Sistemes d’equacions: exercicis de la PAU de Matemàtiques CCSS resolts

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els preus (en euros) d’una caixa de maduixes, d’albercocs i de cireres. Les dues comandes donen un sistema de dues equacions amb tres incògnites; el resolem deixant $z$ com a paràmetre.

1. Sistema:

   $\begin{cases}5x+3y+4z=120\\ 2x+y+3z=56\end{cases}$

2. Mètode de Gauss: a la segona fila li fem $5F_2-2F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 2&1&3&56\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}5&3&4&120\\ 0&-1&7&40\end{array}\right)$

3. De la segona equació:

   $-y+7z=40\ \Longrightarrow\ y=7z-40$

4. Substituïm a la primera:

   $5x$${}= 120-3(7z-40)-4z$${}= 240-25z$${}\Longrightarrow x=48-5z$

5. Preu de la nova comanda:

   $6x+4y+2z$${}= 6(48-5z)$${}+4(7z-40)+2z$${}= 288-30z+28z$${}-160+2z$${}= 128$

6. El terme en $z$ s’anul·la ($-30z+28z+2z=0$), així que el preu d’aquesta comanda no depèn del preu de les cireres.

Plantejament Si coneixem $y$, l’expressió $y=7z-40$ de l’apartat anterior dona $z$, i amb $z$ obtenim $x$.

1. Amb $y=12{,}5$:

   $7z-40=12{,}5\ \Longrightarrow\ z=\frac{52{,}5}{7}=7{,}5$

2. Preu de les maduixes:

   $x=48-5\cdot 7{,}5=48-37{,}5=10{,}5$

3. Comprovació amb les dues comandes:

   $5\cdot 10{,}5+3\cdot 12{,}5+4\cdot 7{,}5=120$$2\cdot 10{,}5+12{,}5+3\cdot 7{,}5=56$

Plantejament Tots els estudiants tenen la mateixa probabilitat de ser escollits, així que apliquem la regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Quan sabem que l’estudiant fa màster, els casos possibles són només els $533$ estudiants de màster (probabilitat condicionada).

1. Doctorat i Lletres: $48$ estudiants d’un total de $2\,000$:

   $P(D\cap L)=\frac{48}{2\,000}=\frac{3}{125}=0{,}024$

2. Enginyeria sabent que fa màster: $178$ dels $533$ estudiants de màster:

   $P(E\mid M)$${}= \frac{P(E\cap M)}{P(M)}$${}= \frac{178/2\,000}{533/2\,000}$${}= \frac{178}{533}$${}\approx 0{,}3340$

Plantejament Posem les facultats a les files i els nivells a les columnes. Sumar les files equival a multiplicar per l’esquerra pel vector fila $(1\ 1\ 1)$; l’import total és el producte del vector de totals pel vector columna de preus.

1. Matriu de la taula (files: C, E, L; columnes: G, M, D):

   $A$${}= \begin{pmatrix}450&172&41\\ 445&178&45\\ 438&183&48\end{pmatrix}$

2. Totals per nivell:

   $T$${}= (1\ \ 1\ \ 1)\cdot A$${}= (450+445+438\ \ \ 172+178+183\ \ \ 41+45+48)$${}= (1\,333\ \ \ 533\ \ \ 134)$

3. Vector de preus de matrícula (G, M, D), en euros:

   $P$${}= \begin{pmatrix}1\,000\\ 1\,500\\ 500\end{pmatrix}$

4. Import total:

   $T\cdot P$${}= 1\,333\cdot 1\,000$${}+533\cdot 1\,500$${}+134\cdot 500$${}= 1\,333\,000+799\,500$${}+67\,000$${}= 2\,199\,500$

Plantejament Regla de Laplace amb els recomptes de la taula. Si sabem que l’estudiant és d’Enginyeria, els casos possibles són només els $668$ estudiants d’aquesta facultat.

1. Màster i Ciències: $172$ estudiants d’un total de $2\,000$:

   $P(M\cap C)=\frac{172}{2\,000}=\frac{43}{500}=0{,}086$

2. Màster sabent que és d’Enginyeria: $178$ dels $668$ estudiants d’Enginyeria:

   $P(M\mid E)=\frac{178}{668}=\frac{89}{334}\approx 0{,}2665$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els becats de grau, de màster i de doctorat. Cada frase de l’enunciat és una equació; els totals de grau i de màster els traiem de la taula.

1. Total de becats:

   $x+y+z=1\,036$

2. La meitat dels estudiants de grau i màster ($1\,333$ i $533$ a la taula) estan becats:

   $x+y=\frac{1\,333+533}{2}=\frac{1\,866}{2}=933$

3. Tants becats de màster com de doctorat:

   $y=z$

4. Gauss (ordre $x$, $y$, $z$): $F_2-F_1$ i després $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 1&1&0&933\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\,036\\ 0&0&-1&-103\\ 0&1&-2&-103\end{array}\right)$

5. De la segona fila, $z=103$; de la tercera, $y=2z-103=103$; i de la primera:

   $x=1\,036-103-103=830$

Plantejament Es pregunta si amb les dades n’hi ha prou per saber l’aigua de cada embassament i quanta n’hi ha a la Baells. Anomenem $x$, $y$ i $z$ els $\mathrm{hm}^3$ d’aigua de Darnius Boadella, Sau i la Baells. Les dues dades donen dues equacions amb tres incògnites.

1. Total d’aigua, i la Baells igual als altres dos junts:

   $\begin{cases}x+y+z=112\\ z=x+y\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=112\\ x+y-z=0\end{cases}$

2. Gauss, $F_2-F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&112\\ 1&1&-1&0\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&112\\ 0&0&-2&-112\end{array}\right)$

3. La segona fila dona $z$:

   $-2z=-112\ \Longrightarrow\ z=56$

4. La primera queda $x+y=112-56=56$: una sola equació per a dues incògnites. La matriu de coeficients i l’ampliada tenen rang 2, menys que les 3 incògnites: el sistema és compatible indeterminat. Amb $y=\lambda$, les solucions són

   $x=56-\lambda$$y=\lambda$$z=56$$0\le\lambda\le 56$

Plantejament Es demana l’aigua de cada embassament amb la dada nova, que és una tercera equació. Amb $z=56$ de l’apartat 1.1, queda un sistema de dues equacions amb dues incògnites.

1. La dada nova, multiplicada per 10 per treure els decimals:

   $0{,}1x+0{,}2y+0{,}3z$${}= 27{,}2$${}\Longrightarrow x+2y+3z$${}= 272$

2. Substituïm $z=56$ en aquesta equació i a $x+y+z=112$:

   $\begin{cases}x+y=56\\ x+2y=272-168=104\end{cases}$

3. Restem la primera equació de la segona:

   $y=104-56=48$$x=56-48=8$

4. Comprovació de la dada nova:

   $0{,}1\cdot 8+0{,}2\cdot 48+0{,}3\cdot 56$${}= 0{,}8+9{,}6+16{,}8$${}= 27{,}2$

Plantejament Es demana quants paraigües de cada model es van vendre. Anomenem $x$ el nombre de paraigües plegables i $y$ el de paraigües bastó venuts. Com que no en va quedar cap al magatzem, tots els paraigües fabricats amb la tela es van vendre: els ingressos i la tela donen dues equacions.

1. Ingressos (25 € cada plegable i 15 € cada bastó) i tela (1 $\mathrm{m}^2$ cada plegable i 1,5 $\mathrm{m}^2$ cada bastó):

   $\begin{cases}25x+15y=42\,500\\ x+1{,}5y=2\,375\end{cases}$

2. Aïllem $x$ de la segona equació i substituïm a la primera:

   $x$${}= 2\,375-1{,}5y$${}\Longrightarrow 25(2\,375-1{,}5y)+15y$${}= 42\,500$${}\Longrightarrow 59\,375-22{,}5y$${}= 42\,500$

3. Resolem:

   $22{,}5y=16\,875\ \Longrightarrow\ y=750$$x=2\,375-1{,}5\cdot 750=1\,250$

4. Comprovació:

   $25\cdot 1\,250+15\cdot 750$${}= 31\,250+11\,250$${}= 42\,500$$1\,250+1{,}5\cdot 750=2\,375$

Plantejament Es demana el benefici total de fabricar 100 paraigües de cada tipus i, per a cada model, els valors de $x$ sense pèrdues. Com que $x$ va en centenars d’unitats, 100 paraigües són $x=1$, i les funcions donen milers d’euros. No hi ha pèrdues quan el benefici és més gran o igual que 0.

1. Beneficis amb $x=1$:

   $p(1)=1\cdot(3-1)=2$$b(1)=-\frac{2}{5}+2=\frac{8}{5}=1{,}6$

2. En total, en milers d’euros ($2\,000$ € dels plegables i $1\,600$ € dels paraigües bastó):

   $p(1)+b(1)=2+1{,}6=3{,}6$

3. Plegables: amb $x\ge 0$, el signe de $p(x)=x(3-x)$ és el de $3-x$:

   $p(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 3-x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 3$

4. Bastó: traiem $x$ factor comú, $b(x)=x\left(2-\frac{2}{5}x\right)$, i amb $x\ge 0$ el signe és el del parèntesi:

   $b(x)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 2-\frac{2}{5}x\ge 0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le 5$

ResultatFabricant 100 paraigües de cada tipus s’obtenen $3{,}6$ milers d’euros, és a dir, $3\,600$ €. No hi ha pèrdues amb els plegables si $0\le x\le 3$ (fins a 300 paraigües) ni amb els paraigües bastó si $0\le x\le 5$ (fins a 500 paraigües); vegeu la gràfica.

La pauta oficial dona: $p(1)=2$, $b(1)=\frac{8}{5}$; $3600\ \text{€}$; $0\le x\le 3$; $0\le x\le 5$

Plantejament Es demana amb quin dels dos models calen menys paraigües per arribar al benefici màxim i amb quin es guanya més. Busquem el màxim de cada funció amb la seva derivada ($x$ en centenars de paraigües, beneficis en milers d’euros).

1. Derivades, igualades a zero:

   $p'(x)=3-2x=0\ \Longrightarrow\ x=1{,}5$$b'(x)=-\frac{4}{5}x+2=0\ \Longrightarrow\ x=2{,}5$

2. Signe de cada derivada a banda i banda: les dues funcions passen de créixer a decréixer, així que els dos punts són màxims:

   $p'(1)=1>0$$p'(2)=-1<0$$b'(2)=0{,}4>0$$b'(3)=-0{,}4<0$

3. Beneficis màxims:

   $p(1{,}5)=1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$$b(2{,}5)$${}= -\frac{2}{5}\cdot 6{,}25+5$${}= -2{,}5+5$${}= 2{,}5$

ResultatAmb els paraigües plegables calen menys unitats: el benefici màxim s’assoleix amb $150$ paraigües plegables, davant de $250$ paraigües bastó. Amb els paraigües bastó es guanya més: $2\,500$ € com a màxim, davant de $2\,250$ € amb els plegables (vegeu la gràfica).

La pauta oficial dona: $x=1{,}5$, $x=2{,}5$; $p(1{,}5)=2{,}25$, $b(2{,}5)=2{,}5$

Plantejament Es demana la probabilitat que el paraigua sigui de tefló sabent que és defectuós. És la condicionada «al revés» de les dades, així que fem servir la probabilitat total i la fórmula de Bayes. Anomenem $T$ «recobert de tefló», $I$ «impregnat» i $D$ «defectuós» (no aguanta la pluja).

1. Entre els dos lots hi ha $60+80=140$ paraigües, així que:

   $P(T)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$$P(I)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7}$

2. Si aguanta bé el 98 % dels de tefló, en falla el 2 %; dels impregnats en falla el 5 %:

   $P(D\mid T)=0{,}02$$P(D\mid I)=0{,}05$

3. Probabilitat total que sigui defectuós:

   $P(D)$${}= \frac{3}{7}\cdot 0{,}02+\frac{4}{7}\cdot 0{,}05$${}= \frac{0{,}06+0{,}2}{7}$${}= \frac{0{,}26}{7}$${}= \frac{13}{350}$${}\approx 0{,}0371$

4. Bayes:

   $P(T\mid D)$${}= \frac{P(T)\,P(D\mid T)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}06/7}{0{,}26/7}$${}= \frac{0{,}06}{0{,}26}$${}= \frac{3}{13}$${}\approx 0{,}2308$

Plantejament Anomenem $x$ els alumnes que han anat a Roma, $y$ els que han anat a Londres i $z$ els que no han marxat enlloc. Cada dada és una equació; comparem el rang de la matriu amb el nombre d’incògnites.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x+y+z=84\\ z=3y\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}x+y+z=84\\ 3y-z=0\end{cases}$

2. Matriu ampliada (ja esglaonada):

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\end{array}\right)$

3. El rang de la matriu de coeficients i el de l’ampliada és $2$, menor que el nombre d’incògnites ($3$):

   $\operatorname{rang} A=\operatorname{rang} A^*=2<3$

Plantejament Prenem com a paràmetre els alumnes que han anat a Londres, $y=\lambda$, i aïllem les altres incògnites.

1. De la segona equació:

   $z=3\lambda$

2. De la primera:

   $x$${}= 84-\lambda-3\lambda$${}= 84-4\lambda$${}= 4(21-\lambda)$

3. Com que $\lambda$ és un nombre natural, $z=3\lambda$ és múltiple de 3 i $x=4(21-\lambda)$ és múltiple de 4. A més, $x\ge 0$ obliga que $0\le\lambda\le 21$.

Plantejament Si 4 alumnes passen de «no marxar» a Roma, a Roma n’hi haurien anat $x+4$ i sense marxar n’haurien quedat $z-4$. Això dona una tercera equació; estudiem el sistema de tres equacions per Gauss.

1. Nova equació:

   $x+4$${}= 2\big(y+(z-4)\big)$${}\Longrightarrow x-2y-2z$${}= -12$

2. Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3+F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 1&-2&-2&-12\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&-3&-3&-96\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&84\\ 0&3&-1&0\\ 0&0&-4&-96\end{array}\right)$

3. Tres pivots: el rang és $3$, igual al nombre d’incògnites, i el sistema és compatible determinat. Resolem de baix a dalt:

   $-4z=-96\Rightarrow z=24$$3y=z\Rightarrow y=8$$x=84-8-24=52$

4. Comprovació: a Roma hi haurien anat $52+4=56$, i Londres més els que no haurien marxat sumen $8+20=28$:

   $56=2\cdot 28$

Plantejament Cada inscripció és presencial amb la proporció del curs passat, i les 15 són independents: el nombre $X$ d’inscripcions presencials és una binomial. Calculem $P(X=10)$ amb la fórmula de la binomial i l’esperança amb $E(X)=np$.

1. Activitats presencials del curs passat: $96+84=180$ de $240$:

   $p=\frac{180}{240}=0{,}75$$1-p=0{,}25$

2. Distribució:

   $X\sim B(15;\ 0{,}75)$

3. Fórmula de la binomial, amb $\binom{15}{10}=3\,003$:

   $P(X=10)$${}= \binom{15}{10}\,0{,}75^{10}\,0{,}25^{5}$${}= 3\,003\cdot\frac{3^{10}}{4^{15}}$${}\approx 0{,}1651$

4. Esperança:

   $E(X)=np=15\cdot 0{,}75=11{,}25$

5. L’esperança és una mitjana: no cal que sigui un nombre enter. Vol dir que, de mitjana, unes 11 de cada 15 inscripcions són presencials.

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ les activitats de la Carme, el Saïd i el Martí. Les tres dades donen un sistema de tres equacions, que resolem per Gauss.

1. Sistema:

   $\begin{cases}x-z=30\\ y-z=18\\ x+y+z=240\end{cases}$

2. Gauss: $F_3-F_1$ i després $F_3-F_2$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 1&1&1&240\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&1&2&210\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&30\\ 0&1&-1&18\\ 0&0&3&192\end{array}\right)$

3. Resolem:

   $z=\frac{192}{3}=64$$y=64+18=82$$x=64+30=94$

Plantejament Per saber si algun dia hi ha 20 famílies, resolem $f(t)=20$. Per al màxim, derivem $f$, busquem on s’anul·la per a $t\ge 0$ i comprovem el canvi de signe.

1. Equació $f(t)=20$:

   $\frac{100t}{t^2+4}$${}= 20$${}\Longrightarrow 100t$${}= 20t^2+80$${}\Longrightarrow t^2-5t+4=0$${}\Longrightarrow t=1$$\text{o}\ \ t=4$

2. Derivada (regla del quocient):

   $f'(t)$${}= \frac{100(t^2+4)-100t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}$${}= \frac{100(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$

3. $f'(t)=0$ per a $t=\pm 2$; només té sentit $t=2$. El denominador és positiu, així que el signe és el de $4-t^2$:

   $0<t<2:\ f'(t)>0$$t>2:\ f'(t)<0$

4. Per tant, $t=2$ és el màxim. Valor:

   $f(2)=\frac{100\cdot 2}{2^2+4}=\frac{200}{8}=25$

ResultatSí: hi ha exactament 20 famílies inscrites els dies $t=1$ i $t=4$. El màxim s’assoleix el dia $t=2$, amb $25$ famílies.

La pauta oficial dona: $t=1$, $t=4$; $t=2$, $f(2)=25$

Plantejament Cada fila de $\boldsymbol{R}$ diu quina part de cada tipus de preparació fa una persona. Multiplicar-la per les hores de cada tipus i sumar dona les hores de preparació d’aquella persona.

1. Producte fila per columna:

   $\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{h}$${}= \begin{pmatrix}0{,}50\cdot 24+0{,}30\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}30\cdot 24+0{,}50\cdot 21+0{,}20\cdot 15\\ 0{,}20\cdot 24+0{,}20\cdot 21+0{,}60\cdot 15\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}12+6{,}3+3\\ 7{,}2+10{,}5+3\\ 4{,}8+4{,}2+9\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}21{,}3\\ 20{,}7\\ 18\end{pmatrix}$

2. Comprovació: cada columna de $\boldsymbol{R}$ suma $1$ (cada preparació es reparteix sencera), i el total d’hores es conserva:

   $21{,}3+20{,}7+18=60=24+21+15$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els preus (en euros) de l’habitació individual, doble i triple. Les dues dades donen dues equacions; aïllem $y$ i $z$ en funció de $x$.

1. Sistema:

   $\begin{cases}6x+2y=702\\ x+3z=2y+2z\end{cases}$${}\Longrightarrow \begin{cases}6x+2y=702\\ x-2y+z=0\end{cases}$

2. De la primera equació:

   $y=\frac{702-6x}{2}=351-3x$

3. De la segona, substituint $y$:

   $z$${}= 2y-x$${}= 2(351-3x)-x$${}= 702-7x$

Plantejament La condició $z=2x$, juntament amb $z=702-7x$ de l’apartat a, dona $x$. Després calculem el preu de les tres maneres d’allotjar les 10 persones que apareixen a l’enunciat.

1. Igualem:

   $2x=702-7x\ \Longrightarrow\ 9x=702\ \Longrightarrow\ x=78$

2. Els altres preus:

   $y=351-3\cdot 78=117$$z=2\cdot 78=156$

3. Sis individuals i dues dobles ($6+4=10$ persones):

   $6\cdot 78+2\cdot 117=468+234=702$

4. Una individual i tres triples ($1+9=10$ persones):

   $78+3\cdot 156=78+468=546$

5. Dues dobles i dues triples ($4+6=10$ persones):

   $2\cdot 117+2\cdot 156$${}= 234+312$${}= 546$

Plantejament Anomenem $U$, $S$ i $I$ els tres nivells (universitat, secundària, infantil i primària) i $A$ «ser dona». La probabilitat de ser dona surt del teorema de la probabilitat total, i la de ser de secundària sabent que és dona, del teorema de Bayes.

1. Dades (la resta, $1-0{,}1-0{,}5$, és infantil i primària):

   $P(U)=0{,}1,\ P(S)=0{,}5,\ P(I)=0{,}4$$P(A\mid U)$${}= 0{,}4,\ P(A\mid S)$${}= 0{,}52,\ P(A\mid I)$${}= 0{,}65$

2. Probabilitat total:

   $P(A)$${}= 0{,}1\cdot 0{,}4+0{,}5\cdot 0{,}52$${}+0{,}4\cdot 0{,}65$${}= 0{,}04+0{,}26+0{,}26$${}= 0{,}56$

3. Bayes:

   $P(S\mid A)$${}= \frac{P(S)P(A\mid S)}{P(A)}$${}= \frac{0{,}26}{0{,}56}$${}= \frac{13}{28}$${}\approx 0{,}4643$

Plantejament Anomenem $x$, $y$ i $z$ els inscrits d’universitat, de secundària i d’infantil i primària. Els percentatges de cada nivell i el nombre de dones donen tres equacions.

1. El 10 % del total és d’universitat i el 50 %, de secundària:

   $x=0{,}1(x+y+z)\Rightarrow -9x+y+z=0$$y=0{,}5(x+y+z)\Rightarrow x-y+z=0$

2. Les dones són 476:

   $0{,}4x+0{,}52y+0{,}65z$${}= 476$${}\Rightarrow 40x+52y+65z$${}= 47\,600$

3. Gauss amb $F_1:\ x-y+z=0$. Fem $F_2+9F_1$ i $F_3-40F_1$:

   $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ -9&1&1&0\\ 40&52&65&47\,600\end{array}\right)$${}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\ 0&-8&10&0\\ 0&92&25&47\,600\end{array}\right)$

4. De la segona fila, $y=\frac{5}{4}z$. A la tercera:

   $92\cdot\frac{5}{4}z+25z$${}= 115z+25z$${}= 140z$${}= 47\,600$${}\Rightarrow z=340$

5. Les altres incògnites:

   $y=\frac{5}{4}\cdot 340=425$$x=y-z=425-340=85$

6. Comprovació per un altre camí: $P(A)=0{,}56$ és la fracció de dones, així que el total d’inscrits és

   $\frac{476}{0{,}56}=850$$0{,}1\cdot 850=85$$0{,}5\cdot 850=425$$0{,}4\cdot 850=340$