550\\ 1&15&20&200\end{array}\right)$${}\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&6&2&110\\ 1&15&20&200\end{array}\right)$

3. Fem $F_2-F_1$ i després dividim la segona fila per 9:

   ${}\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&6&2&110\\ 0&9&18&90\end{array}\right)$${}\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&6&2&110\\ 0&1&2&10\end{array}\right)$

4. Les dues files són no nul·les tant a la matriu de coeficients $A$ com a l’ampliada $A^*$, i hi ha 3 incògnites:

   $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^*=2<3$

5. El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions. Aïllem $y$ de la segona equació:

   $y+2z=10\ \Longrightarrow\ y=10-2z$

6. Substituïm a la primera equació:

   $x+6(10-2z)+2z$${}= 110$${}\Longrightarrow x+60-10z$${}= 110$${}\Longrightarrow x=50+10z$

7. Perquè els preus siguin positius cal $z>0$ i $10-2z>0$:

   $0<z<5$

Plantejament Substituïm $z=4$ a la solució de l’apartat anterior.

1. Preus amb $z=4$:

   $x=50+10\cdot 4=90$$y=10-2\cdot 4=2$

2. Comprovació amb els dos paquets:

   $5\cdot 90+30\cdot 2+10\cdot 4$${}= 450+60+40$${}= 550$$90+15\cdot 2+20\cdot 4$${}= 90+30+80$${}= 200$

Plantejament Cada valor es calcula amb el tram que correspon a $t$. Per a la continuïtat a $t=10$ comparem el valor de la funció amb els dos límits laterals.

1. En el moment d’obrir, $t=0$ (primer tram):

   $C(0)=\dfrac{0^2}{10}+10=10$

2. Als 10 anys, $t=10$ (primer tram):

   $C(10)=\dfrac{10^2}{10}+10=20$

3. Límits laterals a $t=10$:

   $\lim_{t\to 10^-}C(t)$${}= \dfrac{10^2}{10}+10$${}= 20$$\lim_{t\to 10^+}C(t)$${}= 28-\dfrac{(10-14)^2}{2}$${}= 28-8$${}= 20$

4. Els dos límits coincideixen amb $C(10)=20$: la funció és contínua a $t=10$. Als 20 anys (segon tram):

   $C(20)$${}= 28-\dfrac{(20-14)^2}{2}$${}= 28-18$${}= 10$

Plantejament Cada tram és un tros de paràbola. Busquem el vèrtex de cadascuna, en calculem uns quants valors i comparem els màxims dels dos trams.

1. Primer tram: paràbola oberta cap amunt amb el vèrtex a $t=0$, així que a $[0,10]$ és creixent, de $C(0)=10$ a $C(10)=20$. Un punt intermedi:

   $C(5)=\dfrac{25}{10}+10=12{,}5$

2. Segon tram: paràbola oberta cap avall amb el vèrtex a $t=14$. Derivada i signe:

   $C'(t)=-(t-14)$$C'(12)=2>0$$C'(16)=-2<0$

3. El segon tram creix fins a $t=14$ i decreix després. Valors per dibuixar-lo:

   $C(12)=28-2=26$$C(14)=28$$C(16)=26$$C(18)=28-8=20$

4. Comparem el màxim del segon tram amb el valor més gran del primer, $C(10)=20$:

   $C(14)=28>20$

ResultatLa gràfica puja per la paràbola $\dfrac{t^2}{10}+10$ des de $(0,\ 10)$ fins a $(10,\ 20)$ i continua, sense salt, per la paràbola $28-\dfrac{(t-14)^2}{2}$, que arriba al vèrtex $(14,\ 28)$ i baixa fins a $(20,\ 10)$. El cost màxim es va donar al cap de $14$ anys i va ser de $28$ centenars d’euros ($2\,800$ €).

La pauta oficial dona: $M=(14,\ 28)$; $t=14$; $28$

Plantejament Calculem $\boldsymbol{A}^2-2\boldsymbol{A}$ en funció de $a$ i $b$ i la igualem a $\boldsymbol{B}$ element a element.

1. Quadrat de la matriu:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}a&b\\ 0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\ 0&a\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a^2&ab+ba\\ 0&a^2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a^2&2ab\\ 0&a^2\end{pmatrix}$

2. Restem $2\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{A}^2-2\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}a^2-2a&2ab-2b\\ 0&a^2-2a\end{pmatrix}$

3. Igualem a $\boldsymbol{B}$ element a element (les dues equacions de la diagonal són iguals):

   $\begin{cases}a^2-2a=0\\ 2ab-2b=1\end{cases}$

4. De la primera, $a(a-2)=0$: $a=0$ o $a=2$. Amb $a=0$, la segona dona:

   $-2b=1\ \Longrightarrow\ b=-\dfrac{1}{2}$

5. Amb $a=2$:

   $4b-2b=1\ \Longrightarrow\ b=\dfrac{1}{2}$

Plantejament Aïllem $\boldsymbol{X}$ multiplicant per l’esquerra per $\boldsymbol{A}^{-1}$, que existeix perquè $\det\boldsymbol{A}=1\neq 0$.

1. Amb $a=1$ i $b=1$:

   $\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$$\det\boldsymbol{A}=1\cdot 1-1\cdot 0=1$

2. Aïllem $\boldsymbol{X}$ (l’ordre dels productes importa):

   $\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}$${}= 2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$${}\Longrightarrow \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}(2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})$${}= 2\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$

3. Inversa d’una matriu $2\times 2$: s’intercanvien els elements de la diagonal, es canvia el signe dels altres i es divideix pel determinant.

   $\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 0&1\end{pmatrix}$

4. Producte $\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$:

   $\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$

5. Resultat:

   $\boldsymbol{X}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2\end{pmatrix}$${}-\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&-1\\ 0&2\end{pmatrix}$

6. Comprovació:

   $\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\ 0&2\end{pmatrix}$${}+\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&1\\ 0&2\end{pmatrix}$${}+\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2&2\\ 0&2\end{pmatrix}$${}= 2\boldsymbol{A}$

Plantejament Busquem els punts de tall de $f$ amb l’eix d’abscisses, $f(x)=0$, i en calculem la distància.

1. Traiem factor comú $x^2$:

   $-x^3+2x^2=0$${}\Longrightarrow x^2(2-x)=0$${}\Longrightarrow x=0$$\text{o}\ \ x=2$

2. Distància entre els dos punts de tall:

   $2-0=2$

Plantejament Busquem el màxim de $f$ entre $x=0$ i $x=2$ amb la derivada; l’amplària és el doble del valor màxim, perquè en girar el perfil aquest valor és el radi de la baldufa en la part més ampla.

1. Derivada:

   $f'(x)=-3x^2+4x=x\,(4-3x)$

2. S’anul·la a $x=0$, que és un extrem de l’interval, i a:

   $4-3x=0\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{4}{3}$

3. La derivada passa de positiva a negativa, així que $x=\frac{4}{3}$ és un màxim:

   $f'(1)=1>0$$f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right)$${}= -\tfrac{27}{4}+6$${}= -\tfrac{3}{4}$${}< 0$

4. Valor màxim de la funció:

   $f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)$${}= -\dfrac{64}{27}+2\cdot\dfrac{16}{9}$${}= -\dfrac{64}{27}+\dfrac{96}{27}$${}= \dfrac{32}{27}$

5. L’amplària és el doble d’aquest valor:

   $2\cdot\dfrac{32}{27}=\dfrac{64}{27}\approx 2{,}37$