Probabilitat condicionada, probabilitat total i Bayes

L’essencial

Defineix els successos abans d'operar. En una taula de contingència, les cel·les contenen freqüències conjuntes i els marges s'obtenen sumant files o columnes. Condicionar vol dir restringir el grup de referència: el denominador deixa de ser tota la mostra i passa a ser el grup que compleix la condició.

En un diagrama d'arbre, la primera branca expressa una probabilitat inicial; la segona, una probabilitat condicionada a la categoria anterior. Per obtenir la probabilitat d'un camí es multipliquen les seves branques. Les branques que surten d'un mateix node descriuen alternatives excloents i exhaustives, i les seves probabilitats han de sumar u.

Quina pregunta resol cada regla; les categories Ai formen una partició

Idea	Regla	Condició o interpretació
Condicionada	Regla $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$	Condició o interpretació $P(B)>0$
Camí de l'arbre	Regla $P(A_i\cap D)=P(A_i)P(D\mid A_i)$	Condició o interpretacióMultiplicar al llarg del camí
Probabilitat total	Regla $P(D)=\sum_iP(A_i)P(D\mid A_i)$	Condició o interpretacióSumar camins excloents d'una partició
Bayes	Regla $P(A_i\mid D)=\frac{P(A_i)P(D\mid A_i)}{P(D)}$	Condició o interpretació $P(D)>0$
Complementari condicionat	Regla $P(\overline{D}\mid A)=1-P(D\mid A)$	Condició o interpretacióEs manté el mateix grup de referència
Independència	Regla $P(A\cap B)=P(A)P(B)$	Condició o interpretacióCal justificar-la

Si diverses categories inicials poden produir el mateix resultat, suma les probabilitats conjuntes d'aquests camins. Aquesta és la probabilitat total del resultat. Per aplicar Bayes, pren el camí que t'interessa i divideix-lo per aquesta probabilitat total, que ha de ser positiva.

No confonguis l'ordre de la condició. Saber la probabilitat de defecte sabent el proveïdor no equival a saber la probabilitat del proveïdor sabent que hi ha defecte: també importa quant produeix cada proveïdor. Tampoc no confonguis independència amb incompatibilitat; la independència és una condició addicional, no una propietat automàtica.

El succés complementari conserva la condició: per a un mateix grup, la probabilitat de no obtenir un resultat és u menys la d'obtenir-lo. Les dades exactes es mantenen com a fraccions fins al final per evitar l'acumulació d'arrodoniments.

Exemples resolts

En dos grups, A i B, S indica que s'ha completat una activitat i N que no. Freqüències:

\begin{array}{l|rr} & S & N\\ \hline A & 12 & 18\\ B & 24 & 6\end{array}

Totes les persones tenen la mateixa probabilitat de ser escollides. Calcula

P(S|B)

La condició redueix la mostra al grup que hi ha després de la barra. Compta només els seus integrants per al denominador.
$n(B)=30$
Dins d'aquest grup, compta els casos que també compleixen el succés demanat; després divideix.
$P(S\mid B)=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$
Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
$P=\frac{4}{5}$

Resultat $P(S|B)=\frac{4}{5}$

Dues línies, A1 i A2, produeixen peces; D indica defecte i noD absència de defecte. Les categories inicials són excloents i exhaustives.

P(A1)=\frac{3}{4}, P(D\mid A1)=\frac{1}{5}

P(A2)=\frac{1}{4}, P(D\mid A2)=\frac{3}{5}

. noD és el succés complementari de D. Calcula

P(D)

Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
$P(D)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$
Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
$P=\frac{3}{10}$

Resultat $P(D)=\frac{3}{10}$

Dues rutes, A1 i A2, lliuren comandes; D indica retard i noD absència de retard. Les categories inicials són excloents i exhaustives.

P(A1)=\frac{2}{3}, P(D\mid A1)=\frac{1}{4}

P(A2)=\frac{1}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}

. noD és el succés complementari de D. Calcula

P(A2|D)

Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
$P(D)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
Inverteix la condició amb Bayes: divideix la probabilitat conjunta de l'origen i del que s'ha observat per la probabilitat total del que s'ha observat.
$P(A2\mid D)=\frac{P(A2)P(D\mid A2)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$
Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
$P=\frac{1}{2}$

Resultat $P(A2|D)=\frac{1}{2}$

Exercicis

De menys a més. «Prova-ho al comprovador» te’l deixa preparat a dalt perquè el resolguis tu i el codi el corregeixi; la solució és plegada a sota.

Exercici 1Nivell 1Comprovat per codi
En una activitat, M i T indiquen torn de matí i de tarda; S indica participació i N, no participació. Freqüències: $\begin{array}{l|rr} & S & N\\ \hline M & 24 & 16\\ T & 18 & 42\end{array}$ Totes les persones tenen la mateixa probabilitat de ser escollides. Calcula $P(S|M)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. La condició redueix la mostra al grup que hi ha després de la barra. Compta només els seus integrants per al denominador.
  $n(M)=40$
2. Dins d'aquest grup, compta els casos que també compleixen el succés demanat; després divideix.
  $P(S\mid M)=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{3}{5}$
P(S|M) = 3/5
Exercici 2Nivell 1Comprovat per codi
Una biblioteca classifica els seus usuaris com a ESO o Batxillerat (B); S indica que han reservat un llibre i N que no. Freqüències: $\begin{array}{l|rr} & S & N\\ \hline \text{ESO} & 15 & 35\\ B & 30 & 20\end{array}$ Totes les persones tenen la mateixa probabilitat de ser escollides. Calcula $P(B|S)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. La condició redueix la mostra al grup que hi ha després de la barra. Compta només els seus integrants per al denominador.
  $n(S)=45$
2. Dins d'aquest grup, compta els casos que també compleixen el succés demanat; després divideix.
  $P(B\mid S)=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{2}{3}$
P(B|S) = 2/3
Exercici 3Nivell 1Comprovat per codi
Un magatzem rep peces de dos proveïdors, A1 i A2. D vol dir peça defectuosa i noD, peça sense defecte. Les categories inicials són excloents i exhaustives. $P(A1)=\frac{2}{5}, P(D\mid A1)=\frac{1}{10}$ . $P(A2)=\frac{3}{5}, P(D\mid A2)=\frac{1}{5}$ . noD és el succés complementari de D. Calcula $P(D)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
  $P(D)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{10}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{25}$
2. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{4}{25}$
P(D) = 4/25
Exercici 4Nivell 1Comprovat per codi
En dos grups d'un taller, A1 i A2, D indica que un participant sol·licita material addicional i noD, que no el sol·licita. Les categories inicials són excloents i exhaustives. $P(A1)=\frac{1}{3}, P(D\mid A1)=\frac{1}{4}$ . $P(A2)=\frac{2}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{8}$ . noD és el succés complementari de D. Calcula $P(D|A2)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. La pregunta fixa la categoria inicial; fes servir la probabilitat de la seva branca, sense tornar a multiplicar per la probabilitat inicial.
  $P(D\mid A2)=\frac{1}{8}$
2. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{1}{8}$
P(D|A2) = 1/8
Exercici 5Nivell 2Comprovat per codi
Dues impressores, A1 i A2, produeixen els fulls d'una tirada. D indica un full amb una taca i noD un full sense taca. Les categories inicials són excloents i exhaustives. $P(A1)=\frac{3}{5}, P(D\mid A1)=\frac{1}{4}$ . $P(A2)=\frac{2}{5}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}$ . noD és el succés complementari de D. Calcula $P(A1|D)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
  $P(D)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{20}$
2. Inverteix la condició amb Bayes: divideix la probabilitat conjunta de l'origen i del que s'ha observat per la probabilitat total del que s'ha observat.
  $P(A1\mid D)=\frac{P(A1)P(D\mid A1)}{P(D)}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{7}{20}}=\frac{3}{7}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{3}{7}$
P(A1|D) = 3/7
Exercici 6Nivell 2Comprovat per codi
Un centre registra el torn, matí (M) o tarda (T), i el transport utilitzat: Bus, Bici o Moto. Freqüències: $\begin{array}{l|rrr} & \text{Bus} & \text{Bici} & \text{Moto}\\ \hline M & 18 & 12 & 10\\ T & 12 & 8 & 40\end{array}$ Totes les persones tenen la mateixa probabilitat de ser escollides. Calcula $P(T|Bici)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. La condició redueix la mostra al grup que hi ha després de la barra. Compta només els seus integrants per al denominador.
  $n(Bici)=20$
2. Dins d'aquest grup, compta els casos que també compleixen el succés demanat; després divideix.
  $P(T\mid Bici)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{2}{5}$
P(T|Bici) = 2/5
Exercici 7Nivell 2Comprovat per codi
Un servei reparteix les seves comandes entre tres rutes, A1, A2 i A3. D indica lliurament dins del termini i noD, lliurament fora del termini. Les categories inicials són excloents i exhaustives. $P(A1)=\frac{1}{2}, P(D\mid A1)=\frac{1}{5}$ . $P(A2)=\frac{1}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}$ . $P(A3)=\frac{1}{6}, P(D\mid A3)=\frac{3}{5}$ . noD és el succés complementari de D. Calcula $P(D)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
  $P(D)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{11}{30}$
2. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{11}{30}$
P(D) = 11/30
Exercici 8Nivell 2Comprovat per codi
Fes servir el model de les tres rutes: D vol dir lliurament dins del termini i noD, lliurament fora del termini. Les categories inicials són excloents i exhaustives. $P(A1)=\frac{1}{2}, P(D\mid A1)=\frac{1}{5}$ . $P(A2)=\frac{1}{3}, P(D\mid A2)=\frac{1}{2}$ . $P(A3)=\frac{1}{6}, P(D\mid A3)=\frac{3}{5}$ . noD és el succés complementari de D. Calcula $P(A2|D)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
  $P(D)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{11}{30}$
2. Inverteix la condició amb Bayes: divideix la probabilitat conjunta de l'origen i del que s'ha observat per la probabilitat total del que s'ha observat.
  $P(A2\mid D)=\frac{P(A2)P(D\mid A2)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{11}{30}}=\frac{5}{11}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{5}{11}$
P(A2|D) = 5/11
Exercici 9Nivell 3Comprovat per codi
Una empresa assigna reserves a tres canals, A1, A2 i A3. D indica cancel·lació i noD que la reserva es manté. Les categories inicials són excloents i exhaustives. $P(A1)=\frac{1}{4}, P(D\mid A1)=\frac{1}{10}$ . $P(A2)=\frac{1}{4}, P(D\mid A2)=\frac{1}{5}$ . $P(A3)=\frac{1}{2}, P(D\mid A3)=\frac{2}{5}$ . noD és el succés complementari de D. Calcula $P(A3|noD)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. Multiplica al llarg de cada camí per obtenir-ne la probabilitat conjunta. Suma els camins excloents que porten al resultat observat.
  $P(noD)=\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{10}+\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{29}{40}$
2. Inverteix la condició amb Bayes: divideix la probabilitat conjunta de l'origen i del que s'ha observat per la probabilitat total del que s'ha observat.
  $P(A3\mid noD)=\frac{P(A3)P(noD\mid A3)}{P(noD)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{29}{40}}=\frac{12}{29}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{12}{29}$
P(A3|noD) = 12/29
Exercici 10Nivell 3Comprovat per codi
En tres tallers, CAD, Robot i Pintura, es registra S si el projecte està lliurat, R si necessita revisió i N si no està lliurat. Freqüències: $\begin{array}{l|rrr} & S & R & N\\ \hline \text{CAD} & 12 & 8 & 10\\ \text{Robot} & 9 & 21 & 10\\ \text{Pintura} & 15 & 5 & 10\end{array}$ Totes les persones tenen la mateixa probabilitat de ser escollides. Calcula $P(Robot|S)$ com a fracció irreductible i explica quin grup fas servir com a referència.
Mostra la solució
1. La condició redueix la mostra al grup que hi ha després de la barra. Compta només els seus integrants per al denominador.
  $n(S)=36$
2. Dins d'aquest grup, compta els casos que també compleixen el succés demanat; després divideix.
  $P(Robot\mid S)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
3. Simplifica la fracció sense arrodonir. El resultat és entre zero i u perquè és una probabilitat.
  $P=\frac{1}{4}$
P(Robot|S) = 1/4

Així surt a la PAU

Els exercicis oficials de la PAU sobre aquest tema, resolts pas a pas a EducaIA:

Els exercicis oficials de Matemàtiques de la PAU de Catalunya d’aquest tema, resolts pas a pas Els de Matemàtiques CCSS, també resolts pas a pas

Més preguntes reals d’exàmens oficials sobre aquest tema. Et diem de què van; l’enunciat és a l’examen.

Madrid 2024 convocatòria ordinària · pregunta 10
Reunir tres orígens d'una piscifactoria mitjançant la probabilitat total i deduir l'origen condicionat al succés complementari.
Obre l’examen (p. 2)
Madrid 2025 convocatòria ordinària · pregunta 4.2
Calcular la probabilitat total de lectura i el grup d'edat sabent que no hi ha lectura habitual.
Obre l’examen (p. 2)
Madrid 2025 convocatòria extraordinària · pregunta 4.2
Combinar dies plujosos i secs i trobar la probabilitat del temps sabent que hi va haver una caiguda.
Obre l’examen (p. 2)

Errors típics

Presentar només un decimal sense plantejar la probabilitat: la rúbrica puntua per separat el plantejament i el càlcul.
Criteri de correcció
Fer servir la probabilitat del succés en lloc de la del seu complementari en condicionar per un resultat negatiu.
Criteri de correcció
Intercanviar l'origen i l'observació en aplicar el teorema de Bayes sense incloure les probabilitats inicials.
Criteri de correcció
Dividir per tota la mostra d'una taula quan la pregunta fixa un grup concret.
Suposar independència perquè no es coneixen les probabilitats conjuntes.

Preguntes freqüents

Com es calcula la probabilitat condicionada en una taula?

Localitza el grup que es dona per conegut i calcula'n el total. Divideix els casos que compleixen tots dos successos per aquest total, no per la mida completa de la mostra.

Quan faig servir la probabilitat total i quan Bayes?

Fes servir la probabilitat total per obtenir un resultat que pot arribar per diversos camins. Fes servir Bayes si ja coneixes aquest resultat i vols esbrinar de quina categoria inicial pot procedir.

Per què no són iguals les dues probabilitats condicionades?

Canviar l'ordre canvia el grup de referència i, per tant, el denominador. Poden coincidir en algun cas, però no es pot suposar aquesta igualtat.

En un arbre, les probabilitats se sumen o es multipliquen?

Es multipliquen les probabilitats de les branques d'un mateix camí. Se sumen camins excloents quan representen les alternatives del resultat que busques.

Es pot condicionar per un succés impossible?

La fórmula elemental de la probabilitat condicionada requereix que la condició tingui probabilitat positiva. Si és zero, la probabilitat condicionada no està definida i el comprovador d'aquesta pàgina no dona cap xifra.

Fonts

Les taules i els arbres serveixen d'introducció a l'ESO. Els teoremes de la probabilitat total i de Bayes es desenvolupen aquí al nivell de Batxillerat. El comprovador d'aquesta pàgina treballa amb taules de fins a tres files i tres columnes i amb arbres de dos nivells; no amb distribucions contínues ni amb processos de longitud arbitrària.

RD 243/2022, annex II: Matemàtiques II, E.1, i Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II, D.1; condicionada, arbres, taules, total i Bayes. Obre
RD 217/2022, annex II: Matemàtiques A i B de quart, sentit estocàstic, incertesa; arbres i taules en experiments compostos. Obre
EvAU Madrid, Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II, ordinària 2024: exercici 10, enunciat p. 2, criteris p. 5 i solució p. 8. Obre
PAU Madrid, Matemàtiques II, ordinària 2025: 4.2, enunciat p. 2, criteris p. 3 i solució p. 5. Obre
PAU Madrid, Matemàtiques II, extraordinària 2025: 4.2, enunciat p. 2, criteris p. 4 i solució p. 6. Obre

Escrit per EducaIA. Les solucions les comprova un programa, sense IA.

Com fem els apunts i els exercicis