Matemàtiques CCSS, PAU 2024 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els sofàs que van produir la primera, la segona i la tercera fàbrica. Les dues dades de l’enunciat són dues equacions amb tres incògnites; mirem amb el mètode de Gauss quin tipus de sistema és.

1. Total de sofàs i producció de la segona fàbrica:

   $\begin{cases}x+y+z=1\,260\\ y=x+z\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=1\,260\\ x-y+z=0\end{cases}$

2. Gauss amb les incògnites en l’ordre $x$, $y$, $z$ ($F_2-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 1&-1&1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 0&-2&0&-1\,260\end{array}\right)$

3. Queden dues equacions independents per a tres incògnites: el sistema és compatible indeterminat (rang $2<3$ incògnites). No es poden saber $x$ i $z$ per separat, només la seva suma. La segona fila, en canvi, només conté $y$:

   $-2y=-1\,260\ \Longrightarrow\ y=630$

4. I llavors les altres dues fàbriques sumen

   $x+z=1\,260-630=630$

Plantejament La nova dada dona una tercera equació: el 10 % de $x$, més el 30 % de $y$, més el 20 % de $z$ són els 284 sofàs grisos. Resolem el sistema de tres equacions.

1. Sistema (la tercera equació, multiplicada per 10):

   $\begin{cases}x+y+z=1\,260\\ x-y+z=0\\ 0{,}1x+0{,}3y+0{,}2z=284\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=1\,260\\ x-y+z=0\\ x+3y+2z=2\,840\end{cases}$

2. Gauss ($F_2-F_1$ i $F_3-F_1$):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 1&-1&1&0\\ 1&3&2&2\,840\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 0&-2&0&-1\,260\\ 0&2&1&1\,580\end{array}\right)$

3. $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,260\\ 0&-2&0&-1\,260\\ 0&0&1&320\end{array}\right)$

4. El sistema és compatible determinat. Resolem de baix a dalt:

   $z=320$$y=\frac{-1\,260}{-2}=630$$x=1\,260-630-320=310$

5. Comprovació dels sofàs grisos:

   $0{,}1\cdot 310+0{,}3\cdot 630$${}+0{,}2\cdot 320$${}= 31+189+64$${}= 284$

Plantejament A velocitat constant $x$, el viatge dura $\frac{300}{x}$ hores. El cost és el gasoil (litres per hora × hores × preu del litre) més el sou del conductor (hores × 14,70 €).

1. Temps a 40 km/h:

   $t=\frac{300}{40}=7{,}5\ \mathrm{h}$

2. Consum per hora a 40 km/h:

   $G(40)$${}= 5+\frac{1\,600}{98}$${}= 5+\frac{800}{49}$${}= \frac{1\,045}{49}\ \mathrm{L/h}$

3. Cost del gasoil i del conductor:

   $\frac{1\,045}{49}\cdot 7{,}5\cdot 1{,}96$${}= 1\,045\cdot 0{,}3$${}= 313{,}5$$7{,}5\cdot 14{,}70=110{,}25$

4. Cost total a 40 km/h:

   $313{,}5+110{,}25=423{,}75$

5. Per a una velocitat qualsevol $x$, amb $1{,}96\cdot 300=588$, $\frac{588}{98}=6$ i $14{,}70\cdot 300=4\,410$:

   $C(x)$${}= \left(5+\frac{x^2}{98}\right)\cdot\frac{300}{x}\cdot 1{,}96$${}+\frac{300}{x}\cdot 14{,}70$${}= \frac{2\,940}{x}+6x+\frac{4\,410}{x}$${}= \frac{7\,350}{x}+6x$

6. Comprovació amb el valor d’abans:

   $C(40)$${}= \frac{7\,350}{40}+6\cdot 40$${}= 183{,}75+240$${}= 423{,}75$

Plantejament Busquem el mínim de $C(x)$ per a $x>0$ (i com a màxim 40 km/h): punts on s’anul·la la derivada i signe de la derivada a banda i banda.

1. Derivada:

   $C'(x)=-\frac{7\,350}{x^2}+6$

2. Igualem a zero:

   $6$${}= \frac{7\,350}{x^2}$${}\Longrightarrow x^2$${}= \frac{7\,350}{6}$${}= 1\,225$${}\Longrightarrow x=\pm 35$

3. Una velocitat negativa no té sentit; ens quedem amb $x=35$ km/h, que no passa de 40 km/h. Signe de $C'$ a banda i banda: $C$ decreix abans de 35 i creix després, per tant és un mínim.

   $C'(30)=-\frac{7\,350}{900}+6=-\frac{13}{6}<0$$C'(40)=-\frac{7\,350}{1\,600}+6=\frac{45}{32}>0$

4. Cost mínim:

   $C(35)$${}= \frac{7\,350}{35}+6\cdot 35$${}= 210+210$${}= 420$

ResultatEl cost és mínim si el tractor va a $35$ km/h, i aleshores el viatge costa $420$ €.

La pauta oficial dona: $x=35$; $C(35)=420$

Plantejament Multipliquem cada matriu pel seu nombre, sumem element a element i després sumem cada fila i cada columna del resultat.

1. Productes per un nombre:

   $10\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}10&-10&0\\ -10&0&10\\ 0&10&-10\end{pmatrix}$$3\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}0&-3&3\\ 3&0&-3\\ -3&3&0\end{pmatrix}$$18\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}0&54&0\\ 18&18&18\\ 36&-18&36\end{pmatrix}$

2. Suma:

   $10\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{B}+18\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}10&41&3\\ 11&18&25\\ 33&-5&26\end{pmatrix}$

3. Sumes de les files:

   $10+41+3=54$$11+18+25=54$$33-5+26=54$

4. Sumes de les columnes:

   $10+11+33=54$$41+18-5=54$$3+25+26=54$

Plantejament Ara el dia és 8 i el mes, 9 (setembre); l’edat del pare és la incògnita, $x$. Calculem $8\boldsymbol{A}+9\boldsymbol{B}+x\boldsymbol{C}$ i imposem que una fila sumi 153.

1. Matriu del pare:

   $8\boldsymbol{A}+9\boldsymbol{B}+x\boldsymbol{C}$${}= \begin{pmatrix}8&-17+3x&9\\ 1+x&x&-1+x\\ -9+2x&17-x&-8+2x\end{pmatrix}$

2. La primera fila ha de sumar 153:

   $8+(-17+3x)+9$${}= 153$${}\Longrightarrow 3x=153$${}\Longrightarrow x=51$

3. Comprovació amb la segona fila i la primera columna:

   $(1+51)+51+(-1+51)=153$$8+(1+51)+(-9+102)=153$

Plantejament Anomenem $G$ «el Guiu l’ha vista» i $R$ «el Roc l’ha vista». «Almenys un dels dos» és la unió $G\cup R$; «el Roc sí i el Guiu no» és $R\cap\overline{G}$.

1. Dades:

   $P(G)=0{,}5$$P(R)=0{,}6$$P(G\cap R)=0{,}25$

2. Probabilitat de la unió:

   $P(G\cup R)$${}= P(G)+P(R)-P(G\cap R)$${}= 0{,}5+0{,}6-0{,}25$${}= 0{,}85$

3. Les pel·lícules que ha vist el Roc, menys les que han vist tots dos:

   $P(R\cap\overline{G})$${}= P(R)-P(G\cap R)$${}= 0{,}6-0{,}25$${}= 0{,}35$

Plantejament És una probabilitat condicionada a $G\cup R$. Si el Guiu l’ha vista, segur que almenys un dels dos l’ha vista: $G\cap(G\cup R)=G$.

1. Definició de probabilitat condicionada:

   $P(G\mid G\cup R)$${}= \frac{P\big(G\cap(G\cup R)\big)}{P(G\cup R)}$${}= \frac{P(G)}{P(G\cup R)}$

2. Substituïm (la unió s’ha calculat a l’apartat a):

   $\frac{0{,}5}{0{,}85}=\frac{10}{17}\approx 0{,}5882$

Plantejament L’estimació puntual de la proporció de la població és la proporció de la mostra, $\hat p=\frac{\text{favorables}}{n}$.

1. Proporció mostral, amb $n=350$:

   $\hat p=\frac{218}{350}=\frac{109}{175}\approx 0{,}6229$

2. En percentatge:

   $0{,}6229\cdot 100\approx 62{,}29\ \%$

Plantejament La mostra és gran ($n=350$), així que fem servir la fórmula de la nota amb $z_\gamma=1{,}96$ (confiança del 95 %). Per no arrossegar errors, fem servir $\hat p$ sense arrodonir i arrodonim només els extrems.

1. Error típic:

   $\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= \sqrt{\frac{\frac{109}{175}\cdot\frac{66}{175}}{350}}$${}\approx 0{,}025907$

2. Marge d’error:

   $z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}025907$${}\approx 0{,}05078$

3. Extrems de l’interval ($\hat p\approx 0{,}62286$):

   $0{,}62286-0{,}05078\approx 0{,}5721$$0{,}62286+0{,}05078\approx 0{,}6736$