Matemàtiques CCSS, PAU 2023 de Catalunya: l’examen extraordinari resolt

Plantejament El benefici és ingressos menys despeses, i no hi ha pèrdues quan el benefici és més gran o igual que zero.

1. Com que ven tots els cotxes que fabrica, els ingressos són:

   $I(x)=35\,000x$

2. Benefici:

   $B(x)$${}= 35\,000x$${}-(x^2+34\,880x+1\,100)$${}= -x^2+120x-1\,100$

3. Zeros del benefici:

   $-x^2+120x-1\,100=0$${}\Longrightarrow x=\dfrac{120\pm\sqrt{14\,400-4\,400}}{2}$${}= \dfrac{120\pm 100}{2}$${}\Longrightarrow x=10$$\text{o}\ \ x=110$

4. És una paràbola oberta cap avall: és positiva entre les dues arrels i negativa fora. Per exemple:

   $B(0)=-1\,100<0$$B(60)=2\,500>0$$B(120)=-1\,100<0$

Plantejament Busquem el màxim de $B(x)$ amb la derivada.

1. Derivem i igualem a zero:

   $B'(x)=-2x+120=0\ \Longrightarrow\ x=60$

2. Signe de la derivada a banda i banda de $x=60$: el benefici creix abans i decreix després, per tant és un màxim.

   $B'(50)=20>0$$B'(70)=-20<0$

3. Benefici màxim:

   $B(60)$${}= -3\,600+7\,200-1\,100$${}= 2\,500$

Plantejament Anomenem $x$ el nombre de caixes A i $y$ el nombre de caixes B. Els vèrtexs de la regió factible els anomenem $O$, $P$, $Q$ i $R$, per no confondre’ls amb els tipus de caixa.

1. Ingressos per caixa, en euros:

   $\text{A: }8\cdot 0{,}60+2\cdot 0{,}70=4{,}8+1{,}4=6{,}2$$\text{B: }5\cdot 0{,}60+5\cdot 0{,}70=3+3{,}5=6{,}5$

2. La funció objectiu són els ingressos totals, que volem maximitzar:

   $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$

3. Taronges disponibles, $24\,000$ kg:

   $8x+5y\le 24\,000$

4. Mandarines disponibles, $12\,000$ kg:

   $2x+5y\le 12\,000$

5. Les quantitats no poden ser negatives:

   $x\ge 0$$y\ge 0$

6. Talls de les rectes frontera amb els eixos, per dibuixar-les:

   $8x+5y$${}= 24\,000:\ (3\,000;\ 0),\ (0;\ 4\,800)$$2x+5y$${}= 12\,000:\ (6\,000;\ 0),\ (0;\ 2\,400)$

7. El punt $(0;\ 0)$ compleix totes les desigualtats, així que la regió factible és la part del primer quadrant que queda per sota de les dues rectes: el quadrilàter $OPQR$ del gràfic.

   $\begin{cases}8x+5y\le 24\,000\\ 2x+5y\le 12\,000\\ x\ge 0,\ y\ge 0\end{cases}$

ResultatFunció objectiu (ingressos, en euros, que cal maximitzar): $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$. Restriccions: $8x+5y\le 24\,000$ (taronges), $2x+5y\le 12\,000$ (mandarines), $x\ge 0$, $y\ge 0$. La regió factible és el quadrilàter de vèrtexs $O=(0;\ 0)$, $P=(3\,000;\ 0)$, $Q=(2\,000;\ 1\,600)$ i $R=(0;\ 2\,400)$.

La pauta oficial dona: $F(x,y)=6{,}2x+6{,}5y$; $x\ge 0$; $y\ge 0$; $8x+5y\le 24\,000$; $2x+5y\le 12\,000$

Plantejament El màxim s’assoleix en un vèrtex. Calculem cada vèrtex com la intersecció de dues rectes i hi avaluem $F$.

1. Vèrtex $O$: rectes $x=0$ i $y=0$.

   $O=(0;\ 0)$

2. Vèrtex $P$: rectes $y=0$ i $8x+5y=24\,000$ (compleix $2\cdot 3\,000=6\,000\le 12\,000$):

   $8x$${}= 24\,000$${}\Longrightarrow x=3\,000$${}\Longrightarrow P=(3\,000;\ 0)$

3. Vèrtex $Q$: rectes $8x+5y=24\,000$ i $2x+5y=12\,000$. Les restem:

   $6x=12\,000\ \Longrightarrow\ x=2\,000$$5y$${}= 12\,000-4\,000$${}\Longrightarrow y=1\,600$${}\Longrightarrow Q=(2\,000;\ 1\,600)$

4. Vèrtex $R$: rectes $x=0$ i $2x+5y=12\,000$ (compleix $5\cdot 2\,400=12\,000\le 24\,000$):

   $5y$${}= 12\,000$${}\Longrightarrow y=2\,400$${}\Longrightarrow R=(0;\ 2\,400)$

5. Funció objectiu als vèrtexs:

   $F(O)=0$$F(P)=6{,}2\cdot 3\,000=18\,600$$F(Q)$${}= 6{,}2\cdot 2\,000+6{,}5\cdot 1\,600$${}= 12\,400+10\,400$${}= 22\,800$$F(R)=6{,}5\cdot 2\,400=15\,600$

6. El màxim és a $Q$, on es venen totes les taronges i totes les mandarines:

   $8\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=24\,000$$2\cdot 2\,000+5\cdot 1\,600=12\,000$

Plantejament Substituïm $t=1$ i $t=2$, i per al llarg termini calculem el límit quan $t\to+\infty$. Els resultats són milers de persones.

1. Setmana 1:

   $f(1)=\dfrac{30}{1-2+4}=\dfrac{30}{3}=10$

2. Setmana 2:

   $f(2)=\dfrac{60}{4-4+4}=\dfrac{60}{4}=15$

3. A llarg termini: dividim numerador i denominador per $t^2$, la potència més alta del denominador.

   $\lim_{t\to+\infty}\dfrac{30t}{t^2-2t+4}$${}= \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\frac{30}{t}}{1-\frac{2}{t}+\frac{4}{t^2}}$${}= \dfrac{0}{1}=0$

Plantejament Busquem el màxim de $f$ per a $t\ge 0$ amb la derivada. El denominador no s’anul·la mai, perquè $t^2-2t+4=(t-1)^2+3>0$, així que $f$ és derivable a tot el domini.

1. Derivada d’un quocient:

   $f'(t)$${}= \dfrac{30(t^2-2t+4)-30t(2t-2)}{(t^2-2t+4)^2}$${}= \dfrac{30t^2-60t+120-60t^2+60t}{(t^2-2t+4)^2}$${}= \dfrac{120-30t^2}{(t^2-2t+4)^2}$

2. Igualem a zero. La solució $t=-2$ no té sentit, perquè $t\ge 0$.

   $120-30t^2=0\ \Longrightarrow\ t^2=4\ \Longrightarrow\ t=2$

3. Signe de la derivada: $f$ creix fins a $t=2$ i decreix a partir d’aquí, per tant $t=2$ és el màxim absolut.

   $f'(1)=\dfrac{120-30}{3^2}=10>0$$f'(3)$${}= \dfrac{120-270}{7^2}$${}= -\dfrac{150}{49}$${}< 0$

4. Valor màxim, calculat a l’apartat anterior:

   $f(2)=15$

Plantejament Calculem $\boldsymbol{A}^2$ en funció de $a$ i la igualem a la identitat.

1. Quadrat de la matriu:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}1&a\\ 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a\\ 2&-1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1+2a&a-a\\ 2-2&2a+1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1+2a&0\\ 0&1+2a\end{pmatrix}$

2. Igualem a $\boldsymbol{I}$: els dos elements de la diagonal han de valer 1.

   $1+2a=1\ \Longrightarrow\ a=0$

Plantejament Amb $a=-1$ el quadrat dona $-\boldsymbol{I}$, i a partir d’aquí les potències es repeteixen cada quatre.

1. Amb $a=-1$, a la fórmula de l’apartat anterior:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}1-2&0\\ 0&1-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$${}= -\boldsymbol{I}$

2. Potència tercera:

   $\boldsymbol{A}^3$${}= \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{A}$${}= -\boldsymbol{I}\boldsymbol{A}$${}= -\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$

3. Potència quarta:

   $\boldsymbol{A}^4=\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^2=-(-\boldsymbol{I})=\boldsymbol{I}$

4. Com que $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}^4=\boldsymbol{I}$, la inversa és $\boldsymbol{A}^3$:

   $\boldsymbol{A}^{-1}$${}= \boldsymbol{A}^3$${}= -\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$

5. Dividim 23 entre 4: $23=4\cdot 5+3$.

   $\boldsymbol{A}^{23}$${}= \left(\boldsymbol{A}^4\right)^5\boldsymbol{A}^3$${}= \boldsymbol{I}^5\boldsymbol{A}^3$${}= \boldsymbol{A}^3$${}= \begin{pmatrix}-1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$