Matemàtiques, PAU 2025 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 4) resolt

Plantejament Es demana discutir el sistema segons el valor de $a$. Fem servir el teorema de Rouché-Frobenius: comparem el rang de la matriu de coeficients $M$ amb el de la matriu ampliada $M^*$ i amb el nombre d’incògnites, 3.

1. Matriu de coeficients i matriu ampliada:

   $M$${}= \begin{pmatrix}1&3&a\\-2&-6&2\\a&3&1\end{pmatrix}$$M^*$${}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&a&1\\-2&-6&2&2a\\a&3&1&3\end{array}\right)$

2. Determinant de $M$ (regla de Sarrus):

   $|M|$${}= (-6+6a-6a)$${}-(-6a^2+6-6)$${}= 6a^2-6$${}= 6\left(a^2-1\right)$

3. $|M|=0$ si i només si $a=1$ o $a=-1$. Si $a\neq\pm 1$, $\operatorname{rang}M=3=\operatorname{rang}M^*$, que és el nombre d’incògnites: sistema compatible determinat (una sola solució).

4. Si $a=1$, la primera i la tercera equació tenen el mateix primer membre i un terme independent diferent, de manera que no es poden complir alhora:

   $\begin{cases}x+3y+z=1\\ -2x-6y+2z=2\\ x+3y+z=3\end{cases}$

5. En rangs, per a $a=1$: el menor de les columnes de $x$ i $z$ de les dues primeres files no és zero, i en orlar-lo amb la tercera fila i la columna dels termes independents tampoc:

   $\begin{vmatrix}1&1\\-2&2\end{vmatrix}$${}= 4$${}\neq 0$$\begin{vmatrix}1&1&1\\-2&2&2\\1&1&3\end{vmatrix}$${}= 8$${}\neq 0$

6. Per tant, per a $a=1$: $\operatorname{rang}M=2\neq\operatorname{rang}M^*=3$, sistema incompatible.

7. Si $a=-1$, la segona equació és la primera multiplicada per $-2$ (també el terme independent, $2a=-2$), de manera que sobra:

   $\begin{cases}x+3y-z=1\\ -2x-6y+2z=-2\\ -x+3y+z=3\end{cases}$

8. Queden dues equacions independents (el menor de les columnes de $y$ i $z$ de la primera i la tercera fila no és zero):

   $\begin{vmatrix}3&-1\\3&1\end{vmatrix}$${}= 6$${}\neq 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rang}M$${}= \operatorname{rang}M^*$${}= 2$${}< 3$

9. Per a $a=-1$ el sistema és compatible indeterminat, amb un grau de llibertat.

Plantejament Es demana com són els tres plans entre ells segons $a$. Ho llegim de la discussió de l’apartat a) i de la comparació dels vectors normals de cada pla.

1. Vectors normals:

   $\vec n_1=(1,3,a)$$\vec n_2=(-2,-6,2)$$\vec n_3=(a,3,1)$

2. Si $a\neq\pm 1$, el sistema és compatible determinat: els tres plans es tallen en un sol punt.

3. Si $a=1$: $\pi_1\colon x+3y+z=1$ i $\pi_3\colon x+3y+z=3$ tenen el mateix vector normal, $(1,3,1)$, i termes independents diferents: són paral·lels i diferents. $\vec n_2=(-2,-6,2)$ no és proporcional a $(1,3,1)$, de manera que $\pi_2$ talla cadascun dels altres dos en una recta (dues rectes paral·leles). Els tres plans no tenen cap punt comú.

4. Si $a=-1$: l’equació de $\pi_2$ és la de $\pi_1$ multiplicada per $-2$, així que $\pi_1$ i $\pi_2$ són el mateix pla. $\vec n_3=(-1,3,1)$ no és proporcional a $\vec n_1=(1,3,-1)$: $\pi_3$ talla aquest pla en una recta, que és la intersecció dels tres.

Plantejament Es demana si la intersecció dels tres plans pot ser una recta i, en aquest cas, un punt i un vector director. Pels apartats a) i b), passa només per a $a=-1$ (sistema compatible indeterminat); resolem el sistema i escrivim les solucions en forma paramètrica.

1. Per a $a=-1$ queden dues equacions independents, la primera i la tercera:

   $\begin{cases}x+3y-z=1\\ -x+3y+z=3\end{cases}$

2. Les sumem, i s’eliminen $x$ i $z$:

   $6y=4\ \Longrightarrow\ y=\frac{2}{3}$

3. Substituïm a la primera: $x+2-z=1$, és a dir, $x=z-1$. Prenent $z=\lambda$ com a paràmetre:

   $(x,y,z)$${}= \left(\lambda-1,\ \frac{2}{3},\ \lambda\right)$${}= \left(-1,\ \frac{2}{3},\ 0\right)+\lambda\,(1,0,1)$

4. Comprovació del vector director: el producte vectorial dels vectors normals de $\pi_1$ i $\pi_3$ hi ha de ser proporcional:

   $\vec n_1\times\vec n_3$${}= (1,3,-1)\times(-1,3,1)$${}= (6,0,6)$${}= 6\,(1,0,1)$

Plantejament Es demana la probabilitat que el filtre enviï un missatge a la carpeta de brossa. Hi pot arribar un missatge brossa o un de bo: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $B$ = «el missatge és brossa» i $C$ = «el filtre l’envia a la carpeta de brossa». Dades de l’enunciat:

   $P(B)=0{,}25$$P(\overline B)=0{,}75$$P(C\mid B)=0{,}95$$P(\overline C\mid\overline B)=0{,}90$

2. Dels missatges bons, el filtre envia a la carpeta de brossa la resta:

   $P(C\mid\overline B)=1-0{,}90=0{,}10$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(C)$${}= P(C\mid B)\,P(B)$${}+P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)$${}= 0{,}95\cdot 0{,}25+0{,}10\cdot 0{,}75$${}= 0{,}2375+0{,}075$${}= 0{,}3125$

Plantejament A la carpeta de brossa hi ha els missatges que el filtre hi ha enviat. Es demana quina proporció d’aquests missatges no són brossa: és $P(\overline B\mid C)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. Fórmula de Bayes, amb $P(C)=0{,}3125$ de l’apartat a):

   $P(\overline B\mid C)$${}= \frac{P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)}{P(C)}$${}= \frac{0{,}10\cdot 0{,}75}{0{,}3125}$${}= \frac{0{,}075}{0{,}3125}$${}= 0{,}24$

Plantejament Es demana el valor de la constant $A$. Calculem la integral que defineix $F(t)$ amb una primitiva (regla de Barrow) i imposem que $F(2)=1-e^{-1}$.

1. Una primitiva de $Ae^{-0{,}5x}$ és $\frac{A}{-0{,}5}e^{-0{,}5x}=-2Ae^{-0{,}5x}$:

   $F(t)$${}= \int_0^t Ae^{-0{,}5x}\,dx$${}= \left[-2Ae^{-0{,}5x}\right]_0^t$${}= -2Ae^{-0{,}5t}+2A$${}= 2A\left(1-e^{-0{,}5t}\right)$

2. Imposem el valor de la probabilitat per a $t=2$ minuts:

   $F(2)$${}= 2A\left(1-e^{-1}\right)$${}= 1-e^{-1}$

3. Com que $1-e^{-1}\neq 0$, podem dividir-hi els dos membres:

   $2A=1\ \Longrightarrow\ A=\frac{1}{2}=0{,}5$

4. Amb aquest valor, $F(t)=1-e^{-0{,}5t}$.

Plantejament Es demana comprovar la fórmula de la superfície. L’ampolla té tres parts de vidre: la base del cilindre (un cercle), la superfície lateral del cilindre i la mitja esfera. La condició de volum relaciona l’altura $h$ del cilindre amb el radi $r$.

1. La part cilíndrica, de radi $r$ i altura $h$ (en cm), té una capacitat de $100\ \text{cm}^3$:

   $\pi r^2h=100\ \Longrightarrow\ h=\frac{100}{\pi r^2}$

2. Superfícies: la base, $\pi r^2$; la lateral del cilindre, $2\pi rh$; la mitja esfera, la meitat de $4\pi r^2$. La cara de dalt del cilindre és la base de la mitja esfera i no forma part de la superfície exterior de l’ampolla:

   $S$${}= \pi r^2+2\pi rh+\frac{4\pi r^2}{2}$${}= 3\pi r^2+2\pi rh$

3. Substituïm $h$:

   $S(r)$${}= 3\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{100}{\pi r^2}$${}= 3\pi r^2+\frac{200}{r}$

Plantejament Es demanen les dimensions de l’ampolla (el radi $r$ i l’altura $h$ del cilindre) que fan mínima la superfície, i el valor d’aquesta superfície. Derivem $S(r)$ per a $r>0$, busquem el punt crític i comprovem que és un mínim.

1. Derivada:

   $S'(r)=6\pi r-\frac{200}{r^2}$

2. Punt crític:

   $S'(r)=0$${}\Longleftrightarrow 6\pi r^3$${}= 200$${}\Longleftrightarrow r^3$${}= \frac{100}{3\pi}$${}\Longleftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}}$${}\approx 2{,}197\ \text{cm}$

3. Derivada segona, positiva per a tot $r>0$: és un mínim, i és el mínim absolut perquè $S'$ és negativa abans d’aquest punt i positiva després:

   $S''(r)=6\pi+\frac{400}{r^3}>0$

4. Altura del cilindre: com que $100=3\pi r^3$, queda $h=3r$:

   $h=\frac{100}{\pi r^2}=\frac{3\pi r^3}{\pi r^2}=3r\approx 6{,}592\ \text{cm}$

5. Superfície mínima: com que $\frac{200}{r}=\frac{6\pi r^3}{r}=6\pi r^2$,

   $S$${}= 3\pi r^2+6\pi r^2$${}= 9\pi r^2$${}\approx 136{,}5\ \text{cm}^2$

Plantejament Es demanen els valors de $a$ per als quals $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$. Calculem els dos productes i igualem element a element.

1. Producte $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$:

   $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2a&0\\2+a^2&4a^2\end{pmatrix}$

2. Producte $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2a&0\\a+4&4a^2\end{pmatrix}$

3. Només pot fallar l’element de la fila 2 i la columna 1:

   $2+a^2$${}= a+4$${}\Longleftrightarrow a^2-a-2=0$${}\Longleftrightarrow a=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$${}= \frac{1\pm 3}{2}$

4. Per a $a=2$, $\boldsymbol{A}$ és la mateixa matriu $\boldsymbol{B}$; per a $a=-1$, $\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$.

Plantejament Es demanen els valors de $a$ per als quals $\boldsymbol{A}$ té inversa: una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant no és zero.

1. Determinant:

   $|\boldsymbol{A}|$${}= \begin{vmatrix}a&0\\1&a^2\end{vmatrix}$${}= a\cdot a^2-0\cdot 1$${}= a^3$

2. $a^3=0$ només si $a=0$.

Plantejament Es demanen els valors de $a$ per als quals la inversa de $\boldsymbol{A}$ és la mateixa $\boldsymbol{A}$. Multiplicant per $\boldsymbol{A}$, la condició equival a $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$: calculem $\boldsymbol{A}^2$ i la igualem a la identitat.

1. Quadrat de $\boldsymbol{A}$:

   $\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}a^2&0\\a+a^2&a^4\end{pmatrix}$

2. Igualem a $\boldsymbol{I}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ element a element:

   $a^2=1$$a+a^2=0$$a^4=1$

3. $a^2=1$ dona $a=1$ o $a=-1$ (i llavors $a^4=1$ també es compleix). $a+a^2=a(1+a)=0$ dona $a=0$ o $a=-1$. L’únic valor que compleix les tres condicions és $a=-1$.

4. Comprovació:

   $\boldsymbol{A}$${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$$\boldsymbol{A}^2$${}= \begin{pmatrix}1&0\\-1+1&1\end{pmatrix}$${}= \boldsymbol{I}$