Probabilitat i estadística: exercicis de la PAU de Matemàtiques resolts

Plantejament Calculem quina proporció de seguidors acaba tenint entrada (pel sorteig o per la web) i, com que sabem que el 16 % són exactament 24 persones, passem de proporció a nombre de persones.

1. Successos: $E_S$ = «obtenir entrada al sorteig», $W$ = «intentar comprar-la a la web», $E_W$ = «aconseguir-la a la web».

   $P(E_S)=0{,}16$

2. Intenten la web sis setenes parts dels que no han guanyat al sorteig:

   $P(W)$${}= (1-0{,}16)\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}84\cdot\frac{6}{7}$${}= 0{,}72$

3. D’aquests, el 25 % l’aconsegueix:

   $P(E_W)=0{,}72\cdot 0{,}25=0{,}18$

4. Proporció de seguidors amb entrada:

   $P(E)=0{,}16+0{,}18=0{,}34$

5. El 16 % dels seguidors són les 24 persones del sorteig; per tant, hi ha 150 seguidors:

   $N=\frac{24}{0{,}16}=150$

6. Persones amb entrada:

   $0{,}34\cdot 150=51$

Plantejament És una probabilitat condicionada: sabem que la persona no té entrada i volem la probabilitat que hagués provat la web. Apliquem la fórmula de Bayes.

1. Sigui $\overline{E}$ = «no tenir entrada». De l’apartat anterior:

   $P(\overline{E})=1-0{,}34=0{,}66$

2. Si ha provat la web, no té entrada amb probabilitat $1-0{,}25$:

   $P(\overline{E}\mid W)=0{,}75$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(W\mid\overline{E})$${}= \frac{P(\overline{E}\mid W)\,P(W)}{P(\overline{E})}$${}= \frac{0{,}75\cdot 0{,}72}{0{,}66}$${}= \frac{0{,}54}{0{,}66}$${}= \frac{9}{11}$${}\approx 0{,}82$

Plantejament Volem saber si $S(t)$ arriba a $100$. Definim $D(t)=S(t)-100$, que és contínua, i apliquem el teorema de Bolzano; després anem reduint l’interval fins a tenir la precisió d’una dècima.

1. $D$ és polinòmica i, per tant, contínua a $[0,5]$:

   $D(t)$${}= S(t)-100$${}= -t^3+12t^2-30t$${}-10$

2. Valors als extrems:

   $D(0)=-10<0$$D(5)$${}= -125+300-150-10$${}= 15$${}> 0$

3. Pel teorema de Bolzano existeix $c\in(0,5)$ amb $D(c)=0$, és a dir, $S(c)=100$: els efectes s’activen.

4. Abans d’això $S$ no arriba a $100$: $S'(t)=-3t^2+24t-30$ s’anuŀla a $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$; $S$ decreix a $[0;\,1{,}55]$ (on $S\le 90$) i després creix, així que només travessa el valor $100$ una vegada.

5. Acotem l’arrel:

   $D(4)=-2<0$$D(4{,}2)=1{,}592>0\ \Rightarrow\ c\in(4;\,4{,}2)$
6. $D(4{,}1)$${}= -0{,}201$${}< 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}2)$

7. Per decidir l’arrodoniment a les dècimes mirem el punt mitjà:

   $D(4{,}15)$${}\approx 0{,}70$${}> 0$${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}15)$${}\Rightarrow c$${}\approx 4{,}1$

ResultatSí; s’activen als $t\approx 4{,}1$ minuts.

La pauta oficial dona: $\text{Sí}$, $t\approx 4{,}1\ \text{min}$

Plantejament Es demana la probabilitat que l’alumne faci almenys quatre hores d’esport a la setmana. Depèn de si llegeix o no almenys dos llibres al mes, que són els dos grups de l’enquesta: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $L$ = «llegeix com a mínim dos llibres al mes» i $E$ = «fa esport almenys quatre hores a la setmana». Dades:

   $P(L)=0{,}6$$P(E\mid L)=0{,}7$$P(\overline E\mid\overline L)=0{,}5$

2. Complementaris:

   $P(\overline L)=0{,}4$$P(E\mid\overline L)=1-0{,}5=0{,}5$$P(\overline E\mid L)=1-0{,}7=0{,}3$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(E)$${}= P(L)\,P(E\mid L)$${}+P(\overline L)\,P(E\mid\overline L)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}4\cdot 0{,}5$${}= 0{,}42+0{,}20$${}= 0{,}62$

Plantejament Sabem que fa menys de quatre hores d’esport ($\overline E$) i volem la probabilitat que llegeixi almenys dos llibres al mes: és $P(L\mid\overline E)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. Probabilitat de $\overline E$, amb l’apartat anterior:

   $P(\overline E)=1-0{,}62=0{,}38$

2. Fórmula de Bayes:

   $P(L\mid\overline E)$${}= \frac{P(\overline E\mid L)\,P(L)}{P(\overline E)}$${}= \frac{0{,}3\cdot 0{,}6}{0{,}38}$${}= \frac{0{,}18}{0{,}38}$${}= \frac{9}{19}$

Plantejament Es demanen el màxim i el mínim absoluts de $y(x)=7-x+\ln(2x-1)$ a l’interval $[1,6]$, que és on varia $x$. Una funció contínua en un interval tancat hi té màxim i mínim absoluts, i són en un punt crític de l’interior o en un extrem de l’interval.

1. Derivada (a $[1,6]$, $2x-1>0$):

   $y'(x)=-1+\frac{2}{2x-1}=\frac{3-2x}{2x-1}$

2. Punt crític:

   $y'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 3-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{3}{2}$

3. Signe: el denominador és positiu; $y'>0$ a $\left[1,\frac{3}{2}\right)$ i $y'<0$ a $\left(\frac{3}{2},6\right]$. La funció creix i després decreix: a $x=\frac{3}{2}$ hi ha el màxim absolut.

4. Valors al punt crític i als extrems de l’interval:

   $y(1)=7-1+\ln 1=6$$y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$$y(6)=1+\ln 11\approx 3{,}40$

5. El valor més gran és $y\left(\frac{3}{2}\right)$ i el més petit, $y(6)$: la funció decreix de $\frac{3}{2}$ a $6$ i $y(6)$ és més petit que $y(1)=6$.

ResultatSegons el model, l’Alba ha fet com a màxim $\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ hores d’esport a la setmana (les setmanes que llegia $1{,}5$ hores) i com a mínim $1+\ln 11\approx 3{,}40$ hores (les que llegia $6$ hores).

La pauta oficial dona: màxim $\approx 6{,}19$ h; mínim $\approx 3{,}4$ h

Plantejament Cada aerogenerador funciona amb probabilitat $0{,}9$, independentment dels altres. El nombre $X$ d’aerogeneradors en marxa segueix una binomial $B(10;\,0{,}9)$. Per arribar a 1 000 MW han de funcionar tots deu.

1. $P(X=10)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487$

Plantejament Superar 150 MW vol dir que funcionin almenys 2 aerogeneradors ($2\cdot 100=200>150$, mentre que $1\cdot 100=100<150$). És més fàcil calcular el contrari: que en funcionin 0 o 1.

1. Cap en marxa (tots aturats):

   $P(X=0)=0{,}1^{10}=10^{-10}$

2. Exactament un en marxa:

   $P(X=1)$${}= \binom{10}{1}\,0{,}9\cdot 0{,}1^{9}$${}= 9\cdot 10^{-9}$

3. Complementari:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-10^{-10}-9\cdot 10^{-9}$${}= 1-9{,}1\cdot 10^{-9}$

Plantejament La part ombrejada és la regió tancada entre $g(x)=8x$ i $f(x)=2x^3$. Busquem els punts de tall i integrem la diferència de les funcions a cada tros.

1. Punts de tall:

   $2x^3$${}= 8x$${}\Longrightarrow 2x(x^2-4)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ 0,\ 2$

2. A $(0,2)$ la recta queda per sobre ($8x>2x^3$); a $(-2,0)$, per sota. Les dues fulles són simètriques respecte de l’origen (totes dues funcions són senars):

   $\int_{0}^{2}(8x-2x^3)\,dx$${}= \left[4x^2-\frac{x^4}{2}\right]_0^2$${}= 16-8$${}= 8$
3. $\int_{-2}^{0}(2x^3-8x)\,dx$${}= \left[\frac{x^4}{2}-4x^2\right]_{-2}^{0}$${}= 0-(8-16)$${}= 8$

4. Àrea total ombrejada:

   $A=8+8=16$

Resultat$A=16\ \text{m}^2$ (dues fulles de $8\ \text{m}^2$ cadascuna).

La pauta oficial dona: $16\ \mathrm{m}^2$

Plantejament Hi ha dos tipus de peces amb probabilitats de defecte diferents: fem servir la fórmula de la probabilitat total. Les peces de ferro defectuoses són el $100-95=5\,\%$.

1. Dades: $F$ = «de ferro», $A$ = «d’acer», $D$ = «defectuosa».

   $P(F)=0{,}6$$P(A)=0{,}4$$P(D\mid F)=0{,}05$$P(D\mid A)=0{,}03$

2. Probabilitat total:

   $P(D)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}05+0{,}4\cdot 0{,}03$${}= 0{,}03+0{,}012$${}= 0{,}042$

Plantejament El nombre $X$ de peces defectuoses en un paquet de 5 segueix una binomial $B(5,p)$, perquè les peces són independents i cadascuna és defectuosa amb probabilitat $p$.

1. Hi ha $\binom{5}{4}=5$ maneres de triar quina peça és la bona, i cada configuració té probabilitat $p^4(1-p)$:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4(1-p)$${}= 5p^4(1-p)$${}= 5(p^4-p^5)$

Plantejament Busquem els punts crítics de $f$ per a $p\ge 0$ i estudiem el signe de la derivada per saber on creix i on decreix.

1. Derivada:

   $f'(p)$${}= 20p^3-25p^4$${}= 5p^3(4-5p)$

2. Punts crítics:

   $f'(p)=0\ \Longrightarrow\ p=0$$\text{o}\ \ p=\frac{4}{5}$

3. Signe: $f'>0$ a $\left(0,\frac45\right)$ i $f'<0$ per a $p>\frac45$. Per tant $f$ creix fins a $\frac45$ i després decreix: a $p=\frac45$ hi ha el màxim absolut per a $p\ge 0$.

4. Valor màxim:

   $f\left(\frac{4}{5}\right)$${}= 5\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(1-\frac{4}{5}\right)$${}= \left(\frac{4}{5}\right)^4$${}= \frac{256}{625}$${}\approx 0{,}41$

Plantejament Es demana la probabilitat que el filtre enviï un missatge a la carpeta de brossa. Hi pot arribar un missatge brossa o un de bo: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $B$ = «el missatge és brossa» i $C$ = «el filtre l’envia a la carpeta de brossa». Dades de l’enunciat:

   $P(B)=0{,}25$$P(\overline B)=0{,}75$$P(C\mid B)=0{,}95$$P(\overline C\mid\overline B)=0{,}90$

2. Dels missatges bons, el filtre envia a la carpeta de brossa la resta:

   $P(C\mid\overline B)=1-0{,}90=0{,}10$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(C)$${}= P(C\mid B)\,P(B)$${}+P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)$${}= 0{,}95\cdot 0{,}25+0{,}10\cdot 0{,}75$${}= 0{,}2375+0{,}075$${}= 0{,}3125$

Plantejament A la carpeta de brossa hi ha els missatges que el filtre hi ha enviat. Es demana quina proporció d’aquests missatges no són brossa: és $P(\overline B\mid C)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, amb $P(C)=0{,}3125$ de l’apartat a):

   $P(\overline B\mid C)$${}= \frac{P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}10\cdot 0{,}75}{0{,}3125}$${}= \frac{0{,}075}{0{,}3125}$${}= 0{,}24$

Plantejament Es demana el valor de la constant $A$. Calculem la integral que defineix $F(t)$ amb una primitiva (regla de Barrow) i imposem que $F(2)=1-e^{-1}$.

1. Una primitiva de $Ae^{-0{,}5x}$ és $\frac{A}{-0{,}5}e^{-0{,}5x}=-2Ae^{-0{,}5x}$:

   $F(t)$${}= \int_0^t Ae^{-0{,}5x}\,dx$${}= \left[-2Ae^{-0{,}5x}\right]_0^t$${}= -2Ae^{-0{,}5t}+2A$${}= 2A\left(1-e^{-0{,}5t}\right)$

2. Imposem el valor de la probabilitat per a $t=2$ minuts:

   $F(2)$${}= 2A\left(1-e^{-1}\right)$${}= 1-e^{-1}$

3. Com que $1-e^{-1}\neq 0$, podem dividir-hi els dos membres:

   $2A=1\ \Longrightarrow\ A=\frac{1}{2}=0{,}5$

4. Amb aquest valor, $F(t)=1-e^{-0{,}5t}$.

Plantejament La població es divideix en dos grups amb probabilitats de lesió diferents: fem servir la fórmula de la probabilitat total.

1. Dades: $I$ = «practica esports d’impacte», $S$ = «pateix sesamoïditis».

   $P(I)=0{,}45$$P(\overline{I})=0{,}55$$P(S\mid I)=0{,}1$$P(S\mid\overline{I})=0{,}03$

2. Probabilitat total:

   $P(S)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}1+0{,}55\cdot 0{,}03$${}= 0{,}045+0{,}0165$${}= 0{,}0615$

Plantejament Sabem que té la lesió i volem la probabilitat que practiqui esports d’impacte: probabilitat condicionada, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. $P(I\mid S)$${}= \frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}$${}= \frac{0{,}045}{0{,}0615}$${}= \frac{30}{41}$${}\approx 0{,}7317$

Plantejament Tradueix cada dada a una equació: màxim a $x=1$ vol dir $f'(1)=0$; benefici de 8 000 € vol dir $f(1)=8$ (en milers d’euros); punt d’inflexió a $x=2$ vol dir $f''(2)=0$. Resolem el sistema.

1. Derivades:

   $f'(x)=3ax^2+2bx+c$$f''(x)=6ax+2b$

2. Condicions:

   $\begin{cases}f'(1)=0:& 3a+2b+c=0\\ f(1)=8:& a+b+c=8\\ f''(2)=0:& 12a+2b=0\end{cases}$

3. Restant les dues primeres:

   $2a+b=-8$

4. De la tercera, $b=-6a$; substituint:

   $2a-6a=-8\ \Longrightarrow\ a=2$$b=-12$$c=8-2+12=18$

5. Comprovem que és un màxim i que hi ha inflexió: $f''(1)=12-24=-12<0$ i $f'''(x)=12\ne 0$.

   $f(x)=2x^3-12x^2+18x$

Plantejament A la bossa hi ha $9$ boles: dues A, dues S i una de cada de B, Y, E, F i N. Sense reemplaçament, la probabilitat de la segona extracció depèn del que ha sortit a la primera (probabilitat condicionada).

1. Primera bola A o E: hi ha $3$ boles favorables (dues A i una E) de $9$:

   $P(\text{A o E})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

2. Les dues boles només poden ser iguals si són dues A o dues S. Per a dues A: la primera és A amb probabilitat $\frac{2}{9}$ i, si ho és, en queden $8$ amb una sola A:

   $P(AA)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{36}$

3. Igual per a dues S:

   $P(SS)=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{36}$

4. Pel complementari:

   $P(\text{diferents})$${}= 1-\left(\frac{1}{36}+\frac{1}{36}\right)$${}= 1-\frac{1}{18}$${}= \frac{17}{18}$${}\approx 0{,}944$

Plantejament Amb reemplaçament, les cinc extraccions són independents i a cada una surt A amb probabilitat $\frac{2}{9}$. El nombre $X$ d’A extretes segueix una distribució binomial $B\left(5,\frac{2}{9}\right)$.

1. Distribució de $X$:

   $X\sim B\left(5,\frac{2}{9}\right)$$P(X=k)$${}= \binom{5}{k}\left(\frac{2}{9}\right)^{k}\left(\frac{7}{9}\right)^{5-k}$

2. Cap A ($k=0$):

   $P(X=0)$${}= \left(\frac{7}{9}\right)^{5}$${}= \frac{16807}{59049}$${}\approx 0{,}2846$

3. Exactament una A ($k=1$), amb $\left(\frac{7}{9}\right)^4=\frac{2401}{6561}$:

   $P(X=1)$${}= \binom{5}{1}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2401}{6561}$${}= \frac{24010}{59049}$

4. Almenys dues A, pel complementari:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-P(X=0)-P(X=1)$${}= 1-\frac{16807}{59049}-\frac{24010}{59049}$${}= \frac{18232}{59049}$${}\approx 0{,}3088$

Plantejament Es demana la probabilitat que una solució sigui correcta. Depèn de qui l’ha feta (la Rut o Internet), i això ho decideix el dau: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $R$ = «la resol la Rut» (dau 1, 2, 3 o 4), $I$ = «la copia d’Internet» (dau 5 o 6) i $C$ = «la solució és correcta». Amb un dau equilibrat:

   $P(R)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$P(I)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

2. Probabilitats condicionades de l’enunciat:

   $P(C\mid R)=0{,}75$$P(C\mid I)=0{,}4$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(C)$${}= P(C\mid R)\,P(R)$${}+P(C\mid I)\,P(I)$${}= 0{,}75\cdot\frac{2}{3}+0{,}4\cdot\frac{1}{3}$${}= 0{,}5+\frac{2}{15}$${}= \frac{19}{30}$

Plantejament Sabem que la solució és correcta i volem la probabilitat que l’hagi resolt la Rut: és $P(R\mid C)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, amb $P(C)=\frac{19}{30}$ de l’apartat a):

   $P(R\mid C)$${}= \frac{P(C\mid R)\,P(R)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}75\cdot\frac{2}{3}}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{0{,}5}{\frac{19}{30}}$${}= \frac{15}{19}$

Plantejament Es demana la probabilitat d’almenys 4 problemes correctes de 5. Suposem que cada problema es fa de manera independent (un dau per a cada problema): cada un és correcte amb probabilitat $p=P(C)=\frac{19}{30}$ i el nombre $X$ de problemes correctes segueix una binomial $B(5,p)$. Volem $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$.

1. Probabilitat d’èxit i de fracàs:

   $p=\frac{19}{30}\approx 0{,}6333$$q=1-p=\frac{11}{30}\approx 0{,}3667$

2. Fórmula de la binomial, $P(X=k)=\binom{5}{k}p^k q^{5-k}$, per a 4 correctes:

   $P(X=4)$${}= \binom{5}{4}p^4q$${}= 5\cdot 0{,}1609\cdot 0{,}3667$${}\approx 0{,}2950$

3. Per a 5 correctes:

   $P(X=5)=\binom{5}{5}p^5\approx 0{,}1019$

4. Sumem les dues probabilitats:

   $P(X\ge 4)$${}= 0{,}2950+0{,}1019$${}= 0{,}3969$

Plantejament Anomenem $A$ l’esdeveniment «patir arrítmia», amb $P(A)=0{,}2$. Si les persones s’escullen a l’atzar i de manera independent, el nombre $N$ de persones amb arrítmia d’entre $4$ segueix una binomial $B(4;\ 0{,}2)$. Passem al complementari: «almenys una» és el contrari de «cap».

1. Distribució:

   $N\sim B(4;\ 0{,}2)$

2. Probabilitat que cap de les quatre pateixi arrítmia:

   $P(N=0)$${}= (1-0{,}2)^4$${}= 0{,}8^4$${}= 0{,}4096$

3. Complementari:

   $P(N\ge 1)=1-0{,}4096=0{,}5904$

Plantejament Anomenem $H$ l’esdeveniment «diagnòstic positiu». Coneixem $P(H\mid A)$ i $P(H\mid\overline{A})$, i fem servir la fórmula de la probabilitat total.

1. Dades de l’enunciat:

   $P(A)=0{,}2$$P(\overline{A})=0{,}8$$P(H\mid A)=0{,}95$$P(H\mid\overline{A})=0{,}005$

2. Probabilitat total:

   $P(H)$${}= P(H\mid A)\,P(A)$${}+P(H\mid\overline{A})\,P(\overline{A})$${}= 0{,}95\cdot 0{,}2+0{,}005\cdot 0{,}8$${}= 0{,}19+0{,}004$${}= 0{,}194$

Plantejament Volem $P(A\mid\overline{H})$: sabem que el resultat és negatiu i volem la probabilitat que la persona tingui arrítmia. Fem servir la fórmula de Bayes.

1. Probabilitat de negatiu si té arrítmia:

   $P(\overline{H}\mid A)=1-0{,}95=0{,}05$

2. Probabilitat de negatiu, amb l’apartat b):

   $P(\overline{H})$${}= 1-P(H)$${}= 1-0{,}194$${}= 0{,}806$

3. Fórmula de Bayes:

   $P(A\mid\overline{H})$${}= \frac{P(\overline{H}\mid A)\,P(A)}{P(\overline{H})}$${}= \frac{0{,}05\cdot 0{,}2}{0{,}806}$${}= \frac{0{,}01}{0{,}806}$${}= \frac{5}{403}$${}\approx 0{,}0124$