Examen PAU Matemàtiques CCSS 2026 resolt (extraordinària)

Q: Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada apartat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. En 2 dels 4 exercicis la nostra resposta no coincideix del tot amb la pauta (per un error de la pauta i per arrodoniment): ho expliquem al costat de la solució.

Q: On són l’examen oficial i la pauta?

Als enllaços de dalt de tot: el PDF de l’examen en català i en castellà i el de la pauta de correcció, al web de la Generalitat. El botó d’imprimir prepara l’examen amb espai per respondre i les solucions a part.

Què hi entrava, en punts

Els punts de cada apartat, sumats pel tema del temari que pregunta. El que es triava dins de l’exercici 4 va a part, ratllat.

Sistemes d’equacions 2,5
Funcions i derivades 2,5
Probabilitat 1,25
Inferència estadística 1,25
Exercici 4, a triar: opció A, probabilitat i sistemes d’equacions; opció B, funcions i derivades i matrius 2,5

Instruccions de l’examen L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades i indiqueu-la a la portada.

Els exercicis de l’examen

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsLa pauta té un errorTemes: Funcions i derivades

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa comercialitza un accessori tecnològic. Segons diversos estudis de mercat, la relació entre el preu de venda $p$ (en euros) i la quantitat demanada setmanal $d(p)$ (en unitats) és donada per la funció $d(p)=500-10p-p^2$ , $0<p<15$ .

Es defineix també l’ingrés setmanal de l’empresa com a $I(p)=p\cdot d(p)$ .

1.1 Determineu el preu $p$ que maximitza l’ingrés setmanal $I(p)$ . Per a aquest preu, calculeu la quantitat demanada setmanal corresponent i el valor de l’ingrés màxim.

[1,5 punts]

1.2 El concepte de l’elasticitat de la demanda respecte al preu mesura, com el seu nom indica, la sensibilitat de la quantitat demanada davant dels canvis relatius en el preu, i s’utilitza per a analitzar com responen els consumidors a les variacions de preus. Per a funcions derivables, l’elasticitat de la demanda respecte al preu és donada per l’expressió $E(p)=\dfrac{p}{d(p)}d'(p)$ , en què $d'(p)$ denota la derivada de la funció $d(p)$ .

Calculeu l’expressió de l’elasticitat de la demanda respecte al preu $E(p)$ i determineu-ne el valor per a un preu de 5 € i per a un preu de 10 €.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.11,5 punts

Plantejament Escrivim $I(p)$ com a polinomi, el derivem i busquem on $I'(p)=0$ dins de $(0,15)$ . El signe de la derivada abans i després del punt crític confirma que és un màxim.

Ingrés setmanal:
$I(p)$ ${}= p\left(500-10p-p^2\right)$ ${}= 500p-10p^2-p^3$ $0<p<15$
Derivada:
$I'(p)=500-20p-3p^2$
Igualem a zero ( $3p^2+20p-500=0$ ):
$p$ ${}= \frac{-20\pm\sqrt{20^2+4\cdot 3\cdot 500}}{2\cdot 3}$ ${}= \frac{-20\pm\sqrt{6\,400}}{6}$ ${}= \frac{-20\pm 80}{6}$ ${}\Longrightarrow p=10$ $\text{o}\ \ p=-\frac{50}{3}$
Només $p=10$ és dins de $(0,15)$ . Signe de $I'$ a banda i banda:
$I'(9)=500-180-243=77>0$ $I'(11)$ ${}= 500-220-363$ ${}= -83$ ${}< 0$
$I$ creix fins a $p=10$ i decreix després: és el màxim de tot l’interval. Demanda i ingrés:
$d(10)=500-100-100=300$ $I(10)=10\cdot 300=3\,000$

ResultatL’ingrés és màxim amb un preu de $p=10$ €: es demanen $300$ unitats setmanals i l’ingrés màxim és de $3\,000$ €.

La pauta oficial dona: $p=10$ , $d(10)=300$ , $I(10)=3\,000$

1.21 punt

Plantejament Derivem $d(p)$ i substituïm a la fórmula de l’elasticitat que dona l’enunciat; després hi posem $p=5$ i $p=10$ .

Derivada de la demanda:
$d'(p)=-10-2p$
Elasticitat:
$E(p)$ ${}= \frac{p}{d(p)}\,d'(p)$ ${}= \frac{p(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ${}= -\frac{2p^2+10p}{500-10p-p^2}$ $0<p<15$
Per a $p=5$ :
$E(5)$ ${}= \frac{5\cdot(-20)}{500-50-25}$ ${}= \frac{-100}{425}$ ${}= -\frac{4}{17}$ ${}\approx -0{,}2353$
Per a $p=10$ :
$E(10)=\frac{10\cdot(-30)}{500-100-100}=\frac{-300}{300}=-1$
Interpretació: a $5$ € la demanda és poc sensible al preu ( $|E|<1$ ); a $10$ € val $-1$ , que és just el preu on l’ingrés és màxim (apartat 1.1).

Resultat $E(p)$ ${}= \dfrac{p(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ; $E(5)=-\dfrac{4}{17}\approx -0{,}2353$ i $E(10)=-1$ .

La pauta oficial dona: $E(p)$ ${}= \frac{p}{d(p)}qd'(p)$ ${}= \frac{p\cdot(-10-2p)}{500-10p-p^2}$ ; $E(5)=-\frac{4}{17}=-0{,}2353$ , $E(10)=-1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Sistemes d’equacions

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

A l’Institut La Closa s’ha organitzat un viatge a Roma per a l’alumnat de segon de batxillerat, però no tots els alumnes hi han volgut anar. Alguns alumnes han organitzat, pel seu compte, un viatge alternatiu a Londres, mentre que d’altres han decidit no viatjar enlloc. Sabem que a segon de batxillerat hi ha un total de 84 alumnes i que el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc és el triple del nombre d’alumnes que han anat a Londres.

2.1 Plantegeu i estudieu el sistema d’equacions corresponent. Es pot determinar el nombre d’alumnes que han anat a cada viatge i el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc? Justifiqueu la resposta.

[0,75 punts]

2.2 Resoleu el sistema anterior en funció del nombre d’alumnes que han anat a Londres. Deduïu que el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc és un múltiple de 3 i que el nombre d’alumnes que han anat a Roma és un múltiple de 4.

[0,75 punts]

2.3 Disposem ara d’una nova informació: si 4 alumnes dels que no han marxat enlloc s’haguessin afegit al viatge a Roma, aleshores el nombre d’alumnes que hauria anat a Roma hauria estat el doble del nombre d’alumnes que han anat a Londres i dels que no haurien marxat enlloc conjuntament. Es pot determinar ara quants alumnes han anat a cada viatge i quants no han marxat enlloc? Justifiqueu la resposta i, si és possible, trobeu aquestes quantitats.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

2.10,75 punts

Plantejament Anomenem $x$ els alumnes que han anat a Roma, $y$ els que han anat a Londres i $z$ els que no han marxat enlloc. Cada dada és una equació; comparem el rang de la matriu amb el nombre d’incògnites.

Sistema:
$\begin{cases}x+y+z=84\\ z=3y\end{cases}$ ${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=84\\ 3y-z=0\end{cases}$
Matriu ampliada (ja esglaonada):
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\end{array}\right)$
El rang de la matriu de coeficients i el de l’ampliada és $2$ , menor que el nombre d’incògnites ( $3$ ):
$\operatorname{rang} A=\operatorname{rang} A^*=2<3$

ResultatÉs un sistema compatible indeterminat (amb un grau de llibertat): hi ha infinites solucions i no es pot determinar quants alumnes han anat a cada viatge ni quants no han marxat enlloc.

La pauta oficial dona: $\text{SCI}$

2.20,75 punts

Plantejament Prenem com a paràmetre els alumnes que han anat a Londres, $y=\lambda$ , i aïllem les altres incògnites.

De la segona equació:
$z=3\lambda$
De la primera:
$x$ ${}= 84-\lambda-3\lambda$ ${}= 84-4\lambda$ ${}= 4(21-\lambda)$
Com que $\lambda$ és un nombre natural, $z=3\lambda$ és múltiple de 3 i $x=4(21-\lambda)$ és múltiple de 4. A més, $x\ge 0$ obliga que $0\le\lambda\le 21$ .

Resultat $(x,y,z)=(84-4\lambda,\ \lambda,\ 3\lambda)$ , amb $\lambda\in\{0,1,\dots,21\}$ : els que no han marxat ( $3\lambda$ ) són múltiple de 3 i els que han anat a Roma ( $4(21-\lambda)$ ), múltiple de 4.

La pauta oficial dona: $z=3y$ , $x=84-4y=4(21-y)$

2.31 punt

Plantejament Si 4 alumnes passen de «no marxar» a Roma, a Roma n’hi haurien anat $x+4$ i sense marxar n’haurien quedat $z-4$ . Això dona una tercera equació; estudiem el sistema de tres equacions per Gauss.

Nova equació:
$x+4$ ${}= 2\big(y+(z-4)\big)$ ${}\Longrightarrow x-2y-2z$ ${}= -12$
Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3+F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 1&-2&-2&-12\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&-3&-3&-96\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&0&-4&-96\end{array}\right)$
Tres pivots: el rang és $3$ , igual al nombre d’incògnites, i el sistema és compatible determinat. Resolem de baix a dalt:
$-4z=-96\Rightarrow z=24$ $3y=z\Rightarrow y=8$ $x=84-8-24=52$
Comprovació: a Roma hi haurien anat $52+4=56$ , i Londres més els que no haurien marxat sumen $8+20=28$ :
$56=2\cdot 28$

ResultatSí: ara el sistema és compatible determinat. $52$ alumnes han anat a Roma, $8$ a Londres i $24$ no han marxat enlloc.

La pauta oficial dona: $x=52$ , $y=8$ , $z=24$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTemes: Probabilitat, Inferència estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En una assignatura d’un màster de dos anys, el 70 % dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d’aprovar l’assignatura és del 60 % per als estudiants de primer curs i del 85 % per als de segon curs.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• $Z$ ${}\sim \text{normal}\,(0,1)$ ${}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$ ${}= 0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$ • Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ — per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ — per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

3.1 Si escollim un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que aprovi l’assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l’assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs?

[1,25 punts]

3.2 El professor vol estimar la nova proporció d’estudiants que aproven l’assignatura després d’introduir un nou mètode d’ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de $n=80$ estudiants i observa que 55 d’ells han aprovat.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció $p$ d’aprovats amb el nou mètode. L’interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d’aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.11,25 punts

Plantejament Anomenem $P_1$ i $P_2$ «ser de primer» i «ser de segon» curs, i $A$ «aprovar». La probabilitat d’aprovar surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de primer sabent que ha aprovat, del teorema de Bayes.

Dades:
$P(P_1)=0{,}70$ $P(P_2)=1-0{,}70=0{,}30$ $P(A\mid P_1)=0{,}60$ $P(A\mid P_2)=0{,}85$
Probabilitat total:
$P(A)$ ${}= P(P_1)P(A\mid P_1)$ ${}+P(P_2)P(A\mid P_2)$ ${}= 0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}30\cdot 0{,}85$ ${}= 0{,}42+0{,}255$ ${}= 0{,}675$
Bayes:
$P(P_1\mid A)$ ${}= \frac{P(P_1)P(A\mid P_1)}{P(A)}$ ${}= \frac{0{,}42}{0{,}675}$ ${}= \frac{28}{45}$ ${}\approx 0{,}6222$

Resultat $P(A)=0{,}675$ i $P(P_1\mid A)=\dfrac{28}{45}\approx 0{,}6222$ .

La pauta oficial dona: $P(A)=0{,}675$ ; $P(P_1\mid A)=\frac{28}{45}\approx 0{,}6222$

3.21,25 punts

Plantejament La mostra és gran, així que fem servir la fórmula de l’interval per a la proporció amb $z_\gamma=1{,}96$ . Després mirem si la proporció d’abans, $0{,}675$ (apartat 3.1), queda dins de l’interval.

Proporció mostral:
$\hat p=\frac{55}{80}=0{,}6875$
Error típic:
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ ${}= \sqrt{\frac{0{,}6875\cdot 0{,}3125}{80}}$ ${}= \frac{\sqrt{11}}{64}$ ${}\approx 0{,}05182$
Marge d’error:
$1{,}96\cdot 0{,}05182\approx 0{,}1016$
Extrems:
$0{,}6875-0{,}1016=0{,}5859$ $0{,}6875+0{,}1016=0{,}7891$
La proporció d’aprovats d’abans, $0{,}675$ , és dins de l’interval:
$0{,}5859<0{,}675<0{,}7891$

ResultatL’interval de confiança del 95 % és $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$ . Com que conté el valor anterior, $0{,}675$ , no podem afirmar amb una confiança del 95 % que el nou mètode hagi millorat la taxa d’aprovats.

La pauta oficial dona: $[0{,}5859;\ 0{,}7891]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTemes: Probabilitat, Sistemes d’equacions, Funcions i derivades, Matrius

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d’arreu del país, i imparteixen seminaris en línia.

El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d’activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

4.1 Aquest curs, durant una setmana concreta, el formulari d’inscripció del web de l’associació rep 15 inscripcions independents, cadascuna de les quals correspon a un dels tres tipus d’activitats.

Suposant que la distribució de les inscripcions es manté com el curs passat, calculeu la probabilitat que exactament 10 de les 15 inscripcions siguin per a activitats presencials.

Determineu el nombre esperat d’inscripcions a activitats presencials d’aquella setmana.

[1,5 punts]

4.2 El curs passat, per a dur a terme les 240 activitats, els tres amics van decidir organitzar-se de manera que cada activitat fos duta a terme per una sola persona; és a dir, no hi havia activitats desenvolupades per més d’un d’ells. Si sabem que la Carme va participar en 30 activitats més que el Martí i que el Saïd va participar en 18 activitats més que el Martí, de quantes activitats es va encarregar cadascun dels tres amics?

[1 punt]

OPCIÓ B

4.1 Per estudiar l’efecte d’una campanya de promoció dels tallers familiars d’aquest curs, els tres amics modelitzen el nombre de famílies inscrites mitjançant la funció $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$ , en què $t$ representa el nombre de dies des de l’inici de la campanya i $f(t)$ correspon al nombre de famílies inscrites aquell dia.

Hi ha algun dia en què el nombre de famílies inscrites sigui exactament 20? En cas afirmatiu, indiqueu quin.

Quin dia s’assoleix el nombre màxim de famílies inscrites? Quin és aquest nombre màxim?

[1,5 punts]

4.2 Els tres amics també volen analitzar com es reparteixen entre ells la feina de preparació de les activitats. Per fer-ho, revisen com s’han organitzat durant una setmana concreta. En total, en aquest període han dedicat 24 hores a la preparació de tallers familiars, 21 hores a la preparació de xerrades en centres educatius i 15 hores a la preparació de seminaris en línia.

La distribució de la feina de preparació de cadascun dels tres tipus d’activitats és la següent:

— la Carme s’encarrega del 50 % de la preparació dels tallers familiars, del 30 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia; — el Saïd s’encarrega del 30 % de la preparació dels tallers familiars, del 50 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia; — el Martí s’encarrega del 20 % de la preparació dels tallers familiars, del 20 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 60 % de la preparació dels seminaris en línia.

Agrupem aquesta informació en les matrius següents:

$\boldsymbol{R}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\ 0{,}30&0{,}50&0{,}20\\ 0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ , $\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}24\\ 21\\ 15\end{pmatrix}$ ,

que corresponen a la matriu de repartiment percentual i al vector d’hores totals dedicades a la preparació de cada tipus d’activitat, respectivament.

Calculeu el vector $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ i interpreteu-ne el significat.

Quin dels tres amics ha dedicat més hores a la preparació d’activitats?

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11,5 punts

Plantejament Cada inscripció és presencial amb la proporció del curs passat, i les 15 són independents: el nombre $X$ d’inscripcions presencials és una binomial. Calculem $P(X=10)$ amb la fórmula de la binomial i l’esperança amb $E(X)=np$ .

Activitats presencials del curs passat: $96+84=180$ de $240$ :
$p=\frac{180}{240}=0{,}75$ $1-p=0{,}25$
Distribució:
$X\sim B(15;\ 0{,}75)$
Fórmula de la binomial, amb $\binom{15}{10}=3\,003$ :
$P(X=10)$ ${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$ ${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$ ${}\approx 0{,}1651$
Esperança:
$E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$
L’esperança és una mitjana: no cal que sigui un nombre enter. Vol dir que, de mitjana, unes 11 de cada 15 inscripcions són presencials.

Resultat $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; el nombre esperat d’inscripcions presencials és $E(X)=11{,}25$ .

La pauta oficial dona: $P(X=10)\approx 0{,}1651$ ; $E(X)=11{,}25\ (\approx 11)$

4.21 punt

Plantejament Anomenem $x$ , $y$ i $z$ les activitats de la Carme, el Saïd i el Martí. Les tres dades donen un sistema de tres equacions, que resolem per Gauss.

Sistema:
$\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$
Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3-F_2$ :
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$ ${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$
Resolem:
$z=\frac{192}{3}=64$ $y=64+18=82$ $x=64+30=94$

ResultatLa Carme es va encarregar de $94$ activitats, el Saïd de $82$ i el Martí de $64$ .

La pauta oficial dona: $x=94$ , $y=82$ , $z=64$

Opció B

4.11,5 punts

Plantejament Per saber si algun dia hi ha 20 famílies, resolem $f(t)=20$ . Per al màxim, derivem $f$ , busquem on s’anul·la per a $t\ge 0$ i comprovem el canvi de signe.

Equació $f(t)=20$ :
$\frac{100t}{t^2+4}$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow 100t$ ${}= 20t^2+80$ ${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$ ${}\Longrightarrow t=1$ $\text{o}\ \ t=4$
Derivada (regla del quocient):
$f'(t)$ ${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$ ${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$
$f'(t)=0$ per a $t=\pm 2$ ; només té sentit $t=2$ . El denominador és positiu, així que el signe és el de $4-t^2$ :
$0<t<2:\ f'(t)>0$ $t>2:\ f'(t)<0$
Per tant, $t=2$ és el màxim. Valor:
$f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultatSí: hi ha exactament 20 famílies inscrites els dies $t=1$ i $t=4$ . El màxim s’assoleix el dia $t=2$ , amb $25$ famílies.

La pauta oficial dona: $t=1$ , $t=4$ ; $t=2$ , $f(2)=25$

Gràfica de f(t)=100t/(t²+4) per a t≥0: puja des de l’origen fins al màxim (2,25) i després baixa lentament. La recta horitzontal y=20 talla la corba a t=1 i a t=4.

4.21 punt

Plantejament Cada fila de $\boldsymbol{R}$ diu quina part de cada tipus de preparació fa una persona. Multiplicar-la per les hores de cada tipus i sumar dona les hores de preparació d’aquella persona.

Producte fila per columna:
$\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$
Comprovació: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparació es reparteix sencera), i el total d’hores es conserva:
$21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Resultat $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$ ${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$ : són les hores de preparació de la Carme, el Saïd i el Martí. Qui n’hi ha dedicat més és la Carme, amb $21{,}3$ hores.

La pauta oficial dona: $(21{,}3;\ 20{,}7;\ 18)$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

Els altres exàmens de Matemàtiques CCSS, resolts

2026juny · sèrie 1 juny · sèrie 5extraordinària · Ets aquí
2025juny · sèrie 1 juny · sèrie 4 extraordinària
2024juny · sèrie 1 juny · sèrie 5 extraordinària
2023juny · sèrie 1 juny · sèrie 5 extraordinària
2022juny · sèrie 2 juny · sèrie 5 extraordinària

Practica cada tema

Cada tema d’aquest examen té la seva pàgina amb tots els exercicis de la PAU de Matemàtiques CCSS de 2022 a 2026.

Sistemes d’equacions Funcions i derivades Probabilitat Inferència estadística Matrius Tots els temes de Matemàtiques CCSS

Preguntes freqüents

Com era l’examen extraordinari de Matemàtiques CCSS del 2026?

L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades i indiqueu-la a la portada. Per temes, els punts eren: sistemes d’equacions (2,5 punts), funcions i derivades (2,5 punts), probabilitat (1,25 punts) i inferència estadística (1,25 punts). Exercici 4, a triar: opció A, probabilitat i sistemes d’equacions; opció B, funcions i derivades i matrius.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada apartat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. En 2 dels 4 exercicis la nostra resposta no coincideix del tot amb la pauta (per un error de la pauta i per arrodoniment): ho expliquem al costat de la solució.

On són l’examen oficial i la pauta?

Als enllaços de dalt de tot: el PDF de l’examen en català i en castellà i el de la pauta de correcció, al web de la Generalitat. El botó d’imprimir prepara l’examen amb espai per respondre i les solucions a part.

Solucions escrites per EducaIA i contrastades una a una amb la pauta oficial de correcció.

Com fem i comprovem els exercicis

Matemàtiques CCSS, PAU 2026 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Què hi entrava, en punts

Els exercicis de l’examen

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

1.11,5 punts

1.21 punt

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2.10,75 punts

2.20,75 punts

2.31 punt

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 3

3.11,25 punts

3.21,25 punts

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

4.11,5 punts

4.21 punt

4.11,5 punts

4.21 punt

Els altres exàmens de Matemàtiques CCSS, resolts

Practica cada tema

Preguntes freqüents

Tens la PAU de Matemàtiques CCSS aquest curs?