Matemàtiques CCSS, PAU 2024 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Es demana el preu sense descompte de cada tipus de maleta. Anomenem $x$, $y$ i $z$ els preus (en euros) de la maleta petita, la mitjana i la gran; cada dada de l’enunciat és una equació.

1. La gran costa el mateix que la petita i la mitjana juntes:

   $z=x+y$

2. El lot d’una maleta de cada mida:

   $x+y+z=240$

3. El lot de dues petites, una mitjana i una gran costa $2x+y+z$ sense descompte; amb el 10 % de descompte es paga el 90 % d’aquest total:

   $0{,}9\,(2x+y+z)$${}= 256{,}5$${}\Longrightarrow 2x+y+z$${}= \frac{256{,}5}{0{,}9}$${}= 285$

4. Sistema (ordre $x$, $y$, $z$; la primera equació passada a $x+y-z=0$) i mètode de Gauss amb $F_2-F_1$ i $F_3-2F_1$, amb el lot de tres maletes a la primera fila:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&240\\ 1&1&-1&0\\ 2&1&1&285\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&240\\ 0&0&-2&-240\\ 0&-1&-1&-195\end{array}\right)$

5. De la segona fila, $-2z=-240$, és a dir, $z=120$. De la tercera:

   $-y-120=-195\ \Longrightarrow\ y=75$

6. I de la primera:

   $x=240-75-120=45$

7. Comprovació: la gran costa el mateix que les altres dues juntes ($45+75=120$) i el segon lot costa

   $0{,}9\cdot(2\cdot 45+75+120)$${}= 0{,}9\cdot 285$${}= 256{,}5$

Plantejament Es demana el benefici diari en funció de $x$, els euros que puja el preu. Si el preu puja $x$ euros, cada vehicle es lloga a $50+x$ euros i es lloguen $250-2x$ vehicles. El benefici és el que s’ingressa menys el que costa el manteniment dels vehicles llogats.

1. Ingressos diaris: preu d’un lloguer pel nombre de vehicles llogats:

   $I(x)$${}= (50+x)(250-2x)$${}= 12\,500-100x$${}+250x-2x^2$${}= -2x^2+150x+12\,500$

2. Costos diaris: $1$ € per vehicle llogat:

   $C(x)=1\cdot(250-2x)=250-2x$

3. Benefici:

   $B(x)$${}= I(x)-C(x)$${}= -2x^2+150x$${}+12\,500-(250-2x)$${}= -2x^2+152x+12\,250$

4. Comprovació amb $x=0$: es lloguen els 250 vehicles a 50 €, i el benefici és $250\cdot 50-250=12\,250$ €. A més, el nombre de vehicles llogats no pot ser negatiu: $250-2x\ge 0$, és a dir, $0\le x\le 125$.

Plantejament Es demana el preu que fa màxim el benefici i el valor d’aquest benefici màxim. Busquem el màxim de $B(x)$ a $[0,125]$ amb la derivada, justifiquem que és un màxim amb el signe de $B'$ i després passem de $x$ al preu.

1. Derivem i igualem a zero:

   $B'(x)$${}= -4x+152=0$${}\Longrightarrow x=\frac{152}{4}$${}= 38$

2. Signe de la derivada a cada costat de $x=38$:

   $B'(30)=32>0$$B'(40)=-8<0$

3. $B$ creix a $[0,38)$ i decreix a $(38,125]$: a $x=38$ hi ha un màxim, i és el valor més gran de tot el domini. Preu del lloguer i vehicles llogats:

   $50+38=88$$250-2\cdot 38=174$

4. Benefici màxim:

   $B(38)$${}= -2\cdot 38^2+152\cdot 38$${}+12\,250$${}= -2\,888+5\,776+12\,250$${}= 15\,138$

ResultatCal llogar cada vehicle a $88$ € al dia (es lloguen $174$ vehicles). El benefici màxim és de $15\,138$ € diaris (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $B'(x)=-4x+152$; $x=38$; $50+38=88\ \text{€}$; $B(38)=15138\ \text{€}$

Plantejament Es demana la matriu de vendes del primer mes i el que es va facturar a cada client amb un producte de matrius. Posem els clients a les files i els productes ($N$, $P$, $B$) a les columnes; en multiplicar aquesta matriu pel vector columna de preus, cada fila dona el que va pagar un client.

1. Matriu de vendes $V$ (files: $C1$, $C2$, $C3$; columnes: $N$, $P$, $B$). El primer client no va comprar paraules decoratives i el tercer només va comprar baldufes:

   $V$${}= \begin{pmatrix}2&0&3\\ 1&2&5\\ 0&0&4\end{pmatrix}$

2. Vector columna de preus ($N$, $P$, $B$), en euros. Una matriu $3\times 3$ per una $3\times 1$ dona una $3\times 1$, un import per client:

   $p$${}= \begin{pmatrix}20\\ 18\\ 6\end{pmatrix}$

3. Producte, cada fila pel vector de preus:

   $V\cdot p$${}= \begin{pmatrix}2\cdot 20+0\cdot 18+3\cdot 6\\ 1\cdot 20+2\cdot 18+5\cdot 6\\ 0\cdot 20+0\cdot 18+4\cdot 6\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}58\\ 86\\ 24\end{pmatrix}$

Plantejament Es demana el preu de cada producte el segon mes. Anomenem $x$, $y$ i $z$ els preus (en euros) d’un nom personalitzat, una paraula decorativa i una baldufa. Com a l’apartat a, la matriu de vendes pel vector de preus dona el que es va facturar a cada client: això és un sistema de tres equacions.

1. Igualem el producte al que es va facturar:

   $\begin{pmatrix}3&1&2\\ 2&0&4\\ 1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}78\\ 52\\ 62\end{pmatrix}$${}\Longrightarrow \begin{cases}3x+y+2z=78\\ 2x+4z=52\\ x+2y+3z=62\end{cases}$

2. Mètode de Gauss amb la tercera equació a la primera fila: $F_2-2F_1$, $F_3-3F_1$ i, després, $4F_3-5F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&62\\ 2&0&4&52\\ 3&1&2&78\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&62\\ 0&-4&-2&-72\\ 0&-5&-7&-108\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&62\\ 0&-4&-2&-72\\ 0&0&-18&-72\end{array}\right)$

3. De baix a dalt:

   $z=\frac{-72}{-18}=4$$-4y-2\cdot 4=-72\ \Longrightarrow\ y=16$$x=62-2\cdot 16-3\cdot 4=18$

4. Comprovació amb el primer client:

   $3\cdot 18+16+2\cdot 4=54+16+8=78$

5. Els tres preus són més baixos que els del primer mes ($20$, $18$ i $6$ €), com correspon al descompte.

Plantejament Es demana la probabilitat que un client prengui cafè. Anomenem $A_1$ el succés «el client escull el menú del dia», $A_2$ «escull un plat combinat» i $B_1$ «pren cafè» (les opcions A1, A2 i B1 de l’enunciat). Com que tot client escull un dels dos menjars, la probabilitat de prendre cafè surt de la fórmula de la probabilitat total.

1. Dades de l’enunciat:

   $P(A_1)=0{,}6$$P(A_2)=0{,}4$$P(B_1\mid A_1)=0{,}75$$P(B_1\mid A_2)=0{,}5$

2. Probabilitat total (una branca de l’arbre per cada tipus de menjar):

   $P(B_1)$${}= P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)$${}+P(A_2)\,P(B_1\mid A_2)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}75+0{,}4\cdot 0{,}5$${}= 0{,}45+0{,}2$${}= 0{,}65$

Plantejament Es demana $P(A_1\mid B_1)$: la probabilitat d’haver escollit el menú del dia sabent que el client ha pres cafè. És la condicionada «al revés» de les dades, així que fem servir la fórmula de Bayes amb $P(B_1)$ de l’apartat a.

1. Fórmula de Bayes:

   $P(A_1\mid B_1)$${}= \frac{P(A_1\cap B_1)}{P(B_1)}$${}= \frac{P(A_1)\,P(B_1\mid A_1)}{P(B_1)}$${}= \frac{0{,}6\cdot 0{,}75}{0{,}65}$${}= \frac{0{,}45}{0{,}65}$${}= \frac{9}{13}$${}\approx 0{,}6923$

2. Comprovació: l’altre menjar, sabent que ha pres cafè, té probabilitat $\frac{0{,}4\cdot 0{,}5}{0{,}65}=\frac{4}{13}$, i les dues sumen 1:

   $\frac{9}{13}+\frac{4}{13}=1$

Plantejament Es demana un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà diari. La mostra és gran ($n=175$) i no coneixem la desviació típica de la població, així que fem servir la fórmula de la nota amb la desviació típica de la mostra, $s=7$, i $z_\gamma=1{,}96$.

1. Dades:

   $n=175$$\bar x=90$$s=7$$z_\gamma=1{,}96$

2. Error típic de la mitjana:

   $\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{175}}\approx 0{,}52915$

3. Marge d’error:

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}52915$${}\approx 1{,}0371$

4. Extrems de l’interval:

   $90-1{,}0371\approx 88{,}96$$90+1{,}0371\approx 91{,}04$

Plantejament Es demana l’interval del 99 % i explicar per què és diferent de l’anterior i què diu cadascun. Amb les mateixes dades, només canvia $z_\gamma$: per al 99 % és $2{,}58$.

1. Marge d’error amb $z_\gamma=2{,}58$ (l’error típic és el mateix, $0{,}52915$):

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 2{,}58\cdot 0{,}52915$${}\approx 1{,}3652$

2. Extrems:

   $90-1{,}3652\approx 88{,}63$$90+1{,}3652\approx 91{,}37$

3. Els dos intervals estan centrats en la mitjana de la mostra, $90$ minuts, però el del 99 % és més ample: per tenir més confiança cal fer servir un $z_\gamma$ més gran ($2{,}58$ en lloc d’$1{,}96$), i el marge d’error creix en la mateixa proporció:

   $\frac{1{,}3652}{1{,}0371}$${}\approx \frac{2{,}58}{1{,}96}$${}\approx 1{,}32$

4. Cada interval és un rang de valors possibles per al temps mitjà diari de tot l’alumnat de l’institut, no d’un estudiant concret. El del 95 % s’ha construït amb un mètode que encerta (és a dir, que conté la mitjana real) en el 95 % de les mostres; el del 99 %, en el 99 %. Es guanya confiança a canvi de perdre precisió.