Matemàtiques CCSS, PAU 2025 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament El valor inicial és $f(0)$ i el benefici, $f(24)-f(0)$. Per al màxim en un interval tancat, busquem els extrems relatius amb la derivada i els comparem amb els valors als extrems de l’interval.

1. Valor inicial i final:

   $f(0)=250$$f(24)$${}= \frac{24^3}{3}-\frac{35\cdot 24^2}{2}$${}+300\cdot 24+250$${}= 4\,608-10\,080$${}+7\,200+250$${}= 1\,978$

2. Benefici al cap de 24 hores:

   $1\,978-250=1\,728$

3. Derivada i punts crítics:

   $f'(x)$${}= x^2-35x+300$${}= (x-15)(x-20)=0$${}\Longrightarrow x=15$$\text{o}\ \ x=20$

4. Signe de la derivada en un punt de cada tros:

   $f'(10)=50>0$$f'(17)=-6<0$$f'(22)=14>0$

5. $f$ creix a $[0,15)$, decreix a $(15,20)$ i creix a $(20,24]$: màxim relatiu a $x=15$ i mínim relatiu a $x=20$. El màxim absolut és a $x=15$ o a $x=24$:

   $f(15)$${}= 1\,125-3\,937{,}5$${}+4\,500+250$${}= 1\,937{,}5$${}< f(24)$${}= 1\,978$

ResultatValor inicial $250$ €; al cap de 24 hores ha guanyat $1\,728$ €. El valor màxim s’assoleix al final del dia, $x=24$, i és de $1\,978$ €.

La pauta oficial dona: $f(0)=250$; $1978-250=1728$; $f(15)=1937{,}5$; $\max f(24)=1978$

Plantejament Pel creixement de l’apartat a, el mínim absolut només pot ser a l’inici, $x=0$, o al mínim relatiu, $x=20$. Si el mínim és positiu, la inversió no és mai negativa.

1. Valor al mínim relatiu:

   $f(20)$${}= \frac{8\,000}{3}-7\,000+6\,000$${}+250$${}= \frac{5\,750}{3}$${}\approx 1\,916{,}7$

2. Comparem amb el valor inicial:

   $f(0)=250<\frac{5\,750}{3}$

Plantejament Si $X$ és el pes, $X\sim N(580,\,25)$ (mitjana i desviació típica). Tipifiquem amb $Z=\frac{X-580}{25}$ i fem servir el valor de $Z$ que dona l’enunciat.

1. Tipifiquem els dos extrems:

   $\frac{531-580}{25}=\frac{-49}{25}=-1{,}96$$\frac{629-580}{25}=\frac{49}{25}=1{,}96$

2. Per tant:

   $P(531\le X\le 629)$${}= P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)$${}= 0{,}95$

Plantejament La població és normal amb $\sigma=25$ coneguda, així que fem servir la segona fórmula amb $z_\gamma=1{,}96$. Si l’interval conté 580 kg, les dades no permeten dir que la mitjana hagi canviat.

1. Mitjana de la mostra:

   $\bar x$${}= \frac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}$${}= \frac{5\,814}{10}$${}= 581{,}4$

2. Marge d’error:

   $z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{25}{\sqrt{10}}$${}= \frac{49}{\sqrt{10}}$${}\approx 15{,}50$

3. Extrems de l’interval:

   $581{,}4-\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 565{,}90$$581{,}4+\frac{49}{\sqrt{10}}\approx 596{,}90$

4. El valor d’abans, $580$, és dins de l’interval:

   $565{,}90<580<596{,}90$

Plantejament Anomenem $U$, $S$ i $I$ els tres nivells (universitat, secundària, infantil i primària) i $A$ «ser dona». La probabilitat de ser dona surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de secundària sabent que és dona, del teorema de Bayes.

1. Dades (la resta, $1-0{,}1-0{,}5$, és infantil i primària):

   $P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$$P(A\mid U)$${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$${}= 0{,}65$

2. Probabilitat total:

   $P(A)$${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$${}+0{,}4\cdot 0{,}65$${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$${}= 0{,}56$

3. Bayes:

   $P(S\mid A)$${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$${}= \frac{13}{28}$${}\approx 0{,}4643$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els inscrits d’universitat, de secundària i d’infantil i primària. Els percentatges de cada nivell i el nombre de dones donen tres equacions.

1. El 10 % del total és d’universitat i el 50 %, de secundària:

   $x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$$y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$

2. Les dones són 476:

   $0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$${}= 476$${}\Rightarrow 40x+52y+65z$${}= 47\,600$

3. Gauss amb $F_1:\ x-y+z=0$. Fem $F_2+9F_1$ i $F_3-40F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$

4. De la segona fila, $y=\frac{5}{4}z$. A la tercera:

   $92\cdot\frac{5}{4}z+25z$${}= 115z+25z$${}= 140z$${}= 47\,600$${}\Rightarrow z=340$

5. Les altres incògnites:

   $y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$$x=y-z=425-340=85$

6. Comprovació per un altre camí: $P(A)=0{,}56$ és la fracció de dones, així que el total d’inscrits és

   $\frac{476}{0{,}56}=850$$0{,}1\cdot 850=85$$0{,}5\cdot 850=425$$0{,}4\cdot 850=340$

Plantejament Amb $1\,000$ persones i els mateixos percentatges, la comanda és el vector fila de detalls de cada tipus. Multiplicat per la matriu de preus, cada component dona el cost total a una empresa.

1. Comanda: el 10 %, el 50 % i el 40 % de $1\,000$:

   $(x,y,z)=(100,\ 500,\ 400)$

2. Producte:

   $(100\ \ 500\ \ 400)\begin{pmatrix}1{,}25&1&1{,}25\\ 0{,}75&1&1{,}15\\ 1&0{,}85&0{,}80\end{pmatrix}$${}= (125+375+400\ \ \ 100+500+340\ \ \ 125+575+320)$${}= (900\ \ \ 940\ \ \ 1\,020)$

Plantejament Si s’aplica $x$ vegades el descompte, el preu és $80-x$ i les reserves, $100+2x$; els ingressos són el producte. Busquem el màxim d’aquesta paràbola amb la derivada.

1. Funció d’ingressos:

   $I(x)$${}= (80-x)(100+2x)$${}= -2x^2+60x+8\,000$

2. Derivada:

   $I'(x)=-4x+60=0\ \Longrightarrow\ x=15$

3. Per a $x<15$, $I'(x)>0$, i per a $x>15$, $I'(x)<0$: és un màxim. Preu i ingressos:

   $80-15=65$$I(15)=65\cdot 130=8\,450$