Inferència estadística: exercicis de la PAU de Matemàtiques CCSS resolts

Els 10 exercicis d’inferència estadística de la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya de 2024 a 2026: l’enunciat tal com va sortir a l’examen i la solució pas a pas, contrastada amb la pauta de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra, et diem per què.

Exàmens sencers amb aquest tema:2026 · juny · sèrie 12026 · juny · sèrie 52026 · extraordinària2025 · juny · sèrie 12025 · juny · sèrie 42025 · extraordinària2024 · juny · sèrie 12024 · juny · sèrie 52024 · extraordinària

El que més s’ha repetit als exàmens

Els tipus d’apartat que més s’han repetit en aquest tema, com es resolen i en quants dels 9 exàmens amb exercicis d’aquest tema (2024–2026) han sortit. És el que ha passat, no una predicció. Des del 2025 l’examen segueix el nou model de la PAU: entre parèntesis, el recompte d’aquests anys.

En 9 de 9 exàmens (6 de 6 des del 2025)

  1. Tria la fórmula de les que dona l’enunciat segons les dades: proporció (mostra gran), mitjana amb σ\sigma coneguda o mitjana de mostra gran amb σ\sigma desconeguda (es fa servir ss). Anota zγz_\gamma (1,961{,}96 per al 95 %, 2,582{,}58 per al 99 %).

  2. Calcula l’estimador de la mostra: la mitjana xˉ\bar x (suma de les dades entre nn) o la proporció p^\hat p (èxits entre nn). Si demanen l’estimació com a percentatge, multiplica per 100100.

    p^=eˋxitsn\hat p=\frac{\text{èxits}}{n}xˉ=∑xin\bar x=\frac{\sum x_i}{n}

  3. Substitueix cada paràmetre a la fórmula i calcula el marge d’error i els dos extrems.

    [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

  4. Compara l’interval amb el valor de referència (580 kg, 3 segons, 30 minuts, la proporció d’abans): si el valor és a dins, no pots afirmar que hagi canviat; si tot l’interval queda a un costat, sí.

Els exercicis, del més recent al més antic

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Probabilitat
Enunciat oficial

Una empresa de telecomunicacions considera que una pàgina web és eficient si el seu temps de càrrega és inferior a 3 segons. L’empresa afirma que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients. Per comprovar aquesta afirmació, seleccionem una mostra aleatòria de n=2.500n=2.500 pàgines web gestionades per aquesta empresa.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — per a la proporció (mostres grans): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2\sigma^2 coneguda): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2\sigma^2 desconeguda): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

3.1 Suposem que, cada vegada que seleccionem una pàgina web per a la mostra, aquesta pot ser eficient (o no ser-ho) amb una probabilitat p=0,5p=0{,}5 i que el fet que una pàgina sigui eficient (o no) és independent del fet que la resta de pàgines ho siguin (o no). Considerem la variable aleatòria XX, que compta el nombre de pàgines, d’entre les 2.500 de la mostra, que són eficients.

Quina distribució té la variable XX? Calculeu la probabilitat que com a molt 1.299 pàgines siguin eficients. Per a fer-ho, utilitzeu l’aproximació per la distribució normal sense fer la correcció per continuïtat.

[1,25 punts]

3.2 En la mostra de n=2.500n=2.500 pàgines web, hem obtingut una mitjana mostral del temps de càrrega de xˉ=2,95\bar x=2{,}95 segons i una desviació típica mostral de s=0,38s=0{,}38 segons. Suposeu que el temps de càrrega de les pàgines web segueix una distribució normal

Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà de càrrega de les pàgines web que gestiona l’empresa. A partir de l’interval obtingut, què podem dir sobre l’afirmació de l’empresa que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.11,25 punts

Plantejament XX compta els èxits (pàgines eficients) en 2 5002\,500 proves independents amb la mateixa probabilitat p=0,5p=0{,}5: és una binomial. Com que nn és gran, l’aproximem per una normal amb la mateixa mitjana i la mateixa variància, i tipifiquem.

  1. Distribució de XX:

    X∼B(n=2 500, p=0,5)X\sim B(n=2\,500,\ p=0{,}5)

  2. Mitjana i desviació típica de la binomial:

    μ=np=2 500⋅0,5=1 250\mu=np=2\,500\cdot 0{,}5=1\,250σ\sigma=np(1−p){}= \sqrt{np(1-p)}=2 500⋅0,5⋅0,5{}= \sqrt{2\,500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=625{}= \sqrt{625}=25{}= 25

  3. Aproximem XX per una normal de mitjana 1 2501\,250 i desviació típica 2525 (sense correcció per continuïtat) i tipifiquem:

    P(X≤1 299)P(X\le 1\,299)≈P(Z≤1 299−1 25025){}\approx P\left(Z\le \frac{1\,299-1\,250}{25}\right)=P(Z≤1,96){}= P(Z\le 1{,}96)

  4. De la dada P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95, per simetria cada cua deixa 1−0,952=0,025\frac{1-0{,}95}{2}=0{,}025:

    P(Z≤1,96)=0,95+0,025=0,975P(Z\le 1{,}96)=0{,}95+0{,}025=0{,}975

ResultatX∼B(2 500; 0,5)X\sim B(2\,500;\ 0{,}5) i P(X≤1 299)≈0,975P(X\le 1\,299)\approx 0{,}975.

La pauta oficial dona: X∼B(2500, 0,5)X\sim B(2500,\ 0{,}5); P(X≤1299)P(X\le 1299)≈P(Z≤1,96){}\approx P(Z\le 1{,}96)=0,975{}= 0{,}975

3.21,25 punts

Plantejament La mostra és gran i no coneixem σ\sigma, així que fem servir la tercera fórmula, amb la desviació típica mostral ss; per al 95 %, zγ=1,96z_\gamma=1{,}96. Després comparem l’interval amb els 3 segons.

  1. Marge d’error:

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅0,382 500{}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{\sqrt{2\,500}}=1,96⋅0,3850{}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{50}=1,96⋅0,0076{}= 1{,}96\cdot 0{,}0076=0,014896{}= 0{,}014896

  2. Extrems de l’interval:

    2,95−0,014896≈2,93512{,}95-0{,}014896\approx 2{,}93512,95+0,014896≈2,96492{,}95+0{,}014896\approx 2{,}9649

  3. Tot l’interval queda per sota de 3 segons, així que, amb una confiança del 95 %, el temps mitjà μ\mu és inferior a 3 segons.

  4. El temps de càrrega TT és normal, i la normal és simètrica respecte de la seva mitjana: la meitat de les pàgines tarda menys que μ\mu. Si μ<3\mu<3:

    P(T<3)>P(T<μ)=0,5P(T<3)>P(T<\mu)=0{,}5

ResultatL’interval de confiança del 95 % és [2,9351; 2,9649][2{,}9351;\ 2{,}9649] segons. Com que queda tot per sota de 3 segons, les dades són coherents amb l’afirmació de l’empresa: més de la meitat de les pàgines carreguen en menys de 3 segons, és a dir, són eficients.

La pauta oficial dona: [2,9351, 2,9649][2{,}9351,\ 2{,}9649]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Probabilitat
Enunciat oficial

Al campus d’una universitat, el 45 % de l’alumnat hi arriba en tren, el 35 % en autobús i la resta utilitzant mitjans propis. Dels usuaris del tren, el 70 % usa la T-jove, mentre que el 30 % restant fa servir altres tipus de bitllets. Dels usuaris de l’autobús, el 60 % utilitza la T-jove i el 40 % usa altres tipus de bitllets. Dels que arriben al campus per mitjans propis, cap no fa servir la T-jove.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — per a la proporció (mostres grans): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2\sigma^2 coneguda): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2\sigma^2 desconeguda): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

2.1 Si escollim un alumne a l’atzar, quina és la probabilitat que faci servir la T-jove per a arribar al campus? Si sabem que un alumne usa la T-jove per a arribar-hi, quina és la probabilitat que ho faci en tren?

[1,25 punts]

2.2 Volem fer un estudi per a saber quant temps tarda l’alumnat a arribar al campus de la universitat des que surt per la porta de casa. Per això vam demanar a una mostra de 300 estudiants que calculessin aquesta dada un dia determinat. Vam obtenir que aquests 300 estudiants de mitjana havien tardat 53 minuts a arribar al campus, i que la desviació típica era de 8 minuts.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per al temps que tarden els alumnes a arribar al campus.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

2.11,25 punts

Plantejament Es demanen dues probabilitats: la que un alumne faci servir la T-jove (probabilitat total, amb els tres mitjans de transport) i la que arribi en tren sabent que fa servir la T-jove (Bayes). Anomenem TT, BB i MM arribar en tren, en autobús i per mitjans propis, i JJ fer servir la T-jove.

  1. Dades (els mitjans propis són la resta, 1−0,45−0,35=0,21-0{,}45-0{,}35=0{,}2):

    P(T)=0,45P(T)=0{,}45P(B)=0,35P(B)=0{,}35P(M)=0,2P(M)=0{,}2P(J∣T)=0,7P(J\mid T)=0{,}7P(J∣B)=0,6P(J\mid B)=0{,}6P(J∣M)=0P(J\mid M)=0

  2. Probabilitat total:

    P(J)P(J)=P(T) P(J∣T){}= P(T)\,P(J\mid T)+P(B) P(J∣B){}+P(B)\,P(J\mid B)+P(M) P(J∣M){}+P(M)\,P(J\mid M)=0,45⋅0,7+0,35⋅0,6{}= 0{,}45\cdot 0{,}7+0{,}35\cdot 0{,}6+0,2⋅0{}+0{,}2\cdot 0=0,315+0,21{}= 0{,}315+0{,}21=0,525{}= 0{,}525

  3. Bayes:

    P(T∣J)P(T\mid J)=P(T) P(J∣T)P(J){}= \frac{P(T)\,P(J\mid T)}{P(J)}=0,3150,525{}= \frac{0{,}315}{0{,}525}=35=0,6{}= \frac{3}{5}=0{,}6

ResultatLa probabilitat que un alumne escollit a l’atzar faci servir la T-jove és P(J)=0,525P(J)=0{,}525. Si fa servir la T-jove, la probabilitat que arribi en tren és P(T∣J)=0,6P(T\mid J)=0{,}6.

La pauta oficial dona: P(J)=0,525P(J)=0{,}525; P(T∣J)=35=0,6P(T\mid J)=\frac{3}{5}=0{,}6

2.21,25 punts

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que tarda l’alumnat a arribar al campus. La mostra és gran (n=300n=300) i la desviació típica que tenim és la de la mostra, s=8s=8, així que fem servir la tercera fórmula amb zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Dades:

    n=300n=300xˉ=53\bar x=53s=8s=8zγ=1,96z_\gamma=1{,}96

  2. Error típic i marge d’error:

    sn=8300≈0,46188\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{300}}\approx 0{,}46188zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅0,46188{}= 1{,}96\cdot 0{,}46188≈0,9053{}\approx 0{,}9053

  3. Extrems de l’interval:

    53−0,9053≈52,0953-0{,}9053\approx 52{,}0953+0,9053≈53,9153+0{,}9053\approx 53{,}91

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que tarda l’alumnat a arribar al campus és [52,09; 53,91][52{,}09;\ 53{,}91] minuts.

La pauta oficial dona: [52,0947; 53,9053][52{,}0947;\ 53{,}9053]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Probabilitat
Enunciat oficial

En una assignatura d’un màster de dos anys, el 70 % dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d’aprovar l’assignatura és del 60 % per als estudiants de primer curs i del 85 % per als de segon curs.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — per a la proporció (mostres grans): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2\sigma^2 coneguda): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2\sigma^2 desconeguda): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

3.1 Si escollim un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que aprovi l’assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l’assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs?

[1,25 punts]

3.2 El professor vol estimar la nova proporció d’estudiants que aproven l’assignatura després d’introduir un nou mètode d’ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de n=80n=80 estudiants i observa que 55 d’ells han aprovat.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció pp d’aprovats amb el nou mètode. L’interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d’aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.11,25 punts

Plantejament Anomenem P1P_1 i P2P_2 «ser de primer» i «ser de segon» curs, i AA «aprovar». La probabilitat d’aprovar surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de primer sabent que ha aprovat, del teorema de Bayes.

  1. Dades:

    P(P1)=0,70P(P_1)=0{,}70P(P2)=1−0,70=0,30P(P_2)=1-0{,}70=0{,}30P(A∣P1)=0,60P(A\mid P_1)=0{,}60P(A∣P2)=0,85P(A\mid P_2)=0{,}85

  2. Probabilitat total:

    P(A)P(A)=P(P1)P(A∣P1){}= P(P_1)P(A\mid P_1)+P(P2)P(A∣P2){}+P(P_2)P(A\mid P_2)=0,70⋅0,60+0,30⋅0,85{}= 0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}30\cdot 0{,}85=0,42+0,255{}= 0{,}42+0{,}255=0,675{}= 0{,}675

  3. Bayes:

    P(P1∣A)P(P_1\mid A)=P(P1)P(A∣P1)P(A){}= \frac{P(P_1)P(A\mid P_1)}{P(A)}=0,420,675{}= \frac{0{,}42}{0{,}675}=2845{}= \frac{28}{45}≈0,6222{}\approx 0{,}6222

ResultatP(A)=0,675P(A)=0{,}675 i P(P1∣A)=2845≈0,6222P(P_1\mid A)=\dfrac{28}{45}\approx 0{,}6222.

La pauta oficial dona: P(A)=0,675P(A)=0{,}675; P(P1∣A)=2845≈0,6222P(P_1\mid A)=\frac{28}{45}\approx 0{,}6222

3.21,25 punts

Plantejament La mostra és gran, així que fem servir la fórmula de l’interval per a la proporció amb zγ=1,96z_\gamma=1{,}96. Després mirem si la proporció d’abans, 0,6750{,}675 (apartat 3.1), queda dins de l’interval.

  1. Proporció mostral:

    p^=5580=0,6875\hat p=\frac{55}{80}=0{,}6875

  2. Error típic:

    p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=0,6875⋅0,312580{}= \sqrt{\frac{0{,}6875\cdot 0{,}3125}{80}}=1164{}= \frac{\sqrt{11}}{64}≈0,05182{}\approx 0{,}05182

  3. Marge d’error:

    1,96⋅0,05182≈0,10161{,}96\cdot 0{,}05182\approx 0{,}1016

  4. Extrems:

    0,6875−0,1016=0,58590{,}6875-0{,}1016=0{,}58590,6875+0,1016=0,78910{,}6875+0{,}1016=0{,}7891

  5. La proporció d’aprovats d’abans, 0,6750{,}675, és dins de l’interval:

    0,5859<0,675<0,78910{,}5859<0{,}675<0{,}7891

ResultatL’interval de confiança del 95 % és [0,5859; 0,7891][0{,}5859;\ 0{,}7891]. Com que conté el valor anterior, 0,6750{,}675, no podem afirmar amb una confiança del 95 % que el nou mètode hagi millorat la taxa d’aprovats.

La pauta oficial dona: [0,5859; 0,7891][0{,}5859;\ 0{,}7891]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Probabilitat
Enunciat oficial

Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — per a la proporció (mostres grans): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2\sigma^2 coneguda): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2\sigma^2 desconeguda): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg.

[1 punt]

b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l’atzar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta.

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Si XX és el pes, X∼N(580, 25)X\sim N(580,\,25) (mitjana i desviació típica). Tipifiquem amb Z=X−58025Z=\frac{X-580}{25} i fem servir el valor de ZZ que dona l’enunciat.

  1. Tipifiquem els dos extrems:

    531−58025=−4925=−1,96\frac{531-580}{25}=\frac{-49}{25}=-1{,}96629−58025=4925=1,96\frac{629-580}{25}=\frac{49}{25}=1{,}96

  2. Per tant:

    P(531≤X≤629)P(531\le X\le 629)=P(−1,96≤Z≤1,96){}= P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95

ResultatP(531≤X≤629)=0,95P(531\le X\le 629)=0{,}95.

La pauta oficial dona: P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95

b)1,5 punts

Plantejament La població és normal amb σ=25\sigma=25 coneguda, així que fem servir la segona fórmula amb zγ=1,96z_\gamma=1{,}96. Si l’interval conté 580 kg, les dades no permeten dir que la mitjana hagi canviat.

  1. Mitjana de la mostra:

    xˉ\bar x=569+575+611+581+583+614+589+555+566+57110{}= \frac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}=5 81410{}= \frac{5\,814}{10}=581,4{}= 581{,}4

  2. Marge d’error:

    zγσnz_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96⋅2510{}= 1{,}96\cdot\frac{25}{\sqrt{10}}=4910{}= \frac{49}{\sqrt{10}}≈15,50{}\approx 15{,}50

  3. Extrems de l’interval:

    581,4−4910≈565,90581{,}4-\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 565{,}90581,4+4910≈596,90581{,}4+\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 596{,}90

  4. El valor d’abans, 580580, és dins de l’interval:

    565,90<580<596,90565{,}90<580<596{,}90

ResultatL’interval de confiança del 95 % és [565,90; 596,90][565{,}90;\ 596{,}90] kg. Com que conté 580580 kg, amb una confiança del 95 % no podem afirmar que la mitjana del pes hagi canviat.

La pauta oficial dona: xˉ=581,4\bar x=581{,}4; [565,9048, 596,8952][565{,}9048,\ 596{,}8952]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Probabilitat
Enunciat oficial

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — per a la proporció (mostres grans): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2\sigma^2 coneguda): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2\sigma^2 desconeguda): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica?

[1,25 punts]

b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un 15 % de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de 100 bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només 8 han requerit una revisió postvenda.

A partir d’aquestes dades, trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Es demanen dues probabilitats: la que una bicicleta necessiti revisió postvenda (probabilitat total) i la que sigui elèctrica sabent que l’ha necessitada (Bayes). Anomenem CC «és convencional», EE «és elèctrica» i RR «ha necessitat una revisió postvenda».

  1. Dades:

    P(C)=0,25P(C)=0{,}25P(E)=0,75P(E)=0{,}75P(R∣C)=0,05P(R\mid C)=0{,}05P(R∣E)=0,15P(R\mid E)=0{,}15

  2. Probabilitat total:

    P(R)P(R)=P(C) P(R∣C){}= P(C)\,P(R\mid C)+P(E) P(R∣E){}+P(E)\,P(R\mid E)=0,25⋅0,05+0,75⋅0,15{}= 0{,}25\cdot 0{,}05+0{,}75\cdot 0{,}15=0,0125+0,1125{}= 0{,}0125+0{,}1125=0,125{}= 0{,}125

  3. Bayes:

    P(E∣R)P(E\mid R)=P(E) P(R∣E)P(R){}= \frac{P(E)\,P(R\mid E)}{P(R)}=0,11250,125{}= \frac{0{,}1125}{0{,}125}=0,9{}= 0{,}9

ResultatLa probabilitat que una bicicleta escollida a l’atzar necessiti revisió postvenda és P(R)=0,125P(R)=0{,}125. Si l’ha necessitada, la probabilitat que sigui elèctrica és P(E∣R)=0,9P(E\mid R)=0{,}9.

La pauta oficial dona: P(R)=0,125P(R)=0{,}125; P(E∣R)=0,9P(E\mid R)=0{,}9

b)1,25 punts

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per a la proporció de bicicletes elèctriques que necessiten revisió, i decidir si ha baixat del 15 %. La mostra és gran (n=100n=100), així que fem servir la fórmula de la proporció amb zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Proporció de la mostra:

    p^=8100=0,08\hat p=\frac{8}{100}=0{,}08

  2. Error típic:

    p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=0,08⋅0,92100{}= \sqrt{\frac{0{,}08\cdot 0{,}92}{100}}=0,000736{}= \sqrt{0{,}000736}≈0,027129{}\approx 0{,}027129

  3. Marge d’error:

    zγp^(1−p^)nz_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=1,96⋅0,027129{}= 1{,}96\cdot 0{,}027129≈0,053173{}\approx 0{,}053173

  4. Extrems:

    0,08−0,053173≈0,02680{,}08-0{,}053173\approx 0{,}02680,08+0,053173≈0,13320{,}08+0{,}053173\approx 0{,}1332

  5. El valor d’abans, 0,150{,}15, queda fora de l’interval, per sobre del seu extrem superior:

    0,1332<0,150{,}1332<0{,}15

ResultatL’interval de confiança del 95 % per a la proporció és [0,0268; 0,1332][0{,}0268;\ 0{,}1332], és a dir, entre un 2,68 %2{,}68\ \% i un 13,32 %13{,}32\ \%. Com que tot l’interval queda per sota de 0,150{,}15, amb una confiança del 95 % sí que es pot afirmar que la proporció ha disminuït.

La pauta oficial dona: p^=0,08\hat p=0{,}08; [0,0268; 0,1332][0{,}0268;\ 0{,}1332] (entre el 2,6 %2{,}6\ \% i el 13,3 %13{,}3\ \%)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Matrius, Funcions i derivades, Sistemes d’equacions
Enunciat oficial

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) L’empresa necessita 300 litres d’oli, 700 kg de farina i 25 kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic?

[1,25 punts]

b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de 0,5 €. Si l’empresa el ven per 1,1 €, es venen 1.000 paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada 0,01 € que s’apuja el preu de venda del paquet disminueix en 10 el nombre de paquets venuts. Anomenarem xx el nombre de cops que apugem 0,01 € el preu de venda del paquet.

Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de xx i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim. Quin és aquest benefici?

[1,25 punts]

OPCIÓ B

a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat 1.320 €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el 30 % dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat?

[1,25 punts]

b) En el control de qualitat, s’ha pres una mostra a l’atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s’han obtingut els valors següents:

501, 506, 497, 495, 503, 491, 512, 505, 499.

Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 4 g. A partir d’aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l’etiqueta que diu que els paquets són de 500 g és incorrecta.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1,25 punts

Plantejament Es demana escriure les dades en forma de matrius i calcular amb un producte el cost de la comanda a cada proveïdor. Posem els proveïdors a les files i els productes (oli, farina, sal) a les columnes de la matriu de preus; la comanda és un vector columna amb els productes en el mateix ordre.

  1. Matriu de preus PP (files: proveïdors 1r, 2n i 3r; columnes: oli en €/L, farina i sal en €/kg):

    PP=(30,613,510,72,50,80,9){}= \begin{pmatrix}3&0{,}6&1\\ 3{,}5&1&0{,}7\\ 2{,}5&0{,}8&0{,}9\end{pmatrix}

  2. Vector columna de la comanda QQ (litres d’oli, kg de farina, kg de sal). Una matriu 3×33\times 3 per una 3×13\times 1 dona una 3×13\times 1, un cost per proveïdor:

    QQ=(30070025){}= \begin{pmatrix}300\\ 700\\ 25\end{pmatrix}

  3. Producte, cada fila per la comanda:

    P⋅QP\cdot Q=(3⋅300+0,6⋅700+1⋅253,5⋅300+1⋅700+0,7⋅252,5⋅300+0,8⋅700+0,9⋅25){}= \begin{pmatrix}3\cdot 300+0{,}6\cdot 700+1\cdot 25\\ 3{,}5\cdot 300+1\cdot 700+0{,}7\cdot 25\\ 2{,}5\cdot 300+0{,}8\cdot 700+0{,}9\cdot 25\end{pmatrix}=(900+420+251 050+700+17,5750+560+22,5){}= \begin{pmatrix}900+420+25\\ 1\,050+700+17{,}5\\ 750+560+22{,}5\end{pmatrix}=(1 3451 767,51 332,5){}= \begin{pmatrix}1\,345\\ 1\,767{,}5\\ 1\,332{,}5\end{pmatrix}

ResultatLa comanda costa 1 3451\,345 € amb el primer proveïdor, 1 767,51\,767{,}5 € amb el segon i 1 332,51\,332{,}5 € amb el tercer. El més econòmic és el tercer proveïdor.

La pauta oficial dona: P⋅Q=(1345; 1767,5; 1332,5)P\cdot Q=(1345;\ 1767{,}5;\ 1332{,}5); el tercer proveïdor

b)1,25 punts

Plantejament Es demana el benefici diari en funció de xx, el preu de venda que el fa màxim i aquest benefici. Si el preu puja xx cops 0,01 €, el paquet es ven a 1,1+0,01x1{,}1+0{,}01x euros i es venen 1 000−10x1\,000-10x paquets; cada paquet deixa de benefici el seu preu menys els 0,50{,}5 € que costa produir-lo.

  1. Benefici per paquet:

    1,1+0,01x−0,5=0,6+0,01x1{,}1+0{,}01x-0{,}5=0{,}6+0{,}01x

  2. Benefici diari: benefici per paquet pels paquets venuts (amb 0≤x≤1000\le x\le 100, perquè el nombre de paquets no sigui negatiu):

    B(x)B(x)=(0,6+0,01x)(1 000−10x){}= (0{,}6+0{,}01x)(1\,000-10x)=600−6x+10x−0,1x2{}= 600-6x+10x-0{,}1x^2=−0,1x2+4x+600{}= -0{,}1x^2+4x+600

  3. Derivem i igualem a zero:

    B′(x)B'(x)=−0,2x+4=0{}= -0{,}2x+4=0⟹x=40,2{}\Longrightarrow x=\frac{4}{0{,}2}=20{}= 20

  4. Signe de la derivada a cada costat: BB creix abans de x=20x=20 i decreix després, així que a x=20x=20 hi ha un màxim:

    B′(10)=2>0B'(10)=2>0B′(30)=−2<0B'(30)=-2<0

  5. Preu de venda i benefici màxim:

    1,1+0,01⋅20=1,31{,}1+0{,}01\cdot 20=1{,}3B(20)B(20)=(0,6+0,2)(1 000−200){}= (0{,}6+0{,}2)(1\,000-200)=0,8⋅800{}= 0{,}8\cdot 800=640{}= 640

ResultatB(x)=−0,1x2+4x+600B(x)=-0{,}1x^2+4x+600 euros diaris. El benefici és màxim si el paquet es ven a 1,301{,}30 €, i aleshores és de 640640 € al dia (es venen 800800 paquets).

La pauta oficial dona: B(x)=−0,1x2+4x+600B(x)=-0{,}1x^2+4x+600; x=20x=20; 1,3 €1{,}3\ \text{€}; B(20)=640 €B(20)=640\ \text{€}

Opció B

a)1,25 punts

Plantejament Es demana quant oli, farina i sal s’ha comprat al primer proveïdor (oli a 3 €/L, farina a 0,6 €/kg i sal a 1 €/kg). Anomenem xx els litres d’oli, yy els quilos de farina i zz els quilos de sal; cada dada és una equació.

  1. Despesa total:

    3x+0,6y+z=1 3203x+0{,}6y+z=1\,320

  2. El triple de farina que de sal:

    y=3zy=3z

  3. El que s’ha gastat en farina, 0,6y0{,}6y, és el 30 % del que s’ha gastat en oli, 3x3x:

    0,6y0{,}6y=0,3⋅3x{}= 0{,}3\cdot 3x⟹0,6y{}\Longrightarrow 0{,}6y=0,9x{}= 0{,}9x⟹y=1,5x{}\Longrightarrow y=1{,}5x

  4. De les dues últimes equacions, z=y3=0,5xz=\frac{y}{3}=0{,}5x. Substituïm yy i zz a la primera:

    3x+0,6⋅1,5x+0,5x3x+0{,}6\cdot 1{,}5x+0{,}5x=1 320{}= 1\,320⟹4,4x{}\Longrightarrow 4{,}4x=1 320{}= 1\,320⟹x=300{}\Longrightarrow x=300

  5. Les altres dues quantitats:

    y=1,5⋅300=450y=1{,}5\cdot 300=450z=0,5⋅300=150z=0{,}5\cdot 300=150

  6. Comprovació de la despesa total:

    3⋅300+0,6⋅450+1503\cdot 300+0{,}6\cdot 450+150=900+270+150{}= 900+270+150=1 320{}= 1\,320

ResultatS’han comprat 300300 litres d’oli, 450450 kg de farina i 150150 kg de sal.

La pauta oficial dona: x=300x=300, y=450y=450, z=150z=150

b)1,25 punts

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al pes mitjà dels paquets i decidir si l’etiqueta de 500 g és incorrecta. El pes és normal amb desviació típica coneguda, σ=4\sigma=4 g, així que fem servir la fórmula de la mitjana amb σ\sigma coneguda i zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Mitjana de la mostra (n=9n=9):

    xˉ\bar x=501+506+497+495+503+491+512+505+4999{}= \frac{501+506+497+495+503+491+512+505+499}{9}=4 5099{}= \frac{4\,509}{9}=501{}= 501

  2. Marge d’error:

    zγσnz_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96⋅49{}= 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{9}}=1,96⋅43{}= 1{,}96\cdot\frac{4}{3}≈2,6133{}\approx 2{,}6133

  3. Extrems de l’interval:

    501−2,6133≈498,39501-2{,}6133\approx 498{,}39501+2,6133≈503,61501+2{,}6133\approx 503{,}61

  4. El pes de l’etiqueta, 500500 g, és dins de l’interval:

    498,39<500<503,61498{,}39<500<503{,}61

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al pes mitjà és [498,39; 503,61][498{,}39;\ 503{,}61] g. Com que conté 500500 g, amb una confiança del 95 % no es pot afirmar que l’etiqueta sigui incorrecta.

La pauta oficial dona: xˉ=501\bar x=501; [498,39; 503,61][498{,}39;\ 503{,}61]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Probabilitat
Enunciat oficial

En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu. Un cop dins del parc, els visitants poden fer una ruta guiada o bé visitar-lo pel seu compte.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• ZZ∼normal (0,1){}\sim \text{normal}\,(0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96){}\to P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0,95{}= 0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) — per a la proporció (mostres grans): [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2\sigma^2 coneguda): [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2\sigma^2 desconeguda): [xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

a) Sabem que el 60 % dels visitants hi accedeixen en cotxe, el 15 % en bicicleta i el 25 % restant a peu. També sabem que dels que hi arriben en cotxe el 80 % fan la ruta guiada, mentre que dels que hi arriben en bicicleta la fan el 60 % i dels que hi arriben a peu només la fan el 30 %.

Si escollim un visitant a l’atzar, quina és la probabilitat que faci la ruta guiada? Si sabem que ha fet la ruta guiada, quina és la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe?

[1,25 punts]

b) Volem fer un estudi del temps que passen de mitjana els visitants dins del parc. Hem preguntat a 100 visitants quanta estona han estat dins del parc i hem obtingut una mitjana de 231 minuts amb una desviació típica de 32 minuts.

Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que passen els visitants dins del parc.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Anomenem CC, BB i PP l’accés en cotxe, en bicicleta i a peu, i RR «fer la ruta guiada». La probabilitat de fer la ruta surt del teorema de la probabilitat total, i la d’haver vingut en cotxe sabent que l’ha feta, del teorema de Bayes.

  1. Dades:

    P(C)P(C)=0,6, P(B){}= 0{,}6,\ P(B)=0,15, P(P){}= 0{,}15,\ P(P)=0,25{}= 0{,}25P(R∣C)P(R\mid C)=0,8, P(R∣B){}= 0{,}8,\ P(R\mid B)=0,6, P(R∣P){}= 0{,}6,\ P(R\mid P)=0,3{}= 0{,}3

  2. Probabilitat total:

    P(R)P(R)=0,6⋅0,8+0,15⋅0,6{}= 0{,}6\cdot 0{,}8+0{,}15\cdot 0{,}6+0,25⋅0,3{}+0{,}25\cdot 0{,}3=0,48+0,09+0,075{}= 0{,}48+0{,}09+0{,}075=0,645{}= 0{,}645

  3. Bayes:

    P(C∣R)P(C\mid R)=P(C)P(R∣C)P(R){}= \frac{P(C)P(R\mid C)}{P(R)}=0,480,645{}= \frac{0{,}48}{0{,}645}=3243{}= \frac{32}{43}≈0,7442{}\approx 0{,}7442

ResultatP(R)=0,645P(R)=0{,}645 i P(C∣R)=3243≈0,7442P(C\mid R)=\dfrac{32}{43}\approx 0{,}7442.

La pauta oficial dona: P(R)=0,645P(R)=0{,}645; P(C∣R)=0,7442P(C\mid R)=0{,}7442

b)1,25 punts

Plantejament La mostra és gran (n=100n=100) i no coneixem σ\sigma: fem servir la tercera fórmula, amb la desviació típica de la mostra s=32s=32 i zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Marge d’error:

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅32100{}= 1{,}96\cdot\frac{32}{\sqrt{100}}=1,96⋅3,2{}= 1{,}96\cdot 3{,}2=6,272{}= 6{,}272

  2. Extrems de l’interval:

    231−6,272≈224,73231-6{,}272\approx 224{,}73231+6,272≈237,27231+6{,}272\approx 237{,}27

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al temps mitjà és [224,73; 237,27][224{,}73;\ 237{,}27] minuts.

La pauta oficial dona: [224,728; 237,272][224{,}728;\ 237{,}272]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 6

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferent
Enunciat oficial

Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d’un poliesportiu municipal en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de 350 persones, 218 de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra.

a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu.

[1 punt]

b) Escriviu un interval de confiança del 95 % per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població.

Nota: Recordeu que, si ZZ segueix una distribució normal (0,1)(0,1), P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95. Recordeu també que, per a mostres grans, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) és donat per [p^−zγp^(1−p^)n, p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right].

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament L’estimació puntual de la proporció de la població és la proporció de la mostra, p^=favorablesn\hat p=\frac{\text{favorables}}{n}.

  1. Proporció mostral, amb n=350n=350:

    p^=218350=109175≈0,6229\hat p=\frac{218}{350}=\frac{109}{175}\approx 0{,}6229

  2. En percentatge:

    0,6229⋅100≈62,29 %0{,}6229\cdot 100\approx 62{,}29\ \%

Resultatp^=109175≈0,6229\hat p=\dfrac{109}{175}\approx 0{,}6229, és a dir, un 62,29 %62{,}29\ \% de persones a favor.

La pauta oficial dona: p^=0,6229\hat p=0{,}6229; 62,29 %62{,}29\ \%

b)1,5 punts

Plantejament La mostra és gran (n=350n=350), així que fem servir la fórmula de la nota amb zγ=1,96z_\gamma=1{,}96 (confiança del 95 %). Per no arrossegar errors, fem servir p^\hat p sense arrodonir i arrodonim només els extrems.

  1. Error típic:

    p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=109175⋅66175350{}= \sqrt{\frac{\frac{109}{175}\cdot\frac{66}{175}}{350}}≈0,025907{}\approx 0{,}025907

  2. Marge d’error:

    zγp^(1−p^)nz_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=1,96⋅0,025907{}= 1{,}96\cdot 0{,}025907≈0,05078{}\approx 0{,}05078

  3. Extrems de l’interval (p^≈0,62286\hat p\approx 0{,}62286):

    0,62286−0,05078≈0,57210{,}62286-0{,}05078\approx 0{,}57210,62286+0,05078≈0,67360{,}62286+0{,}05078\approx 0{,}6736

ResultatL’interval de confiança del 95 % per a la proporció és [0,5721; 0,6736][0{,}5721;\ 0{,}6736]: el percentatge de persones a favor és entre el 57,21 %57{,}21\ \% i el 67,36 %67{,}36\ \%, amb una confiança del 95 %.

La pauta oficial dona: [57,21 %; 67,37 %][57{,}21\ \%;\ 67{,}37\ \%]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferent
Enunciat oficial

Es vol saber el temps mitjà, en minuts, que l’alumnat d’un institut passa diàriament connectat a una xarxa social determinada. S’ha seleccionat una mostra de 175 estudiants i se’ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra s’ha obtingut una mitjana de 90 minuts, amb una desviació típica de 7 minuts.

Nota: Per a resoldre aquest problema, recordeu que, si ZZ segueix una distribució normal (0,1)(0,1), P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95 i P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99. Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) quan la variància σ2\sigma^2 és desconeguda i la mostra és gran és donat per

[xˉ−zγsn, xˉ+zγsn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right].

a) Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que l’alumnat passa diàriament connectat a aquesta xarxa social.

[1 punt]

b) Construïu un interval de confiança del 99 % per al temps mitjà que l’alumnat passa diàriament connectat a aquesta xarxa social. Expliqueu per què aquest interval i el de l’apartat anterior són diferents i quina informació ens dona exactament cada un.

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà diari. La mostra és gran (n=175n=175) i no coneixem la desviació típica de la població, així que fem servir la fórmula de la nota amb la desviació típica de la mostra, s=7s=7, i zγ=1,96z_\gamma=1{,}96.

  1. Dades:

    n=175n=175xˉ=90\bar x=90s=7s=7zγ=1,96z_\gamma=1{,}96

  2. Error típic de la mitjana:

    sn=7175≈0,52915\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{175}}\approx 0{,}52915

  3. Marge d’error:

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96⋅0,52915{}= 1{,}96\cdot 0{,}52915≈1,0371{}\approx 1{,}0371

  4. Extrems de l’interval:

    90−1,0371≈88,9690-1{,}0371\approx 88{,}9690+1,0371≈91,0490+1{,}0371\approx 91{,}04

ResultatL’interval de confiança del 95 % per al temps mitjà és [88,96; 91,04][88{,}96;\ 91{,}04] minuts diaris.

La pauta oficial dona: [88,9629; 91,0371][88{,}9629;\ 91{,}0371]

b)1,5 punts

Plantejament Es demana l’interval del 99 % i explicar per què és diferent de l’anterior i què diu cadascun. Amb les mateixes dades, només canvia zγz_\gamma: per al 99 % és 2,582{,}58.

  1. Marge d’error amb zγ=2,58z_\gamma=2{,}58 (l’error típic és el mateix, 0,529150{,}52915):

    zγsnz_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}=2,58⋅0,52915{}= 2{,}58\cdot 0{,}52915≈1,3652{}\approx 1{,}3652

  2. Extrems:

    90−1,3652≈88,6390-1{,}3652\approx 88{,}6390+1,3652≈91,3790+1{,}3652\approx 91{,}37

  3. Els dos intervals estan centrats en la mitjana de la mostra, 9090 minuts, però el del 99 % és més ample: per tenir més confiança cal fer servir un zγz_\gamma més gran (2,582{,}58 en lloc d’1,961{,}96), i el marge d’error creix en la mateixa proporció:

    1,36521,0371\frac{1{,}3652}{1{,}0371}≈2,581,96{}\approx \frac{2{,}58}{1{,}96}≈1,32{}\approx 1{,}32

  4. Cada interval és un rang de valors possibles per al temps mitjà diari de tot l’alumnat de l’institut, no d’un estudiant concret. El del 95 % s’ha construït amb un mètode que encerta (és a dir, que conté la mitjana real) en el 95 % de les mostres; el del 99 %, en el 99 %. Es guanya confiança a canvi de perdre precisió.

ResultatL’interval de confiança del 99 % és [88,63; 91,37][88{,}63;\ 91{,}37] minuts. És més ample que el del 95 %, [88,96; 91,04][88{,}96;\ 91{,}04], perquè un nivell de confiança més alt exigeix un zγz_\gamma més gran. Tots dos estimen el temps mitjà diari de l’alumnat: amb una confiança del 95 % és entre 88,9688{,}96 i 91,0491{,}04 minuts, i amb una confiança del 99 %, entre 88,6388{,}63 i 91,3791{,}37 minuts; el segon dona més seguretat, però és menys precís.

La pauta oficial dona: [88,6348; 91,3652][88{,}6348;\ 91{,}3652]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 6

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferent
Enunciat oficial

Una empresa d’autobusos afirma que fa el trajecte entre l’aeroport i el centre de la ciutat en 30 minuts. Hem obtingut una mostra del temps, en minuts, que ha trigat en 10 trajectes escollits a l’atzar:

33, 29, 28, 31, 34, 35, 32, 29, 37, 35

a) Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del temps de trajecte, suposant que aquest temps segueix una distribució normal amb una desviació típica de 2 minuts.

Nota: Recordeu que, si ZZ segueix una distribució normal (0,1)(0,1), P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95. Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança γ∈(0,1)\gamma\in(0,1) quan la variància σ2\sigma^2 és coneguda és donat per [xˉ−zγσn, xˉ+zγσn]\left[\bar x-z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar x+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}\right].

[1,5 punts]

b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior, podem afirmar que la informació que proporciona l’empresa d’autobusos és errònia? Justifiqueu la resposta.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,5 punts

Plantejament El temps és normal amb σ=2\sigma=2 coneguda, així que fem servir la fórmula de la nota amb zγ=1,96z_\gamma=1{,}96 (confiança del 95 %) i n=10n=10.

  1. Mitjana de la mostra:

    xˉ\bar x=33+29+28+31+34+35+32+29+37+3510{}= \frac{33+29+28+31+34+35+32+29+37+35}{10}=32310{}= \frac{323}{10}=32,3{}= 32{,}3

  2. Marge d’error:

    zγσnz_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt n}=1,96⋅210{}= 1{,}96\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}=3,9210{}= \frac{3{,}92}{\sqrt{10}}≈1,2396{}\approx 1{,}2396

  3. Extrems de l’interval:

    32,3−1,2396≈31,0632{,}3-1{,}2396\approx 31{,}0632,3+1,2396≈33,5432{,}3+1{,}2396\approx 33{,}54

ResultatL’interval de confiança del 95 % per a la mitjana del temps de trajecte és [31,06; 33,54][31{,}06;\ 33{,}54] minuts.

La pauta oficial dona: xˉ=32,3\bar x=32{,}3; [31,0604; 33,5396][31{,}0604;\ 33{,}5396]

b)1 punt

Plantejament Si el valor que dona l’empresa, 30 minuts, queda fora de l’interval de confiança, les dades no són compatibles amb aquesta mitjana amb una confiança del 95 %.

  1. Comparem 30 amb l’interval de l’apartat a:

    30<31,0630<31{,}06

  2. Tot l’interval queda per sobre de 30, així que 30 no és un valor plausible per a la mitjana:

    30∉[31,06; 33,54]30\notin[31{,}06;\ 33{,}54]

ResultatSí: amb una confiança del 95 %, la mitjana del temps de trajecte és entre 31,0631{,}06 i 33,5433{,}54 minuts, per sobre dels 30 minuts que diu l’empresa. Podem afirmar que la informació de l’empresa és errònia (el trajecte dura, de mitjana, més de 30 minuts).

La pauta oficial dona: 30∉[31,0604; 33,5396]30\notin[31{,}0604;\ 33{,}5396]

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

Errors típics que penalitza la pauta

Preguntes freqüents

Quants exercicis d’inferència estadística han sortit a la PAU de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials de Catalunya?

Entre 2024 i 2026, 10 exercicis en 9 dels 15 exàmens que tenim resolts (cada any, l’ordinària i l’extraordinària, i també la sèrie d’incidències). Han sortit els anys 2026, 2025 i 2024.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada resultat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra (gairebé sempre per arrodoniment), ho posem al costat amb l’explicació.

Què faig si el meu resultat no coincideix amb la pauta?

Mira primer si és el mateix valor escrit d’una altra manera: una fracció i el seu decimal, o un interval amb més o menys decimals. Les pautes puntuen per separat el plantejament, el càlcul i la resposta: escriu la fórmula que fas servir amb cada dada al seu lloc i acaba amb una frase que contesti el que demana l’enunciat (quin preu, quina empresa, si el valor queda dins de l’interval).

Puc imprimir els exercicis?

Sí. El botó d’imprimir prepara un full amb els enunciats oficials, amb espai per respondre, i les solucions a part. Cada exercici enllaça també el PDF oficial de l’examen i de la pauta.

Solucions escrites per EducaIA i contrastades una a una amb la pauta oficial de correcció.

Com fem i comprovem els exercicis

Tens la PAU de Matemàtiques CCSS aquest curs?

Puja els teus apunts de Matemàtiques CCSS i EducaIA et prepara el pla dia a dia fins a la PAU, amb resums, flashcards i tests dels teus propis temes.

Prepara la PAU de Matemàtiques CCSS a EducaIA

Tots els exàmens de CatalunyaCentre PAU de CatalunyaCalculadora de nota PAU

Els altres temes de Matemàtiques CCSS

MatriusSistemes d’equacionsProgramació linealFuncions i derivadesProbabilitat

Enunciat oficial

Toca la imatge per apropar-la o allunyar-la.