Geometria de l’espai: exercicis de la PAU de Matemàtiques resolts

Els 20 exercicis de geometria de l’espai de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 a 2026: l’enunciat tal com va sortir a l’examen i la solució pas a pas, contrastada amb la pauta de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra, et diem per què.

Exàmens sencers amb aquest tema:2026 · juny · sèrie 12026 · juny · sèrie 52026 · extraordinària2025 · juny · sèrie 12025 · juny · sèrie 42025 · extraordinària2024 · juny · sèrie 12024 · juny · sèrie 52024 · extraordinària2023 · juny · sèrie 12023 · juny · sèrie 52023 · extraordinària2022 · juny · sèrie 22022 · juny · sèrie 52022 · extraordinària

El que més s’ha repetit als exàmens

Els tipus d’apartat que més s’han repetit en aquest tema, com es resolen i en quants dels 15 exàmens amb exercicis d’aquest tema (2022–2026) han sortit. És el que ha passat, no una predicció. Des del 2025 l’examen segueix el nou model de la PAU: entre parèntesis, el recompte d’aquests anys.

En 6 de 15 exàmens (3 de 6 des del 2025)

  1. Necessites un punt i un vector normal n⃗\vec n. Amb tres punts PP, QQ, RR, n⃗=PQ→×PR→\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}. Si el pla és paral·lel a un altre, comparteix el seu vector normal. Si és perpendicular a π\pi, conté la direcció de la normal de π\pi (els seus dos vectors directors són aquesta normal i un altre vector del pla). Si és perpendicular a dos plans, els seus dos vectors directors són les normals d’aquests plans. Si és perpendicular a dos plans, els seus dos vectors directors són les normals d’aquests plans.

    n⃗\vec n=PQ→×PR→{}= \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=∣ı⃗ȷ⃗k⃗q1−p1q2−p2q3−p3r1−p1r2−p2r3−p3∣{}= \begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\ q_1-p_1&q_2-p_2&q_3-p_3\\ r_1-p_1&r_2-p_2&r_3-p_3\end{vmatrix}

  2. Amb n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C) l’equació és Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, i DD surt de substituir un punt del pla. Comprova que els altres punts la compleixen.

    Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

  3. Una recta com a intersecció de dos plans: resol el sistema que formen i parametritza. Per exemple, els punts equidistants de PP i QQ formen el pla perpendicular a PQ→\overrightarrow{PQ} que passa pel punt mitjà MM.

    M=P+Q2M=\frac{P+Q}{2}

En 6 de 15 exàmens (4 de 6 des del 2025)

  1. La distància d’un punt P0=(x0,y0,z0)P_0=(x_0,y_0,z_0) al pla Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 es calcula amb la fórmula. Simplifica les arrels al final.

    d(P0,π)d(P_0,\pi)=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2{}= \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

  2. Els plans paral·lels a π\pi tenen la mateixa part Ax+By+CzAx+By+Cz i només canvia DD. La distància entre dos plans paral·lels és la d’un punt qualsevol d’un a l’altre.

  3. Per a un pla paral·lel a π\pi a distància dd, imposa la fórmula amb valor absolut: el signe ±\pm dona dos plans, un a cada costat de π\pi.

    ∣D′−D∣A2+B2+C2\frac{|D'-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=d{}= d⟹D′=D±dA2+B2+C2{}\Longrightarrow D'=D\pm d\sqrt{A^2+B^2+C^2}

  4. Si demanen l’alçada d’una caixa o d’un tetraedre, és la distància del punt que queda fora al pla de la base. Amb el volum d’un tetraedre, V=13Sb hV=\tfrac13 S_b\,h, pots aïllar hh o imposar-lo per trobar el lloc geomètric dels punts.

    V=Sb h3V=\frac{S_b\,h}{3}

En 4 de 15 exàmens (3 de 6 des del 2025)

  1. El vector entre dos punts és «final menys inicial», i el seu mòdul és la longitud del segment.

    AB→=B−A\overrightarrow{AB}=B-A∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2{}= \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}

  2. Si AA és el vèrtex comú dels costats ABAB i ACAC d’un paral·lelogram (o rectangle), el quart vèrtex és D=B+AC→D=B+\overrightarrow{AC}.

    D=B+AC→D=B+\overrightarrow{AC}

  3. L’àrea del triangle PQRPQR és la meitat del mòdul del producte vectorial. També surt com a base per alçada entre 2, amb l’alçada com a distància de RR a la recta PQPQ.

    SPQR=12 ∣PQ→×PR→∣S_{PQR}=\frac12\,|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|

En 5 de 15 exàmens (3 de 6 des del 2025)

  1. Escriu els plans com un sistema i calcula els rangs de AA i A∗A^{*} per a cada valor del paràmetre.

  2. Interpreta cada cas: un punt comú (rang 3), una recta comuna (SCI amb rang 2) o cap punt comú (incompatible, per exemple amb dos plans paral·lels). Descriu tots els casos del paràmetre.

En 5 de 15 exàmens (0 de 6 des del 2025)

  1. Una recta necessita un punt PP i un vector director v⃗\vec v. Per dos punts AA i BB, v⃗=AB→\vec v=\overrightarrow{AB}. Si és perpendicular a un pla, v⃗\vec v és la normal n⃗\vec n del pla. Si és perpendicular a dos vectors (o a dues rectes), v⃗\vec v és el seu producte vectorial.

    v⃗=AB→\vec v=\overrightarrow{AB}v⃗=n⃗\vec v=\vec nv⃗=u⃗1×u⃗2\vec v=\vec u_1\times\vec u_2

  2. Escriu la recta en la forma que demanin: paramètrica, contínua o vectorial. Si el punt és un d’una altra recta, escriu-lo amb el seu paràmetre i imposa la condició de l’enunciat (per exemple, «la primera coordenada és 5 vegades la segona») per trobar-ne el valor.

    (x,y,z)(x,y,z)=(p1,p2,p3){}= (p_1,p_2,p_3)+λ (v1,v2,v3){}+\lambda\,(v_1,v_2,v_3)λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}

  3. Per comprovar que tres punts estan alineats, mira si AB→\overrightarrow{AB} i AC→\overrightarrow{AC} són proporcionals; si ho són, defineixen una recta. Si hi ha un quart punt, comprova que no hi és.

    AC→=k AB→\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}

  4. Per a la recta que talla perpendicularment dues altres, r1r_1 i r2r_2, pren un punt genèric de cadascuna, imposa que el vector que els uneix sigui perpendicular als dos vectors directors (dos productes escalars nuls), resol i escriu la recta que passa pels dos punts.

    A1A2→⋅u⃗1=0\overrightarrow{A_1A_2}\cdot\vec u_1=0A1A2→⋅u⃗2=0\overrightarrow{A_1A_2}\cdot\vec u_2=0

En 4 de 15 exàmens (1 de 6 des del 2025)

  1. Dues rectes: compara els vectors directors. Si són proporcionals, les rectes són paral·leles o coincidents: mira si un punt d’una és a l’altra. Si no ho són, es tallen o s’encreuen: amb un punt de cadascuna forma PQ→\overrightarrow{PQ} i calcula el determinant; si val 0, són coplanàries i es tallen; si no, s’encreuen.

    ∣u1u2u3v1v2v3q1−p1q2−p2q3−p3∣\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\q_1-p_1&q_2-p_2&q_3-p_3\end{vmatrix}

  2. Amb un paràmetre mm, raona per a qualsevol mm i estudia a part els valors crítics. Si els vectors directors són proporcionals per a tot mm, mira si un punt d’una és a l’altra: si l’equació en mm no té solució, són paral·leles per a tot mm.

  3. Recta i pla: substitueix la recta, en paramètriques, a l’equació del pla. Si surt un únic valor del paràmetre, són secants i aquest valor dona el punt de tall; si surt 0=c0=c amb c≠0c\neq0, són paral·leles (i la seva distància és la d’un punt de la recta al pla); si surt 0=00=0, la recta és continguda al pla.

    A(x0+λv1)A(x_0+\lambda v_1)+B(y0+λv2){}+B(y_0+\lambda v_2)+C(z0+λv3){}+C(z_0+\lambda v_3)+D=0{}+D=0

En 2 de 15 exàmens (0 de 6 des del 2025)

  1. Si són paral·leles, la distància és la d’un punt d’una a l’altra. Amb PP en una, QQ en l’altra i v⃗\vec v la direcció comuna, la fórmula és la de la dreta.

    d(r,s)=∣PQ→×v⃗∣∣v⃗∣d(r,s)=\frac{|\overrightarrow{PQ}\times\vec v|}{|\vec v|}

  2. Si s’encreuen, amb vectors directors u⃗\vec u i v⃗\vec v i PQ→\overrightarrow{PQ} entre un punt de cada recta, la distància és el valor absolut del producte mixt dividit entre el mòdul del producte vectorial.

    d(r,s)d(r,s)=∣[u⃗,v⃗,PQ→]∣∣u⃗×v⃗∣{}= \frac{|[\vec u,\vec v,\overrightarrow{PQ}]|}{|\vec u\times\vec v|}

  3. Una altra via: si ja tens la perpendicular comuna, amb els seus peus A1A_1 i A2A_2 en cada recta, la distància és la longitud d’aquest segment.

    d(r1,r2)=∣A1A2→∣d(r_1,r_2)=|\overrightarrow{A_1A_2}|

  4. Si et demanen el paràmetre perquè la distància valgui un nombre, iguala la fórmula a aquest nombre i eleva al quadrat: sol sortir una equació de segon grau en el paràmetre amb dues solucions, i les dues valen.

En 2 de 15 exàmens (0 de 6 des del 2025)

  1. El punt d’una recta o d’un pla més proper a PP és la projecció ortogonal de PP sobre ella: digues-ho expressament. La distància de PP a la recta o al pla és el mòdul de PQ→\overrightarrow{PQ}.

  2. Sobre un pla: escriu la recta que passa per PP amb la direcció de la normal n⃗\vec n i calcula el seu tall amb el pla, substituint-la a l’equació del pla.

    Q=P+λ n⃗Q=P+\lambda\,\vec nQ∈πQ\in\pi

  3. Sobre una recta de direcció v⃗\vec v: pren un punt genèric QQ de la recta, imposa que PQ→\overrightarrow{PQ} sigui perpendicular a v⃗\vec v (producte escalar nul), aïlla el paràmetre i calcula QQ. Una altra via: el pla perpendicular a la recta per PP i el seu tall amb la recta.

    PQ→⋅v⃗=0\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v=0

Els exercicis, del més recent al més antic

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Sistemes d’equacions, Matrius i determinants
Enunciat oficial

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que està format per tres plans a l’espai i depèn del paràmetre real mm: {x+my+z=4x+3y+z=5mx+y+z=4\begin{cases}x+my+z=4\\ x+3y+z=5\\ mx+y+z=4\end{cases}.

2.1 Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre mm.

[1 punt]

2.2 Interpreteu geomètricament aquest sistema per a tots els valors del paràmetre mm i resoleu-lo, si és possible, per al cas m=1m=1.

[1 punt]

2.3 Per a m=1m=1, és possible afegir una quarta equació de manera que el sistema resultant sigui compatible determinat i tingui com a solució (x,y,z)=(3,12,12)(x,y,z)=\left(3,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)? Raoneu la resposta.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

2.11 punt

Plantejament Fem servir el teorema de Rouché-Frobenius: comparem el rang de la matriu de coeficients AA amb el de la matriu ampliada A∗A^*. Primer busquem els valors de mm que anuŀlen ∣A∣|A|.

  1. Matrius del sistema:

    AA=(1m1131m11){}= \begin{pmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{pmatrix}A∗A^*=(1m141315m114){}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&m&1&4\\1&3&1&5\\m&1&1&4\end{array}\right)

  2. Determinant de AA:

    ∣A∣|A|=∣1m1131m11∣{}= \begin{vmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{vmatrix}=3+m2+1−3m−1−m{}= 3+m^2+1-3m-1-m=m2−4m+3{}= m^2-4m+3=(m−1)(m−3){}= (m-1)(m-3)

  3. Si m≠1m\ne 1 i m≠3m\ne 3: ∣A∣≠0|A|\ne 0 i el rang de les dues matrius és 3, igual al nombre d’incògnites: sistema compatible determinat.

    rg⁡(A)=rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3

  4. Si m=3m=3: rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A)=2, perquè hi ha un menor d’ordre 2 no nul. En canvi, la matriu ampliada té un menor d’ordre 3 no nul:

    ∣1331∣\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}=−8{}= -8≠0{}\ne 0∣134135314∣\begin{vmatrix}1&3&4\\1&3&5\\3&1&4\end{vmatrix}=8{}= 8≠0{}\ne 0

  5. Per tant, per a m=3m=3, rg⁡(A)=2≠rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A)=2\ne\operatorname{rg}(A^*)=3: sistema incompatible.

  6. Si m=1m=1: la primera i la tercera equació són iguals (x+y+z=4x+y+z=4), i hi ha un menor d’ordre 2 no nul:

    ∣1113∣\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2{}= 2≠0{}\ne 0⇒rg⁡(A){}\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=rg⁡(A∗){}= \operatorname{rg}(A^*)=2{}= 2<3{}< 3

  7. Per a m=1m=1 el sistema és compatible indeterminat, amb un grau de llibertat.

ResultatSi m≠1,3m\ne 1,3: compatible determinat. Si m=3m=3: incompatible. Si m=1m=1: compatible indeterminat (un grau de llibertat).

La pauta oficial dona: m≠1,3: SCDm\ne 1,3:\ \text{SCD}; m=3: SIm=3:\ \text{SI}; m=1: SCIm=1:\ \text{SCI}

2.21 punt

Plantejament Cada equació és un pla. El tipus de sistema ens diu quants punts comparteixen els tres plans; per a m=1m=1 resolem i obtenim una recta.

  1. Si m≠1,3m\ne 1,3 (compatible determinat): els tres plans es tallen en un únic punt.

  2. Si m=3m=3 (incompatible): no hi ha cap punt comú. El primer pla i el segon són paraŀlels i diferents, i el tercer talla cadascun d’ells en una recta (les dues rectes són paraŀleles).

    x+3y+z=4x+3y+z=4x+3y+z=5x+3y+z=5

  3. Si m=1m=1 (compatible indeterminat): el primer i el tercer pla coincideixen, i el segon els talla en una recta. Resolem:

    {x+y+z=4x+3y+z=5\begin{cases}x+y+z=4\\ x+3y+z=5\end{cases}⟹2y=1{}\Longrightarrow 2y=1⟹y=12{}\Longrightarrow y=\frac{1}{2}

  4. Prenem z=λz=\lambda com a paràmetre:

    x=4−12−λ=72−λx=4-\frac{1}{2}-\lambda=\frac{7}{2}-\lambda

  5. Les solucions formen la recta:

    (x,y,z)(x,y,z)=(72−λ, 12, λ){}= \left(\frac{7}{2}-\lambda,\ \frac{1}{2},\ \lambda\right)=(72,12,0)+λ(−1,0,1){}= \left(\frac{7}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda(-1,0,1)λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}

Resultatm≠1,3m\ne 1,3: un punt comú. m=3m=3: cap punt comú (dos plans paraŀlels tallats pel tercer). m=1m=1: dos plans coincidents tallats pel tercer en la recta (x,y,z)=(72−λ,12,λ)(x,y,z)=\left(\frac{7}{2}-\lambda,\frac{1}{2},\lambda\right).

La pauta oficial dona: m≠1,3: un puntm\ne1,3:\ \text{un punt}; m=3: cap puntm=3:\ \text{cap punt}; mm=1: recta (7−2λ2,12,λ){}= 1:\ \text{recta}\ \left(\tfrac{7-2\lambda}{2},\tfrac12,\lambda\right)

2.30,5 punts

Plantejament El punt donat ha de ser una de les solucions del sistema per a m=1m=1; si ho és, n’hi ha prou d’afegir una equació que el compleixi i que faci pujar el rang de la matriu de coeficients a 3.

  1. El punt és de la recta de solucions (per a λ=12\lambda=\frac{1}{2}):

    (72−12, 12, 12)=(3,12,12)\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)=\left(3,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)

  2. Afegim, per exemple, l’equació x=3x=3, que aquest punt compleix. La nova matriu de coeficients té rang 3:

    ∣111131100∣\begin{vmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&0&0\end{vmatrix}=1⋅(1⋅1−1⋅3){}= 1\cdot(1\cdot 1-1\cdot 3)=−2{}= -2≠0{}\ne 0

  3. El sistema de quatre equacions és compatible (el punt compleix totes les equacions) i el rang és 3, igual al nombre d’incògnites: és compatible determinat i la seva única solució és el punt donat.

ResultatSí. Per exemple, afegint x=3x=3 el sistema és compatible determinat amb solució única (3,12,12)\left(3,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).

La pauta oficial dona: Sıˊ, p. ex. x=3\text{Sí, p. ex. } x=3

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Derivades i les seves aplicacions
Enunciat oficial

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

L’alcalde d’un poble de Catalunya encarrega a l’arquitecte municipal el disseny d’un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d’haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l’arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l’arquitecte vol delimitar cadascun d’aquests dos espais amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament 10 m de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima?

[2,5 punts]

OPCIÓ B

Considereu els punts de l’espai P=(1,0,−1)P=(1,0,-1), Q=(3,−2,0)Q=(3,-2,0) i R=(1,1,1)R=(1,1,1).

4.1 Calculeu l’equació del pla que conté els punts PP, QQ i RR.

[0,75 punts]

4.2 Comproveu que l’àrea del triangle ΔPQR\Delta PQR és 352u2\frac{3\sqrt{5}}{2}u^2.

[0,75 punts]

4.3 Determineu les condicions que han de complir les coordenades d’un quart punt S=(x,y,z)S=(x,y,z) per tal que PP, QQ, RR i SS formin un tetraedre de volum 1. (El volum del tetraedre format pels punts PP, QQ, RR i SS és: volum(PQRS)\text{volum}(PQRS)=aˋrea(ΔPQR)⋅altura3{}= \frac{\text{àrea}(\Delta PQR)\cdot\text{altura}}{3}.)

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

2,5 punts

Plantejament Anomenem xx la longitud de barana del cercle; la resta, 10−x10-x, és el perímetre del quadrat. Escrivim la suma de les dues àrees en funció de xx i en busquem el mínim a [0,10][0,10].

  1. Cercle de perímetre xx:

    r=x2πr=\frac{x}{2\pi}A1=πr2=x24πA_1=\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi}

  2. Quadrat de perímetre 10−x10-x:

    c=10−x4c=\frac{10-x}{4}A2=(10−x)216A_2=\frac{(10-x)^2}{16}

  3. Funció a minimitzar:

    A(x)=x24π+(10−x)216A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{(10-x)^2}{16}0≤x≤100\le x\le 10

  4. Derivem i igualem a zero:

    A′(x)A'(x)=x2π−10−x8=0{}= \frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}=0⟹4x=π(10−x){}\Longrightarrow 4x=\pi(10-x)⟹x=10π4+π{}\Longrightarrow x=\frac{10\pi}{4+\pi}≈4,4{}\approx 4{,}4

  5. És un mínim, perquè la segona derivada és positiva:

    A′′(x)=12π+18>0A''(x)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{8}>0

  6. Barana del quadrat:

    10−10π4+π=404+π≈5,610-\frac{10\pi}{4+\pi}=\frac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6

  7. Superfície mínima (també és menor que als extrems, A(0)=6,25A(0)=6{,}25 i A(10)≈7,96A(10)\approx 7{,}96):

    A(10π4+π)=254+π≈3,5A\left(\frac{10\pi}{4+\pi}\right)=\frac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5

ResultatBarana del cercle: 10π4+π≈4,4 m\dfrac{10\pi}{4+\pi}\approx 4{,}4\ \text{m}; barana del quadrat: 404+π≈5,6 m\dfrac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6\ \text{m}; superfície mínima: 254+π≈3,5 m2\dfrac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5\ \text{m}^2.

La pauta oficial dona: x≈4,4 m (cercle)x\approx 4{,}4\ m\ (\text{cercle}), 5,6 m (quadrat)5{,}6\ m\ (\text{quadrat}), A≈3,5 m2A\approx 3{,}5\ \mathrm{m}^2

Opció B

4.10,75 punts

Plantejament Dos vectors del pla, PQ→\overrightarrow{PQ} i PR→\overrightarrow{PR}, donen el vector normal amb el producte vectorial; després imposem que el pla passi per PP.

  1. Vectors:

    PQ→=(2,−2,1)\overrightarrow{PQ}=(2,-2,1)PR→=(0,1,2)\overrightarrow{PR}=(0,1,2)

  2. Vector normal:

    n⃗\vec n=PQ→×PR→{}= \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=∣i⃗j⃗k⃗2−21012∣{}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-2&1\\0&1&2\end{vmatrix}=(−5,−4,2){}= (-5,-4,2)

  3. El pla és 5x+4y−2z+D=05x+4y-2z+D=0 (normal (5,4,−2)(5,4,-2)). Passa per PP:

    5⋅1+4⋅0−2⋅(−1)5\cdot 1+4\cdot 0-2\cdot(-1)+D=0{}+D=0⟹D=−7{}\Longrightarrow D=-7

  4. Comprovació amb QQ i RR:

    15−8−0−7=015-8-0-7=05+4−2−7=05+4-2-7=0

Resultat5x+4y−2z−7=05x+4y-2z-7=0

La pauta oficial dona: 5x+4y−2z−7=05x+4y-2z-7=0

4.20,75 punts

Plantejament L’àrea d’un triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial de dos dels seus costats, que ja hem calculat.

  1. APQRA_{PQR}=12∣PQ→×PR→∣{}= \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\right|=12(−5)2+(−4)2+22{}= \frac{1}{2}\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}=452{}= \frac{\sqrt{45}}{2}=352{}= \frac{3\sqrt{5}}{2}

ResultatAˋrea=352 u2\text{Àrea}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\ \text{u}^2, com diu l’enunciat.

La pauta oficial dona: 352 u2\frac{3\sqrt5}{2}\ \mathrm{u}^2

4.31 punt

Plantejament L’altura del tetraedre és la distància de SS al pla π\pi del triangle. Imposem que el volum valgui 1 i resolem l’equació amb valor absolut.

  1. Distància de S=(x,y,z)S=(x,y,z) al pla π\pi:

    d(S,π)d(S,\pi)=∣5x+4y−2z−7∣52+42+(−2)2{}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{\sqrt{5^2+4^2+(-2)^2}}=∣5x+4y−2z−7∣35{}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}

  2. Volum igual a 1:

    13⋅352⋅∣5x+4y−2z−7∣35\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}=∣5x+4y−2z−7∣6{}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{6}=1{}= 1

  3. Valor absolut:

    5x+4y−2z−7=65x+4y-2z-7=6o 5x+4y−2z−7=−6\text{o}\ \quad 5x+4y-2z-7=-6

ResultatSS ha d’estar en un dels dos plans paraŀlels a π\pi: 5x+4y−2z−13=05x+4y-2z-13=0 o 5x+4y−2z−1=05x+4y-2z-1=0.

La pauta oficial dona: 5x+4y−2z−15x+4y-2z-1=0 i 5x+4y−2z−13=0{}= 0\ \text{i}\ 5x+4y-2z-13=0

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsDades impossibles a l’examenTambé a Derivades i les seves aplicacions, Integrals
Enunciat oficial

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

D’una funció f(x)f(x), sabem que passa pel punt (−1,−1)(-1,-1) i que la gràfica de la seva funció derivada és la següent:

4.1 Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x)f(x) en el punt (−1,−1)(-1,-1).

[1 punt]

4.2 Estudieu si f(x)f(x) té punts crítics (punts on f′(x)=0f'(x)=0) i, en cas que en tingui, determineu-ne les abscisses i classifiqueu-los segons si són màxims, mínims o punts d’inflexió de f(x)f(x).

[1 punt]

4.3 Sabent, a més, que f(0)=−0,2f(0)=-0{,}2, calculeu l’àrea entre la gràfica de f′(x)f'(x) i l’eix de les abscisses, des de x=−1x=-1 fins a x=0x=0.

[0,5 punts]

OPCIÓ B

En una indústria es fan servir braços robòtics amb sensors per a mesurar amb precisió determinades peces metàl·liques i comprovar si tenen irregularitats. Les peces es col·loquen sobre la superfície determinada pel pla π ⁣:(x,y,z)\pi\colon (x,y,z)=(6,1,1)+λ(1,1,0){}= (6,1,1)+\lambda(1,1,0)+μ(0,0,1){}+\mu(0,0,1) i, per damunt seu, un braç robòtic desplaça un sensor des del punt A=(1,2,3)A=(1,2,3) fins al punt B=(5,3,7)B=(5,3,7) en línia recta (les unitats dels tres eixos de coordenades estan expressades en centímetres).

4.1 Quina distància ha recorregut el sensor?

[0,5 punts]

4.2 En acabar el moviment, a quina distància de la superfície es troba el sensor?

[1 punt]

4.3 Si el sensor seguís movent-se en la mateixa línia recta i en el mateix sentit, en quin punt xocaria amb la superfície?

[1 punt]

Gràfica de f'(x) sobre una quadrícula, amb x i y entre −4 i 4. La corba ve de valors molt negatius, talla l’eix OX a x=−2, puja fins a un màxim d’uns 2,8 cap a x≈−1,45, passa pel punt (−1,2), baixa fins a tocar l’eix a l’origen sense travessar-lo, torna a pujar fins a uns 0,4 cap a x≈0,7, talla l’eix a x=1 i baixa ràpidament cap a valors negatius.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11 punt

Plantejament Es demana la recta tangent a la gràfica de ff al punt (−1,−1)(-1,-1), y−f(−1)=f′(−1) (x+1)y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1). El pendent, f′(−1)f'(-1), es llegeix a la gràfica de f′f'.

  1. A la gràfica, la corba de f′f' passa pel punt (−1,2)(-1,2):

    f′(−1)=2f'(-1)=2

  2. Recta tangent pel punt (−1,−1)(-1,-1) amb pendent 22:

    y−(−1)y-(-1)=2(x−(−1)){}= 2\left(x-(-1)\right)⟹y+1{}\Longrightarrow y+1=2(x+1){}= 2(x+1)⟹y=2x+1{}\Longrightarrow y=2x+1

Resultaty=2x+1y=2x+1

La pauta oficial dona: y=2x+1y=2x+1

4.21 punt

Plantejament Es demanen els punts crítics de ff (on f′=0f'=0) i la seva classificació. Els llegim a la gràfica de f′f': són els punts on la corba toca l’eix d’abscisses. Els classifiquem amb el signe de f′f' a cada costat i, si no canvia, amb el creixement de f′f' (que és el signe de f′′f'').

  1. La gràfica de f′f' toca l’eix OXOX en tres punts:

    f′(−2)=0f'(-2)=0f′(0)=0f'(0)=0f′(1)=0f'(1)=0

  2. x=−2x=-2: abans, f′<0f'<0 (ff decreix) i després, f′>0f'>0 (ff creix). És un mínim relatiu de ff.

  3. x=1x=1: abans, f′>0f'>0 (ff creix) i després, f′<0f'<0 (ff decreix). És un màxim relatiu de ff.

  4. x=0x=0: f′f' és positiva als dos costats, de manera que ff creix abans i després i no hi ha extrem. En canvi, f′f' hi té un mínim: decreix just abans de 00 (f′′<0f''<0, ff còncava cap avall) i creix just després (f′′>0f''>0, ff còncava cap amunt). La concavitat canvia: és un punt d’inflexió de ff, amb tangent horitzontal.

ResultatTres punts crítics: a x=−2x=-2, un mínim relatiu; a x=1x=1, un màxim relatiu; a x=0x=0, un punt d’inflexió (amb tangent horitzontal).

La pauta oficial dona: x=−2x=-2: mínim; x=1x=1: màxim; x=0x=0: punt d’inflexió

4.30,5 punts

Plantejament Es demana l’àrea entre la gràfica de f′f' i l’eix OXOX entre x=−1x=-1 i x=0x=0. Com que ff és una primitiva de f′f', la regla de Barrow permet calcular la integral amb els valors f(0)f(0) i f(−1)f(-1), sense conèixer l’expressió de f′f'.

  1. A [−1,0][-1,0] la gràfica de f′f' és per sobre de l’eix (f′≥0f'\ge 0; només s’anul·la a x=0x=0): l’àrea és la integral, sense valor absolut.

  2. Regla de Barrow, amb f(0)=−0,2f(0)=-0{,}2 i f(−1)=−1f(-1)=-1 (el punt de la gràfica de ff de l’enunciat):

    AA=∫−10f′(x) dx{}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx=[f(x)]−10{}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}=f(0)−f(−1){}= f(0)-f(-1)=−0,2−(−1){}= -0{,}2-(-1)=0,8{}= 0{,}8

  3. Observació: la gràfica dibuixada i la dada f(0)=−0,2f(0)=-0{,}2 no encaixen del tot. Si es mesura l’àrea sobre la quadrícula, surt una mica menys de 0,80{,}8 (unes 0,720{,}72 unitats quadrades). L’enunciat dona f(0)f(0) perquè l’àrea es calculi amb la regla de Barrow, i amb aquesta dada l’àrea és 0,80{,}8.

ResultatA=0,8 u2A=0{,}8\ \text{u}^2

La pauta oficial dona: 0,8 u20{,}8\ \text{u}^2

Opció B

4.10,5 punts

Plantejament El sensor va en línia recta de AA a BB: la distància recorreguda és la longitud del segment ABAB, el mòdul del vector AB→\overrightarrow{AB}.

  1. Vector entre els dos punts (final menys inicial):

    AB→\overrightarrow{AB}=B−A{}= B-A=(5−1, 3−2, 7−3){}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)=(4,1,4){}= (4,1,4)

  2. Mòdul:

    d(A,B)d(A,B)=∣AB→∣{}= \left|\overrightarrow{AB}\right|=42+12+42{}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}=33{}= \sqrt{33}≈5,74 cm{}\approx 5{,}74\ \text{cm}

Resultat33≈5,74\sqrt{33}\approx 5{,}74 cm

La pauta oficial dona: 33≈5,74 cm\sqrt{33}\approx 5{,}74\ \text{cm}

4.21 punt

Plantejament Es demana la distància del punt final, BB, al pla π\pi. Passem el pla a l’equació general i fem servir la fórmula de la distància d’un punt a un pla.

  1. Vector normal del pla, producte vectorial dels seus dos vectors directors:

    n⃗\vec n=(1,1,0)×(0,0,1){}= (1,1,0)\times(0,0,1)=∣i⃗j⃗k⃗110001∣{}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=(1,−1,0){}= (1,-1,0)

  2. Equació general, amb el punt (6,1,1)(6,1,1) del pla:

    1⋅(x−6)1\cdot(x-6)−1⋅(y−1){}-1\cdot(y-1)+0⋅(z−1)=0{}+0\cdot(z-1)=0⟹π ⁣: x−y−5=0{}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0

  3. Distància de B=(5,3,7)B=(5,3,7) al pla:

    d(B,π)d(B,\pi)=∣5−3−5∣12+(−1)2+02{}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}=32{}= \frac{3}{\sqrt{2}}=322{}= \frac{3\sqrt{2}}{2}≈2,12 cm{}\approx 2{,}12\ \text{cm}

Resultatd(B,π)=322≈2,12d(B,\pi)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}12 cm

La pauta oficial dona: 32≈2,12 cm\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2{,}12\ \text{cm}

4.31 punt

Plantejament Es demana on la recta ABAB, recorreguda en el sentit de AA cap a BB, talla el pla π\pi. Escrivim la recta en forma paramètrica i la substituïm a l’equació del pla.

  1. Recta que passa per AA amb vector director AB→\overrightarrow{AB}:

    (x,y,z)(x,y,z)=(1,2,3)+λ(4,1,4){}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)=(1+4λ, 2+λ, 3+4λ){}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)

  2. Substituïm a π ⁣:x−y−5=0\pi\colon x-y-5=0:

    (1+4λ)−(2+λ)−5=0(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0⟹3λ−6=0{}\Longrightarrow 3\lambda-6=0⟹λ=2{}\Longrightarrow \lambda=2

  3. λ=0\lambda=0 és AA i λ=1\lambda=1 és BB; λ=2\lambda=2 és més enllà de BB, en el mateix sentit del moviment, com diu l’enunciat. Punt de xoc:

    (1,2,3)+2 (4,1,4)=(9,4,11)(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)

  4. Comprovació: 9−4−5=09-4-5=0, el punt és del pla.

ResultatXocaria amb la superfície al punt (9,4,11)(9,4,11).

La pauta oficial dona: (9,4,11)(9,4,11)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Sistemes d’equacions, Matrius i determinants
Enunciat oficial

Considereu el sistema d’equacions següent: {2x+ky+z=3−x+2y+2z=1x+y+z=2\begin{cases}2x+ky+z=3\\ -x+2y+2z=1\\ x+y+z=2\end{cases}, on kk és un paràmetre real.

2.1 Discutiu el sistema en funció del paràmetre kk.

[1 punt]

2.2 Resoleu el sistema per a tots els valors de kk i comproveu que, per a k≠1k\ne 1, la solució no depèn de kk.

[1 punt]

2.3 Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

2.11 punt

Plantejament Apliquem el teorema de Rouché-Frobenius: calculem ∣A∣|A|, trobem quan s’anuŀla i estudiem els rangs en cada cas.

  1. Matrius:

    AA=(2k1−122111){}= \begin{pmatrix}2&k&1\\-1&2&2\\1&1&1\end{pmatrix}A∗A^*=(2k13−12211112){}= \left(\begin{array}{ccc|c}2&k&1&3\\-1&2&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right)

  2. Determinant:

    ∣A∣|A|=4+2k−1−2−4+k{}= 4+2k-1-2-4+k=3k−3{}= 3k-3=3(k−1){}= 3(k-1)

  3. Si k≠1k\ne 1: ∣A∣≠0|A|\ne 0, els dos rangs valen 3, igual que el nombre d’incògnites: compatible determinat.

    rg⁡(A)=rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3

  4. Si k=1k=1: ∣A∣=0|A|=0 i hi ha un menor d’ordre 2 no nul, així que rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A)=2:

    ∣21−12∣\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}=5{}= 5≠0{}\ne 0

  5. Per a k=1k=1 les columnes de yy i de zz són iguals; l’únic menor d’ordre 3 de A∗A^* que pot no ser nul és el de les columnes xx, yy i termes independents:

    ∣213−121112∣\begin{vmatrix}2&1&3\\-1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}=8+1−3−6−2+2=0{}= 8+1-3-6-2+2=0

  6. Per tant rg⁡(A∗)=2=rg⁡(A)<3\operatorname{rg}(A^*)=2=\operatorname{rg}(A)<3: compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

ResultatSi k≠1k\ne 1: compatible determinat. Si k=1k=1: compatible indeterminat (un grau de llibertat). Mai no és incompatible.

La pauta oficial dona: k≠1: SCDk\ne1:\ \text{SCD}; k=1: SCIk=1:\ \text{SCI}

2.21 punt

Plantejament Per a k=1k=1 resolem en funció d’un paràmetre; per a k≠1k\ne 1 fem servir la regla de Cramer i veurem que kk desapareix.

  1. Cas k=1k=1. Sumant la segona i la tercera equació:

    3y+3z=3 ⟹ y=1−z3y+3z=3\ \Longrightarrow\ y=1-z

  2. Substituint a la tercera, x=2−y−z=1x=2-y-z=1. Amb z=λz=\lambda:

    (x,y,z)=(1, 1−λ, λ)(x,y,z)=(1,\ 1-\lambda,\ \lambda)λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}

  3. Cas k≠1k\ne 1. Regla de Cramer:

    xx=∣3k1122211∣3k−3{}= \frac{\begin{vmatrix}3&k&1\\1&2&2\\2&1&1\end{vmatrix}}{3k-3}=3k−33k−3{}= \frac{3k-3}{3k-3}=1{}= 1
  4. yy=∣231−112121∣3k−3{}= \frac{\begin{vmatrix}2&3&1\\-1&1&2\\1&2&1\end{vmatrix}}{3k-3}=03k−3=0{}= \frac{0}{3k-3}=0

  5. De la tercera equació:

    z=2−x−y=2−1−0=1z=2-x-y=2-1-0=1

  6. Comprovació a la primera equació, per a qualsevol kk:

    2⋅1+k⋅0+1=32\cdot 1+k\cdot 0+1=3

ResultatSi k=1k=1: (x,y,z)=(1,1−λ,λ)(x,y,z)=(1,1-\lambda,\lambda), λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}. Si k≠1k\ne 1: (x,y,z)=(1,0,1)(x,y,z)=(1,0,1), que no depèn de kk.

La pauta oficial dona: k=1: (1,1−z,z)k=1:\ (1,1-z,z); k≠1: (1,0,1)k\ne1:\ (1,0,1)

2.30,5 punts

Plantejament Cada equació és un pla. El segon i el tercer no depenen de kk i es tallen en una recta rr; el primer pla canvia amb kk.

  1. Recta comuna del segon i el tercer pla (és la solució del cas k=1k=1):

    r: (x,y,z)=(1,1,0)+λ(0,−1,1)r:\ (x,y,z)=(1,1,0)+\lambda(0,-1,1)

  2. Si k=1k=1, el primer pla conté la recta rr: els tres plans són diferents i es tallen en aquesta recta (formen part d’un mateix feix).

  3. Si k≠1k\ne 1, el primer pla talla rr en un sol punt, (1,0,1)(1,0,1), que és el mateix per a tots els valors de kk. Tots els plans 2x+ky+z=32x+ky+z=3 contenen la recta y=0, 2x+z=3y=0,\ 2x+z=3, que passa per (1,0,1)(1,0,1): quan kk varia, el primer pla gira al voltant d’aquesta recta.

Resultatk=1k=1: tres plans que es tallen en la recta rr. k≠1k\ne 1: tres plans que es tallen en el punt (1,0,1)(1,0,1), que pertany a rr i no depèn de kk.

La pauta oficial dona: k=1: recta comunak=1:\ \text{recta comuna}; k≠1: punt (1,0,1)k\ne1:\ \text{punt}\ (1,0,1)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Derivades i les seves aplicacions
Enunciat oficial

L’Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

L’Aina construirà la capsa a partir d’un cartró rectangular de 80 cm × 50 cm. A la figura següent es mostra el desplegament de la capsa; les zones ratllades són les parts que l’Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar:

4.1 Comproveu que el volum de la capsa resultant és V(x)=2x3−130x2+2 000xV(x)=2x^3-130x^2+2\,000x, on xx és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar.

[1 punt]

4.2 Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim?

[1,5 punts]

OPCIÓ B

L’Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex A(1,1,1)A(1,1,1) fins al vèrtex B(4,1,5)B(4,1,5), i l’altre costat de la tapa des del vèrtex AA fins al vèrtex C(1,10,1)C(1,10,1).

4.1 Quines són les coordenades del quart vèrtex de la tapa? Calculeu les longituds dels dos costats de la tapa.

[1 punt]

4.2 Sabent que els altres quatre vèrtexs de la capsa estan situats al pla π:−4x+3z=24\pi:-4x+3z=24, calculeu les coordenades d’un d’aquests vèrtexs (qualsevol) i l’alçària de la capsa.

[1,5 punts]

Desplegament de la capsa sobre el cartró de 80 cm (horitzontal) per 50 cm (vertical). Als cantons hi ha quadrats ratllats de costat x cm (marcat a dalt a l’esquerra). A la part dreta del cartró, la franja superior i la inferior, també d’amplada x, estan ratllades en un tram llarg. La resta del cartró, sense ratllar, forma la base, els costats i la tapa: al llarg dels 80 cm hi ha dos trams llargs separats per trams d’amplada x.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11 punt

Plantejament Al plegar, l’alçària de la capsa és xx. L’amplada de la base és el que queda dels 50 cm després de treure dues franges d’amplada xx. Al llarg dels 80 cm hi ha dues alçàries xx i dues vegades la llargada de la base (base i tapa).

  1. Dimensions:

    alc¸aˋria=x\text{alçària}=xamplada=50−2x\text{amplada}=50-2xllargada=80−2x2=40−x\text{llargada}=\frac{80-2x}{2}=40-x

  2. Volum:

    V(x)V(x)=x(50−2x)(40−x){}= x(50-2x)(40-x)=x (2x2−130x+2000){}= x\,(2x^2-130x+2000)=2x3−130x2{}= 2x^3-130x^2+2000x{}+2000x

  3. Perquè la capsa existeixi cal 0<x<250<x<25.

ResultatV(x)V(x)=x(50−2x)(40−x){}= x(50-2x)(40-x)=2x3−130x2{}= 2x^3-130x^2+2 000x{}+2\,000x, amb 0<x<250<x<25.

La pauta oficial dona: V(x)=(40−x)(50−2x)xV(x)=(40-x)(50-2x)x

4.21,5 punts

Plantejament Busquem el màxim de V(x)V(x) a (0,25)(0,25): punts crítics amb V′(x)=0V'(x)=0 i comprovació amb la segona derivada.

  1. Derivada:

    V′(x)V'(x)=6x2−260x+2000=0{}= 6x^2-260x+2000=0⟺3x2−130x+1000=0{}\Longleftrightarrow 3x^2-130x+1000=0
  2. xx=130±16900−120006{}= \frac{130\pm\sqrt{16900-12000}}{6}=130±706{}= \frac{130\pm 70}{6}⟹x=10{}\Longrightarrow x=10o  x=1003\text{o}\ \ x=\frac{100}{3}

  3. x=1003≈33,3x=\frac{100}{3}\approx 33{,}3 no és vàlid (x<25x<25). Segona derivada:

    V′′(x)=12x−260V''(x)=12x-260V′′(10)=−140<0 ⇒ maˋximV''(10)=-140<0\ \Rightarrow\ \text{màxim}

  4. Dimensions per a x=10x=10:

    40−10=3040-10=3050−20=3050-20=30x=10x=10

  5. Volum màxim:

    V(10)=30⋅30⋅10=9000V(10)=30\cdot 30\cdot 10=9000

ResultatCapsa de 30 cm×30 cm×10 cm30\ \text{cm}\times 30\ \text{cm}\times 10\ \text{cm} (alçària 1010 cm); volum màxim 9 000 cm39\,000\ \text{cm}^3.

La pauta oficial dona: 30×30×10 cm30\times30\times10\ cm, V=9000 cm3V=9000\ cm^3

Opció B

4.11 punt

Plantejament La tapa és un paraŀlelogram (de fet, un rectangle) amb costats ABAB i ACAC: el quart vèrtex s’obté sumant a BB el vector AC→\overrightarrow{AC}.

  1. Vectors dels costats:

    AB→=(3,0,4)\overrightarrow{AB}=(3,0,4)AC→=(0,9,0)\overrightarrow{AC}=(0,9,0)AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0

  2. Quart vèrtex:

    DD=B+AC→{}= B+\overrightarrow{AC}=(4,1,5)+(0,9,0){}= (4,1,5)+(0,9,0)=(4,10,5){}= (4,10,5)

  3. Longituds:

    ∣AB→∣=32+02+42=5|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5∣AC→∣=02+92+02=9|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+9^2+0^2}=9

ResultatD=(4,10,5)D=(4,10,5); els costats de la tapa mesuren 55 i 99 unitats.

La pauta oficial dona: D=(4,10,5)D=(4,10,5); 5 u i 9 u5\ u\ \text{i}\ 9\ u

4.21,5 punts

Plantejament El pla π\pi és paraŀlel a la tapa, així que l’alçària és la distància d’un vèrtex de la tapa a π\pi. El vèrtex de sota de AA és la projecció ortogonal de AA sobre π\pi.

  1. El vector normal de π\pi, (−4,0,3)(-4,0,3), és perpendicular als dos costats de la tapa, de manera que π\pi és paraŀlel a la tapa:

    (−4,0,3)⋅(3,0,4)=0(-4,0,3)\cdot(3,0,4)=0(−4,0,3)⋅(0,9,0)=0(-4,0,3)\cdot(0,9,0)=0

  2. Alçària:

    d(A,π)d(A,\pi)=∣−4⋅1+3⋅1−24∣(−4)2+02+32{}= \frac{|-4\cdot 1+3\cdot 1-24|}{\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}}=255=5{}= \frac{25}{5}=5

  3. Recta perpendicular a π\pi per AA:

    (x,y,z)=(1,1,1)+λ(−4,0,3)(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-4,0,3)

  4. Intersecció amb π\pi:

    −4(1−4λ)+3(1+3λ)-4(1-4\lambda)+3(1+3\lambda)=24{}= 24⟹25λ−1{}\Longrightarrow 25\lambda-1=24{}= 24⟹λ=1{}\Longrightarrow \lambda=1

  5. Vèrtex:

    A′=(1,1,1)+(−4,0,3)=(−3,1,4)A'=(1,1,1)+(-4,0,3)=(-3,1,4)

ResultatUn vèrtex és A′=(−3,1,4)A'=(-3,1,4) (el que hi ha sota de AA); l’alçària de la capsa és 55 unitats.

La pauta oficial dona: A′=(−3,1,4)A'=(-3,1,4); alc¸ada 5 u\text{alçada}\ 5\ u

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals
Enunciat oficial

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

La vela major d’un veler té forma semiparabòlica i està delimitada per les gràfiques de f(x)=−x2+25f(x)=-x^2+25, y=0y=0 i x=0x=0, tal com s’indica a la figura següent: La vela té dues parts separades per la recta y=9y=9. Per a construir-la, s’empra un teixit de niló a la part superior, que costa 50 €/u2\text{u}^2, i un teixit de polièster a la part inferior, que costa 70 €/u2\text{u}^2. Calculeu el cost total del material que es necessita per a construir aquesta vela.

[2,5 punts]

OPCIÓ B

Considereu el pla π\pi d’equació x+y=0x+y=0.

a) Calculeu l’equació del pla π′\pi' que és perpendicular a π\pi i conté els punts P=(1,−1,2)P=(1,-1,2) i Q=(3,−3,6)Q=(3,-3,6).

[1 punt]

b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta continguda en π′\pi' i que conté els punts de π′\pi' a la mateixa distància de PP que de QQ.

[1,5 punts]

Gràfica de la paràbola f(x)=−x²+25, amb vèrtex a (0,25) i talls amb l’eix OX a x=−5 i x=5, i la recta horitzontal y=9. La vela és la regió del primer quadrant entre l’eix OY, l’eix OX i la paràbola. La part per sobre de y=9 està ratllada i s’anomena «Regió superior»; la part per sota de y=9 està quadriculada i s’anomena «Regió inferior». Els eixos estan graduats de 5 en 5.Gràfica de la paràbola f(x)=−x²+25, amb vèrtex a (0,25) i talls amb l’eix OX a x=−5 i x=5, i la recta horitzontal y=9. La vela és la regió del primer quadrant entre l’eix OY, l’eix OX i la paràbola. La part per sobre de y=9 està ratllada i s’anomena «Regió superior»; la part per sota de y=9 està quadriculada i s’anomena «Regió inferior». Els eixos estan graduats de 5 en 5.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

2,5 punts

Plantejament Cal l’àrea de cada part de la vela. Calculem l’àrea total sota la paràbola entre x=0x=0 i x=5x=5 i l’àrea de la part inferior (sota y=9y=9); la superior és la diferència. Després multipliquem cada àrea pel seu preu.

  1. Punts de tall (amb x≥0x\ge 0):

    −x2+25=0⇒x=5-x^2+25=0\Rightarrow x=5−x2+25=9⇒x=4-x^2+25=9\Rightarrow x=4

  2. Àrea total:

    ATA_T=∫05(−x2+25) dx{}= \int_0^5(-x^2+25)\,dx=[−x33+25x]05{}= \left[-\frac{x^3}{3}+25x\right]_0^5=−1253+125{}= -\frac{125}{3}+125=2503{}= \frac{250}{3}

  3. Part inferior: un rectangle 4×94\times 9 i, entre x=4x=4 i x=5x=5, la regió sota la paràbola. Amb la primitiva F(x)=−x33+25xF(x)=-\frac{x^3}{3}+25x: F(5)=2503F(5)=\frac{250}{3} i F(4)=2363F(4)=\frac{236}{3}.

    AinfA_{\text{inf}}=∫049 dx{}= \int_0^4 9\,dx+∫45(−x2+25) dx{}+\int_4^5(-x^2+25)\,dx=36+(2503−2363){}= 36+\left(\frac{250}{3}-\frac{236}{3}\right)=36+143{}= 36+\frac{14}{3}=1223{}= \frac{122}{3}

  4. Part superior:

    Asup=2503−1223=1283A_{\text{sup}}=\frac{250}{3}-\frac{122}{3}=\frac{128}{3}

  5. Cost:

    1283⋅50+1223⋅70\frac{128}{3}\cdot 50+\frac{122}{3}\cdot 70=6400+85403{}= \frac{6400+8540}{3}=149403{}= \frac{14940}{3}=4980{}= 4980

ResultatÀrea superior 1283 u2\frac{128}{3}\ \text{u}^2, àrea inferior 1223 u2\frac{122}{3}\ \text{u}^2; cost total 4 9804\,980 €.

La pauta oficial dona: 4980 €4980\ €

La vela entre x=0 i x=5 sota la paràbola y=−x²+25, dividida per la recta y=9: la part superior, d’àrea 128/3, i la inferior, d’àrea 122/3, amb colors diferents; el punt de tall amb y=9 és (4,9).

Opció B

a)1 punt

Plantejament El pla π′\pi' conté la direcció PQ→\overrightarrow{PQ} i, com que és perpendicular a π\pi, també conté la direcció del vector normal de π\pi. El seu vector normal és el producte vectorial de totes dues direccions.

  1. Direccions:

    n⃗π=(1,1,0)\vec n_\pi=(1,1,0)PQ→=(2,−2,4)∥(1,−1,2)\overrightarrow{PQ}=(2,-2,4)\parallel(1,-1,2)

  2. Vector normal de π′\pi':

    (1,1,0)×(1,−1,2)(1,1,0)\times(1,-1,2)=∣i⃗j⃗k⃗1101−12∣{}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}=(2,−2,−2)∥(1,−1,−1){}= (2,-2,-2)\parallel(1,-1,-1)

  3. Pla per PP:

    x−y−z+D=0x-y-z+D=01+1−2+D=0⇒D=01+1-2+D=0\Rightarrow D=0

  4. Comprovació amb QQ:

    3+3−6=03+3-6=0

Resultatπ′: x−y−z=0\pi':\ x-y-z=0

La pauta oficial dona: x−y−z=0x-y-z=0

b)1,5 punts

Plantejament Els punts que equidisten de PP i QQ formen el pla mediador del segment PQPQ (perpendicular a PQ→\overrightarrow{PQ} pel punt mitjà). La recta demanada és la intersecció d’aquest pla amb π′\pi'.

  1. Punt mitjà:

    M=P+Q2=(2,−2,4)M=\frac{P+Q}{2}=(2,-2,4)

  2. Pla mediador (normal (1,−1,2)(1,-1,2)):

    x−y+2z=2+2+8=12x-y+2z=2+2+8=12

  3. Intersecció amb π′\pi':

    {x−y−z=0x−y+2z=12\begin{cases}x-y-z=0\\ x-y+2z=12\end{cases}⟹3z=12{}\Longrightarrow 3z=12⇒z=4{}\Rightarrow z=4x−y=4x-y=4

  4. Amb y=ky=k:

    (x,y,z)(x,y,z)=(4+k, k, 4){}= (4+k,\ k,\ 4)=(4,0,4)+k(1,1,0){}= (4,0,4)+k(1,1,0)k∈ℝk\in\mathbb{R}

Resultat(x,y,z)=(4,0,4)+k(1,1,0)(x,y,z)=(4,0,4)+k(1,1,0), k∈ℝk\in\mathbb{R}.

La pauta oficial dona: (x,y,z)=(4,0,4)+k(1,1,0)(x,y,z)=(4,0,4)+k(1,1,0)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Sistemes d’equacions, Matrius i determinants
Enunciat oficial

Considereu el sistema d’equacions {x+3y+az=1−2x−6y+2z=2aax+3y+z=3\begin{cases}x+3y+az=1\\ -2x-6y+2z=2a\\ ax+3y+z=3\end{cases}, on aa és un paràmetre real, i siguin π1\pi_1 el pla determinat per la primera equació, π2\pi_2 el determinat per la segona, i π3\pi_3 el determinat per la tercera.

a) Discutiu el sistema en funció del valor de aa.

[1 punt]

b) Descriviu la posició relativa dels tres plans π1\pi_1, π2\pi_2 i π3\pi_3 en funció del valor de aa.

[0,75 punts]

c) En algun cas la intersecció dels tres plans és una recta? En cas afirmatiu, digueu per a quin valor del paràmetre, i doneu un vector director i un punt d’aquesta recta.

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana discutir el sistema segons el valor de aa. Fem servir el teorema de Rouché-Frobenius: comparem el rang de la matriu de coeficients MM amb el de la matriu ampliada M∗M^* i amb el nombre d’incògnites, 3.

  1. Matriu de coeficients i matriu ampliada:

    MM=(13a−2−62a31){}= \begin{pmatrix}1&3&a\\-2&-6&2\\a&3&1\end{pmatrix}M∗M^*=(13a1−2−622aa313){}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&3&a&1\\-2&-6&2&2a\\a&3&1&3\end{array}\right)

  2. Determinant de MM (regla de Sarrus):

    ∣M∣|M|=(−6+6a−6a){}= (-6+6a-6a)−(−6a2+6−6){}-(-6a^2+6-6)=6a2−6{}= 6a^2-6=6(a2−1){}= 6\left(a^2-1\right)

  3. ∣M∣=0|M|=0 si i només si a=1a=1 o a=−1a=-1. Si a≠±1a\neq\pm 1, rang⁡M=3=rang⁡M∗\operatorname{rang}M=3=\operatorname{rang}M^*, que és el nombre d’incògnites: sistema compatible determinat (una sola solució).

  4. Si a=1a=1, la primera i la tercera equació tenen el mateix primer membre i un terme independent diferent, de manera que no es poden complir alhora:

    {x+3y+z=1−2x−6y+2z=2x+3y+z=3\begin{cases}x+3y+z=1\\ -2x-6y+2z=2\\ x+3y+z=3\end{cases}

  5. En rangs, per a a=1a=1: el menor de les columnes de xx i zz de les dues primeres files no és zero, i en orlar-lo amb la tercera fila i la columna dels termes independents tampoc:

    ∣11−22∣\begin{vmatrix}1&1\\-2&2\end{vmatrix}=4{}= 4≠0{}\neq 0∣111−222113∣\begin{vmatrix}1&1&1\\-2&2&2\\1&1&3\end{vmatrix}=8{}= 8≠0{}\neq 0

  6. Per tant, per a a=1a=1: rang⁡M=2≠rang⁡M∗=3\operatorname{rang}M=2\neq\operatorname{rang}M^*=3, sistema incompatible.

  7. Si a=−1a=-1, la segona equació és la primera multiplicada per −2-2 (també el terme independent, 2a=−22a=-2), de manera que sobra:

    {x+3y−z=1−2x−6y+2z=−2−x+3y+z=3\begin{cases}x+3y-z=1\\ -2x-6y+2z=-2\\ -x+3y+z=3\end{cases}

  8. Queden dues equacions independents (el menor de les columnes de yy i zz de la primera i la tercera fila no és zero):

    ∣3−131∣\begin{vmatrix}3&-1\\3&1\end{vmatrix}=6{}= 6≠0{}\neq 0⟹rang⁡M{}\Longrightarrow \operatorname{rang}M=rang⁡M∗{}= \operatorname{rang}M^*=2{}= 2<3{}< 3

  9. Per a a=−1a=-1 el sistema és compatible indeterminat, amb un grau de llibertat.

ResultatSi a≠±1a\neq\pm 1, compatible determinat; si a=1a=1, incompatible; si a=−1a=-1, compatible indeterminat (amb un grau de llibertat).

La pauta oficial dona: a≠±1a\neq\pm 1: compatible determinat; a=1a=1: incompatible; a=−1a=-1: compatible indeterminat

b)0,75 punts

Plantejament Es demana com són els tres plans entre ells segons aa. Ho llegim de la discussió de l’apartat a) i de la comparació dels vectors normals de cada pla.

  1. Vectors normals:

    n⃗1=(1,3,a)\vec n_1=(1,3,a)n⃗2=(−2,−6,2)\vec n_2=(-2,-6,2)n⃗3=(a,3,1)\vec n_3=(a,3,1)

  2. Si a≠±1a\neq\pm 1, el sistema és compatible determinat: els tres plans es tallen en un sol punt.

  3. Si a=1a=1: π1 ⁣:x+3y+z=1\pi_1\colon x+3y+z=1 i π3 ⁣:x+3y+z=3\pi_3\colon x+3y+z=3 tenen el mateix vector normal, (1,3,1)(1,3,1), i termes independents diferents: són paral·lels i diferents. n⃗2=(−2,−6,2)\vec n_2=(-2,-6,2) no és proporcional a (1,3,1)(1,3,1), de manera que π2\pi_2 talla cadascun dels altres dos en una recta (dues rectes paral·leles). Els tres plans no tenen cap punt comú.

  4. Si a=−1a=-1: l’equació de π2\pi_2 és la de π1\pi_1 multiplicada per −2-2, així que π1\pi_1 i π2\pi_2 són el mateix pla. n⃗3=(−1,3,1)\vec n_3=(-1,3,1) no és proporcional a n⃗1=(1,3,−1)\vec n_1=(1,3,-1): π3\pi_3 talla aquest pla en una recta, que és la intersecció dels tres.

ResultatSi a≠±1a\neq\pm 1, els tres plans es tallen en un sol punt. Si a=1a=1, π1\pi_1 i π3\pi_3 són paral·lels i π2\pi_2 els talla tots dos: no tenen cap punt comú. Si a=−1a=-1, π1\pi_1 i π2\pi_2 coincideixen i π3\pi_3 els talla en una recta.

La pauta oficial dona: a≠±1a\neq\pm 1: un punt comú; a=1a=1: π1∥π3\pi_1\parallel\pi_3 i π2\pi_2 secant als dos; a=−1a=-1: π1=π2\pi_1=\pi_2 i π3\pi_3 secant (una recta)

c)0,75 punts

Plantejament Es demana si la intersecció dels tres plans pot ser una recta i, en aquest cas, un punt i un vector director. Pels apartats a) i b), passa només per a a=−1a=-1 (sistema compatible indeterminat); resolem el sistema i escrivim les solucions en forma paramètrica.

  1. Per a a=−1a=-1 queden dues equacions independents, la primera i la tercera:

    {x+3y−z=1−x+3y+z=3\begin{cases}x+3y-z=1\\ -x+3y+z=3\end{cases}

  2. Les sumem, i s’eliminen xx i zz:

    6y=4 ⟹ y=236y=4\ \Longrightarrow\ y=\frac{2}{3}

  3. Substituïm a la primera: x+2−z=1x+2-z=1, és a dir, x=z−1x=z-1. Prenent z=λz=\lambda com a paràmetre:

    (x,y,z)(x,y,z)=(λ−1, 23, λ){}= \left(\lambda-1,\ \frac{2}{3},\ \lambda\right)=(−1, 23, 0)+λ (1,0,1){}= \left(-1,\ \frac{2}{3},\ 0\right)+\lambda\,(1,0,1)

  4. Comprovació del vector director: el producte vectorial dels vectors normals de π1\pi_1 i π3\pi_3 hi ha de ser proporcional:

    n⃗1×n⃗3\vec n_1\times\vec n_3=(1,3,−1)×(−1,3,1){}= (1,3,-1)\times(-1,3,1)=(6,0,6){}= (6,0,6)=6 (1,0,1){}= 6\,(1,0,1)

ResultatSí, per a a=−1a=-1. Un punt de la recta és (−1,23,0)\left(-1,\frac{2}{3},0\right) i un vector director, (1,0,1)(1,0,1).

La pauta oficial dona: a=−1a=-1; v⃗=(1,0,1)\vec v=(1,0,1); (−1,23,0)\left(-1,\frac{2}{3},0\right)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Integrals
Enunciat oficial

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

Un vidrier està reparant un dels vitralls de la Sagrada Família la forma del qual és la de la part ombrejada de la figura adjunta. S’ha adonat que Gaudí el va dissenyar de manera que un dels costats segueix la funció y=3sin⁡(x/4)y=3\sin(x/4) i un altre segueix la funció y=3cos⁡(x/4)y=3\cos(x/4), on xx i yy estan expressades en metres.

a) Raoneu a quina funció correspon cada gràfica i calculeu les coordenades dels punts BB i CC assenyalats a la figura (tenint en compte que AA és l’origen de coordenades).

[1 punt]

b) Calculeu el preu del vitrall sabent que costa 750 €/m2\text{m}^2.

[1,5 punts]

OPCIÓ B

Considereu el pla π:2x−y+z=5\pi: 2x-y+z=5 i el punt P=(0,1,3)P=(0,1,3).

a) Comproveu que la distància del punt PP al pla π\pi és 62\frac{\sqrt{6}}{2}.

[0,5 punts]

b) Trobeu l’equació general d’un pla π1\pi_1 paraŀlel a π\pi i que passi pel punt PP. Quina és la distància entre π1\pi_1 i π\pi?

[0,75 punts]

c) Trobeu l’equació general d’un segon pla π2\pi_2, diferent de π1\pi_1, que és paraŀlel a π\pi i que estigui a una distància 62\frac{\sqrt{6}}{2} de π\pi.

[1,25 punts]

Dues corbes sobre uns eixos: una creixent que surt de l’origen A i una decreixent que comença al punt B de l’eix vertical. Es tallen al punt C. La regió tancada per l’eix vertical (entre A i B) i les dues corbes (fins a C) està ombrejada. La figura no porta valors numèrics.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1 punt

Plantejament Mirem el valor de cada funció a x=0x=0: la que hi val 00 passa per l’origen AA; la que hi val 33 comença a BB. El punt CC és el primer tall de les dues corbes per a x>0x>0.

  1. 3sin⁡(0)=03\sin(0)=03cos⁡(0)=33\cos(0)=3

  2. La corba que passa per AA (creixent) és y=3sin⁡(x/4)y=3\sin(x/4); la que passa per BB (decreixent) és y=3cos⁡(x/4)y=3\cos(x/4), i B=(0,3)B=(0,3).

  3. Punt CC:

    3sin⁡x4=3cos⁡x4 ⟹ tan⁡x4=1 ⟹ x4=π4 ⟹ x=π3\sin\frac{x}{4}=3\cos\frac{x}{4}\ \Longrightarrow\ \tan\frac{x}{4}=1\ \Longrightarrow\ \frac{x}{4}=\frac{\pi}{4}\ \Longrightarrow\ x=\pi
  4. y=3sin⁡π4=322y=3\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

ResultatCorba inferior (per AA i CC): y=3sin⁡(x/4)y=3\sin(x/4); corba superior (per BB i CC): y=3cos⁡(x/4)y=3\cos(x/4). B=(0,3)B=(0,3) i C=(π,322)C=\left(\pi,\frac{3\sqrt{2}}{2}\right).

La pauta oficial dona: B=(0,3)B=(0,3), C=(π,322)C=\left(\pi,\frac{3\sqrt2}{2}\right)

b)1,5 punts

Plantejament L’àrea del vitrall és la integral de la diferència entre la corba de dalt (cosinus) i la de baix (sinus) entre x=0x=0 i x=πx=\pi. El preu és l’àrea per 750 €/m2\text{m}^2. Multipliquem el preu pel valor exacte de l’àrea per no arrossegar l’error d’arrodoniment.

  1. Primitives (compte amb el factor 14\frac14 de dins):

    ∫3cos⁡x4 dx=12sin⁡x4\int 3\cos\frac{x}{4}\,dx=12\sin\frac{x}{4}∫3sin⁡x4 dx=−12cos⁡x4\int 3\sin\frac{x}{4}\,dx=-12\cos\frac{x}{4}

  2. Àrea:

    AA=∫0π(3cos⁡x4−3sin⁡x4)dx{}= \int_0^{\pi}\left(3\cos\frac{x}{4}-3\sin\frac{x}{4}\right)dx=[12sin⁡x4+12cos⁡x4]0π{}= \left[12\sin\frac{x}{4}+12\cos\frac{x}{4}\right]_0^{\pi}
  3. AA=12(22+22){}= 12\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)−12(0+1){}-12(0+1)=12(2−1){}= 12\left(\sqrt{2}-1\right)≈4,97{}\approx 4{,}97

  4. Preu:

    750⋅12(2−1)750\cdot 12\left(\sqrt2-1\right)=9000(2−1){}= 9000\left(\sqrt2-1\right)≈3728{}\approx 3728

ResultatÀrea 12(2−1)≈4,97 m212(\sqrt2-1)\approx 4{,}97\ \text{m}^2; preu 9 000(2−1)≈3 7289\,000(\sqrt2-1)\approx 3\,728 €.

La pauta oficial dona: 12(2−1)≃4,97 m212(\sqrt2-1)\simeq 4{,}97\ \mathrm{m}^2; 4,97⋅750=3.725,5 €4{,}97\cdot 750=3.725{,}5\ €

Gràfiques de y=3cos(x/4) (de dalt) i y=3sin(x/4) (de baix) entre x=0 i x=π, amb els punts A=(0,0), B=(0,3) i C=(π,3√2/2). La regió ombrejada és el vitrall, d’àrea 12(√2−1)≈4,97 m².

Opció B

a)0,5 punts

Plantejament Fórmula de la distància d’un punt a un pla.

  1. d(P,π)d(P,\pi)=∣2⋅0−1+3−5∣22+(−1)2+12{}= \frac{|2\cdot 0-1+3-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=36=366{}= \frac{3}{\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{6}=62{}= \frac{\sqrt6}{2}

Resultatd(P,π)=62d(P,\pi)=\dfrac{\sqrt6}{2}, com diu l’enunciat.

La pauta oficial dona: 62\frac{\sqrt6}{2}

b)0,75 punts

Plantejament Un pla paraŀlel a π\pi té el mateix vector normal: 2x−y+z=D2x-y+z=D. Imposem que passi per PP. La distància entre dos plans paraŀlels és la distància de qualsevol punt d’un a l’altre.

  1. 2⋅0−1+32\cdot 0-1+3=D{}= D⟹D=2{}\Longrightarrow D=2⟹π1: 2x−y+z{}\Longrightarrow \pi_1:\ 2x-y+z=2{}= 2

  2. Com que P∈π1P\in\pi_1:

    d(π1,π)=d(P,π)=62d(\pi_1,\pi)=d(P,\pi)=\frac{\sqrt6}{2}

Resultatπ1: 2x−y+z=2\pi_1:\ 2x-y+z=2; d(π1,π)=62d(\pi_1,\pi)=\dfrac{\sqrt6}{2}.

La pauta oficial dona: 2x−y+z=22x-y+z=2; 62\frac{\sqrt6}{2}

c)1,25 punts

Plantejament Busquem tots els plans 2x−y+z=D2x-y+z=D a distància 62\frac{\sqrt6}{2} de π\pi. Per a dos plans paraŀlels amb el mateix vector normal, la distància és ∣D−5∣6\frac{|D-5|}{\sqrt6}. Surten dos plans, un a cada costat de π\pi: un és π1\pi_1.

  1. ∣D−5∣6=62 ⟹ ∣D−5∣=3 ⟹ D=2\frac{|D-5|}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}\ \Longrightarrow\ |D-5|=3\ \Longrightarrow\ D=2o  D=8\text{o}\ \ D=8

  2. D=2D=2 és π1\pi_1; l’altre és D=8D=8. (També: és el pla paraŀlel que passa pel simètric de PP respecte de π\pi, P′=(2,0,4)P'=(2,0,4).)

    π2: 2x−y+z=8\pi_2:\ 2x-y+z=8

Resultatπ2: 2x−y+z=8\pi_2:\ 2x-y+z=8

La pauta oficial dona: 2x−y+z=82x-y+z=8

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

Considereu els punts A=(1,2,3)A=(1,2,3) i B=(−3,−2,3)B=(-3,-2,3).

a) Calculeu l’equació del pla π\pi que és perpendicular a la recta ABAB i que passa pel punt mitjà entre AA i BB. Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts P=(x,y,z)P=(x,y,z) que estan a igual distància de AA que de BB, és a dir, d(P,A)=d(P,B)d(P,A)=d(P,B).

[1 punt]

b) Calculeu les distàncies de AA i de BB al pla π\pi i comproveu que són iguals. És casualitat? Raoneu la resposta.

[0,75 punts]

c) Sigui C=(−7,6,3)C=(-7,6,3). El triangle ABCABC és isòsceles? Calculeu la seva àrea.

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Un pla perpendicular a la recta ABAB té com a vector normal el vector director AB→\overrightarrow{AB}. Li imposem que passi pel punt mitjà MM del segment ABAB.

  1. Vector director de la recta ABAB (i normal del pla):

    AB→\overrightarrow{AB}=(−3,−2,3)−(1,2,3){}= (-3,-2,3)-(1,2,3)=(−4,−4,0)∥(1,1,0){}= (-4,-4,0)\parallel(1,1,0)

  2. Punt mitjà:

    MM=A+B2{}= \frac{A+B}{2}=(1−32,2−22,3+32){}= \left(\frac{1-3}{2},\frac{2-2}{2},\frac{3+3}{2}\right)=(−1,0,3){}= (-1,0,3)

  3. El pla és x+y+D=0x+y+D=0; imposem que passi per MM:

    −1+0+D=0 ⟹ D=1 ⟹ π: x+y+1=0-1+0+D=0\ \Longrightarrow\ D=1\ \Longrightarrow\ \pi:\ x+y+1=0

  4. Punts equidistants: com que les dues distàncies són positives, d(P,A)=d(P,B)d(P,A)=d(P,B) equival a la igualtat dels quadrats:

    (x−1)2(x-1)^2+(y−2)2{}+(y-2)^2+(z−3)2{}+(z-3)^2=(x+3)2{}= (x+3)^2+(y+2)2{}+(y+2)^2+(z−3)2{}+(z-3)^2

  5. Desenvolupem; els termes x2x^2, y2y^2 i (z−3)2(z-3)^2 es canceŀlen:

    −2x+1−4y+4-2x+1-4y+4=6x+9+4y+4{}= 6x+9+4y+4⟹−8x−8y−8=0{}\Longrightarrow -8x-8y-8=0

  6. Dividint per −8-8 s’obté exactament l’equació de π\pi: el pla π\pi és el pla mediador del segment ABAB.

    x+y+1=0x+y+1=0

Resultatπ: x+y+1=0\pi:\ x+y+1=0, que és el conjunt dels punts equidistants de AA i de BB (el pla mediador de ABAB).

La pauta oficial dona: x+y+1=0x+y+1=0

b)0,75 punts

Plantejament Fem servir la fórmula de la distància d’un punt (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) al pla ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0: ∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

  1. Distància de A=(1,2,3)A=(1,2,3):

    d(A,π)d(A,\pi)=∣1+2+1∣12+12+02{}= \frac{|1+2+1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=42{}= \frac{4}{\sqrt{2}}=22{}= 2\sqrt{2}

  2. Distància de B=(−3,−2,3)B=(-3,-2,3):

    d(B,π)d(B,\pi)=∣−3−2+1∣2{}= \frac{|-3-2+1|}{\sqrt{2}}=42{}= \frac{4}{\sqrt{2}}=22{}= 2\sqrt{2}

  3. No és casualitat: π\pi és perpendicular a ABAB i passa pel punt mitjà MM, de manera que la projecció ortogonal de AA i de BB sobre π\pi és el mateix punt MM. Les dues distàncies valen d(A,M)=d(B,M)d(A,M)=d(B,M), la meitat de la longitud de ABAB:

    d(A,M)d(A,M)=(1+1)2+(2−0)2+(3−3)2{}= \sqrt{(1+1)^2+(2-0)^2+(3-3)^2}=8=22{}= \sqrt{8}=2\sqrt{2}

Resultatd(A,π)=d(B,π)=22 ud(A,\pi)=d(B,\pi)=2\sqrt{2}\ \mathrm{u}. No és casualitat: π\pi és el pla mediador de ABAB i AA i BB són simètrics respecte de π\pi.

La pauta oficial dona: d(A,π)=d(B,π)=42d(A,\pi)=d(B,\pi)=\frac{4}{\sqrt{2}}; no eˊs casualitat\text{no és casualitat}

c)0,75 punts

Plantejament Si CC és del pla π\pi, per l’apartat a) equidista de AA i de BB i el triangle és isòsceles. L’altura sobre la base ABAB va de CC al punt mitjà MM.

  1. C=(−7,6,3)C=(-7,6,3) compleix l’equació de π\pi:

    −7+6+1=0 ⟹ C∈π-7+6+1=0\ \Longrightarrow\ C\in\pi

  2. Per tant, d(C,A)=d(C,B)d(C,A)=d(C,B). Ho comprovem:

    d(C,A)d(C,A)=(−8)2+42+02{}= \sqrt{(-8)^2+4^2+0^2}=80{}= \sqrt{80}=45{}= 4\sqrt{5}d(C,B)d(C,B)=(−4)2+82+02{}= \sqrt{(-4)^2+8^2+0^2}=80{}= \sqrt{80}=45{}= 4\sqrt{5}

  3. Base ABAB, amb AB→=(−4,−4,0)\overrightarrow{AB}=(-4,-4,0):

    d(A,B)d(A,B)=(−4)2+(−4)2+02{}= \sqrt{(-4)^2+(-4)^2+0^2}=32{}= \sqrt{32}=42{}= 4\sqrt{2}

  4. En un triangle isòsceles, el peu de l’altura sobre la base és el punt mitjà M=(−1,0,3)M=(-1,0,3):

    hh=d(C,M){}= d(C,M)=(−6)2+62+02{}= \sqrt{(-6)^2+6^2+0^2}=72{}= \sqrt{72}=62{}= 6\sqrt{2}

  5. Àrea:

    Aˋrea\text{Àrea}=42⋅622{}= \frac{4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}=482=24 u2{}= \frac{48}{2}=24\ \mathrm{u}^2

ResultatSí, és isòsceles: d(C,A)=d(C,B)=45d(C,A)=d(C,B)=4\sqrt{5}. L’àrea és 24 u224\ \mathrm{u}^2.

La pauta oficial dona: isoˋsceles\text{isòsceles}; 24 u224\ \mathrm{u}^2

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsEnunciat ambigu
Enunciat oficial

Considereu les rectes r ⁣:x−54=y−43=z−3−1r\colon\dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y-4}{3}=\dfrac{z-3}{-1} i s ⁣:{x=4+2ky=3+kz=−1s\colon\begin{cases}x=4+2k\\ y=3+k\\ z=-1\end{cases}.

a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l’equació implícita d’un pla π\pi que sigui paral·lel a les dues rectes i que passi per l’origen de coordenades.

[1,25 punts]

b) Calculeu l’equació de la recta tt que talla les dues rectes rr i ss perpendicularment.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Es demana la posició relativa de rr i ss i un pla per l’origen paral·lel a totes dues. Comparem els vectors directors; com que no són proporcionals, mirem amb un determinant si les rectes són en un mateix pla. El pla té com a vector normal el producte vectorial dels dos vectors directors.

  1. Un punt i un vector director de cada recta:

    Pr=(5,4,3), u⃗=(4,3,−1)P_r=(5,4,3),\ \vec u=(4,3,-1)Ps=(4,3,−1), v⃗=(2,1,0)P_s=(4,3,-1),\ \vec v=(2,1,0)

  2. u⃗\vec u i v⃗\vec v no són proporcionals (42≠31\frac{4}{2}\neq\frac{3}{1}): les rectes no són paral·leles, de manera que es tallen o es creuen.

  3. Determinant format per PrPs→=(−1,−1,−4)\overrightarrow{P_rP_s}=(-1,-1,-4), u⃗\vec u i v⃗\vec v (regla de Sarrus):

    ∣−1−1−443−1210∣\begin{vmatrix}-1&-1&-4\\4&3&-1\\2&1&0\end{vmatrix}=(0+2−16){}= (0+2-16)−(−24+1+0){}-(-24+1+0)=9{}= 9≠0{}\neq 0

  4. Els tres vectors no són coplanaris: les rectes no són en un mateix pla, és a dir, es creuen.

  5. Un pla paral·lel a les dues rectes conté les direccions u⃗\vec u i v⃗\vec v; el seu vector normal és el producte vectorial:

    n⃗\vec n=u⃗×v⃗{}= \vec u\times\vec v=∣i⃗j⃗k⃗43−1210∣{}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\4&3&-1\\2&1&0\end{vmatrix}=(1,−2,−2){}= (1,-2,-2)

  6. El pla passa per l’origen (0,0,0)(0,0,0), de manera que el terme independent és 00:

    π ⁣: x−2y−2z=0\pi\colon\ x-2y-2z=0

  7. Observació: el punt Ps=(4,3,−1)P_s=(4,3,-1) compleix l’equació (4−6+2=04-6+2=0), així que la recta ss és continguda en aquest pla; la recta rr hi és paral·lela sense tocar-lo (PrP_r dona 5−8−6=−9≠05-8-6=-9\neq 0). És l’únic pla per l’origen que conté les dues direccions. Si «paral·lel» s’entengués en sentit estricte (sense cap punt en comú), no hi hauria cap pla que complís l’enunciat.

ResultatLes rectes es creuen. π ⁣: x−2y−2z=0\pi\colon\ x-2y-2z=0 (conté la recta ss i és paral·lel a rr).

La pauta oficial dona: es creuen\text{es creuen}; π ⁣: x−2y−2z=0\pi\colon\ x-2y-2z=0

b)1,25 punts

Plantejament Es demana la recta tt que talla rr i ss formant angle recte amb totes dues (la perpendicular comuna). Prenem un punt genèric de cada recta i imposem que el vector que els uneix sigui perpendicular a u⃗\vec u i a v⃗\vec v (dos productes escalars nuls).

  1. Punts genèrics de rr (paràmetre λ\lambda) i de ss (paràmetre μ\mu):

    R=(5+4λ, 4+3λ, 3−λ)R=(5+4\lambda,\ 4+3\lambda,\ 3-\lambda)S=(4+2μ, 3+μ, −1)S=(4+2\mu,\ 3+\mu,\ -1)

  2. Vector que els uneix:

    RS→\overrightarrow{RS}=(−1−4λ+2μ, −1−3λ+μ, −4+λ){}= (-1-4\lambda+2\mu,\ -1-3\lambda+\mu,\ -4+\lambda)

  3. Perpendicular a u⃗=(4,3,−1)\vec u=(4,3,-1):

    4(−1−4λ+2μ)4(-1-4\lambda+2\mu)+3(−1−3λ+μ){}+3(-1-3\lambda+\mu)−(−4+λ){}-(-4+\lambda)=−26λ+11μ−3=0{}= -26\lambda+11\mu-3=0

  4. Perpendicular a v⃗=(2,1,0)\vec v=(2,1,0):

    2(−1−4λ+2μ)2(-1-4\lambda+2\mu)+(−1−3λ+μ){}+(-1-3\lambda+\mu)=−11λ+5μ−3=0{}= -11\lambda+5\mu-3=0

  5. De la segona equació, μ=3+11λ5\mu=\frac{3+11\lambda}{5}; substituint a la primera i multiplicant per 55, −130λ+33+121λ−15=0-130\lambda+33+121\lambda-15=0, és a dir, 18−9λ=018-9\lambda=0:

    λ=2\lambda=2μ=3+225=5\mu=\frac{3+22}{5}=5

  6. Els punts on tt talla cada recta:

    R=(13,10,1)∈rR=(13,10,1)\in rS=(14,8,−1)∈sS=(14,8,-1)\in sRS→=(1,−2,−2)\overrightarrow{RS}=(1,-2,-2)

  7. RS→\overrightarrow{RS} és el vector u⃗×v⃗\vec u\times\vec v de l’apartat a), perpendicular a les dues rectes, com havia de ser. La recta tt passa per RR amb aquesta direcció:

    t ⁣: x−131=y−10−2=z−1−2t\colon\ \frac{x-13}{1}=\frac{y-10}{-2}=\frac{z-1}{-2}

Resultatt ⁣: x−131t\colon\ \dfrac{x-13}{1}=y−10−2{}= \dfrac{y-10}{-2}=z−1−2{}= \dfrac{z-1}{-2}, que talla rr a (13,10,1)(13,10,1) i ss a (14,8,−1)(14,8,-1).

La pauta oficial dona: t ⁣: x−131=y−10−2=z−1−2t\colon\ \frac{x-13}{1}=\frac{y-10}{-2}=\frac{z-1}{-2}

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

Considereu el punt P=(1,3,0)P=(1,3,0) i el pla π\pi d’equació x+2y−2z=−7x+2y-2z=-7.

a) Sigui rr la recta que és perpendicular a π\pi i passa per PP. Calculeu el punt d’intersecció de π\pi amb rr.

[1 punt]

b) Calculeu la distància dd del punt PP al pla π\pi.

[0,5 punts]

c) Calculeu l’equació d’un altre pla π′\pi' que sigui paraŀlel a π\pi i que també estigui a distància dd de PP.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Una recta perpendicular a π\pi té com a vector director el vector normal del pla, n⃗=(1,2,−2)\vec{n}=(1,2,-2). Escrivim rr en forma paramètrica i la substituïm a l’equació de π\pi.

  1. Recta rr, que passa per P=(1,3,0)P=(1,3,0) amb direcció n⃗\vec{n}:

    r: (x,y,z)r:\ (x,y,z)=(1,3,0)+λ(1,2,−2){}= (1,3,0)+\lambda(1,2,-2)=(1+λ, 3+2λ, −2λ){}= (1+\lambda,\ 3+2\lambda,\ -2\lambda)

  2. Substituïm a l’equació de π\pi:

    (1+λ)+2(3+2λ)(1+\lambda)+2(3+2\lambda)−2(−2λ){}-2(-2\lambda)=−7{}= -7⟹7+9λ{}\Longrightarrow 7+9\lambda=−7{}= -7⟹λ=−149{}\Longrightarrow \lambda=-\frac{14}{9}

  3. Punt d’intersecció, amb λ=−149\lambda=-\frac{14}{9}:

    QQ=(1−149, 3−289, 289){}= \left(1-\frac{14}{9},\ 3-\frac{28}{9},\ \frac{28}{9}\right)=(−59,−19,289){}= \left(-\frac{5}{9},-\frac{1}{9},\frac{28}{9}\right)

  4. Comprovació:

    −59+2⋅(−19)−2⋅289-\frac{5}{9}+2\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-2\cdot\frac{28}{9}=−5−2−569{}= \frac{-5-2-56}{9}=−7{}= -7

ResultatQ=(−59,−19,289)Q=\left(-\dfrac{5}{9},-\dfrac{1}{9},\dfrac{28}{9}\right)

La pauta oficial dona: (−59,−19,289)\left(-\frac{5}{9},-\frac{1}{9},\frac{28}{9}\right)

b)0,5 punts

Plantejament Fem servir la fórmula de la distància d’un punt a un pla, amb el pla escrit com x+2y−2z+7=0x+2y-2z+7=0. Coincideix amb d(P,Q)d(P,Q), perquè QQ és la projecció ortogonal de PP sobre π\pi.

  1. Fórmula de la distància punt-pla:

    d(P,π)d(P,\pi)=∣1+2⋅3−2⋅0+7∣12+22+(−2)2{}= \frac{|1+2\cdot 3-2\cdot 0+7|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=149{}= \frac{14}{\sqrt{9}}=143{}= \frac{14}{3}

  2. Comprovació amb QQ de l’apartat a):

    d(P,Q)d(P,Q)=(149)2+(289)2+(289)2{}= \sqrt{\left(\frac{14}{9}\right)^2+\left(\frac{28}{9}\right)^2+\left(\frac{28}{9}\right)^2}=17649{}= \frac{\sqrt{1764}}{9}=429=143{}= \frac{42}{9}=\frac{14}{3}

Resultatd=143 ud=\dfrac{14}{3}\ \mathrm{u}

La pauta oficial dona: 143\frac{14}{3}

c)1 punt

Plantejament Un pla paraŀlel a π\pi té el mateix vector normal: x+2y−2z=Dx+2y-2z=D. Imposem que la seva distància a PP sigui 143\frac{14}{3}; una de les solucions serà el mateix π\pi.

  1. Distància de P=(1,3,0)P=(1,3,0) al pla x+2y−2z−D=0x+2y-2z-D=0:

    ∣1+2⋅3−2⋅0−D∣9\frac{|1+2\cdot 3-2\cdot 0-D|}{\sqrt{9}}=∣7−D∣3{}= \frac{|7-D|}{3}=143{}= \frac{14}{3}

  2. Resolem el valor absolut:

    ∣7−D∣=14 ⟹ 7−D=±14 ⟹ D=−7|7-D|=14\ \Longrightarrow\ 7-D=\pm 14\ \Longrightarrow\ D=-7o  D=21\text{o}\ \ D=21

  3. D=−7D=-7 és el pla π\pi; l’altre és el que busquem:

    π′: x+2y−2z=21\pi':\ x+2y-2z=21

Resultatπ′: x+2y−2z=21\pi':\ x+2y-2z=21

La pauta oficial dona: x+2y−2z=21x+2y-2z=21

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Sistemes d’equacions, Matrius i determinants
Enunciat oficial

Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real λ\lambda: {x+2λy+(2+λ)z=0(2+λ)x+y+2λz=32λx+(2+λ)y+z=−3\begin{cases}x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0\\ (2+\lambda)x+y+2\lambda z=3\\ 2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases}

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre λ\lambda.

[1,25 punts]

b) Per al cas λ=−1\lambda=-1, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Fem servir el teorema de Rouché-Frobenius. Primer calculem el determinant de la matriu de coeficients MM i busquem els valors de λ\lambda que l’anul·len.

  1. Matriu de coeficients i matriu ampliada:

    MM=(12λ2+λ2+λ12λ2λ2+λ1){}= \begin{pmatrix}1&2\lambda&2+\lambda\\ 2+\lambda&1&2\lambda\\ 2\lambda&2+\lambda&1\end{pmatrix}M∗M^*=(12λ2+λ02+λ12λ32λ2+λ1−3){}= \left(\begin{array}{ccc|c}1&2\lambda&2+\lambda&0\\ 2+\lambda&1&2\lambda&3\\ 2\lambda&2+\lambda&1&-3\end{array}\right)

  2. Determinant per la regla de Sarrus. Els tres productes de la diagonal principal i les seves paral·leles són 11, 8λ38\lambda^3 i (2+λ)3(2+\lambda)^3; els tres de l’altra diagonal valen 2λ(2+λ)2\lambda(2+\lambda) cadascun:

    ∣M∣|M|=1+8λ3+(2+λ)3{}= 1+8\lambda^3+(2+\lambda)^3−3⋅2λ(2+λ){}-3\cdot 2\lambda(2+\lambda)=1+8λ3+8+12λ{}= 1+8\lambda^3+8+12\lambda+6λ2+λ3−12λ{}+6\lambda^2+\lambda^3-12\lambda−6λ2{}-6\lambda^2=9λ3+9{}= 9\lambda^3+9

  3. S’anul·la quan λ3=−1\lambda^3=-1. L’única arrel real és λ=−1\lambda=-1, perquè 9λ3+9=9(λ+1)(λ2−λ+1)9\lambda^3+9=9(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1) i el discriminant del segon factor és 1−4<01-4<0:

    9λ3+9=0 ⟹ λ=−19\lambda^3+9=0\ \Longrightarrow\ \lambda=-1

  4. Si λ≠−1\lambda\ne-1, ∣M∣≠0|M|\ne 0 i els dos rangs valen 3, el nombre d’incògnites: el sistema és compatible determinat (solució única).

    rang⁡M=rang⁡M∗=3\operatorname{rang} M=\operatorname{rang} M^*=3

  5. Si λ=−1\lambda=-1, el sistema és

    {x−2y+z=0x+y−2z=3−2x+y+z=−3\begin{cases}x-2y+z=0\\ x+y-2z=3\\ -2x+y+z=-3\end{cases}

  6. Ara ∣M∣=0|M|=0, però hi ha un menor d’ordre 2 no nul:

    ∣1−211∣\begin{vmatrix}1&-2\\ 1&1\end{vmatrix}=1⋅1−(−2)⋅1{}= 1\cdot 1-(-2)\cdot 1=1+2{}= 1+2=3{}= 3≠0{}\ne 0⟹rang⁡M{}\Longrightarrow \operatorname{rang} M=2{}= 2

  7. Orlem aquest menor amb la tercera fila i la columna de termes independents (l’altre menor que l’orla, amb la tercera columna, és ∣M∣=0|M|=0):

    ∣1−20113−21−3∣\begin{vmatrix}1&-2&0\\ 1&1&3\\ -2&1&-3\end{vmatrix}=−3+12+0{}= -3+12+0−(0+3+6)=0{}-(0+3+6)=0⟹rang⁡M∗{}\Longrightarrow \operatorname{rang} M^*=2{}= 2

  8. Com que els dos rangs són iguals però més petits que 3, el sistema és compatible indeterminat, amb 3−2=13-2=1 grau de llibertat.

    rang⁡M=rang⁡M∗=2<3\operatorname{rang} M=\operatorname{rang} M^*=2<3

ResultatSi λ≠−1\lambda\ne-1, sistema compatible determinat (solució única). Si λ=−1\lambda=-1, sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat (infinites solucions).

La pauta oficial dona: ∣M∣=9λ3+9|M|=9\lambda^3+9; λ≠−1: SCD\lambda\ne-1:\ \text{SCD}; λ=−1: SCI\lambda=-1:\ \text{SCI}

b)1,25 punts

Plantejament Amb λ=−1\lambda=-1 el rang és 2: ens quedem amb les dues primeres equacions (les del menor no nul) i passem zz a la dreta com a paràmetre.

  1. Sistema reduït:

    {x−2y=−zx+y=3+2z\begin{cases}x-2y=-z\\ x+y=3+2z\end{cases}

  2. Restem la primera equació de la segona:

    3y=3+3z ⟹ y=1+z3y=3+3z\ \Longrightarrow\ y=1+z

  3. I de la primera:

    x=2y−z=2+2z−z=2+zx=2y-z=2+2z-z=2+z

  4. Comprovem la tercera equació, que no hem fet servir:

    −2(2+z)+(1+z)+z-2(2+z)+(1+z)+z=−4−2z+1+z+z{}= -4-2z+1+z+z=−3{}= -3

  5. Interpretació: cada equació és un pla de l’espai. Els vectors normals (1,−2,1)(1,-2,1), (1,1,−2)(1,1,-2) i (−2,1,1)(-2,1,1) no són proporcionals dos a dos, així que no hi ha cap parell de plans paral·lels; com que el sistema té infinites solucions que depenen d’un paràmetre, els tres plans es tallen en una recta (formen un feix de plans). Els punts de la recta són

    (x,y,z)(x,y,z)=(2+z, 1+z, z){}= (2+z,\,1+z,\,z)=(2,1,0)+z (1,1,1){}= (2,1,0)+z\,(1,1,1)

ResultatSolució: x=2+zx=2+z, y=1+zy=1+z, z∈ℝz\in\mathbb{R}. Els tres plans es tallen en la recta que passa pel punt (2,1,0)(2,1,0) i té vector director (1,1,1)(1,1,1): (x,y,z)=(2,1,0)+t (1,1,1)(x,y,z)=(2,1,0)+t\,(1,1,1), t∈ℝt\in\mathbb{R}.

La pauta oficial dona: x=z+2x=z+2, y=z+1y=z+1; (x,y,z)=(2,1,0)+z (1,1,1)(x,y,z)=(2,1,0)+z\,(1,1,1)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

Siguin els plans π1\pi_1 i π2\pi_2, determinats respectivament per les equacions π1 ⁣:x+y=3\pi_1\colon x+y=3 i π2 ⁣:x−z=−2\pi_2\colon x-z=-2.

a) Trobeu l’equació general (Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0) del pla π3\pi_3, que és perpendicular a π1\pi_1 i π2\pi_2, i que passa pel punt P=(4,1,2)P=(4,1,2).

[0,75 punts]

b) Sigui rr la recta d’intersecció de π1\pi_1 i π2\pi_2. Calculeu l’equació vectorial de la recta rr.

[0,75 punts]

c) Calculeu el punt QQ de la recta rr que és més a prop del punt PP.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament Com que π3\pi_3 és perpendicular a π1\pi_1 i a π2\pi_2, conté les direccions dels vectors normals d’aquests plans. Busquem el pla que passa per PP amb aquests dos vectors directors.

  1. Vectors normals de π1\pi_1 i π2\pi_2 (vectors directors de π3\pi_3):

    n⃗1=(1,1,0)\vec{n}_1=(1,1,0)n⃗2=(1,0,−1)\vec{n}_2=(1,0,-1)

  2. Un punt X=(x,y,z)X=(x,y,z) és de π3\pi_3 si PX→\overrightarrow{PX}, n⃗1\vec{n}_1 i n⃗2\vec{n}_2 són linealment dependents:

    ∣x−411y−110z−20−1∣=0\begin{vmatrix}x-4&1&1\\ y-1&1&0\\ z-2&0&-1\end{vmatrix}=0

  3. Desenvolupem per la primera columna; els tres menors valen −1-1:

    (x−4)(−1)(x-4)(-1)−(y−1)(−1){}-(y-1)(-1)+(z−2)(−1){}+(z-2)(-1)=−x+y−z+5=0{}= -x+y-z+5=0

  4. Multipliquem per −1-1. Comprovació: el vector normal (1,−1,1)(1,-1,1) és perpendicular a n⃗1\vec{n}_1 i a n⃗2\vec{n}_2, i PP és del pla:

    (1,−1,1)⋅(1,1,0)=0(1,-1,1)\cdot(1,1,0)=0(1,−1,1)⋅(1,0,−1)=0(1,-1,1)\cdot(1,0,-1)=04−1+2−5=04-1+2-5=0

Resultatπ3 ⁣:x−y+z−5=0\pi_3\colon x-y+z-5=0.

La pauta oficial dona: x−y+z−5=0x-y+z-5=0

b)0,75 punts

Plantejament La recta rr és el conjunt de solucions del sistema format per les equacions dels dos plans. Prenem xx com a paràmetre.

  1. Aïllem yy i zz:

    {x+y=3x−z=−2\begin{cases}x+y=3\\ x-z=-2\end{cases}⟹y=3−x{}\Longrightarrow y=3-xz=2+xz=2+x

  2. Amb x=λx=\lambda:

    (x,y,z)=(λ, 3−λ, 2+λ)(x,y,z)=(\lambda,\,3-\lambda,\,2+\lambda)

  3. Separem la part fixa i la que multiplica λ\lambda:

    r ⁣: (x,y,z)=(0,3,2)+λ (1,−1,1)r\colon\ (x,y,z)=(0,3,2)+\lambda\,(1,-1,1)λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}

  4. El vector director és, canviat de signe, el producte vectorial dels dos normals, com ha de ser:

    n⃗1×n⃗2\vec{n}_1\times\vec{n}_2=∣ı⃗ȷ⃗k⃗11010−1∣{}= \begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 1&1&0\\ 1&0&-1\end{vmatrix}=(−1, 1, −1){}= (-1,\,1,\,-1)=−(1,−1,1){}= -(1,-1,1)

Resultatr ⁣:(x,y,z)=(0,3,2)+λ (1,−1,1)r\colon (x,y,z)=(0,3,2)+\lambda\,(1,-1,1), λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}.

La pauta oficial dona: (x,y,z)=(0,3,2)+λ (1,−1,1)(x,y,z)=(0,3,2)+\lambda\,(1,-1,1)

c)1 punt

Plantejament El punt de rr més proper a PP és la projecció ortogonal de PP sobre rr: el punt QQ de rr tal que PQ→\overrightarrow{PQ} és perpendicular al vector director v⃗=(1,−1,1)\vec{v}=(1,-1,1).

  1. Punt genèric de rr i vector PQ→\overrightarrow{PQ}, amb P=(4,1,2)P=(4,1,2):

    Q=(λ, 3−λ, 2+λ)Q=(\lambda,\,3-\lambda,\,2+\lambda)PQ→=(λ−4, 2−λ, λ)\overrightarrow{PQ}=(\lambda-4,\,2-\lambda,\,\lambda)

  2. Condició de perpendicularitat:

    PQ→⋅v⃗\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{v}=(λ−4)−(2−λ)+λ{}= (\lambda-4)-(2-\lambda)+\lambda=3λ−6=0{}= 3\lambda-6=0⟹λ=2{}\Longrightarrow \lambda=2

  3. Substituïm λ=2\lambda=2:

    Q=(2, 1, 4)Q=(2,\,1,\,4)

  4. El pla perpendicular a rr que passa per PP és precisament π3\pi_3 de l’apartat a) (el seu normal és (1,−1,1)(1,-1,1)), i QQ és el punt on rr talla π3\pi_3. La distància de PP a rr és la de PP a QQ:

    2−1+4−5=02-1+4-5=0d(P,Q)d(P,Q)=(−2)2+02+22{}= \sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=22{}= 2\sqrt{2}

ResultatQ=(2,1,4)Q=(2,1,4), a una distància d(P,Q)=22d(P,Q)=2\sqrt{2} de PP.

La pauta oficial dona: Q=(2,1,4)Q=(2,1,4)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta té un error
Enunciat oficial

Considereu les rectes a l’espai r ⁣:x=−y=z+mr\colon x=-y=z+m i s ⁣:x+y=1x−z=0},s\colon\begin{rcases}x+y=1\\ x-z=0\end{rcases}, en què mm és un paràmetre real.

a) Estudieu la posició relativa per als diferents valors del paràmetre mm.

[1,25 punts]

b) Calculeu mm perquè la distància entre les rectes rr i ss sigui de 2\sqrt{2} unitats.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Busquem un punt i un vector director de cada recta. Si els vectors directors són proporcionals, les rectes són paral·leles o coincidents, i ho decideix si un punt d’una recta és de l’altra.

  1. Recta rr: igualem les tres expressions a un paràmetre tt, és a dir, x=tx=t, y=−ty=-t, z=t−mz=t-m:

    Pr=(0,0,−m)P_r=(0,0,-m)v⃗r=(1,−1,1)\vec{v}_r=(1,-1,1)

  2. Recta ss: el vector director és el producte vectorial dels vectors normals dels dos plans, i un punt s’obté donant el valor x=1x=1:

    v⃗s\vec{v}_s=(1,1,0)×(1,0,−1){}= (1,1,0)\times(1,0,-1)=∣ı⃗ȷ⃗k⃗11010−1∣{}= \begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 1&1&0\\ 1&0&-1\end{vmatrix}=(−1, 1, −1){}= (-1,\,1,\,-1)Qs=(1,0,1)Q_s=(1,0,1)

  3. Els vectors directors són proporcionals (oposats), així que tenen la mateixa direcció:

    v⃗s=−v⃗r\vec{v}_s=-\vec{v}_r

  4. Per tant, rr i ss són paral·leles o coincidents. Són coincidents si Qs=(1,0,1)Q_s=(1,0,1) és de rr, és a dir, si compleix x=−y=z+mx=-y=z+m. Però ja la primera igualtat falla, sigui quin sigui mm:

    x=1≠0=−yx=1\ne 0=-y

ResultatLes rectes rr i ss són paral·leles (i no coincidents) per a tots els valors de mm.

La pauta oficial dona: v⃗r=v⃗s\vec{v}_r=\vec{v}_s; rectes paral·leles per a qualsevol valor de mm

b)1,25 punts

Plantejament Com que són paral·leles, la distància entre rr i ss és la distància del punt PrP_r a la recta ss: d(r,s)d(r,s)=∣v⃗s×PrQs→∣∣v⃗s∣{}= \dfrac{|\vec{v}_s\times\overrightarrow{P_rQ_s}|}{|\vec{v}_s|}.

  1. Vector entre els dos punts:

    PrQs→\overrightarrow{P_rQ_s}=(1,0,1)−(0,0,−m){}= (1,0,1)-(0,0,-m)=(1, 0, 1+m){}= (1,\,0,\,1+m)

  2. Producte vectorial amb v⃗s\vec{v}_s:

    v⃗s×PrQs→\vec{v}_s\times\overrightarrow{P_rQ_s}=∣ı⃗ȷ⃗k⃗−11−1101+m∣{}= \begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ -1&1&-1\\ 1&0&1+m\end{vmatrix}=(1+m, m, −1){}= (1+m,\ m,\ -1)

  3. Distància, amb ∣v⃗s∣=3|\vec{v}_s|=\sqrt{3}:

    d(r,s)d(r,s)=(1+m)2+m2+13{}= \frac{\sqrt{(1+m)^2+m^2+1}}{\sqrt{3}}

  4. Imposem que valgui 2\sqrt{2} i elevem al quadrat:

    (1+m)2+m2+13\frac{(1+m)^2+m^2+1}{3}=2{}= 2⟹2m2+2m+2{}\Longrightarrow 2m^2+2m+2=6{}= 6⟹m2+m−2=0{}\Longrightarrow m^2+m-2=0

  5. Resolem:

    m=−1±1+82=−1±32 ⟹ m=1m=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}\ \Longrightarrow\ m=1m=−2m=-2

Resultatm=1m=1 o m=−2m=-2.

La pauta oficial dona: m=1m=1; m=−2m=-2

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

Siguin r1r_1 i r2r_2 les rectes definides per r1 ⁣:x−1=y=−zr_1\colon x-1=y=-z i per r2 ⁣:x=y=zr_2\colon x=y=z, respectivament.

a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes r1r_1 i r2r_2.

[1,75 punts]

b) Calculeu la distància entre r1r_1 i r2r_2.

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,75 punts

Plantejament Busquem un punt A1A_1 de r1r_1 i un punt A2A_2 de r2r_2 tals que el vector A1A2→\overrightarrow{A_1A_2} sigui perpendicular als dos vectors directors. La recta que passa per A1A_1 i A2A_2 és la perpendicular comuna.

  1. Equacions paramètriques (a r1r_1, x−1=y=−z=λx-1=y=-z=\lambda; a r2r_2, x=y=z=μx=y=z=\mu):

    r1 ⁣: (1+λ, λ, −λ),  v⃗1r_1\colon\ (1+\lambda,\,\lambda,\,-\lambda),\ \ \vec{v}_1=(1,1,−1){}= (1,1,-1)r2 ⁣: (μ, μ, μ),  v⃗2=(1,1,1)r_2\colon\ (\mu,\,\mu,\,\mu),\ \ \vec{v}_2=(1,1,1)

  2. Posició relativa: els vectors directors no són proporcionals, i el determinant que formen amb el vector que va de (1,0,0)∈r1(1,0,0)\in r_1 a (0,0,0)∈r2(0,0,0)\in r_2 no és zero, així que les rectes s’encreuen:

    ∣11−1111−100∣\begin{vmatrix}1&1&-1\\ 1&1&1\\ -1&0&0\end{vmatrix}=(−1)⋅∣1−111∣{}= (-1)\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\ 1&1\end{vmatrix}=−2{}= -2≠0{}\ne 0

  3. Vector entre un punt genèric de cada recta:

    A1A2→=(μ−1−λ, μ−λ, μ+λ)\overrightarrow{A_1A_2}=(\mu-1-\lambda,\ \mu-\lambda,\ \mu+\lambda)

  4. Ha de ser perpendicular a v⃗1\vec{v}_1 i a v⃗2\vec{v}_2:

    {(μ−1−λ)+(μ−λ)−(μ+λ)=μ−3λ−1=0(μ−1−λ)+(μ−λ)+(μ+λ)=3μ−λ−1=0\begin{cases}(\mu-1-\lambda)+(\mu-\lambda)-(\mu+\lambda)=\mu-3\lambda-1=0\\ (\mu-1-\lambda)+(\mu-\lambda)+(\mu+\lambda)=3\mu-\lambda-1=0\end{cases}

  5. De la primera, μ=1+3λ\mu=1+3\lambda; ho substituïm a la segona:

    3+9λ−λ−1=0 ⟹ λ=−143+9\lambda-\lambda-1=0\ \Longrightarrow\ \lambda=-\frac{1}{4}μ=1−34=14\mu=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

  6. Punts de tall i vector director de la perpendicular comuna:

    A1=(34,−14,14)A_1=\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)A2=(14,14,14)A_2=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)A1A2→\overrightarrow{A_1A_2}=(−12,12,0)∥(−1,1,0){}= \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\parallel(-1,1,0)

  7. Comprovació: el vector (−1,1,0)(-1,1,0) és proporcional a v⃗1×v⃗2\vec{v}_1\times\vec{v}_2, que és perpendicular a les dues rectes:

    v⃗1×v⃗2\vec{v}_1\times\vec{v}_2=∣ı⃗ȷ⃗k⃗11−1111∣{}= \begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 1&1&-1\\ 1&1&1\end{vmatrix}=(2, −2, 0){}= (2,\,-2,\,0)=−2 (−1,1,0){}= -2\,(-1,1,0)

ResultatLa perpendicular comuna passa per A2=(14,14,14)A_2=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) amb vector director (−1,1,0)(-1,1,0): {x=14−αy=14+αz=14\begin{cases}x=\frac{1}{4}-\alpha\\ y=\frac{1}{4}+\alpha\\ z=\frac{1}{4}\end{cases}, α∈ℝ\alpha\in\mathbb{R}. Talla r1r_1 a A1=(34,−14,14)A_1=\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) i r2r_2 a A2A_2.

La pauta oficial dona: (x,y,z)=(14−α, 14+α, 14)(x,y,z)=\left(\frac{1}{4}-\alpha,\ \frac{1}{4}+\alpha,\ \frac{1}{4}\right)

b)0,75 punts

Plantejament Com que A1A_1 i A2A_2 són els peus de la perpendicular comuna, la distància entre les rectes és la longitud de A1A2→\overrightarrow{A_1A_2}.

  1. Mòdul:

    d(r1,r2)d(r_1,r_2)=∣A1A2→∣{}= |\overrightarrow{A_1A_2}|=(−12)2+(12)2+02{}= \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+0^2}=12=22{}= \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

  2. Comprovació amb la fórmula de la distància entre dues rectes que s’encreuen; el producte mixt és el determinant de l’apartat a), −2-2:

    dd=∣[P1P2→,v⃗1,v⃗2]∣∣v⃗1×v⃗2∣{}= \frac{\left|\left[\overrightarrow{P_1P_2},\vec{v}_1,\vec{v}_2\right]\right|}{|\vec{v}_1\times\vec{v}_2|}=∣−2∣4+4+0{}= \frac{|-2|}{\sqrt{4+4+0}}=222{}= \frac{2}{2\sqrt{2}}=22{}= \frac{\sqrt{2}}{2}

Resultatd(r1,r2)=22 ud(r_1,r_2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{u}.

La pauta oficial dona: 22 u\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{u}

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

Sigui la recta rr definida per l’expressió següent:

r:{x=2+λy=−1+3λz=3+λr:\begin{cases} x=2+\lambda\\ y=-1+3\lambda\\ z=3+\lambda\end{cases}

a) Determineu la posició relativa de la recta rr respecte al pla π:x−2y+4z−4=0\pi: x-2y+4z-4=0. Si és paral·lela, calculeu la distància de rr a π\pi, i si és secant, calculeu el punt de tall.

[1,25 punts]

b) Calculeu l’equació de la recta ss perpendicular al pla π\pi i que talla la recta rr en un punt PP, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Comparem el vector director de rr amb el vector normal de π\pi: si el seu producte escalar no és zero, la recta no és paral·lela al pla i el talla en un punt.

  1. Vector director de rr i vector normal de π\pi:

    v⃗=(1,3,1)\vec v=(1,3,1)n⃗=(1,−2,4)\vec n=(1,-2,4)

  2. Producte escalar:

    v⃗⋅n⃗\vec v\cdot\vec n=1⋅1+3⋅(−2)+1⋅4{}= 1\cdot 1+3\cdot(-2)+1\cdot 4=1−6+4{}= 1-6+4=−1{}= -1≠0{}\ne 0

  3. Com que no és zero, rr i π\pi són secants. Substituïm el punt genèric de rr a l’equació de π\pi:

    (2+λ)−2(−1+3λ)(2+\lambda)-2(-1+3\lambda)+4(3+λ)−4=0{}+4(3+\lambda)-4=0⟹12−λ=0{}\Longrightarrow 12-\lambda=0⟹λ=12{}\Longrightarrow \lambda=12

  4. Punt de tall, amb λ=12\lambda=12:

    (2+12, −1+36, 3+12)(2+12,\ -1+36,\ 3+12)=(14,35,15){}= (14,35,15)

  5. Comprovació a π\pi:

    14−2⋅35+4⋅15−414-2\cdot 35+4\cdot 15-4=14−70+60−4=0{}= 14-70+60-4=0

ResultatLa recta rr és secant al pla π\pi i el talla en el punt (14,35,15)(14,35,15).

La pauta oficial dona: Secants; punt de tall (14,35,15)(14,35,15)

b)1,25 punts

Plantejament Una recta perpendicular a π\pi té com a vector director el vector normal n⃗=(1,−2,4)\vec n=(1,-2,4). Falta el punt PP de rr on la primera coordenada és 5 vegades la segona.

  1. Condició x=5yx=5y per al punt genèric de rr:

    2+λ2+\lambda=5(−1+3λ){}= 5(-1+3\lambda)⟹2+λ{}\Longrightarrow 2+\lambda=−5+15λ{}= -5+15\lambda⟹λ=714{}\Longrightarrow \lambda=\frac{7}{14}=12{}= \frac{1}{2}

  2. Punt PP, amb λ=12\lambda=\frac{1}{2}:

    PP=(2+12, −1+32, 3+12){}= \left(2+\frac{1}{2},\ -1+\frac{3}{2},\ 3+\frac{1}{2}\right)=(52,12,72){}= \left(\frac{5}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)

  3. Comprovació: la primera coordenada és 5 vegades la segona:

    52=5⋅12\frac{5}{2}=5\cdot\frac{1}{2}

  4. Recta ss en forma vectorial:

    s: (x,y,z)s:\ (x,y,z)=(52,12,72)+μ(1,−2,4){}= \left(\frac{5}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)+\mu(1,-2,4)μ∈ℝ\mu\in\mathbb{R}

Resultats: (x,y,z)s:\ (x,y,z)=(52,12,72){}= \left(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2}\right)+μ(1,−2,4){}+\mu(1,-2,4), o en forma contínua x−521=y−12−2=z−724\dfrac{x-\frac{5}{2}}{1}=\dfrac{y-\frac{1}{2}}{-2}=\dfrac{z-\frac{7}{2}}{4}.

La pauta oficial dona: (x,y,z)=(52,12,72)+μ(1,−2,4)(x,y,z)=\left(\frac{5}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)+\mu(1,-2,4)

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Sistemes d’equacions, Matrius i determinants
Enunciat oficial

Considereu el sistema d’equacions lineals

2x−y+3z=0my+(3−m)z=−62x−y+mz=6},\left.\begin{array}{r} 2x-y+3z=0\\ my+(3-m)z=-6\\ 2x-y+mz=6\end{array}\right\},

en què mm és un paràmetre real.

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre mm.

[1,25 punts]

b) Resoleu el sistema, si és possible, quan m=0m=0 i quan m=3m=3. En cada cas, doneu la posició relativa dels tres plans a ℝ3\mathbb{R}^3.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Estudiem quan s’anul·la el determinant de la matriu de coeficients AA i, en aquests casos, comparem rang⁡A\operatorname{rang}A amb el rang de la matriu ampliada A′A'.

  1. Matriu ampliada:

    A′A'=(2−1300m3−m−62−1m6){}= \left(\begin{array}{ccc|c} 2&-1&3&0\\ 0&m&3-m&-6\\ 2&-1&m&6\end{array}\right)

  2. Restant la primera fila de la tercera (el determinant no canvia) queda una matriu triangular:

    det⁡A\det A=∣2−130m3−m00m−3∣{}= \begin{vmatrix}2&-1&3\\ 0&m&3-m\\ 0&0&m-3\end{vmatrix}=2m(m−3){}= 2m(m-3)=2m2−6m{}= 2m^2-6m

  3. Si m≠0m\ne 0 i m≠3m\ne 3:

    rang⁡A=rang⁡A′=3\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A'=3

  4. Cas m=0m=0: hi ha un menor d’ordre 2 no nul, i fent F3−F1F_3-F_1 i després F3+F2F_3+F_2 la tercera fila de A′A' queda tota nul·la:

    ∣−1303∣\begin{vmatrix}-1&3\\ 0&3\end{vmatrix}=−3{}= -3≠0{}\ne 0(2−130003−60000)\left(\begin{array}{ccc|c} 2&-1&3&0\\ 0&0&3&-6\\ 0&0&0&0\end{array}\right)⇒rang⁡A{}\Rightarrow \operatorname{rang}A=rang⁡A′{}= \operatorname{rang}A'=2{}= 2

  5. Cas m=3m=3: la primera i la tercera fila de AA són iguals, però els termes independents no (00 i 66). Fent F3−F1F_3-F_1:

    ∣2−103∣\begin{vmatrix}2&-1\\ 0&3\end{vmatrix}=6{}= 6≠0{}\ne 0(2−130030−60006)\left(\begin{array}{ccc|c} 2&-1&3&0\\ 0&3&0&-6\\ 0&0&0&6\end{array}\right)⇒rang⁡A{}\Rightarrow \operatorname{rang}A=2, rang⁡A′{}= 2,\ \operatorname{rang}A'=3{}= 3

ResultatSi m≠0m\ne 0 i m≠3m\ne 3, el sistema és compatible determinat. Si m=0m=0, és compatible indeterminat (un grau de llibertat). Si m=3m=3, és incompatible.

La pauta oficial dona: ∣A∣=2m2−6m|A|=2m^2-6m; SCD si m≠0,3m\ne 0,3; SCI si m=0m=0; SI si m=3m=3

b)1,25 punts

Plantejament Resolem a partir de les matrius esglaonades de l’apartat a) i mirem els vectors normals dels tres plans per saber com es tallen.

  1. m=0m=0: de la segona equació, 3z=−63z=-6; de la primera, y=2x+3zy=2x+3z:

    z=−2z=-2y=2x−6y=2x-6

  2. Amb x=kx=k:

    (x,y,z)=(k, 2k−6, −2)(x,y,z)=(k,\ 2k-6,\ -2)k∈ℝk\in\mathbb{R}

  3. Vectors normals per a m=0m=0: cap parell no és proporcional, de manera que els tres plans són diferents i, com que el sistema és compatible amb rang 22, es tallen en una recta:

    n⃗1=(2,−1,3)\vec n_1=(2,-1,3)n⃗2=(0,0,3)\vec n_2=(0,0,3)n⃗3=(2,−1,0)\vec n_3=(2,-1,0)

  4. m=3m=3: el sistema no té solució. Els plans π1\pi_1 i π3\pi_3 tenen el mateix vector normal i termes independents diferents:

    π1: 2x−y+3z=0\pi_1:\ 2x-y+3z=0π3: 2x−y+3z=6\pi_3:\ 2x-y+3z=6π2: 3y=−6\pi_2:\ 3y=-6

  5. Per tant, π1\pi_1 i π3\pi_3 són paral·lels (i diferents). Com que n⃗2=(0,3,0)\vec n_2=(0,3,0) no és proporcional a (2,−1,3)(2,-1,3), el pla π2\pi_2 talla tots dos.

ResultatSi m=0m=0: (x,y,z)=(k, 2k−6, −2)(x,y,z)=(k,\ 2k-6,\ -2), k∈ℝk\in\mathbb{R}; els tres plans es tallen en aquesta recta. Si m=3m=3: no hi ha solució; π1\pi_1 i π3\pi_3 són paral·lels i π2\pi_2 talla tots dos (en dues rectes paral·leles).

La pauta oficial dona: m=0m=0: recta (k, 2k−6, −2)(k,\ 2k-6,\ -2); m=3m=3: sense solució, π1∥π3\pi_1\parallel\pi_3 tallats per π2\pi_2

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

Siguin els punts A=(0,0,1)A=(0,0,1), B=(1,1,1)B=(1,1,1), C=(−1,−1,1)C=(-1,-1,1) i D=(1,0,1)D=(1,0,1).

a) Comproveu que tres d’aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l’equació contínua i l’equació paramètrica de la recta que defineixen.

[1,25 punts]

b) Calculeu l’equació general o cartesiana del pla que determinen els quatre punts.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Tres punts estan alineats si els vectors que els uneixen són proporcionals. Calculem els vectors des de AA.

  1. Vectors des de AA:

    AB→=(1,1,0)\overrightarrow{AB}=(1,1,0)AC→=(−1,−1,0)\overrightarrow{AC}=(-1,-1,0)AD→=(1,0,0)\overrightarrow{AD}=(1,0,0)

  2. AC→=−AB→\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}: AA, BB i CC estan alineats. En canvi, AD→\overrightarrow{AD} no és proporcional a AB→\overrightarrow{AB}, de manera que DD no és a la recta.

    AC→=−1⋅AB→\overrightarrow{AC}=-1\cdot\overrightarrow{AB}

  3. Recta per A=(0,0,1)A=(0,0,1) amb vector director (1,1,0)(1,1,0), en forma paramètrica:

    r: {x=ky=kz=1k∈ℝr:\ \begin{cases} x=k\\ y=k\\ z=1\end{cases}\quad k\in\mathbb{R}

  4. En forma contínua (el denominador 00 és la manera habitual d’indicar que z−1=0z-1=0):

    x1=y1=z−10\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}

ResultatEls punts alineats són AA, BB i CC. Recta: x1=y1=z−10\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{0} (és a dir, x=yx=y, z=1z=1), o en paramètriques x=kx=k, y=ky=k, z=1z=1, k∈ℝk\in\mathbb{R}.

La pauta oficial dona: AA, BB, CC; x=y=z−10x=y=\frac{z-1}{0}; x=kx=k, y=ky=k, z=1z=1

b)1,25 punts

Plantejament Com que CC és a la recta ABAB, el pla queda determinat per AA, BB i DD. El vector normal és el producte vectorial de AB→\overrightarrow{AB} i AD→\overrightarrow{AD}.

  1. Producte vectorial:

    AB→×AD→\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=∣i⃗j⃗k⃗110100∣{}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&0\\ 1&0&0\end{vmatrix}=(1⋅0−0⋅0, 0⋅1−1⋅0, 1⋅0−1⋅1){}= (1\cdot 0-0\cdot 0,\ 0\cdot 1-1\cdot 0,\ 1\cdot 0-1\cdot 1)=(0,0,−1){}= (0,0,-1)

  2. Pla pel punt A=(0,0,1)A=(0,0,1) amb aquest vector normal:

    0(x−0)+0(y−0)0(x-0)+0(y-0)−1(z−1)=0{}-1(z-1)=0⟹z=1{}\Longrightarrow z=1

  3. Comprovació: els quatre punts tenen tercera coordenada 11.

    zA=zB=zC=zD=1z_A=z_B=z_C=z_D=1

Resultatπ: z=1\pi:\ z=1 (equació general z−1=0z-1=0).

La pauta oficial dona: z=1z=1

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta
Enunciat oficial

El pal central que sosté la lona de la carpa d’un circ se situa perpendicularment sobre el pla d’un terra l’equació del qual és π:x−z=6\pi: x-z=6. Sabem que la cúpula de la carpa (el punt més alt per on passa el pal) és al punt de coordenades P=(30,1,0)P=(30,1,0).

a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que conté el pal.

[1 punt]

b) Calculeu les coordenades del punt de contacte del pal amb el terra, i la longitud del pal.

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament El pal és perpendicular al terra, així que la seva recta té com a vector director el vector normal del pla, n⃗=(1,0,−1)\vec n=(1,0,-1), i passa per PP.

  1. Vector normal de π:x−z=6\pi: x-z=6 (coeficients de xx, yy i zz):

    n⃗=(1,0,−1)\vec n=(1,0,-1)

  2. Recta per P=(30,1,0)P=(30,1,0) amb direcció n⃗\vec n:

    r: {x=30+ky=1z=−kk∈ℝr:\ \begin{cases} x=30+k\\ y=1\\ z=-k\end{cases}\quad k\in\mathbb{R}

Resultatr: x=30+k, y=1, z=−kr:\ x=30+k,\ y=1,\ z=-k, amb k∈ℝk\in\mathbb{R}.

La pauta oficial dona: x=30+kx=30+k, y=1y=1, z=−kz=-k

b)1,5 punts

Plantejament El punt de contacte és la intersecció Q=r∩πQ=r\cap\pi; la longitud del pal és la distància de PP a QQ.

  1. Substituïm la recta a l’equació del pla:

    (30+k)−(−k)(30+k)-(-k)=6{}= 6⟹30+2k{}\Longrightarrow 30+2k=6{}= 6⟹k=−12{}\Longrightarrow k=-12

  2. Punt de contacte, amb k=−12k=-12:

    Q=(30−12, 1, 12)=(18,1,12)Q=(30-12,\ 1,\ 12)=(18,1,12)

  3. Comprovació a π\pi:

    18−12=618-12=6

  4. Longitud del pal:

    PQ→=(−12,0,12)\overrightarrow{PQ}=(-12,0,12)∣PQ→∣|\overrightarrow{PQ}|=144+0+144{}= \sqrt{144+0+144}=288{}= \sqrt{288}=122{}= 12\sqrt2

  5. Comprovació amb la distància d’un punt a un pla:

    d(P,π)d(P,\pi)=∣30−0−6∣12+02+(−1)2{}= \frac{|30-0-6|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=242=122{}= \frac{24}{\sqrt2}=12\sqrt2

ResultatEl pal toca el terra a Q=(18,1,12)Q=(18,1,12) i mesura 12212\sqrt2 unitats de longitud.

La pauta oficial dona: Q=(18,1,12)Q=(18,1,12); 12212\sqrt2

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Derivades i les seves aplicacions
Enunciat oficial

La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d’una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla y=0y=0 i l’altra és al pla x=0x=0.

En el punt A=(2,0,2)A=(2,0,2) hi volem penjar un altaveu que ha d’estar connectat a un equip de so, el qual està situat a l’altra paret, en el punt B=(0,2,1)B=(0,2,1). La connexió entre AA i BB la farem mitjançant un cable que passi pel punt C=(0,0,h)C=(0,0,h), situat a la recta vertical d’intersecció de les dues parets. Com que la qualitat del so depèn, entre altres factors, de la longitud del cable que uneix els dos aparells, volem fer una instal·lació amb el mínim de cable possible.

a) Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funció de l’altura hh per on ha de passar el cable a l’eix vertical OZOZ, ve donada per l’expressió L(h)L(h)=h2−4h+8{}= \sqrt{h^2-4h+8}+h2−2h+5{}+\sqrt{h^2-2h+5}.

[0,75 punts]

b) Calculeu les coordenades del punt CC per on ha de passar el cable per tal que la longitud del cable sigui mínima. Calculeu aquesta longitud mínima del cable.

[1,75 punts]

Dibuix en perspectiva de dues parets grises perpendiculars sobre un terra gris, amb els eixos x, y i z numerats. Sobre l’eix vertical z, a la línia on es troben les parets, hi ha el punt C; el punt A és a la paret de l’esquerra i el punt B, a la de la dreta. Dos segments uneixen A amb C i C amb B: és el cable.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament El cable va en línia recta de AA a CC i de CC a BB; la longitud total és la suma de les dues distàncies.

  1. Distància de A=(2,0,2)A=(2,0,2) a C=(0,0,h)C=(0,0,h):

    d(A,C)d(A,C)=22+02+(2−h)2{}= \sqrt{2^2+0^2+(2-h)^2}=4+4−4h+h2{}= \sqrt{4+4-4h+h^2}=h2−4h+8{}= \sqrt{h^2-4h+8}

  2. Distància de B=(0,2,1)B=(0,2,1) a CC:

    d(B,C)d(B,C)=02+22+(1−h)2{}= \sqrt{0^2+2^2+(1-h)^2}=4+1−2h+h2{}= \sqrt{4+1-2h+h^2}=h2−2h+5{}= \sqrt{h^2-2h+5}

  3. Suma:

    L(h)L(h)=d(A,C)+d(C,B){}= d(A,C)+d(C,B)=h2−4h+8{}= \sqrt{h^2-4h+8}+h2−2h+5{}+\sqrt{h^2-2h+5}

ResultatL(h)L(h)=h2−4h+8{}= \sqrt{h^2-4h+8}+h2−2h+5{}+\sqrt{h^2-2h+5}, com volíem comprovar.

La pauta oficial dona: L(h)L(h)=h2−4h+8{}= \sqrt{h^2-4h+8}+h2−2h+5{}+\sqrt{h^2-2h+5}

b)1,75 punts

Plantejament Derivem LL, igualem a zero i resolem elevant al quadrat. Com que elevar al quadrat pot afegir solucions falses, comprovem la solució a l’equació original i amb el signe de L′L'.

  1. Derivada:

    L′(h)L'(h)=2h−42h2−4h+8{}= \frac{2h-4}{2\sqrt{h^2-4h+8}}+2h−22h2−2h+5{}+\frac{2h-2}{2\sqrt{h^2-2h+5}}=h−2h2−4h+8{}= \frac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}+h−1h2−2h+5{}+\frac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}

  2. L′(h)=0L'(h)=0:

    (h−2)h2−2h+5(h-2)\sqrt{h^2-2h+5}=−(h−1)h2−4h+8{}= -(h-1)\sqrt{h^2-4h+8}

  3. Elevem al quadrat i desenvolupem els dos membres:

    (h2−4h+4)(h2−2h+5)(h^2-4h+4)(h^2-2h+5)=(h2−2h+1)(h2−4h+8){}= (h^2-2h+1)(h^2-4h+8)

  4. Els dos costats tenen h4−6h3+17h2h^4-6h^3+17h^2; queda:

    −28h+20-28h+20=−20h+8{}= -20h+8⟹8h=12{}\Longrightarrow 8h=12⟹h=32{}\Longrightarrow h=\frac{3}{2}

  5. Comprovació a l’equació sense elevar (els dos membres valen el mateix):

    (−12)174=−(12)174\left(-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}

  6. Signe de L′L' abans i després de h=32h=\frac{3}{2}: decreix i després creix, així que és un mínim:

    L′(1)=−15<0L'(1)=\frac{-1}{\sqrt5}<0L′(2)=15>0L'(2)=\frac{1}{\sqrt5}>0

  7. Longitud mínima (els dos trams mesuren el mateix):

    L(32)L\left(\frac{3}{2}\right)=94−6+8+94−3+5{}= \sqrt{\frac{9}{4}-6+8}+\sqrt{\frac{9}{4}-3+5}=174+174{}= \sqrt{\frac{17}{4}}+\sqrt{\frac{17}{4}}=2⋅172{}= 2\cdot\frac{\sqrt{17}}{2}=17{}= \sqrt{17}

ResultatEl cable ha de passar per C=(0,0,32)C=\left(0,0,\dfrac{3}{2}\right), i la longitud mínima és 17\sqrt{17} unitats de longitud.

La pauta oficial dona: C=(0,0,32)C=\left(0,0,\frac{3}{2}\right); L=17L=\sqrt{17}

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resoltExamen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

Errors típics que penalitza la pauta

Preguntes freqüents

Quants exercicis de geometria de l’espai han sortit a la PAU de Matemàtiques de Catalunya?

Entre 2022 i 2026, 20 exercicis en 15 dels 15 exàmens que tenim resolts (cada any, l’ordinària i l’extraordinària, i també la sèrie d’incidències). Han sortit els anys 2026, 2025, 2024, 2023 i 2022.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada resultat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra (gairebé sempre per arrodoniment), ho posem al costat amb l’explicació.

Què faig si el meu resultat no coincideix amb la pauta?

Mira primer si és el mateix valor escrit d’una altra manera: una fracció i el seu decimal, o una arrel sense simplificar. Dona els resultats exactes, amb fraccions o arrels, tret que l’enunciat demani decimals, i justifica cada pas: les pautes puntuen el plantejament, no només el resultat.

Puc imprimir els exercicis?

Sí. El botó d’imprimir prepara un full amb els enunciats oficials, amb espai per respondre, i les solucions a part. Cada exercici enllaça també el PDF oficial de l’examen i de la pauta.

Solucions escrites per EducaIA i contrastades una a una amb la pauta oficial de correcció.

Com fem i comprovem els exercicis

Tens la PAU de Matemàtiques aquest curs?

Puja els teus apunts de Matemàtiques i EducaIA et prepara el pla dia a dia fins a la PAU, amb resums, flashcards i tests dels teus propis temes.

Prepara la PAU de Matemàtiques a EducaIA

Tots els exàmens de CatalunyaCentre PAU de CatalunyaCalculadora de nota PAU

Els altres temes de Matemàtiques

Matrius i determinantsSistemes d’equacionsLímits i continuïtatDerivades i les seves aplicacionsIntegralsProbabilitat i estadística

Enunciat oficial

Toca la imatge per apropar-la o allunyar-la.