Matemàtiques CCSS, PAU 2026 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 1) resolt

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els preus (en euros) d’una caixa de maduixes, d’albercocs i de cireres. Les dues comandes donen un sistema de dues equacions amb tres incògnites; el resolem deixant $z$ com a paràmetre.

1. Sistema:

   $\begin{cases}5x+3y+4z=120\\ 2x+y+3z=56\end{cases}$

2. Mètode de Gauss: a la segona fila li fem $5F_2-2F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 2&1&3&56\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 0&-1&7&40\end{array}\right)$

3. De la segona equació:

   $-y+7z=40\ \Longrightarrow\ y=7z-40$

4. Substituïm a la primera:

   $5x$${}= 120-3(7z-40)-4z$${}= 240-25z$${}\Longrightarrow x=48-5z$

5. Preu de la nova comanda:

   $6x+4y+2z$${}= 6(48-5z)$${}+4(7z-40)+2z$${}= 288-30z+28z$${}-160+2z$${}= 128$

6. El terme en $z$ s’anul·la ($-30z+28z+2z=0$), així que el preu d’aquesta comanda no depèn del preu de les cireres.

Plantejament Si coneixem $y$, l’expressió $y=7z-40$ de l’apartat anterior dona $z$, i amb $z$ obtenim $x$.

1. Amb $y=12{,}5$:

   $7z-40=12{,}5\ \Longrightarrow\ z=\frac{52{,}5}{7}=7{,}5$

2. Preu de les maduixes:

   $x=48-5\cdot 7{,}5=48-37{,}5=10{,}5$

3. Comprovació amb les dues comandes:

   $5\cdot 10{,}5+3\cdot 12{,}5+4\cdot 7{,}5=120$$2\cdot 10{,}5+12{,}5+3\cdot 7{,}5=56$

Plantejament $X$ compta els èxits (pàgines eficients) en $2\,500$ proves independents amb la mateixa probabilitat $p=0{,}5$: és una binomial. Com que $n$ és gran, l’aproximem per una normal amb la mateixa mitjana i la mateixa variància, i tipifiquem.

1. Distribució de $X$:

   $X\sim B(n=2\,500,\ p=0{,}5)$

2. Mitjana i desviació típica de la binomial:

   $\mu=np=2\,500\cdot 0{,}5=1\,250$$\sigma$${}= \sqrt{np(1-p)}$${}= \sqrt{2\,500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}$${}= \sqrt{625}$${}= 25$

3. Aproximem $X$ per una normal de mitjana $1\,250$ i desviació típica $25$ (sense correcció per continuïtat) i tipifiquem:

   $P(X\le 1\,299)$${}\approx P\left(Z\le \frac{1\,299-1\,250}{25}\right)$${}= P(Z\le 1{,}96)$

4. De la dada $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$, per simetria cada cua deixa $\frac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$:

   $P(Z\le 1{,}96)=0{,}95+0{,}025=0{,}975$

Plantejament La mostra és gran i no coneixem $\sigma$, així que fem servir la tercera fórmula, amb la desviació típica mostral $s$; per al 95 %, $z_\gamma=1{,}96$. Després comparem l’interval amb els 3 segons.

1. Marge d’error:

   $z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{\sqrt{2\,500}}$${}= 1{,}96\cdot\frac{0{,}38}{50}$${}= 1{,}96\cdot 0{,}0076$${}= 0{,}014896$

2. Extrems de l’interval:

   $2{,}95-0{,}014896\approx 2{,}9351$$2{,}95+0{,}014896\approx 2{,}9649$

3. Tot l’interval queda per sota de 3 segons, així que, amb una confiança del 95 %, el temps mitjà $\mu$ és inferior a 3 segons.

4. El temps de càrrega $T$ és normal, i la normal és simètrica respecte de la seva mitjana: la meitat de les pàgines tarda menys que $\mu$. Si $\mu<3$:

   $P(T<3)>P(T<\mu)=0{,}5$

Plantejament Tots els estudiants tenen la mateixa probabilitat de ser escollits, així que apliquem la regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Quan sabem que l’estudiant fa màster, els casos possibles són només els $533$ estudiants de màster (probabilitat condicionada).

1. Doctorat i Lletres: $48$ estudiants d’un total de $2\,000$:

   $P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$

2. Enginyeria sabent que fa màster: $178$ dels $533$ estudiants de màster:

   $P(E\mid M)$${}= \frac{P(E\cap M)}{P(M)}$${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$${}= \frac{178}{533}$${}\approx 0{,}3340$

Plantejament Posem les facultats a les files i els nivells a les columnes. Sumar les files equival a multiplicar per l’esquerra pel vector fila $(1\ 1\ 1)$; l’import total és el producte del vector de totals pel vector columna de preus.

1. Matriu de la taula (files: C, E, L; columnes: G, M, D):

   $A$${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$

2. Totals per nivell:

   $T$${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$

3. Vector de preus de matrícula (G, M, D), en euros:

   $P$${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$

4. Import total:

   $T\cdot P$${}= 1\,333\cdot 1\,000$${}+533\cdot 1\,500$${}+134\cdot 500$${}= 1\,333\,000+799\,500$${}+67\,000$${}= 2\,199\,500$

Plantejament Regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Si sabem que l’estudiant és d’Enginyeria, els casos possibles són només els $668$ estudiants d’aquesta facultat.

1. Màster i Ciències: $172$ estudiants d’un total de $2\,000$:

   $P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$

2. Màster sabent que és d’Enginyeria: $178$ dels $668$ estudiants d’Enginyeria:

   $P(M\mid E)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els becats de grau, de màster i de doctorat. Cada frase de l’enunciat és una equació; els totals de grau i de màster els traiem de la taula.

1. Total de becats:

   $x+y+z=1\,036$

2. La meitat dels estudiants de grau i màster ($1\,333$ i $533$ a la taula) estan becats:

   $x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$

3. Tants becats de màster com de doctorat:

   $y=z$

4. Gauss (ordre $x$, $y$, $z$): $F_2-F_1$ i després $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$

5. De la segona fila, $z=103$; de la tercera, $y=2z-103=103$; i de la primera:

   $x=1\,036-103-103=830$