Quants exercicis de derivades i les seves aplicacions han sortit a la PAU de Matemàtiques de Catalunya?

Entre 2022 i 2026, 39 exercicis en 15 dels 15 exàmens que tenim resolts (cada any, l’ordinària i l’extraordinària, i també la sèrie d’incidències). Han sortit els anys 2026, 2025, 2024, 2023 i 2022.

Les solucions són les oficials?

No: les escriu EducaIA, pas a pas, i cada resultat està contrastat amb la pauta oficial de correcció. Quan la pauta dona una altra xifra (gairebé sempre per arrodoniment), ho posem al costat amb l’explicació.

Què faig si el meu resultat no coincideix amb la pauta?

Mira primer si és el mateix valor escrit d’una altra manera: una fracció i el seu decimal, o una arrel sense simplificar. Dona els resultats exactes, amb fraccions o arrels, tret que l’enunciat demani decimals, i justifica cada pas: les pautes puntuen el plantejament, no només el resultat.

Puc imprimir els exercicis?

Sí. El botó d’imprimir prepara un full amb els enunciats oficials, amb espai per respondre, i les solucions a part. Cada exercici enllaça també el PDF oficial de l’examen i de la pauta.

Derivades i les seves aplicacions: exercicis PAU resolts

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Límits i continuïtat, Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció definida a trossos següent: $f(x)$ ${}= \begin{cases}5e^{2x} & x\le 0\\ (x+m)^2+1 & 0<x<2\\ 1 & 2\le x\end{cases}$ , on $m$ és un paràmetre real.

1.1 Determineu els valors de $m$ que fan que la funció $f(x)$ sigui contínua en tot el seu domini. Justifiqueu la resposta.

[1 punt]

1.2 Feu un esbós de la gràfica de $y=f(x)$ per al cas $m=-2$ , i calculeu l’àrea delimitada per aquesta gràfica, l’eix $OX$ i les rectes $x=-1$ i $x=3$ .

[1 punt]

1.3 Per a $m=-2$ , trobeu un punt on la recta tangent a $y=f(x)$ sigui paraŀlela a $y=-2x$ . Calculeu l’equació d’aquesta recta tangent.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.11 punt

Plantejament Cada tros és una funció contínua (exponencial, polinòmica i constant) en el seu interval, així que només cal imposar la continuïtat als punts on canvia la fórmula, $x=0$ i $x=2$ : els límits laterals i el valor de la funció han de coincidir.

En $x=0$ :
$\lim_{x\to 0^-}5e^{2x}=5=f(0)$ $\lim_{x\to 0^+}\left((x+m)^2+1\right)$ ${}= m^2+1$
Igualem els dos valors:
$m^2+1=5\ \Longrightarrow\ m^2=4\ \Longrightarrow\ m=2$ $\text{o}\ \ m=-2$
En $x=2$ :
$\lim_{x\to 2^-}\left((x+m)^2+1\right)$ ${}= (2+m)^2+1$ $f(2)=\lim_{x\to 2^+}1=1$
Igualem els dos valors:
$(2+m)^2+1$ ${}= 1$ ${}\Longrightarrow (2+m)^2=0$ ${}\Longrightarrow m=-2$
Les dues condicions es compleixen alhora només per a $m=-2$ .

ResultatLa funció és contínua en tot $\mathbb{R}$ només per a $m=-2$ .

La pauta oficial dona: $m=-2$

1.21 punt

Plantejament Per a $m=-2$ la funció és positiva a tot arreu, de manera que l’àrea és la integral definida de $f$ entre $-1$ i $3$ , separada en els tres trossos.

Per a $m=-2$ , la funció és:
$f(x)$ ${}= \begin{cases}5e^{2x} & x\le 0\\ (x-2)^2+1 & 0<x<2\\ 1 & 2\le x\end{cases}$
Esbós: el primer tros és una exponencial creixent que tendeix a $0$ cap a $-\infty$ i val $5$ a $x=0$ ; el segon és una paràbola amb vèrtex a $(2,1)$ que baixa de $5$ a $1$ ; el tercer és la recta horitzontal $y=1$ . La funció és contínua i sempre positiva.
Plantegem l’àrea:
$A$ ${}= \int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$ ${}+\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$ ${}+\int_{2}^{3}1\,dx$
Tros exponencial:
$\int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$ ${}= \left[\frac{5}{2}e^{2x}\right]_{-1}^{0}$ ${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}$
Tros parabòlic:
$\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$ ${}= \left[\frac{(x-2)^3}{3}+x\right]_{0}^{2}$ ${}= 2-\left(-\frac{8}{3}\right)$ ${}= \frac{14}{3}$
Tros constant:
$\int_{2}^{3}1\,dx=1$
Sumem:
$A$ ${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{14}{3}+1$ ${}= \frac{49}{6}-\frac{5}{2e^{2}}$ ${}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

Resultat $A=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2e^{2}}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $\frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{8}{3}+3-2\approx 7{,}83\ \mathrm{u}^2$

Gràfica de la funció per a m=−2: exponencial fins a x=0, paràbola de vèrtex (2,1) entre 0 i 2 i recta y=1 a partir de x=2. L’àrea entre x=−1 i x=3 sota la gràfica està ombrejada; mesura 49/6−5/(2e²)≈7,83 unitats quadrades.

1.30,5 punts

Plantejament Una recta paraŀlela a $y=-2x$ té pendent $-2$ , i el pendent de la tangent és la derivada. Busquem on $f'(x)=-2$ .

Al primer tros la derivada és positiva i al tercer és zero, així que el punt ha d’estar al tros parabòlic:
$(5e^{2x})'=10e^{2x}>0$ $(1)'=0$
Derivem el tros del mig i igualem a $-2$ :
$f'(x)$ ${}= 2(x-2)$ ${}= -2$ ${}\Longrightarrow x=1\in(0,2)$
Calculem l’ordenada:
$f(1)=(1-2)^2+1=2$
Equació de la recta tangent:
$y-2=-2(x-1)\ \Longrightarrow\ y=-2x+4$

ResultatPunt $(1,2)$ ; recta tangent $y=-2x+4$ .

La pauta oficial dona: $(1,2)$ , $y=-2x+4$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Probabilitat i estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

L’Ajuntament de Canet de Mar ha aconseguit 24 entrades gratuïtes per a un concert d’un grup de rock català, i ha decidit sortejar-les entre els veïns interessats a assistir-hi. Tots els veïns del poble seguidors d’aquest grup s’apunten al sorteig, i només al 16 % els toca una entrada. De la resta de seguidors del grup, sis setenes parts intenten comprar una entrada per la web, on la probabilitat d’aconseguir-ne és del 25 %.

3.1 Quantes persones d’aquest municipi tenen entrada per al concert?

[0,75 punts]

3.2 Si escollim a l’atzar un veí de Canet seguidor d’aquest grup de rock i no té entrada per al concert, quina és la probabilitat que hagués intentat aconseguir-la via web?

[0,75 punts]

3.3 El dia del concert, l’equip de so mesura el nivell de decibels generat pels crits entusiastes del públic durant els 5 minuts de durada de la cançó més famosa del grup; es pot aproximar per la funció següent: $S(t)$ ${}= -t^3+12t^2-30t$ ${}+90,\quad t\in[0,5]$ , on $t$ és el temps en minuts i $S(t)$ els decibels. Quan se superen els 100 decibels es considera que el públic està molt entregat i s’activen automàticament uns efectes lumínics especials. S’activaran en algun moment durant aquests cinc minuts? Si la resposta és afirmativa, calculeu en quin minut s’activen, aproximat a les dècimes.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.10,75 punts

Plantejament Calculem quina proporció de seguidors acaba tenint entrada (pel sorteig o per la web) i, com que sabem que el 16 % són exactament 24 persones, passem de proporció a nombre de persones.

Successos: $E_S$ = «obtenir entrada al sorteig», $W$ = «intentar comprar-la a la web», $E_W$ = «aconseguir-la a la web».
$P(E_S)=0{,}16$
Intenten la web sis setenes parts dels que no han guanyat al sorteig:
$P(W)$ ${}= (1-0{,}16)\cdot\frac{6}{7}$ ${}= 0{,}84\cdot\frac{6}{7}$ ${}= 0{,}72$
D’aquests, el 25 % l’aconsegueix:
$P(E_W)=0{,}72\cdot 0{,}25=0{,}18$
Proporció de seguidors amb entrada:
$P(E)=0{,}16+0{,}18=0{,}34$
El 16 % dels seguidors són les 24 persones del sorteig; per tant, hi ha 150 seguidors:
$N=\frac{24}{0{,}16}=150$
Persones amb entrada:
$0{,}34\cdot 150=51$

Resultat $51$ persones.

La pauta oficial dona: $51$

3.20,75 punts

Plantejament És una probabilitat condicionada: sabem que la persona no té entrada i volem la probabilitat que hagués provat la web. Apliquem la fórmula de Bayes.

Sigui $\overline{E}$ = «no tenir entrada». De l’apartat anterior:
$P(\overline{E})=1-0{,}34=0{,}66$
Si ha provat la web, no té entrada amb probabilitat $1-0{,}25$ :
$P(\overline{E}\mid W)=0{,}75$
Fórmula de Bayes:
$P(W\mid\overline{E})$ ${}= \frac{P(\overline{E}\mid W)\,P(W)}{P(\overline{E})}$ ${}= \frac{0{,}75\cdot 0{,}72}{0{,}66}$ ${}= \frac{0{,}54}{0{,}66}$ ${}= \frac{9}{11}$ ${}\approx 0{,}82$

Resultat $P=\dfrac{9}{11}\approx 0{,}82$

La pauta oficial dona: $\approx 0{,}82$

3.31 punt

Plantejament Volem saber si $S(t)$ arriba a $100$ . Definim $D(t)=S(t)-100$ , que és contínua, i apliquem el teorema de Bolzano; després anem reduint l’interval fins a tenir la precisió d’una dècima.

$D$ és polinòmica i, per tant, contínua a $[0,5]$ :
$D(t)$ ${}= S(t)-100$ ${}= -t^3+12t^2-30t$ ${}-10$
Valors als extrems:
$D(0)=-10<0$ $D(5)$ ${}= -125+300-150-10$ ${}= 15$ ${}> 0$
Pel teorema de Bolzano existeix $c\in(0,5)$ amb $D(c)=0$ , és a dir, $S(c)=100$ : els efectes s’activen.
Abans d’això $S$ no arriba a $100$ : $S'(t)=-3t^2+24t-30$ s’anuŀla a $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$ ; $S$ decreix a $[0;\,1{,}55]$ (on $S\le 90$ ) i després creix, així que només travessa el valor $100$ una vegada.
Acotem l’arrel:
$D(4)=-2<0$ $D(4{,}2)=1{,}592>0\ \Rightarrow\ c\in(4;\,4{,}2)$
$D(4{,}1)$ ${}= -0{,}201$ ${}< 0$ ${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}2)$
Per decidir l’arrodoniment a les dècimes mirem el punt mitjà:
$D(4{,}15)$ ${}\approx 0{,}70$ ${}> 0$ ${}\Rightarrow c\in(4{,}1;\,4{,}15)$ ${}\Rightarrow c$ ${}\approx 4{,}1$

ResultatSí; s’activen als $t\approx 4{,}1$ minuts.

La pauta oficial dona: $\text{Sí}$ , $t\approx 4{,}1\ \text{min}$

Gràfica del nivell de so S(t) entre t=0 i t=5 amb la recta horitzontal S=100. La corba baixa fins a un mínim cap a t≈1,55, després puja i talla la recta S=100 una sola vegada, a t≈4,1 minuts.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Geometria de l’espai

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

L’alcalde d’un poble de Catalunya encarrega a l’arquitecte municipal el disseny d’un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d’haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l’arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l’arquitecte vol delimitar cadascun d’aquests dos espais amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament 10 m de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima?

[2,5 punts]

OPCIÓ B

Considereu els punts de l’espai $P=(1,0,-1)$ , $Q=(3,-2,0)$ i $R=(1,1,1)$ .

4.1 Calculeu l’equació del pla que conté els punts $P$ , $Q$ i $R$ .

[0,75 punts]

4.2 Comproveu que l’àrea del triangle $\Delta PQR$ és $\frac{3\sqrt{5}}{2}u^2$ .

[0,75 punts]

4.3 Determineu les condicions que han de complir les coordenades d’un quart punt $S=(x,y,z)$ per tal que $P$ , $Q$ , $R$ i $S$ formin un tetraedre de volum 1. (El volum del tetraedre format pels punts $P$ , $Q$ , $R$ i $S$ és: $\text{volum}(PQRS)$ ${}= \frac{\text{àrea}(\Delta PQR)\cdot\text{altura}}{3}$ .)

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

2,5 punts

Plantejament Anomenem $x$ la longitud de barana del cercle; la resta, $10-x$ , és el perímetre del quadrat. Escrivim la suma de les dues àrees en funció de $x$ i en busquem el mínim a $[0,10]$ .

Cercle de perímetre $x$ :
$r=\frac{x}{2\pi}$ $A_1=\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi}$
Quadrat de perímetre $10-x$ :
$c=\frac{10-x}{4}$ $A_2=\frac{(10-x)^2}{16}$
Funció a minimitzar:
$A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{(10-x)^2}{16}$ $0\le x\le 10$
Derivem i igualem a zero:
$A'(x)$ ${}= \frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}=0$ ${}\Longrightarrow 4x=\pi(10-x)$ ${}\Longrightarrow x=\frac{10\pi}{4+\pi}$ ${}\approx 4{,}4$
És un mínim, perquè la segona derivada és positiva:
$A''(x)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{8}>0$
Barana del quadrat:
$10-\frac{10\pi}{4+\pi}=\frac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6$
Superfície mínima (també és menor que als extrems, $A(0)=6{,}25$ i $A(10)\approx 7{,}96$ ):
$A\left(\frac{10\pi}{4+\pi}\right)=\frac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5$

ResultatBarana del cercle: $\dfrac{10\pi}{4+\pi}\approx 4{,}4\ \text{m}$ ; barana del quadrat: $\dfrac{40}{4+\pi}\approx 5{,}6\ \text{m}$ ; superfície mínima: $\dfrac{25}{4+\pi}\approx 3{,}5\ \text{m}^2$ .

La pauta oficial dona: $x\approx 4{,}4\ m\ (\text{cercle})$ , $5{,}6\ m\ (\text{quadrat})$ , $A\approx 3{,}5\ \mathrm{m}^2$

Opció B

4.10,75 punts

Plantejament Dos vectors del pla, $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$ , donen el vector normal amb el producte vectorial; després imposem que el pla passi per $P$ .

Vectors:
$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,1)$ $\overrightarrow{PR}=(0,1,2)$
Vector normal:
$\vec n$ ${}= \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$ ${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-2&1\\0&1&2\end{vmatrix}$ ${}= (-5,-4,2)$
El pla és $5x+4y-2z+D=0$ (normal $(5,4,-2)$ ). Passa per $P$ :
$5\cdot 1+4\cdot 0-2\cdot(-1)$ ${}+D=0$ ${}\Longrightarrow D=-7$
Comprovació amb $Q$ i $R$ :
$15-8-0-7=0$ $5+4-2-7=0$

Resultat $5x+4y-2z-7=0$

La pauta oficial dona: $5x+4y-2z-7=0$

4.20,75 punts

Plantejament L’àrea d’un triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial de dos dels seus costats, que ja hem calculat.

$A_{PQR}$ ${}= \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\right|$ ${}= \frac{1}{2}\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}$ ${}= \frac{\sqrt{45}}{2}$ ${}= \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Resultat $\text{Àrea}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\ \text{u}^2$ , com diu l’enunciat.

La pauta oficial dona: $\frac{3\sqrt5}{2}\ \mathrm{u}^2$

4.31 punt

Plantejament L’altura del tetraedre és la distància de $S$ al pla $\pi$ del triangle. Imposem que el volum valgui 1 i resolem l’equació amb valor absolut.

Distància de $S=(x,y,z)$ al pla $\pi$ :
$d(S,\pi)$ ${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{\sqrt{5^2+4^2+(-2)^2}}$ ${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$
Volum igual a 1:
$\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{|5x+4y-2z-7|}{3\sqrt{5}}$ ${}= \frac{|5x+4y-2z-7|}{6}$ ${}= 1$
Valor absolut:
$5x+4y-2z-7=6$ $\text{o}\ \quad 5x+4y-2z-7=-6$

Resultat $S$ ha d’estar en un dels dos plans paraŀlels a $\pi$ : $5x+4y-2z-13=0$ o $5x+4y-2z-1=0$ .

La pauta oficial dona: $5x+4y-2z-1$ ${}= 0\ \text{i}\ 5x+4y-2z-13=0$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals

Considereu la paràbola $y=f(x)$ , amb $f(x)=-x^2+5x$ , i la hipèrbola $y=g(x)$ , amb $g(x)=8-\dfrac{8}{x+1}$ .

1.1 En quants punts es tallen les gràfiques d’aquestes dues funcions? Calculeu-los tots.

[0,75 punts]

1.2 Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues corbes des de $x=1$ fins a $x=3$ .

[1 punt]

1.3 Comproveu que $f(x)$ té les arrels als punts d’abscissa $x=0$ i $x=5$ , i que l’ordenada del vèrtex de la paràbola $y=f(x)$ és $y=6{,}25$ . Justifiqueu que $y=f(x)$ és l’única paràbola que existeix amb aquestes dues propietats.

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.10,75 punts

Plantejament Es demana quants punts comuns tenen les dues gràfiques i quins són. Igualem $f(x)=g(x)$ ; com que $g$ no és definida a $x=-1$ , treballem amb $x\neq -1$ i podem multiplicar per $x+1$ .

Igualem les dues funcions i multipliquem per $x+1$ :
$-x^2+5x$ ${}= 8-\frac{8}{x+1}$ ${}\Longrightarrow \left(-x^2+5x\right)(x+1)$ ${}= 8(x+1)-8$
Desenvolupem i ho passem tot a un membre:
$-x^3+4x^2+5x$ ${}= 8x$ ${}\Longrightarrow -x^3+4x^2-3x=0$ ${}\Longrightarrow -x\left(x^2-4x+3\right)=0$
Una solució és $x=0$ ; les altres surten de l’equació de segon grau:
$x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}\ \Longrightarrow\ x=1$ $x=3$
Cap no és $x=-1$ , de manera que les tres són vàlides. Ordenades:
$f(0)=0$ $f(1)=-1+5=4$ $f(3)=-9+15=6$
Comprovació amb la hipèrbola: $g(0)=8-8=0$ , $g(1)=8-4=4$ i $g(3)=8-2=6$ .

ResultatEs tallen en tres punts: $(0,0)$ , $(1,4)$ i $(3,6)$ .

La pauta oficial dona: 3 punts: $(0,0)$ , $(1,4)$ , $(3,6)$

1.21 punt

Plantejament Es demana l’àrea entre les dues corbes de $x=1$ a $x=3$ . Entre aquests dos punts de tall no n’hi ha cap altre, de manera que una corba queda sempre per sobre de l’altra; l’àrea és la integral de la de dalt menys la de baix.

Quina està per sobre: a $x=2$ , $f(2)=6$ i $g(2)=8-\frac{8}{3}\approx 5{,}33$ ; per tant, a $(1,3)$ la paràbola està per sobre de la hipèrbola:
$f(x)-g(x)$ ${}= -x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}$
Primitiva (la de $\frac{8}{x+1}$ és $8\ln(x+1)$ , perquè $x+1>0$ ):
$A$ ${}= \int_1^3\left(-x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}\right)dx$ ${}= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-8x+8\ln(x+1)\right]_1^3$
Regla de Barrow:
$A$ ${}= \left(-9+\frac{45}{2}-24+8\ln 4\right)$ ${}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-8+8\ln 2\right)$ ${}= -\frac{21}{2}+\frac{35}{6}+8\ln 4-8\ln 2$
Com que $\ln 4=2\ln 2$ :
$A=-\frac{14}{3}+8\ln 2\approx 0{,}8785$

Resultat $A=8\ln 2-\dfrac{14}{3}\approx 0{,}8785\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $-\frac{26}{3}+4+8\ln 2=0{,}878\ldots\ \text{u}^2$

La paràbola y=−x²+5x i la hipèrbola y=8−8/(x+1) per a x entre −0,5 i 5, amb els tres punts de tall (0,0), (1,4) i (3,6) marcats. Entre x=1 i x=3 la paràbola queda per sobre, i la regió entre les dues corbes, d’àrea 8ln 2−14/3≈0,88, està ombrejada.

1.30,75 punts

Plantejament Es demana comprovar dues propietats de $f$ (les arrels i l’ordenada del vèrtex) i justificar que cap altra paràbola no les té. Per a la unicitat, escrivim una paràbola qualsevol amb aquestes arrels i hi imposem l’ordenada del vèrtex.

Arrels:
$f(0)=-0^2+5\cdot 0=0$ $f(5)=-25+25=0$
Vèrtex: és el punt on s’anul·la la derivada (aquí, el màxim de la paràbola):
$f'(x)=-2x+5=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{5}{2}$ $f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}=\frac{25}{4}=6{,}25$
Unicitat: una paràbola $y=ax^2+bx+c$ ( $a\neq 0$ ) que s’anul·la a $x=0$ i a $x=5$ es factoritza amb aquestes dues arrels:
$y=ax(x-5)$
El vèrtex és al punt mitjà de les arrels, $x=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$ , perquè la paràbola és simètrica respecte de la recta vertical que passa pel vèrtex. Imposem que la seva ordenada sigui $6{,}25$ :
$a\cdot\frac{5}{2}\left(\frac{5}{2}-5\right)$ ${}= -\frac{25}{4}\,a$ ${}= 6{,}25$ ${}\Longrightarrow a=-1$
L’únic valor possible és $a=-1$ , que dona $y=-x(x-5)=-x^2+5x$ : és la paràbola $y=f(x)$ .

Resultat $f(0)=f(5)=0$ i el vèrtex és $\left(\frac{5}{2};\ 6{,}25\right)$ . Qualsevol paràbola amb aquestes arrels és $y=ax(x-5)$ , i l’ordenada del vèrtex obliga que $a=-1$ : l’única és $y=-x^2+5x$ .

La pauta oficial dona: $f(x)=ax(x-5)$ , $a=-1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Probabilitat i estadística

En una ciutat s’ha estudiat la relació entre els hàbits de lectura i la pràctica d’esport en l’alumnat de batxillerat. Per a fer-ho, s’han formulat les dues preguntes següents a l’alumnat d’aquesta etapa educativa: «Llegeixes com a mínim dos llibres al mes?» i «Practiques algun esport almenys quatre hores a la setmana?» Dels resultats de l’enquesta, es desprèn que el 60 % llegeixen com a mínim dos llibres al mes, dels quals el 70 % practiquen algun esport un mínim de quatre hores a la setmana. També s’observa que, d’entre els que no llegeixen un mínim de dos llibres al mes, el 50 % fan menys de quatre hores setmanals d’esport. Si escollim a l’atzar un alumne/a de batxillerat d’aquesta ciutat:

3.1 Quina és la probabilitat que faci esport almenys quatre hores setmanals?

[0,75 punts]

3.2 Si sabem que aquest alumne/a fa esport menys de quatre hores setmanals, quina probabilitat hi ha que llegeixi almenys dos llibres al mes?

[0,75 punts]

3.3 L’Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real $x$ que correspon a la quantitat d’hores de lectura i que oscil·la entre 1 i 6, i un nombre real $y$ que correspon a la quantitat d’hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació $y=7-x+\ln(2x-1)$ s’ajusta força bé a les dades que ha anotat. Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d’hores per setmana que l’Alba ha dedicat a practicar esport.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

3.10,75 punts

Plantejament Es demana la probabilitat que l’alumne faci almenys quatre hores d’esport a la setmana. Depèn de si llegeix o no almenys dos llibres al mes, que són els dos grups de l’enquesta: fem servir el teorema de la probabilitat total.

Successos: $L$ = «llegeix com a mínim dos llibres al mes» i $E$ = «fa esport almenys quatre hores a la setmana». Dades:
$P(L)=0{,}6$ $P(E\mid L)=0{,}7$ $P(\overline E\mid\overline L)=0{,}5$
Complementaris:
$P(\overline L)=0{,}4$ $P(E\mid\overline L)=1-0{,}5=0{,}5$ $P(\overline E\mid L)=1-0{,}7=0{,}3$
Teorema de la probabilitat total:
$P(E)$ ${}= P(L)\,P(E\mid L)$ ${}+P(\overline L)\,P(E\mid\overline L)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}4\cdot 0{,}5$ ${}= 0{,}42+0{,}20$ ${}= 0{,}62$

Resultat $P(E)=0{,}62$

La pauta oficial dona: $0{,}62$

3.20,75 punts

Plantejament Sabem que fa menys de quatre hores d’esport ( $\overline E$ ) i volem la probabilitat que llegeixi almenys dos llibres al mes: és $P(L\mid\overline E)$ , que calculem amb la fórmula de Bayes.

Probabilitat de $\overline E$ , amb l’apartat anterior:
$P(\overline E)=1-0{,}62=0{,}38$
Fórmula de Bayes:
$P(L\mid\overline E)$ ${}= \frac{P(\overline E\mid L)\,P(L)}{P(\overline E)}$ ${}= \frac{0{,}3\cdot 0{,}6}{0{,}38}$ ${}= \frac{0{,}18}{0{,}38}$ ${}= \frac{9}{19}$

Resultat $P(L\mid\overline E)=\dfrac{9}{19}\approx 0{,}4737$

La pauta oficial dona: $0{,}47\ldots$

3.31 punt

Plantejament Es demanen el màxim i el mínim absoluts de $y(x)=7-x+\ln(2x-1)$ a l’interval $[1,6]$ , que és on varia $x$ . Una funció contínua en un interval tancat hi té màxim i mínim absoluts, i són en un punt crític de l’interior o en un extrem de l’interval.

Derivada (a $[1,6]$ , $2x-1>0$ ):
$y'(x)=-1+\frac{2}{2x-1}=\frac{3-2x}{2x-1}$
Punt crític:
$y'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 3-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{3}{2}$
Signe: el denominador és positiu; $y'>0$ a $\left[1,\frac{3}{2}\right)$ i $y'<0$ a $\left(\frac{3}{2},6\right]$ . La funció creix i després decreix: a $x=\frac{3}{2}$ hi ha el màxim absolut.
Valors al punt crític i als extrems de l’interval:
$y(1)=7-1+\ln 1=6$ $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ $y(6)=1+\ln 11\approx 3{,}40$
El valor més gran és $y\left(\frac{3}{2}\right)$ i el més petit, $y(6)$ : la funció decreix de $\frac{3}{2}$ a $6$ i $y(6)$ és més petit que $y(1)=6$ .

ResultatSegons el model, l’Alba ha fet com a màxim $\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ hores d’esport a la setmana (les setmanes que llegia $1{,}5$ hores) i com a mínim $1+\ln 11\approx 3{,}40$ hores (les que llegia $6$ hores).

La pauta oficial dona: màxim $\approx 6{,}19$ h; mínim $\approx 3{,}4$ h

Gràfica de y=7−x+ln(2x−1) per a x entre 1 i 6: comença a (1,6), puja fins al màxim (3/2; 11/2+ln 2)≈(1,5; 6,19) i després baixa fins a (6; 1+ln 11)≈(6; 3,40), el valor més petit. Dues rectes horitzontals discontínues marquen el màxim i el mínim.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsDades impossibles a l’examenTambé a Integrals, Geometria de l’espai

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

D’una funció $f(x)$ , sabem que passa pel punt $(-1,-1)$ i que la gràfica de la seva funció derivada és la següent:

4.1 Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x)$ en el punt $(-1,-1)$ .

[1 punt]

4.2 Estudieu si $f(x)$ té punts crítics (punts on $f'(x)=0$ ) i, en cas que en tingui, determineu-ne les abscisses i classifiqueu-los segons si són màxims, mínims o punts d’inflexió de $f(x)$ .

[1 punt]

4.3 Sabent, a més, que $f(0)=-0{,}2$ , calculeu l’àrea entre la gràfica de $f'(x)$ i l’eix de les abscisses, des de $x=-1$ fins a $x=0$ .

[0,5 punts]

OPCIÓ B

En una indústria es fan servir braços robòtics amb sensors per a mesurar amb precisió determinades peces metàl·liques i comprovar si tenen irregularitats. Les peces es col·loquen sobre la superfície determinada pel pla $\pi\colon (x,y,z)$ ${}= (6,1,1)+\lambda(1,1,0)$ ${}+\mu(0,0,1)$ i, per damunt seu, un braç robòtic desplaça un sensor des del punt $A=(1,2,3)$ fins al punt $B=(5,3,7)$ en línia recta (les unitats dels tres eixos de coordenades estan expressades en centímetres).

4.1 Quina distància ha recorregut el sensor?

[0,5 punts]

4.2 En acabar el moviment, a quina distància de la superfície es troba el sensor?

[1 punt]

4.3 Si el sensor seguís movent-se en la mateixa línia recta i en el mateix sentit, en quin punt xocaria amb la superfície?

[1 punt]

Gràfica de f'(x) sobre una quadrícula, amb x i y entre −4 i 4. La corba ve de valors molt negatius, talla l’eix OX a x=−2, puja fins a un màxim d’uns 2,8 cap a x≈−1,45, passa pel punt (−1,2), baixa fins a tocar l’eix a l’origen sense travessar-lo, torna a pujar fins a uns 0,4 cap a x≈0,7, talla l’eix a x=1 i baixa ràpidament cap a valors negatius.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11 punt

Plantejament Es demana la recta tangent a la gràfica de $f$ al punt $(-1,-1)$ , $y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1)$ . El pendent, $f'(-1)$ , es llegeix a la gràfica de $f'$ .

A la gràfica, la corba de $f'$ passa pel punt $(-1,2)$ :
$f'(-1)=2$
Recta tangent pel punt $(-1,-1)$ amb pendent $2$ :
$y-(-1)$ ${}= 2\left(x-(-1)\right)$ ${}\Longrightarrow y+1$ ${}= 2(x+1)$ ${}\Longrightarrow y=2x+1$

Resultat $y=2x+1$

La pauta oficial dona: $y=2x+1$

4.21 punt

Plantejament Es demanen els punts crítics de $f$ (on $f'=0$ ) i la seva classificació. Els llegim a la gràfica de $f'$ : són els punts on la corba toca l’eix d’abscisses. Els classifiquem amb el signe de $f'$ a cada costat i, si no canvia, amb el creixement de $f'$ (que és el signe de $f''$ ).

La gràfica de $f'$ toca l’eix $OX$ en tres punts:
$f'(-2)=0$ $f'(0)=0$ $f'(1)=0$
$x=-2$ : abans, $f'<0$ ( $f$ decreix) i després, $f'>0$ ( $f$ creix). És un mínim relatiu de $f$ .
$x=1$ : abans, $f'>0$ ( $f$ creix) i després, $f'<0$ ( $f$ decreix). És un màxim relatiu de $f$ .
$x=0$ : $f'$ és positiva als dos costats, de manera que $f$ creix abans i després i no hi ha extrem. En canvi, $f'$ hi té un mínim: decreix just abans de $0$ ( $f''<0$ , $f$ còncava cap avall) i creix just després ( $f''>0$ , $f$ còncava cap amunt). La concavitat canvia: és un punt d’inflexió de $f$ , amb tangent horitzontal.

ResultatTres punts crítics: a $x=-2$ , un mínim relatiu; a $x=1$ , un màxim relatiu; a $x=0$ , un punt d’inflexió (amb tangent horitzontal).

La pauta oficial dona: $x=-2$ : mínim; $x=1$ : màxim; $x=0$ : punt d’inflexió

4.30,5 punts

Plantejament Es demana l’àrea entre la gràfica de $f'$ i l’eix $OX$ entre $x=-1$ i $x=0$ . Com que $f$ és una primitiva de $f'$ , la regla de Barrow permet calcular la integral amb els valors $f(0)$ i $f(-1)$ , sense conèixer l’expressió de $f'$ .

A $[-1,0]$ la gràfica de $f'$ és per sobre de l’eix ( $f'\ge 0$ ; només s’anul·la a $x=0$ ): l’àrea és la integral, sense valor absolut.
Regla de Barrow, amb $f(0)=-0{,}2$ i $f(-1)=-1$ (el punt de la gràfica de $f$ de l’enunciat):
$A$ ${}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx$ ${}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}$ ${}= f(0)-f(-1)$ ${}= -0{,}2-(-1)$ ${}= 0{,}8$
Observació: la gràfica dibuixada i la dada $f(0)=-0{,}2$ no encaixen del tot. Si es mesura l’àrea sobre la quadrícula, surt una mica menys de $0{,}8$ (unes $0{,}72$ unitats quadrades). L’enunciat dona $f(0)$ perquè l’àrea es calculi amb la regla de Barrow, i amb aquesta dada l’àrea és $0{,}8$ .

Resultat $A=0{,}8\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $0{,}8\ \text{u}^2$

Opció B

4.10,5 punts

Plantejament El sensor va en línia recta de $A$ a $B$ : la distància recorreguda és la longitud del segment $AB$ , el mòdul del vector $\overrightarrow{AB}$ .

Vector entre els dos punts (final menys inicial):
$\overrightarrow{AB}$ ${}= B-A$ ${}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)$ ${}= (4,1,4)$
Mòdul:
$d(A,B)$ ${}= \left|\overrightarrow{AB}\right|$ ${}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}$ ${}= \sqrt{33}$ ${}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

Resultat $\sqrt{33}\approx 5{,}74$ cm

La pauta oficial dona: $\sqrt{33}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

4.21 punt

Plantejament Es demana la distància del punt final, $B$ , al pla $\pi$ . Passem el pla a l’equació general i fem servir la fórmula de la distància d’un punt a un pla.

Vector normal del pla, producte vectorial dels seus dos vectors directors:
$\vec n$ ${}= (1,1,0)\times(0,0,1)$ ${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$ ${}= (1,-1,0)$
Equació general, amb el punt $(6,1,1)$ del pla:
$1\cdot(x-6)$ ${}-1\cdot(y-1)$ ${}+0\cdot(z-1)=0$ ${}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0$
Distància de $B=(5,3,7)$ al pla:
$d(B,\pi)$ ${}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}$ ${}= \frac{3}{\sqrt{2}}$ ${}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$ ${}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

Resultat $d(B,\pi)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}12$ cm

La pauta oficial dona: $\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

4.31 punt

Plantejament Es demana on la recta $AB$ , recorreguda en el sentit de $A$ cap a $B$ , talla el pla $\pi$ . Escrivim la recta en forma paramètrica i la substituïm a l’equació del pla.

Recta que passa per $A$ amb vector director $\overrightarrow{AB}$ :
$(x,y,z)$ ${}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)$ ${}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)$
Substituïm a $\pi\colon x-y-5=0$ :
$(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0$ ${}\Longrightarrow 3\lambda-6=0$ ${}\Longrightarrow \lambda=2$
$\lambda=0$ és $A$ i $\lambda=1$ és $B$ ; $\lambda=2$ és més enllà de $B$ , en el mateix sentit del moviment, com diu l’enunciat. Punt de xoc:
$(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)$
Comprovació: $9-4-5=0$ , el punt és del pla.

ResultatXocaria amb la superfície al punt $(9,4,11)$ .

La pauta oficial dona: $(9,4,11)$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Límits i continuïtat

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció $f(x)=\frac{5x}{x^2+1}$ .

1.1 Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims locals.

[1 punt]

1.2 Calculeu les equacions de totes les asímptotes d’aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica.

[0,75 punts]

1.3 Calculeu l’equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba $y=f(x)$ en el punt d’abscissa $x=2$ .

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

1.11 punt

Plantejament El denominador no s’anuŀla mai, així que el domini és tot $\mathbb{R}$ . El signe de la derivada ens dona la monotonia i els extrems.

Domini:
$x^2+1>0\ \ \forall x\ \Rightarrow\ \operatorname{Dom}f=\mathbb{R}$
Derivada (regla del quocient):
$f'(x)$ ${}= \frac{5(x^2+1)-5x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$ ${}= \frac{5(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$
Punts crítics:
$f'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 1-x^2=0\ \Longleftrightarrow\ x=\pm 1$
El denominador és positiu; el signe depèn de $1-x^2$ :
$f'<0\ \text{en}\ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ $f'>0\ \text{en}\ (-1,1)$
Valors als extrems:
$f(-1)=-\frac{5}{2}$ $f(1)=\frac{5}{2}$

ResultatDomini $\mathbb{R}$ . Decreixent a $(-\infty,-1)$ i a $(1,+\infty)$ ; creixent a $(-1,1)$ . Mínim local a $\left(-1,-\frac{5}{2}\right)$ i màxim local a $\left(1,\frac{5}{2}\right)$ .

La pauta oficial dona: $\text{decr. } (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ , $\text{creix. } (-1,1)$ ; $\text{mín. } x=-1$ , $\text{màx. } x=1$

1.20,75 punts

Plantejament Com que el denominador no s’anuŀla, no hi ha asímptotes verticals. Per a les horitzontals calculem el límit a $\pm\infty$ ; si n’hi ha, no hi ha obliqües.

Asímptota horitzontal (el grau del denominador és més gran):
$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x}{x^2+1}$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{5/x}{1+1/x^2}=0$
Per tant $y=0$ és asímptota horitzontal a $+\infty$ i a $-\infty$ , i no hi ha asímptota obliqua.
Esbós: la funció és senar ( $f(-x)=-f(x)$ ), passa per l’origen, és positiva per a $x>0$ i negativa per a $x<0$ ; puja fins al màxim $\left(1,\frac52\right)$ i després baixa cap a $0$ ; simètricament, té el mínim a $\left(-1,-\frac52\right)$ .

ResultatÚnica asímptota: la horitzontal $y=0$ (a $\pm\infty$ ). No en té de verticals ni d’obliqües.

La pauta oficial dona: $y=0\ \text{(horitzontal)}$ ; $\text{sense verticals}$

Esbós de f(x)=5x/(x²+1): corba que passa per l’origen, amb mínim a (−1,−5/2) i màxim a (1,5/2), i que s’acosta a l’asímptota horitzontal y=0 (línia discontínua) per totes dues bandes.

1.30,75 punts

Plantejament La recta normal passa pel punt de la corba i el seu pendent és $-\dfrac{1}{f'(2)}$ , perquè és perpendicular a la tangent.

Punt:
$f(2)=\frac{10}{5}=2\ \Rightarrow\ (2,2)$
Pendent de la tangent:
$f'(2)=\frac{5(1-4)}{25}=-\frac{3}{5}$
Pendent de la normal:
$m_n=-\frac{1}{-3/5}=\frac{5}{3}$
Equació:
$y-2=\frac{5}{3}(x-2)\ \Longrightarrow\ y=\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$

Resultat $y=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{4}{3}$

La pauta oficial dona: $y=\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2026Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Geometria de l’espai

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2026 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

L’Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A

L’Aina construirà la capsa a partir d’un cartró rectangular de 80 cm × 50 cm. A la figura següent es mostra el desplegament de la capsa; les zones ratllades són les parts que l’Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar:

4.1 Comproveu que el volum de la capsa resultant és $V(x)=2x^3-130x^2+2\,000x$ , on $x$ és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar.

[1 punt]

4.2 Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim?

[1,5 punts]

OPCIÓ B

L’Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex $A(1,1,1)$ fins al vèrtex $B(4,1,5)$ , i l’altre costat de la tapa des del vèrtex $A$ fins al vèrtex $C(1,10,1)$ .

4.1 Quines són les coordenades del quart vèrtex de la tapa? Calculeu les longituds dels dos costats de la tapa.

[1 punt]

4.2 Sabent que els altres quatre vèrtexs de la capsa estan situats al pla $\pi:-4x+3z=24$ , calculeu les coordenades d’un d’aquests vèrtexs (qualsevol) i l’alçària de la capsa.

[1,5 punts]

Desplegament de la capsa sobre el cartró de 80 cm (horitzontal) per 50 cm (vertical). Als cantons hi ha quadrats ratllats de costat x cm (marcat a dalt a l’esquerra). A la part dreta del cartró, la franja superior i la inferior, també d’amplada x, estan ratllades en un tram llarg. La resta del cartró, sense ratllar, forma la base, els costats i la tapa: al llarg dels 80 cm hi ha dos trams llargs separats per trams d’amplada x.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

4.11 punt

Plantejament Al plegar, l’alçària de la capsa és $x$ . L’amplada de la base és el que queda dels 50 cm després de treure dues franges d’amplada $x$ . Al llarg dels 80 cm hi ha dues alçàries $x$ i dues vegades la llargada de la base (base i tapa).

Dimensions:
$\text{alçària}=x$ $\text{amplada}=50-2x$ $\text{llargada}=\frac{80-2x}{2}=40-x$
Volum:
$V(x)$ ${}= x(50-2x)(40-x)$ ${}= x\,(2x^2-130x+2000)$ ${}= 2x^3-130x^2$ ${}+2000x$
Perquè la capsa existeixi cal $0<x<25$ .

Resultat $V(x)$ ${}= x(50-2x)(40-x)$ ${}= 2x^3-130x^2$ ${}+2\,000x$ , amb $0<x<25$ .

La pauta oficial dona: $V(x)=(40-x)(50-2x)x$

4.21,5 punts

Plantejament Busquem el màxim de $V(x)$ a $(0,25)$ : punts crítics amb $V'(x)=0$ i comprovació amb la segona derivada.

Derivada:
$V'(x)$ ${}= 6x^2-260x+2000=0$ ${}\Longleftrightarrow 3x^2-130x+1000=0$
$x$ ${}= \frac{130\pm\sqrt{16900-12000}}{6}$ ${}= \frac{130\pm 70}{6}$ ${}\Longrightarrow x=10$ $\text{o}\ \ x=\frac{100}{3}$
$x=\frac{100}{3}\approx 33{,}3$ no és vàlid ( $x<25$ ). Segona derivada:
$V''(x)=12x-260$ $V''(10)=-140<0\ \Rightarrow\ \text{màxim}$
Dimensions per a $x=10$ :
$40-10=30$ $50-20=30$ $x=10$
Volum màxim:
$V(10)=30\cdot 30\cdot 10=9000$

ResultatCapsa de $30\ \text{cm}\times 30\ \text{cm}\times 10\ \text{cm}$ (alçària $10$ cm); volum màxim $9\,000\ \text{cm}^3$ .

La pauta oficial dona: $30\times30\times10\ cm$ , $V=9000\ cm^3$

Opció B

4.11 punt

Plantejament La tapa és un paraŀlelogram (de fet, un rectangle) amb costats $AB$ i $AC$ : el quart vèrtex s’obté sumant a $B$ el vector $\overrightarrow{AC}$ .

Vectors dels costats:
$\overrightarrow{AB}=(3,0,4)$ $\overrightarrow{AC}=(0,9,0)$ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
Quart vèrtex:
$D$ ${}= B+\overrightarrow{AC}$ ${}= (4,1,5)+(0,9,0)$ ${}= (4,10,5)$
Longituds:
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5$ $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+9^2+0^2}=9$

Resultat $D=(4,10,5)$ ; els costats de la tapa mesuren $5$ i $9$ unitats.

La pauta oficial dona: $D=(4,10,5)$ ; $5\ u\ \text{i}\ 9\ u$

4.21,5 punts

Plantejament El pla $\pi$ és paraŀlel a la tapa, així que l’alçària és la distància d’un vèrtex de la tapa a $\pi$ . El vèrtex de sota de $A$ és la projecció ortogonal de $A$ sobre $\pi$ .

El vector normal de $\pi$ , $(-4,0,3)$ , és perpendicular als dos costats de la tapa, de manera que $\pi$ és paraŀlel a la tapa:
$(-4,0,3)\cdot(3,0,4)=0$ $(-4,0,3)\cdot(0,9,0)=0$
Alçària:
$d(A,\pi)$ ${}= \frac{|-4\cdot 1+3\cdot 1-24|}{\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}}$ ${}= \frac{25}{5}=5$
Recta perpendicular a $\pi$ per $A$ :
$(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-4,0,3)$
Intersecció amb $\pi$ :
$-4(1-4\lambda)+3(1+3\lambda)$ ${}= 24$ ${}\Longrightarrow 25\lambda-1$ ${}= 24$ ${}\Longrightarrow \lambda=1$
Vèrtex:
$A'=(1,1,1)+(-4,0,3)=(-3,1,4)$

ResultatUn vèrtex és $A'=(-3,1,4)$ (el que hi ha sota de $A$ ); l’alçària de la capsa és $5$ unitats.

La pauta oficial dona: $A'=(-3,1,4)$ ; $\text{alçada}\ 5\ u$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2026, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Límits i continuïtat

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1}$ .

a) Determineu els talls de la corba $y=f(x)$ amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües.

[1 punt]

b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba $y=f(x)$ en els punts $x=0$ i $x=2$ . Aquestes dues rectes són paraŀleles? Justifiqueu la resposta.

[1 punt]

c) Hi ha algun punt on la recta tangent a $f(x)$ tingui pendent 1? En cas afirmatiu, trobeu-lo.

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament El domini és $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Els talls amb els eixos surten de $f(0)$ i de $f(x)=0$ . Les asímptotes verticals s’han de buscar on s’anuŀla el denominador, i com que el numerador té un grau més que el denominador hi haurà una asímptota obliqua i cap d’horitzontal.

Tall amb l’eix $OY$ :
$f(0)=\frac{0}{-1}=0\ \Rightarrow\ (0,0)$
Talls amb l’eix $OX$ :
$x^2-2x=x(x-2)=0\ \Rightarrow\ (0,0)$ $\text{i}\ \ (2,0)$
Asímptota vertical $x=1$ : el numerador val $-1$ i el denominador tendeix a $0$ :
$\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty$ $\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty$
No hi ha asímptota horitzontal, perquè el límit a l’infinit no és finit:
$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x}{x-1}=\pm\infty$
Asímptota obliqua $y=mx+n$ :
$m$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x}{x^2-x}$ ${}= 1$
$n$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x-x^2+x}{x-1}$ ${}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x}{x-1}$ ${}= -1$
Ho podem confirmar fent la divisió:
$f(x)=x-1-\frac{1}{x-1}$

ResultatTalls: $(0,0)$ i $(2,0)$ . Asímptota vertical $x=1$ ; asímptota obliqua $y=x-1$ ; no té asímptota horitzontal.

La pauta oficial dona: $(0,0)$ , $(2,0)$ ; $x=1$ ; $y=x-1$

b)1 punt

Plantejament La recta tangent en $x=a$ és $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . Dues rectes són paraŀleles si tenen el mateix pendent i no coincideixen.

Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x)}{(x-1)^2}$ ${}= \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$
En $x=0$ :
$f(0)=0$ $f'(0)=\frac{2}{1}=2\ \Rightarrow\ y=2x$
En $x=2$ :
$f(2)=0$ $f'(2)$ ${}= \frac{4-4+2}{1}$ ${}= 2$ ${}\Rightarrow y=2(x-2)$ ${}= 2x-4$
Tenen el mateix pendent, $2$ , i ordenades a l’origen diferents ( $0$ i $-4$ ): són paraŀleles.

ResultatTangent en $x=0$ : $y=2x$ ; tangent en $x=2$ : $y=2x-4$ . Són paraŀleles perquè totes dues tenen pendent $2$ .

La pauta oficial dona: $y=2x$ , $y=2x-4$ ; $\text{paraŀleles}$

c)0,5 punts

Plantejament El pendent de la tangent és $f'(x)$ . Plantegem $f'(x)=1$ i mirem si té solució.

$\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$ ${}= 1$ ${}\Longrightarrow x^2-2x+2$ ${}= x^2-2x+1$ ${}\Longrightarrow 2=1$
És impossible. De fet, $f'(x)=1+\dfrac{1}{(x-1)^2}>1$ per a tot $x\ne 1$ .

ResultatNo: no hi ha cap punt on la tangent tingui pendent $1$ .

La pauta oficial dona: $\text{No}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Probabilitat i estadística

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa?

[0,75 punts]

b) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut $p$ , i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de $p$ ) és $f(p)=5(p^4-p^5)$ .

[0,75 punts]

c) Considereu la funció $f(p)$ de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren $f(p)$ quan $p\ge 0$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament Hi ha dos tipus de peces amb probabilitats de defecte diferents: fem servir la fórmula de la probabilitat total. Les peces de ferro defectuoses són el $100-95=5\,\%$ .

Dades: $F$ = «de ferro», $A$ = «d’acer», $D$ = «defectuosa».
$P(F)=0{,}6$ $P(A)=0{,}4$ $P(D\mid F)=0{,}05$ $P(D\mid A)=0{,}03$
Probabilitat total:
$P(D)$ ${}= 0{,}6\cdot 0{,}05+0{,}4\cdot 0{,}03$ ${}= 0{,}03+0{,}012$ ${}= 0{,}042$

Resultat $P(D)=0{,}042$

La pauta oficial dona: $0{,}042$

b)0,75 punts

Plantejament El nombre $X$ de peces defectuoses en un paquet de 5 segueix una binomial $B(5,p)$ , perquè les peces són independents i cadascuna és defectuosa amb probabilitat $p$ .

Hi ha $\binom{5}{4}=5$ maneres de triar quina peça és la bona, i cada configuració té probabilitat $p^4(1-p)$ :
$P(X=4)$ ${}= \binom{5}{4}p^4(1-p)$ ${}= 5p^4(1-p)$ ${}= 5(p^4-p^5)$

Resultat $P(X=4)=5(p^4-p^5)=f(p)$ , com volíem comprovar.

La pauta oficial dona: $5(p^4-p^5)$

c)1 punt

Plantejament Busquem els punts crítics de $f$ per a $p\ge 0$ i estudiem el signe de la derivada per saber on creix i on decreix.

Derivada:
$f'(p)$ ${}= 20p^3-25p^4$ ${}= 5p^3(4-5p)$
Punts crítics:
$f'(p)=0\ \Longrightarrow\ p=0$ $\text{o}\ \ p=\frac{4}{5}$
Signe: $f'>0$ a $\left(0,\frac45\right)$ i $f'<0$ per a $p>\frac45$ . Per tant $f$ creix fins a $\frac45$ i després decreix: a $p=\frac45$ hi ha el màxim absolut per a $p\ge 0$ .
Valor màxim:
$f\left(\frac{4}{5}\right)$ ${}= 5\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(1-\frac{4}{5}\right)$ ${}= \left(\frac{4}{5}\right)^4$ ${}= \frac{256}{625}$ ${}\approx 0{,}41$

ResultatEl valor màxim és $f\left(\frac45\right)=\dfrac{256}{625}\approx 0{,}41$ .

La pauta oficial dona: $f\left(\frac45\right)=0{,}41$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Considereu la funció $f(x)=+\sqrt{1+x^3}$ .

a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba $y=f(x)$ amb els eixos de coordenades.

[0,5 punts]

b) Resoleu l’equació $f'(x)=0$ i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció $f(x)$ , així com els seus màxims i mínims locals.

[1 punt]

c) Trobeu quin ha de ser el valor de $a$ per tal que el punt $(a,3)$ pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba $y=f(x)$ en aquest punt.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament Es demana el domini de $f$ i els punts on la corba talla els eixos. L’arrel quadrada només té sentit quan el radicand no és negatiu.

Domini: cal que $1+x^3\ge 0$ , és a dir, $x^3\ge -1$ ; com que $x^3$ és creixent, això passa exactament quan $x\ge -1$ :
$\operatorname{Dom}f$ ${}= \left\{x\in\mathbb{R}:\ 1+x^3\ge 0\right\}$ ${}= [-1,+\infty)$
Tall amb l’eix d’ordenades ( $x=0$ ):
$f(0)=\sqrt{1+0^3}=1\ \Longrightarrow\ (0,1)$
Talls amb l’eix d’abscisses ( $f(x)=0$ ):
$\sqrt{1+x^3}=0$ ${}\Longleftrightarrow 1+x^3=0$ ${}\Longleftrightarrow x^3$ ${}= -1$ ${}\Longleftrightarrow x=-1$ ${}\Longrightarrow (-1,0)$

ResultatDomini $[-1,+\infty)$ . La corba talla l’eix $OY$ a $(0,1)$ i l’eix $OX$ a $(-1,0)$ .

La pauta oficial dona: $[-1,+\infty)$ ; $(0,1)$ , $(-1,0)$

b)1 punt

Plantejament Es demana resoldre $f'(x)=0$ i estudiar on creix i on decreix $f$ i els seus extrems locals. Derivem amb la regla de la cadena, $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , i estudiem el signe de $f'$ a l’interior del domini, $(-1,+\infty)$ , on $1+x^3>0$ .

Derivada (per a $x>-1$ ):
$f'(x)=\frac{3x^2}{2\sqrt{1+x^3}}$
Equació $f'(x)=0$ : una fracció s’anul·la quan s’anul·la el numerador:
$\frac{3x^2}{2\sqrt{1+x^3}}=0$ ${}\Longleftrightarrow 3x^2=0$ ${}\Longleftrightarrow x=0$
Signe: el numerador $3x^2$ és positiu si $x\neq 0$ i el denominador és sempre positiu. Per tant:
$f'(x)$ ${}> 0\ \text{per a}\ x\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$
La funció és creixent a tot el domini, $[-1,+\infty)$ : la derivada només s’anul·la al punt aïllat $x=0$ .
A $x=0$ la tangent és horitzontal, però $f'$ no canvia de signe (és positiva als dos costats): la funció hi continua creixent i no hi ha ni màxim ni mínim. Per exemple, $f(-0{,}5)\approx 0{,}935$ , $f(0)=1$ i $f(0{,}5)\approx 1{,}061$ .
Per tant, $f$ no té màxims ni mínims locals a l’interior del domini. El valor més petit que pren és $f(-1)=0$ , a la vora del domini.

Resultat $f'(x)=0$ només a $x=0$ . $f$ és creixent a tot el domini $[-1,+\infty)$ i no té màxims ni mínims locals a l’interior del domini (a $x=0$ la tangent és horitzontal, però no hi ha extrem). El seu valor més petit, el mínim absolut $f(-1)=0$ , és a la vora del domini.

La pauta oficial dona: $x=0$ ; $\text{creixent a }[-1,+\infty)$ ; $\text{sense màxims ni mínims locals}$

Gràfica de y=√(1+x³) per a −1≤x≤2,2: comença al punt (−1,0), on és vertical, puja sempre, passa per (0,1) amb tangent horitzontal (la recta discontínua y=1) sense canviar el sentit, i continua pujant fins a (2,3).

c)1 punt

Plantejament Es demana el valor de $a$ perquè el punt $(a,3)$ sigui de la gràfica, i la recta tangent en aquest punt, $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

El punt és de la gràfica si $f(a)=3$ :
$\sqrt{1+a^3}$ ${}= 3$ ${}\Longrightarrow 1+a^3$ ${}= 9$ ${}\Longrightarrow a^3$ ${}= 8$ ${}\Longrightarrow a=2$
Pendent, amb la derivada de l’apartat b):
$f'(2)$ ${}= \frac{3\cdot 2^2}{2\sqrt{1+2^3}}$ ${}= \frac{12}{2\cdot 3}$ ${}= 2$
Recta tangent al punt $(2,3)$ :
$y-3=2(x-2)\ \Longrightarrow\ y=2x-1$

Resultat $a=2$ ; la recta tangent al punt $(2,3)$ és $y=2x-1$ .

La pauta oficial dona: $a=2$ ; $y=2x-1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria ordinària · Sèrie 4 · Exercici 4

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferentTambé a Matrius i determinants

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

El dissenyador d’una casa de perfums ha decidit que l’ampolla del proper perfum que l’empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d’un cilindre amb una mitja esfera a la part superior, tal com es pot veure a la figura següent: El perfum estarà contingut a la part cilíndrica, la qual té una capacitat de 100 $\text{cm}^3$ . L’enginyer a càrrec del procés de producció es proposa minimitzar el cost total del vidre usat i, per tant, vol que la superfície total de l’ampolla sigui mínima.

a) Comproveu que la superfície total de l’ampolla de perfum ve donada per la fórmula $S(r)=3\pi r^2+\dfrac{200}{r}$ .

[1 punt]

b) Quines dimensions ha de tenir l’ampolla de perfum perquè la superfície total sigui mínima? Quina és la superfície total de l’ampolla en aquest cas? Nota: Recordeu que la superfície d’una esfera ve donada per la fórmula $4\pi r^2$ , on $r$ és el seu radi.

[1,5 punts]

OPCIÓ B

Considereu les matrius $\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$ , on $a$ és un paràmetre real, i $\boldsymbol{B}$ ${}= \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$ .

a) Trobeu els valors de $a$ que fan que les matrius $\boldsymbol{A}$ i $\boldsymbol{B}$ commutin. (Dues matrius $\boldsymbol{A}$ i $\boldsymbol{B}$ commuten si $\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{A}$ .)

[0,75 punts]

b) Trobeu els valors de $a$ per als quals la matriu $\boldsymbol{A}$ és invertible.

[0,75 punts]

c) Trobeu els valors de $a$ per als quals $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}$ .

[1 punt]

Ampolla de perfum: un cilindre de radi r i altura h amb una mitja esfera del mateix radi a sobre. El radi r està marcat a la base de la mitja esfera, des del centre fins a la vora, i l’altura h, al costat del cilindre.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

Opció A

a)1 punt

Plantejament Es demana comprovar la fórmula de la superfície. L’ampolla té tres parts de vidre: la base del cilindre (un cercle), la superfície lateral del cilindre i la mitja esfera. La condició de volum relaciona l’altura $h$ del cilindre amb el radi $r$ .

La part cilíndrica, de radi $r$ i altura $h$ (en cm), té una capacitat de $100\ \text{cm}^3$ :
$\pi r^2h=100\ \Longrightarrow\ h=\frac{100}{\pi r^2}$
Superfícies: la base, $\pi r^2$ ; la lateral del cilindre, $2\pi rh$ ; la mitja esfera, la meitat de $4\pi r^2$ . La cara de dalt del cilindre és la base de la mitja esfera i no forma part de la superfície exterior de l’ampolla:
$S$ ${}= \pi r^2+2\pi rh+\frac{4\pi r^2}{2}$ ${}= 3\pi r^2+2\pi rh$
Substituïm $h$ :
$S(r)$ ${}= 3\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{100}{\pi r^2}$ ${}= 3\pi r^2+\frac{200}{r}$

Resultat $S(r)=3\pi r^2+\dfrac{200}{r}$ , amb $r$ en cm i $S$ en $\text{cm}^2$ .

La pauta oficial dona: $S(r)=3\pi r^2+\frac{200}{r}$

b)1,5 punts

Plantejament Es demanen les dimensions de l’ampolla (el radi $r$ i l’altura $h$ del cilindre) que fan mínima la superfície, i el valor d’aquesta superfície. Derivem $S(r)$ per a $r>0$ , busquem el punt crític i comprovem que és un mínim.

Derivada:
$S'(r)=6\pi r-\frac{200}{r^2}$
Punt crític:
$S'(r)=0$ ${}\Longleftrightarrow 6\pi r^3$ ${}= 200$ ${}\Longleftrightarrow r^3$ ${}= \frac{100}{3\pi}$ ${}\Longleftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}}$ ${}\approx 2{,}197\ \text{cm}$
Derivada segona, positiva per a tot $r>0$ : és un mínim, i és el mínim absolut perquè $S'$ és negativa abans d’aquest punt i positiva després:
$S''(r)=6\pi+\frac{400}{r^3}>0$
Altura del cilindre: com que $100=3\pi r^3$ , queda $h=3r$ :
$h=\frac{100}{\pi r^2}=\frac{3\pi r^3}{\pi r^2}=3r\approx 6{,}592\ \text{cm}$
Superfície mínima: com que $\frac{200}{r}=\frac{6\pi r^3}{r}=6\pi r^2$ ,
$S$ ${}= 3\pi r^2+6\pi r^2$ ${}= 9\pi r^2$ ${}\approx 136{,}5\ \text{cm}^2$

ResultatRadi $r=\sqrt[3]{\dfrac{100}{3\pi}}\approx 2{,}20$ cm i altura del cilindre $h=3r\approx 6{,}59$ cm. Superfície mínima $S=9\pi r^2\approx 136{,}5\ \text{cm}^2$ .

La pauta oficial dona: $r\simeq 2{,}2\ \text{cm}$ , $h=6{,}6\ \text{cm}$ ; $S\simeq 136{,}8\ \text{cm}^2$

Opció B

a)0,75 punts

Plantejament Es demanen els valors de $a$ per als quals $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ . Calculem els dos productes i igualem element a element.

Producte $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ :
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ ${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}2a&0\\2+a^2&4a^2\end{pmatrix}$
Producte $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ :
$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}2a&0\\a+4&4a^2\end{pmatrix}$
Només pot fallar l’element de la fila 2 i la columna 1:
$2+a^2$ ${}= a+4$ ${}\Longleftrightarrow a^2-a-2=0$ ${}\Longleftrightarrow a=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$ ${}= \frac{1\pm 3}{2}$
Per a $a=2$ , $\boldsymbol{A}$ és la mateixa matriu $\boldsymbol{B}$ ; per a $a=-1$ , $\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$ .

Resultat $a=2$ o $a=-1$ .

La pauta oficial dona: $a=2$ , $a=-1$

b)0,75 punts

Plantejament Es demanen els valors de $a$ per als quals $\boldsymbol{A}$ té inversa: una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant no és zero.

Determinant:
$|\boldsymbol{A}|$ ${}= \begin{vmatrix}a&0\\1&a^2\end{vmatrix}$ ${}= a\cdot a^2-0\cdot 1$ ${}= a^3$
$a^3=0$ només si $a=0$ .

Resultat $\boldsymbol{A}$ és invertible si i només si $a\neq 0$ .

La pauta oficial dona: $a\neq 0$

c)1 punt

Plantejament Es demanen els valors de $a$ per als quals la inversa de $\boldsymbol{A}$ és la mateixa $\boldsymbol{A}$ . Multiplicant per $\boldsymbol{A}$ , la condició equival a $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ : calculem $\boldsymbol{A}^2$ i la igualem a la identitat.

Quadrat de $\boldsymbol{A}$ :
$\boldsymbol{A}^2$ ${}= \begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a^2\end{pmatrix}$ ${}= \begin{pmatrix}a^2&0\\a+a^2&a^4\end{pmatrix}$
Igualem a $\boldsymbol{I}$ ${}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ element a element:
$a^2=1$ $a+a^2=0$ $a^4=1$
$a^2=1$ dona $a=1$ o $a=-1$ (i llavors $a^4=1$ també es compleix). $a+a^2=a(1+a)=0$ dona $a=0$ o $a=-1$ . L’únic valor que compleix les tres condicions és $a=-1$ .
Comprovació:
$\boldsymbol{A}$ ${}= \begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{A}^2$ ${}= \begin{pmatrix}1&0\\-1+1&1\end{pmatrix}$ ${}= \boldsymbol{I}$

Resultat $a=-1$

La pauta oficial dona: $a=-1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Una família vol comprar un terreny per a fer-s’hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes $y=0$ i $y=3x$ . A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt $P=(1,1)$ , tal com es pot veure en la figura.

a) Plantegeu l’equació de la recta $r$ que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent $m$ , i comproveu que l’àrea del terreny ve donada per $A(m)=\frac{3}{2}\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$ .

[1 punt]

b) Calculeu el valor de $m$ que fa que l’àrea d’aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d’aquesta àrea?

[1,5 punts]

Pla cartesià amb l’origen O. La recta y=3x surt de l’origen cap amunt a la dreta i la recta y=0 és l’eix horitzontal. Una recta discontínua r, de pendent negatiu, passa pel punt P=(1,1) i talla totes dues rectes. El triangle de vèrtexs l’origen, el tall de r amb y=3x i el tall de r amb l’eix horitzontal està ratllat. Les marques numèriques dels eixos apareixen com a «~~», il·legibles a l’original.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament La recta $r$ passa per $P=(1,1)$ i té pendent $m$ . El triangle té vèrtexs a l’origen, al tall de $r$ amb l’eix $OX$ (base) i al tall de $r$ amb $y=3x$ (l’ordenada d’aquest punt és l’altura).

Recta:
$r:\ y-1=m(x-1)$
Tall amb $y=0$ (base):
$-1=m(x-1)\ \Longrightarrow\ x=\frac{m-1}{m}$
Tall amb $y=3x$ (altura = ordenada):
$3x-1=m(x-1)\ \Longrightarrow\ x=\frac{m-1}{m-3}$ $y=\frac{3(m-1)}{m-3}$
Àrea:
$A(m)$ ${}= \frac{1}{2}\cdot\frac{m-1}{m}\cdot\frac{3(m-1)}{m-3}$ ${}= \frac{3}{2}\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$
Com a la figura, el pendent és negatiu ( $m<0$ ); llavors $m^2-3m>0$ i l’expressió és positiva.

Resultat $r:\ y-1=m(x-1)$ i $A(m)$ ${}= \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$ .

La pauta oficial dona: $A(m)=\frac32\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$

b)1,5 punts

Plantejament Derivem $A(m)$ , busquem on s’anuŀla la derivada amb $m<0$ i estudiem-ne el signe per assegurar que és un mínim.

Derivada:
$A'(m)$ ${}= \frac{3}{2}\cdot\frac{(2m-2)(m^2-3m)-(m^2-2m+1)(2m-3)}{(m^2-3m)^2}$ ${}= \frac{3}{2}\cdot\frac{-m^2-2m+3}{(m^2-3m)^2}$
Punts crítics:
$-m^2-2m+3$ ${}= -(m-1)(m+3)=0$ ${}\Longrightarrow m=1$ $\text{o}\ \ m=-3$
Amb $m<0$ només serveix $m=-3$ ( $m=1$ dona una recta per l’origen i no hi ha triangle). Signe de $A'$ : negatiu per a $m<-3$ i positiu per a $-3<m<0$ ; per tant, a $m=-3$ hi ha un mínim.
Àrea mínima:
$A(-3)=\frac{3}{2}\cdot\frac{9+6+1}{9+9}=\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{18}=\frac{4}{3}$
La recta òptima és $y=-3x+4$ , i el triangle té vèrtexs $(0,0)$ , $\left(\frac43,0\right)$ i $\left(\frac23,2\right)$ .

Resultat $m=-3$ ; àrea mínima $\dfrac{4}{3}\ \text{u}^2$ .

La pauta oficial dona: $m=-3$ , $A=\frac43\ \mathrm{u}^2$

Triangle d’àrea mínima: vèrtexs (0,0), (4/3,0) i (2/3,2), limitat per y=0, y=3x i la recta y=−3x+4, que passa per P=(1,1). La seva àrea és 4/3.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2025Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Probabilitat i estadística, Sistemes d’equacions

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2025 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar.

a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis?

[0,75 punts]

b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d’impacte?

[0,75 punts]

c) Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ , on $x$ són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i $a$ , $b$ i $c$ són constants reals. Calculeu els valors de $a$ , $b$ i $c$ sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’inflexió en els beneficis.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament La població es divideix en dos grups amb probabilitats de lesió diferents: fem servir la fórmula de la probabilitat total.

Dades: $I$ = «practica esports d’impacte», $S$ = «pateix sesamoïditis».
$P(I)=0{,}45$ $P(\overline{I})=0{,}55$ $P(S\mid I)=0{,}1$ $P(S\mid\overline{I})=0{,}03$
Probabilitat total:
$P(S)$ ${}= 0{,}45\cdot 0{,}1+0{,}55\cdot 0{,}03$ ${}= 0{,}045+0{,}0165$ ${}= 0{,}0615$

Resultat $P(S)=0{,}0615$

La pauta oficial dona: $0{,}0615$

b)0,75 punts

Plantejament Sabem que té la lesió i volem la probabilitat que practiqui esports d’impacte: probabilitat condicionada, que calculem amb la fórmula de Bayes.

$P(I\mid S)$ ${}= \frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}$ ${}= \frac{0{,}045}{0{,}0615}$ ${}= \frac{30}{41}$ ${}\approx 0{,}7317$

Resultat $P(I\mid S)=\dfrac{30}{41}\approx 0{,}7317$

La pauta oficial dona: $\approx 0{,}7317$

c)1 punt

Plantejament Tradueix cada dada a una equació: màxim a $x=1$ vol dir $f'(1)=0$ ; benefici de 8 000 € vol dir $f(1)=8$ (en milers d’euros); punt d’inflexió a $x=2$ vol dir $f''(2)=0$ . Resolem el sistema.

Derivades:
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ $f''(x)=6ax+2b$
Condicions:
$\begin{cases}f'(1)=0:& 3a+2b+c=0\\ f(1)=8:& a+b+c=8\\ f''(2)=0:& 12a+2b=0\end{cases}$
Restant les dues primeres:
$2a+b=-8$
De la tercera, $b=-6a$ ; substituint:
$2a-6a=-8\ \Longrightarrow\ a=2$ $b=-12$ $c=8-2+12=18$
Comprovem que és un màxim i que hi ha inflexió: $f''(1)=12-24=-12<0$ i $f'''(x)=12\ne 0$ .
$f(x)=2x^3-12x^2+18x$

Resultat $a=2$ , $b=-12$ , $c=18$ ; és a dir, $f(x)=2x^3-12x^2+18x$ .

La pauta oficial dona: $a=2$ , $b=-12$ , $c=18$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2025, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Límits i continuïtat

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció $f(x)=2\dfrac{\ln x}{x}$ , definida per a $x>0$ .

a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement.

[1 punt]

b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica.

[1 punt]

c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de $y=f(x)$ en el punt d’abscissa $x=1$ .

[0,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Els extrems relatius d’una funció derivable són als punts on s’anuŀla la derivada. Derivem $f$ amb la regla del quocient i estudiem el signe de $f'$ a l’interval $(0,+\infty)$ .

Derivada, amb la regla del quocient i $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ :
$f'(x)$ ${}= 2\cdot\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}$ ${}= \frac{2(1-\ln x)}{x^2}$
Punts crítics:
$f'(x)=0$ ${}\Longleftrightarrow 1-\ln x=0$ ${}\Longleftrightarrow \ln x=1$ ${}\Longleftrightarrow x=e$
Signe de $f'$ : el denominador $x^2$ és positiu, de manera que el signe és el de $1-\ln x$ , positiu si $0<x<e$ i negatiu si $x>e$ . Per exemple:
$f'(1)=\frac{2(1-0)}{1}=2>0$ $f'(e^2)=\frac{2(1-2)}{e^4}=-\frac{2}{e^4}<0$
Ho confirmem amb la derivada segona, derivant $f'$ amb la regla del quocient:
$f''(x)=\frac{2(2\ln x-3)}{x^3}$ $f''(e)=\frac{2(2-3)}{e^3}=-\frac{2}{e^3}<0$
Valor de la funció al punt crític:
$f(e)=2\cdot\frac{\ln e}{e}=\frac{2}{e}\approx 0{,}74$
La funció creix fins a $x=e$ i decreix a partir d’aquest punt: a $x=e$ hi ha un màxim, que és absolut. No té cap mínim.

ResultatCreixent a $(0,e)$ i decreixent a $(e,+\infty)$ . Màxim a $\left(e,\dfrac{2}{e}\right)$ ; no té mínims.

La pauta oficial dona: $\text{creixent a }(0,e)$ , $\text{decreixent a }(e,+\infty)$ ; $\text{màxim a }x=e$

b)1 punt

Plantejament Busquem una asímptota vertical a l’extrem del domini, $x\to 0^+$ , i una d’horitzontal quan $x\to+\infty$ . Si n’hi ha d’horitzontal a $+\infty$ , no n’hi ha d’obliqua.

Quan $x\to 0^+$ , el numerador tendeix a $-\infty$ i el denominador a $0^+$ :
$\lim_{x\to 0^+}\frac{2\ln x}{x}=\frac{-\infty}{0^+}=-\infty$
Per tant, $x=0$ és una asímptota vertical (per la dreta).
Quan $x\to+\infty$ hi ha una indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$ . Apliquem la regla de L’Hôpital:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}$ ${}= \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}}{1}$ ${}= \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0$
Per tant, $y=0$ és una asímptota horitzontal quan $x\to+\infty$ , i no hi ha asímptota obliqua.
Per a l’esbós, el tall amb l’eix $OX$ : $f(x)=0$ només si $\ln x=0$ :
$\ln x=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$ $f(1)=2\cdot\frac{\ln 1}{1}=0$
Signe: $f<0$ a $(0,1)$ , perquè $\ln x<0$ , i $f>0$ a $(1,+\infty)$ . Amb el màxim de l’apartat a), la gràfica puja des de $-\infty$ arran de l’eix $OY$ , talla l’eix $OX$ a $(1,0)$ , arriba al màxim $\left(e,\frac{2}{e}\right)\approx(2{,}72;\ 0{,}74)$ i després baixa lentament cap a $0$ per sobre de l’eix, sense tocar-lo.

ResultatAsímptota vertical $x=0$ (quan $x\to 0^+$ ) i asímptota horitzontal $y=0$ (quan $x\to+\infty$ ).

La pauta oficial dona: $x=0\ \text{(vertical)}$ ; $y=0\ \text{(horitzontal)}$

Esbós de y=(2ln x)/x per a x>0: la corba puja des de −∞ arran de l’asímptota vertical x=0, talla l’eix OX a (1,0), té el màxim a (e,2/e) i baixa cap a l’asímptota horitzontal y=0 per sobre de l’eix. Les dues asímptotes estan dibuixades amb línia discontínua.

c)0,5 punts

Plantejament La recta tangent a $y=f(x)$ a $x=a$ és $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . Necessitem $f(1)$ i $f'(1)$ .

Valor de la funció:
$f(1)=2\cdot\frac{\ln 1}{1}=0$
Pendent, amb la derivada de l’apartat a):
$f'(1)=\frac{2(1-\ln 1)}{1^2}=2$
Recta tangent:
$y-0=2(x-1)\ \Longrightarrow\ y=2x-2$

Resultat $y=2x-2$

La pauta oficial dona: $y=2x-2$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Volem construir un petit cobert de fusta de $6\ \mathrm{m}^3$ de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d’una casa, per a guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d’amplària que de fondària. Cada metre quadrat de paret té un cost de construcció de $30$ € i el sostre costa $50$ € per metre quadrat. Un cop construït el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de $35$ €.

a) Comproveu que el cost de construcció del cobert ve donat per la funció $C(x)=\dfrac{300}{x}+150x^2+35$ , on $x$ és la fondària del cobert en metres.

[1,25 punts]

b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost?

[1,25 punts]

Dibuix en perspectiva del cobert: un prisma rectangular gris amb una porta d’arc a la cara frontal, recolzat contra la paret de la casa, que es representa amb unes línies a darrere i als costats. El dibuix no porta mesures.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Anomenem $x$ la fondària, $3x$ l’amplària i $h$ l’alçada, en metres. Escrivim el cost amb aquestes variables i eliminem $h$ amb la condició del volum.

Volum de $6\ \mathrm{m}^3$ :
$3x\cdot x\cdot h=6\ \Longrightarrow\ h=\frac{6}{3x^2}=\frac{2}{x^2}$
Parets que cal construir: la frontal, de $3x$ per $h$ , i les dues laterals, de $x$ per $h$ (la del fons és la de la casa):
$S_{\text{parets}}=3xh+xh+xh=5xh$
Sostre, de $3x$ per $x$ :
$S_{\text{sostre}}=3x\cdot x=3x^2$
Cost: parets a $30$ € el $\mathrm{m}^2$ , sostre a $50$ € el $\mathrm{m}^2$ i porta a $35$ €:
$C$ ${}= 30\cdot 5xh+50\cdot 3x^2$ ${}+35$ ${}= 150xh+150x^2+35$
Substituïm $h=\frac{2}{x^2}$ :
$C(x)$ ${}= 150x\cdot\frac{2}{x^2}+150x^2$ ${}+35$ ${}= \frac{300}{x}+150x^2+35$

Resultat $C(x)=\dfrac{300}{x}+150x^2+35$ €, amb $x>0$ la fondària en metres.

La pauta oficial dona: $C(x)=\frac{300}{x}+150x^2+35$

b)1,25 punts

Plantejament Busquem el mínim de $C(x)$ a l’interval $(0,+\infty)$ : derivem, igualem a zero i comprovem que el punt trobat és un mínim.

Derivada:
$C'(x)$ ${}= -\frac{300}{x^2}+300x$ ${}= \frac{300\left(x^3-1\right)}{x^2}$
Punt crític:
$C'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ x^3=1\ \Longleftrightarrow\ x=1$
Derivada segona:
$C''(x)=\frac{600}{x^3}+300$ $C''(1)=600+300=900>0$
És un mínim. A més, $C'(x)<0$ per a $0<x<1$ i $C'(x)>0$ per a $x>1$ , de manera que és el mínim absolut a $(0,+\infty)$ .
Dimensions, amb $h=\frac{2}{x^2}$ de l’apartat a):
$x=1\ \mathrm{m}$ $3x=3\ \mathrm{m}$ $h=\frac{2}{1^2}=2\ \mathrm{m}$
Cost mínim, en euros:
$C(1)$ ${}= \frac{300}{1}+150\cdot 1^2+35$ ${}= 485$

ResultatFondària $1\ \mathrm{m}$ , amplària $3\ \mathrm{m}$ i alçada $2\ \mathrm{m}$ ; el cost mínim és de $485$ €.

La pauta oficial dona: $x=1\ \mathrm{m}$ , $3x=3\ \mathrm{m}$ , $h=2\ \mathrm{m}$ ; $C(1)=485\ \text{euros}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Límits i continuïtat

Considereu la funció $f(x)=-2+10(x-1)\ln x$ , definida per a $x>0$ .

a) Comproveu que $f(x)$ té una arrel a l’interval $[1,\ 1{,}5]$ i busqueu un interval d’una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel.

[0,75 punts]

b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que $f(x)$ és decreixent a l’interval $(0,1)$ i creixent a $(1,+\infty)$ . Quins màxims i mínims té aquesta funció?

[1 punt]

c) Calculeu $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ i $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , i feu un esbós de la gràfica d’aquesta funció.

[0,75 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament Es demana provar que $f$ s’anul·la en algun punt de $[1;\ 1{,}5]$ i reduir l’interval fins a una dècima de longitud. Fem servir el teorema de Bolzano: $f$ és contínua a $(0,+\infty)$ , perquè és suma i producte de funcions contínues ( $x-1$ i $\ln x$ ).

Valors als extrems de l’interval:
$f(1)=-2+10\cdot 0\cdot\ln 1=-2<0$ $f(1{,}5)$ ${}= -2+10\cdot 0{,}5\cdot\ln 1{,}5$ ${}= -2+5\ln 1{,}5$ ${}\approx 0{,}027$ ${}> 0$
$f$ és contínua a $[1;\ 1{,}5]$ i hi canvia de signe; pel teorema de Bolzano, existeix $c\in(1;\ 1{,}5)$ amb $f(c)=0$ .
Per afinar l’interval a una dècima, calculem $f$ en un punt intermedi. Com que $f(1{,}5)$ és molt a prop de $0$ , provem amb $x=1{,}4$ :
$f(1{,}4)$ ${}= -2+10\cdot 0{,}4\cdot\ln 1{,}4$ ${}= -2+4\ln 1{,}4$ ${}\approx -0{,}654$ ${}< 0$
$f(1{,}4)<0$ i $f(1{,}5)>0$ : tornant a aplicar el teorema de Bolzano, l’arrel és a $(1{,}4;\ 1{,}5)$ , un interval d’una dècima de longitud.
És la mateixa arrel: a l’apartat b) es veu que $f$ és creixent a $(1,+\infty)$ , de manera que a $(1;\ 1{,}5)$ només s’anul·la una vegada.

Resultat $f$ té una arrel a $(1;\ 1{,}5)$ pel teorema de Bolzano, i aquesta arrel és a l’interval $[1{,}4;\ 1{,}5]$ .

La pauta oficial dona: $[1{,}4;\ 1{,}5]$

b)1 punt

Plantejament Es demana justificar on creix i on decreix $f$ sense resoldre $f'(x)=0$ : n’hi ha prou d’estudiar el signe de cada sumand de la derivada a cada interval. Després deduïm els extrems.

Derivem amb la regla del producte, $\left[(x-1)\ln x\right]'$ ${}= 1\cdot\ln x+(x-1)\cdot\frac{1}{x}$ :
$f'(x)=10\left(\ln x+\frac{x-1}{x}\right)$
A l’interval $(0,1)$ : $\ln x<0$ i, com que $x-1<0$ i $x>0$ , també $\frac{x-1}{x}<0$ . La suma de dos nombres negatius és negativa:
$0$ ${}< x$ ${}< 1$ ${}\Longrightarrow f'(x)$ ${}< 0$ ${}\Longrightarrow f\ \text{decreixent a }(0,1)$
A l’interval $(1,+\infty)$ : $\ln x>0$ i $\frac{x-1}{x}>0$ , de manera que la suma és positiva:
$x$ ${}> 1$ ${}\Longrightarrow f'(x)$ ${}> 0$ ${}\Longrightarrow f\ \text{creixent a }(1,+\infty)$
La funció baixa fins a $x=1$ i després puja: a $x=1$ té un mínim, que és absolut. El seu valor:
$f(1)=-2+10\cdot 0\cdot\ln 1=-2$
No té cap màxim: només hi ha aquest canvi de monotonia, i la funció creix sense límit cap als dos extrems del domini (apartat c).

ResultatDecreixent a $(0,1)$ i creixent a $(1,+\infty)$ . Té un mínim (absolut) a $(1,-2)$ i cap màxim.

La pauta oficial dona: $\text{mínim a }x=1$ ; $\text{cap màxim}$

c)0,75 punts

Plantejament Es demanen els límits als dos extrems del domini, $x\to 0^+$ i $x\to+\infty$ , i un esbós de la gràfica, que fem amb els límits i el que sabem dels apartats a) i b).

Quan $x\to 0^+$ , $x-1\to -1$ i $\ln x\to-\infty$ ; el producte de dos factors negatius tendeix a $+\infty$ :
$\lim_{x\to 0^+}\left(-2+10(x-1)\ln x\right)$ ${}= -2+10\cdot(-1)\cdot(-\infty)$ ${}= +\infty$
Per tant, la recta $x=0$ (l’eix d’ordenades) és una asímptota vertical.
Quan $x\to+\infty$ , els dos factors tendeixen a $+\infty$ :
$\lim_{x\to+\infty}\left(-2+10(x-1)\ln x\right)$ ${}= -2+10\cdot(+\infty)\cdot(+\infty)$ ${}= +\infty$
Talls amb l’eix d’abscisses: a $(1,+\infty)$ la funció creix des de $-2$ i talla l’eix a l’arrel de l’apartat a), entre $1{,}4$ i $1{,}5$ . A $(0,1)$ decreix des de $+\infty$ fins a $-2$ , de manera que també el talla una vegada; per exemple:
$f(0{,}5)$ ${}= -2+10\cdot(-0{,}5)\cdot\ln 0{,}5$ ${}\approx 1{,}47$ ${}> 0$ $f(1)=-2<0$
Esbós: la gràfica baixa des de $+\infty$ arran de l’eix $OY$ , talla l’eix $OX$ entre $0{,}5$ i $1$ , arriba al mínim $(1,-2)$ , torna a pujar, talla l’eix $OX$ entre $1{,}4$ i $1{,}5$ i creix sense límit.

Resultat $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ i $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . La gràfica té el mínim a $(1,-2)$ i talla l’eix $OX$ dues vegades: entre $0{,}5$ i $1$ , i entre $1{,}4$ i $1{,}5$ .

La pauta oficial dona: $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

Esbós de y=−2+10(x−1)ln x per a 0<x≤2,2: la corba baixa des de dalt arran de l’eix OY (l’asímptota vertical x=0, discontínua), talla l’eix OX entre 0,5 i 1, té el mínim a (1,−2) i torna a pujar; talla de nou l’eix OX dins la franja ombrejada que va de x=1,4 a x=1,5.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu les paràboles $y=f_a(x)$ , amb $f_a(x)=ax^2+2x+5-a$ , on $a$ és un paràmetre real.

a) Determineu el valor del paràmetre $a$ per al qual la recta tangent a $y=f_a(x)$ en el punt d’abscissa $x=1$ passa pel punt $(2,13)$ .

[1 punt]

b) Calculeu els punts de tall de les paràboles $y=f_1(x)$ i $y=f_3(x)$ .

[0,5 punts]

c) Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues paràboles $y=f_1(x)$ i $y=f_3(x)$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demana el valor de $a$ perquè la tangent a $x=1$ passi per $(2,13)$ . Escrivim la tangent en funció de $a$ amb $y-f_a(1)=f_a'(1)(x-1)$ i hi imposem el punt.

Punt de tangència: l’ordenada no depèn de $a$ , de manera que és $(1,7)$ per a qualsevol $a$ :
$f_a(1)=a+2+5-a=7$
Pendent:
$f_a'(x)=2ax+2$ $f_a'(1)=2a+2$
Recta tangent en funció de $a$ :
$y-7=(2a+2)(x-1)$
Imposem que passi per $(2,13)$ :
$13-7$ ${}= (2a+2)(2-1)$ ${}\Longrightarrow 6=2a+2$ ${}\Longrightarrow a=2$
Comprovació: per a $a=2$ la tangent és $y-7=6(x-1)$ , és a dir, $y=6x+1$ , i a $x=2$ dona $y=13$ .

Resultat $a=2$ (la tangent és $y=6x+1$ ).

La pauta oficial dona: $a=2$

b)0,5 punts

Plantejament Es demanen els punts comuns de $y=f_1(x)$ i $y=f_3(x)$ : igualem les dues expressions i resolem l’equació.

Les dues paràboles, amb $a=1$ i amb $a=3$ :
$f_1(x)=x^2+2x+4$ $f_3(x)=3x^2+2x+2$
Igualem:
$x^2+2x+4$ ${}= 3x^2+2x+2$ ${}\Longrightarrow 2x^2-2=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 1$ ${}\Longrightarrow x=\pm 1$
Ordenades:
$f_1(1)=1+2+4=7$ $f_1(-1)=1-2+4=3$
Comprovem amb l’altra paràbola: $f_3(1)=3+2+2=7$ i $f_3(-1)=3-2+2=3$ .

Resultat $(1,7)$ i $(-1,3)$ .

La pauta oficial dona: $(1,7)$ , $(-1,3)$

c)1 punt

Plantejament Es demana l’àrea tancada entre les dues paràboles. És la integral, entre els punts de tall $x=-1$ i $x=1$ (apartat b), de la funció de dalt menys la de baix.

Quina està per sobre: a $(-1,1)$ la diferència és positiva (per exemple, a $x=0$ val $2$ ), de manera que $f_1$ queda per sobre de $f_3$ :
$f_1(x)-f_3(x)=-2x^2+2$
Àrea, amb la regla de Barrow:
$A$ ${}= \int_{-1}^{1}\left(-2x^2+2\right)dx$ ${}= \left[-\frac{2x^3}{3}+2x\right]_{-1}^{1}$
Substituïm els límits d’integració:
$A$ ${}= \left(-\frac{2}{3}+2\right)-\left(\frac{2}{3}-2\right)$ ${}= \frac{4}{3}+\frac{4}{3}$ ${}= \frac{8}{3}$

Resultat $A=\dfrac{8}{3}\ \text{u}^2\approx 2{,}67\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $\frac{8}{3}\ \text{u}^2$

Les paràboles y=f₁(x)=x²+2x+4 (la de dalt) i y=f₃(x)=3x²+2x+2 (la de baix) entre x=−1 i x=1, on es tallen als punts (−1,3) i (1,7). La regió tancada entre les dues, d’àrea 8/3, està ombrejada.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 5

2,5 puntsLa pauta arrodoneix diferent

En Carles vol construir un decorat per a l’obra de teatre de final de curs en forma d’un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:

a) Determineu el perímetre i l’àrea del decorat que s’ha de construir en funció de $x$ i de $y$ .

[1 punt]

b) Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a 10 m. Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d’àrea màxima que podrà construir? Quin és el valor d’aquesta àrea?

[1,5 punts]

Contorn del decorat: un rectangle amb un semicercle gran damunt del costat de dalt i un semicercle més petit enganxat al costat dret. El radi del semicercle de dalt, x, està marcat des del centre del costat de dalt fins al vèrtex de dalt a la dreta; el radi del semicercle de la dreta, y, va des d’aquest vèrtex cap avall fins al centre del costat dret. Així, el rectangle fa 2x d’amplada i 2y d’alçària.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Es demanen el perímetre i l’àrea del decorat en funció de $x$ i $y$ . A la figura, $x$ és el radi del semicercle de dalt i $y$ el del semicercle de la dreta; per tant, el rectangle fa $2x$ d’amplada i $2y$ d’alçària.

El contorn el formen el costat de baix ( $2x$ ), el de l’esquerra ( $2y$ ), la semicircumferència de dalt (la meitat de $2\pi x$ ) i la de la dreta (la meitat de $2\pi y$ ):
$P(x,y)$ ${}= 2x+2y+\pi x+\pi y$ ${}= (2+\pi)(x+y)$
L’àrea és la del rectangle més la dels dos semicercles:
$A(x,y)$ ${}= 2x\cdot 2y+\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi y^2}{2}$ ${}= 4xy+\frac{\pi}{2}\left(x^2+y^2\right)$

Resultat $P=(2+\pi)(x+y)$ ; $A=4xy+\dfrac{\pi}{2}\left(x^2+y^2\right)$ .

La pauta oficial dona: $P=(2+\pi)(x+y)$ , $A=\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi y^2}{2}+4xy$

b)1,5 punts

Plantejament Es demanen les mides i l’àrea del decorat d’àrea màxima amb un perímetre de $10$ m. Amb la condició del perímetre escrivim $y$ en funció de $x$ , de manera que l’àrea depèn d’una sola variable; la derivem i busquem el màxim.

Condició del perímetre (en metres):
$(2+\pi)(x+y)=10\ \Longrightarrow\ y=\frac{10}{2+\pi}-x$
Anomenem $s=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, de manera que $y=s-x$ , amb $0\le x\le s$ . L’àrea en funció només de $x$ :
$A(x)$ ${}= 4x(s-x)$ ${}+\frac{\pi}{2}\left(x^2+(s-x)^2\right)$
Derivem:
$A'(x)$ ${}= 4s-8x$ ${}+\frac{\pi}{2}\left(2x-2(s-x)\right)$ ${}= (2\pi-8)x+(4-\pi)s$
Punt crític:
$A'(x)=0$ ${}\Longleftrightarrow (8-2\pi)x$ ${}= (4-\pi)s$ ${}\Longleftrightarrow x=\frac{(4-\pi)s}{2(4-\pi)}$ ${}= \frac{s}{2}$
Derivada segona, negativa per a qualsevol $x$ perquè $2\pi\approx 6{,}28<8$ : el punt crític és un màxim, i és el màxim absolut a $[0,s]$ perquè $A'$ hi és decreixent.
$A''(x)=2\pi-8<0$
Mides: $x$ i $y$ són iguals.
$x=y=\frac{s}{2}=\frac{5}{2+\pi}\approx 0{,}9725\ \text{m}$
El rectangle és, doncs, un quadrat de costat $2x=\frac{10}{2+\pi}\approx 1{,}945$ m, i els dos semicercles tenen el mateix radi, $\approx 0{,}9725$ m.
Àrea màxima, amb $x=y=\frac{5}{2+\pi}$ :
$A$ ${}= 4x^2+\pi x^2$ ${}= (4+\pi)\cdot\frac{25}{(2+\pi)^2}$ ${}= \frac{25(4+\pi)}{(2+\pi)^2}$ ${}\approx 6{,}754\ \text{m}^2$

Resultat $x=y=\dfrac{5}{2+\pi}\approx 0{,}9725$ m: el rectangle és un quadrat de $\approx 1{,}945$ m de costat amb dos semicercles de radi $\approx 0{,}9725$ m. Àrea màxima $\dfrac{25(4+\pi)}{(2+\pi)^2}$ ${}\approx 6{,}754\ \text{m}^2$ .

La pauta oficial dona: $x=y=0{,}972\ldots\ \text{m}$ ; $A=6{,}747\ldots\ \text{m}^2$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 30 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció polinòmica $f(x)=3x^{13}+5x^3+2$ .

a) Justifiqueu que la seva gràfica talla l’eix de les abscisses en un punt de l’interval $[-2,0]$ . Doneu un interval de longitud $0{,}5$ on es trobi aquest punt de tall.

[1,25 punts]

b) Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de $y=f(x)$ . Quants punts de tall té exactament la gràfica d’aquesta funció amb l’eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Teorema de Bolzano: si $f$ és contínua a $[a,b]$ i $f(a)$ i $f(b)$ tenen signes contraris, $f$ s’anuŀla en algun punt de $(a,b)$ . L’apliquem a $[-2,0]$ i després a intervals més petits.

$f$ és polinòmica, per tant contínua a tot $\mathbb{R}$ i, en particular, a $[-2,0]$ .
Signe als extrems, amb $(-2)^{13}=-8192$ i $(-2)^3=-8$ :
$f(-2)$ ${}= 3\cdot(-8192)$ ${}+5\cdot(-8)+2$ ${}= -24576-40+2$ ${}= -24614$ ${}< 0$ $f(0)=2>0$
Per Bolzano, hi ha algun $c\in(-2,0)$ amb $f(c)=0$ : la gràfica talla l’eix d’abscisses dins de l’interval.
Provem el punt mitjà, $x=-1$ :
$f(-1)$ ${}= 3\cdot(-1)^{13}$ ${}+5\cdot(-1)^3+2$ ${}= -3-5+2$ ${}= -6$ ${}< 0$
Com que $f(-1)<0<f(0)$ , el tall és a $(-1,0)$ . Provem $x=-0{,}5$ , amb $(-0{,}5)^{13}=-\frac{1}{8192}$ i $(-0{,}5)^3=-0{,}125$ :
$f(-0{,}5)$ ${}= -\frac{3}{8192}-0{,}625+2$ ${}\approx 1{,}37$ ${}> 0$
Com que $f(-1)<0<f(-0{,}5)$ , aplicant Bolzano a $[-1,-0{,}5]$ el punt de tall és en aquest interval, que fa $0{,}5$ de longitud.

ResultatPer Bolzano ( $f(-2)<0<f(0)$ ) la gràfica talla l’eix a $[-2,0]$ ; un interval de longitud $0{,}5$ que conté el tall és $[-1,-0{,}5]$ .

La pauta oficial dona: $f(-2)<0<f(0)$ ; $[-1,-0{,}5]$

b)1,25 punts

Plantejament Estudiem el signe de la derivada. Si $f$ és estrictament creixent, no pot valer zero en dos punts diferents.

Derivada:
$f'(x)$ ${}= 39x^{12}+15x^2$ ${}= 3x^2\left(13x^{10}+5\right)$
Els dos factors són positius o nuls ( $x^2\ge 0$ i $13x^{10}+5\ge 5$ ), i el producte només s’anuŀla a $x=0$ :
$f'(x)>0\ \text{ si }x\ne 0$ $f'(0)=0$
Per tant $f$ és estrictament creixent a tot $\mathbb{R}$ i no decreix enlloc. A $x=0$ la derivada s’anuŀla però no canvia de signe: no hi ha ni màxim ni mínim. El punt $(0,f(0))=(0,2)$ és un punt d’inflexió amb tangent horitzontal.
Una funció estrictament creixent no pot prendre el valor $0$ en dos punts diferents. Amb l’apartat a), la gràfica talla l’eix d’abscisses exactament una vegada, en un punt de $[-1,-0{,}5]$ .

Resultat $f$ és creixent a tot $\mathbb{R}$ (mai decreixent) i no té màxims ni mínims. La gràfica talla l’eix d’abscisses exactament en $1$ punt, que és a $[-1,-0{,}5]$ .

La pauta oficial dona: $\text{mai decreix}$ ; $\text{sense màxims ni mínims}$ ; $\text{un únic tall, a }[-1,-0{,}5]$

Gràfica de y=3x¹³+5x³+2 entre x=−1,1 i x=0,6: la corba sempre puja, talla l’eix OX una sola vegada, en un punt entre x=−1 i x=−0,5 (franja ombrejada), i a (0,2) té un tram gairebé pla (tangent horitzontal) sense deixar de pujar.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2024Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2024 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Per a cada punt $(x,y)$ de la corba $y=e^{-2x}$ , amb $x>0$ i $y>0$ , considereu el rectangle amb vèrtexs als punts $(0,0)$ , $(x,0)$ , $(0,y)$ i $(x,y)$ .

a) Comproveu que, d’entre tots aquests rectangles, el que té $x=\dfrac{1}{2}$ és el d’àrea màxima. Quin és el valor d’aquesta àrea?

[1,5 punts]

b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció $y=e^{-2x}$ en el punt d’abscissa $x=0$ , i el seu punt de tall amb l’eix de les abscisses.

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,5 punts

Plantejament El rectangle té base $x$ i altura $y=e^{-2x}$ . Escrivim l’àrea en funció de $x$ i en busquem el màxim a $(0,+\infty)$ amb la derivada.

Funció àrea:
$A(x)=x\cdot e^{-2x}$ $x>0$
Derivada, amb la regla del producte:
$A'(x)$ ${}= e^{-2x}$ ${}+x\cdot(-2)e^{-2x}$ ${}= e^{-2x}(1-2x)$
Punt crític ( $e^{-2x}>0$ sempre):
$A'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 1-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$
Signe de $A'$ : és el de $1-2x$ , positiu per a $0<x<\frac{1}{2}$ i negatiu per a $x>\frac{1}{2}$ . $A$ creix i després decreix: a $x=\frac{1}{2}$ hi ha el màxim absolut.
Costats del rectangle:
$x=\frac{1}{2}$ $y=e^{-2\cdot\frac{1}{2}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$
Àrea màxima:
$A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{2e}\approx 0{,}184\ \mathrm{u}^2$

ResultatEl màxim és a $x=\dfrac{1}{2}$ ( $A$ creix abans i decreix després); l’àrea màxima és $\dfrac{1}{2e}\approx 0{,}184\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial dona: $x=\frac{1}{2}\ \text{(màxim absolut)}$ ; $A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2e}\ \mathrm{u}^2$

La corba y=e^(−2x) per a x≥0 amb el rectangle d’àrea màxima ombrejat: vèrtexs (0,0), (1/2,0), (0,1/e) i (1/2,1/e), aquest últim sobre la corba. També hi ha la recta tangent de l’apartat b), y=−2x+1, discontínua, que talla l’eix OX a (1/2,0).

b)1 punt

Plantejament La recta tangent a $x=0$ és $y-y(0)=y'(0)(x-0)$ . Després en busquem el tall amb $y=0$ .

Derivada, amb la regla de la cadena:
$y'=-2e^{-2x}$
Punt i pendent a $x=0$ :
$y(0)=e^{0}=1$ $y'(0)=-2e^{0}=-2$
Recta tangent:
$y-1=-2(x-0)\ \Longrightarrow\ y=-2x+1$
Tall amb l’eix d’abscisses:
$0=-2x+1\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

Resultat $y=-2x+1$ ; talla l’eix d’abscisses a $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ .

La pauta oficial dona: $y=-2x+1$ ; $\left(\frac{1}{2},0\right)$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2024, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Calculeu els coeficients $a$ , $b$ , $c$ i $d$ de la funció $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ si sabem que l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d’inflexió $(1,0)$ és $y=-3x+3$ i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d’abscissa $x=0$ .

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

12,5 punts

Plantejament Traduïm cada condició de l’enunciat en una equació per als quatre coeficients. Necessitem $f$ , $f'$ i $f''$ .

Derivades de $f$ :
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ $f''(x)=6ax+2b$
El punt $(1,0)$ és de la gràfica:
$f(1)=0\ \Longrightarrow\ a+b+c+d=0$
És un punt d’inflexió, així que la segona derivada s’hi anul·la:
$f''(1)=0\ \Longrightarrow\ 6a+2b=0$
El pendent de la tangent $y=-3x+3$ és $-3$ , i és el valor de la derivada a $x=1$ :
$f'(1)=-3\ \Longrightarrow\ 3a+2b+c=-3$
Hi ha un extrem relatiu a $x=0$ , així que la derivada s’hi anul·la:
$f'(0)=0\ \Longrightarrow\ c=0$
De $6a+2b=0$ surt $b=-3a$ ; ho substituïm a la tercera equació, amb $c=0$ :
$3a+2(-3a)$ ${}= -3$ ${}\Longrightarrow -3a$ ${}= -3$ ${}\Longrightarrow a=1$ $b=-3$
I de la primera equació:
$1-3+0+d=0\ \Longrightarrow\ d=2$
Comprovació: $f(x)=x^3-3x^2+2$ compleix les quatre condicions.
$f(1)=0$ $f'(1)=3-6=-3$ $f''(1)=6-6=0$ $f'(0)=0$
A més, $f'''(1)=6\ne 0$ confirma que $(1,0)$ és un punt d’inflexió, i $f''(0)=-6<0$ diu que a $x=0$ hi ha un màxim relatiu.
$f'''(x)=6$ $f''(0)=-6<0$

Resultat $a=1$ , $b=-3$ , $c=0$ , $d=2$ , és a dir, $f(x)=x^3-3x^2+2$ .

La pauta oficial dona: $a=1$ , $b=-3$ , $c=0$ , $d=2$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 3

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals, Límits i continuïtat

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 3 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Sigui $f'(x)$ ${}= \begin{cases}x-1, & \text{si } x\le 2\\ \dfrac{1}{x-1}, & \text{si } x>2\end{cases}$ la funció derivada d’una funció derivable $f(x)$ que passa pel punt $A=(0,3)$ .

a) Calculeu la funció $f(x)$ .

[1,5 punts]

b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció $f'(x)$ en el punt d’abscissa $x=3$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,5 punts

Plantejament Integrem cada tros de $f'$ . Cada primitiva porta la seva constant: la del primer tros surt del punt $A=(0,3)$ (que hi pertany perquè $0\le 2$ ), i la del segon, de la continuïtat de $f$ a $x=2$ (una funció derivable és contínua).

Primitiva del primer tros ( $x\le 2$ ):
$\int (x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}-x+k$
Primitiva del segon tros ( $x>2$ ); com que $x-1>0$ , no cal el valor absolut:
$\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln(x-1)+k'$
$f$ passa per $A=(0,3)$ , i $x=0$ és del primer tros:
$f(0)=\frac{0^2}{2}-0+k=3\ \Longrightarrow\ k=3$
Continuïtat a $x=2$ : el valor del primer tros ha de coincidir amb el límit per la dreta:
$\frac{2^2}{2}-2+3$ ${}= \lim_{x\to 2^+}\left(\ln(x-1)+k'\right)$ ${}\Longrightarrow 3=\ln 1+k'$ ${}\Longrightarrow k'=3$
Les dues derivades laterals a $x=2$ valen $2-1=1$ i $\frac{1}{2-1}=1$ : la funció obtinguda és derivable a $x=2$ , com diu l’enunciat.
$f'(2^-)=f'(2^+)=1$

Resultat $f(x)$ ${}= \begin{cases}\dfrac{x^2}{2}-x+3, & \text{si } x\le 2\\ \ln(x-1)+3, & \text{si } x>2\end{cases}$

La pauta oficial dona: $f(x)$ ${}= \begin{cases}\frac{1}{2}x^2-x+3 & \text{si } x\le 2\\ \ln|x-1|+3 & \text{si } x>2\end{cases}$

b)1 punt

Plantejament Ara la funció de la qual busquem la tangent és $g(x)=f'(x)$ . A $x=3$ s’aplica el segon tros, $g(x)=\frac{1}{x-1}$ . La recta tangent és $y-g(3)=g'(3)\,(x-3)$ .

Valor de la funció a $x=3$ :
$g(3)=f'(3)=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$
Derivada del segon tros (és $f''$ ) i pendent:
$g'(x)$ ${}= f''(x)$ ${}= -\frac{1}{(x-1)^2}$ ${}\Longrightarrow g'(3)$ ${}= -\frac{1}{4}$
Recta tangent:
$y-\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}(x-3)$ ${}\Longrightarrow y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Resultat $y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{4}$ (o bé $x+4y-5=0$ ).

La pauta oficial dona: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 1 · Exercici 5

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 5 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de $8\ \mathrm{m}^2$ per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats.

El preu de la tanca que vol fer servir és de 2,5 €/m.

a) Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim?

[1,75 punts]

b) Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta.

[0,75 punts]

Esquema del jardí: un rectangle gran amb el rètol «Jardí». A dalt, enganxat al mur, un rectangle de línia discontínua amb el rètol «Tancat per al gos» i el dibuix d’un gos. Només tres costats del tancat són discontinus; el quart és el mur.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,75 punts

Plantejament Siguin $x$ el costat del tancat paral·lel al mur i $y$ cadascun dels dos costats perpendiculars al mur, en metres. El costat que toca el mur no porta tanca, de manera que la tanca mesura $x+2y$ metres.

L’àrea és de $8\ \mathrm{m}^2$ :
$x\cdot y=8\ \Longrightarrow\ y=\frac{8}{x}$
Cost, a 2,5 €/m, en funció de $x$ (amb $x>0$ ):
$C(x)$ ${}= 2{,}5\,(x+2y)$ ${}= 2{,}5\left(x+\frac{16}{x}\right)$
Derivem i igualem a zero; només serveix la solució positiva ( $x=-4$ no és una longitud):
$C'(x)$ ${}= 2{,}5\left(1-\frac{16}{x^2}\right)=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 16$ ${}\Longrightarrow x=4$
La segona derivada és positiva per a $x>0$ , així que $x=4$ és un mínim:
$C''(x)=2{,}5\cdot\frac{32}{x^3}=\frac{80}{x^3}$ $C''(4)=\frac{80}{64}=\frac{5}{4}>0$
Dimensions i cost:
$x=4$ $y=\frac{8}{4}=2$ $C(4)=2{,}5\,(4+2\cdot 2)=20$

ResultatEl tancat ha de fer $4$ m de costat paral·lel al mur i $2$ m cap a l’interior del jardí. El cost mínim és de $20$ €.

La pauta oficial dona: $x=4\ \mathrm{m}$ , $y=2\ \mathrm{m}$ ; $C(4)=20$

b)0,75 punts

Plantejament Si un vèrtex del tancat coincideix amb un vèrtex del jardí, posem el tancat a la cantonada: dos costats queden arran dels dos murs i només cal tanca als altres dos, $x+y$ metres.

Cost amb $y=\frac{8}{x}$ :
$C(x)=2{,}5\,(x+y)=2{,}5\left(x+\frac{8}{x}\right)$
Derivem i igualem a zero (solució positiva):
$C'(x)$ ${}= 2{,}5\left(1-\frac{8}{x^2}\right)=0$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 8$ ${}\Longrightarrow x=\sqrt{8}$ ${}= 2\sqrt{2}$
És un mínim, perquè la segona derivada és positiva:
$C''(x)=2{,}5\cdot\frac{16}{x^3}=\frac{40}{x^3}>0$
L’altre costat també fa $2\sqrt{2}$ m: el tancat és un quadrat.
$y=\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$
Cost mínim:
$C(2\sqrt{2})$ ${}= 2{,}5\,(2\sqrt{2}+2\sqrt{2})$ ${}= 2{,}5\cdot 4\sqrt{2}$ ${}= 10\sqrt{2}$ ${}\approx 14{,}14$
Estalvi respecte de l’apartat a):
$20-10\sqrt{2}\approx 20-14{,}14=5{,}86$

ResultatPosem el tancat a una cantonada del jardí, quadrat de costat $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ m. Costa $10\sqrt{2}\approx 14{,}14$ €, de manera que s’estalvien $20-10\sqrt{2}\approx 5{,}86$ €.

La pauta oficial dona: $x=y=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\ \mathrm{m}$ ; $C=14{,}14$ ; $20-14{,}14=5{,}86$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 1

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Integrals

Considereu les funcions $f(x)=-x^2+x+6$ i $g(x)=-9x+3x^2$ .

a) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per les dues funcions.

[1,25 punts]

b) Trobeu l’equació de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt $(-2,0)$ . Representeu aquesta recta tangent i les funcions $f(x)$ i $g(x)$ en uns mateixos eixos de coordenades.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament La regió està limitada per les dues paràboles entre els seus punts de tall. Busquem els talls, mirem quina funció queda per sobre i integrem la diferència.

Punts de tall, $f(x)=g(x)$ :
$-x^2+x+6$ ${}= -9x+3x^2$ ${}\Longrightarrow 4x^2-10x-6=0$ ${}\Longrightarrow 2x^2-5x-3=0$
Fórmula de l’equació de segon grau:
$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{5\pm 7}{4}\ \Longrightarrow\ x=3$ $x=-\frac{1}{2}$
Quina queda per sobre: provem un punt de l’interval, $x=0$ . Com que $f-g$ només canvia de signe als talls, $f\ge g$ a tot l’interval $\left[-\frac{1}{2},3\right]$ :
$f(0)=6>0=g(0)$
Àrea i primitiva de la diferència:
$A$ ${}= \int_{-1/2}^{3}\left(-4x^2+10x+6\right)dx$ ${}= \left[-\frac{4}{3}x^3+5x^2+6x\right]_{-1/2}^{3}$
Regla de Barrow, amb $F(x)=-\frac{4}{3}x^3+5x^2+6x$ :
$F(3)=-36+45+18=27$ $F\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}+\frac{5}{4}-3=-\frac{19}{12}$
Resultat:
$A$ ${}= 27-\left(-\frac{19}{12}\right)$ ${}= \frac{324+19}{12}$ ${}= \frac{343}{12}\ \mathrm{u}^2$ ${}\approx 28{,}58\ \mathrm{u}^2$

Resultat $A=\dfrac{343}{12}\ \mathrm{u}^2\approx 28{,}58\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial dona: $\frac{343}{12}\ \mathrm{u}^2$

Les paràboles y=−x²+x+6 (cap avall) i y=3x²−9x (cap amunt) es tallen a (−1/2,21/4) i a (3,0). La regió ombrejada, entre les dues corbes de x=−1/2 a x=3, amb f a dalt i g a baix, té àrea 343/12.

b)1,25 punts

Plantejament El punt $(-2,0)$ és de la gràfica de $f$ , perquè $f(-2)=-4-2+6=0$ . El pendent de la tangent és $f'(-2)$ . Per dibuixar les paràboles en busquem el vèrtex i els talls amb els eixos.

Derivada i pendent:
$f'(x)=-2x+1\ \Longrightarrow\ f'(-2)=5$
Recta tangent:
$y-0=5\,(x+2)\ \Longrightarrow\ y=5x+10$
La recta talla els eixos a $(0,10)$ i a $(-2,0)$ :
$x=0\ \Rightarrow\ y=10$ $y=0\ \Rightarrow\ x=-2$
Paràbola $f$ : branques cap avall, talla l’eix $OX$ a $x=-2$ i $x=3$ i l’eix $OY$ a $(0,6)$ ; el vèrtex és on $f'(x)=0$ :
$-2x+1=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$ $f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+6=\frac{25}{4}$
Paràbola $g$ : branques cap amunt, talla l’eix $OX$ a $x=0$ i $x=3$ ; el vèrtex és on $g'(x)=0$ :
$-9+6x=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{3}{2}$ $g\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}+\frac{27}{4}=-\frac{27}{4}$
Les dues paràboles es tallen als punts de l’apartat a), i la recta toca $f$ només a $(-2,0)$ . La gràfica ho representa tot en els mateixos eixos.
$f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)$ ${}= g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)$ ${}= \frac{21}{4}$ $f(3)=g(3)=0$

ResultatRecta tangent: $y=5x+10$ . Vèrtexs: $\left(\frac{1}{2},\frac{25}{4}\right)$ per a $f$ i $\left(\frac{3}{2},-\frac{27}{4}\right)$ per a $g$ . La gràfica mostra la recta i les dues paràboles en els mateixos eixos.

La pauta oficial dona: $y=5x+10$ ; $V_f=\left(\frac{1}{2},\frac{27}{4}\right)$ ; $V_g=\left(\frac{3}{2},-\frac{27}{4}\right)$

En uns mateixos eixos: la paràbola f, amb vèrtex (1/2,25/4) i talls (−2,0) i (3,0); la paràbola g, amb vèrtex (3/2,−27/4) i talls (0,0) i (3,0); i la recta tangent y=5x+10, que toca f a (−2,0) i talla l’eix vertical a (0,10).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

En una carretera principal hi trobem el poble $A$ . A 12 km del poble $A$ , hi ha un encreuament $O$ amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A 9 km de l’encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble $B$ . Es vol construir una torre de comunicacions $T$ en un punt de la carretera principal situat entre el poble $A$ i l’encreuament $O$ . Aquesta torre ha d’estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $B$ té un preu de 250 €/km i, en canvi, instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $A$ té un preu de 125 €/km. Determineu a quina distància de l’encreuament $O$ a la carretera principal cal situar la torre $T$ perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d’aquest preu mínim.

Representació gràfica de l’encreuament: el punt O, «Encreuament», a baix a l’esquerra; una línia vertical, «Carretera secundària», puja fins al punt B, «Poble B»; una línia horitzontal, «Carretera principal», va cap a la dreta fins al punt A, «Poble A». Entre O i A hi ha el punt T, «Torre», unit a B amb una línia de punts.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

42,5 punts

Plantejament Sigui $x$ la distància, en km, de l’encreuament $O$ a la torre $T$ , amb $0\le x\le 12$ . El cable $TA$ fa $12-x$ km, i el cable $TB$ és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets $x$ i $9$ .

Teorema de Pitàgores:
$d(T,B)=\sqrt{9^2+x^2}=\sqrt{81+x^2}$
Preu del cablejat, en euros:
$P(x)$ ${}= 125\,(12-x)$ ${}+250\sqrt{81+x^2}$
Derivem:
$P'(x)$ ${}= -125$ ${}+250\cdot\frac{2x}{2\sqrt{81+x^2}}$ ${}= -125$ ${}+\frac{250x}{\sqrt{81+x^2}}$
Igualem a zero i elevem al quadrat (els dos costats són positius per a $x>0$ ):
$\frac{250x}{\sqrt{81+x^2}}$ ${}= 125$ ${}\Longrightarrow \sqrt{81+x^2}$ ${}= 2x$ ${}\Longrightarrow 81+x^2$ ${}= 4x^2$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 27$
Solució positiva:
$x=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$
Signe de la derivada a banda i banda: el preu decreix abans i creix després, així que és un mínim:
$P'(1)=-125+\frac{250}{\sqrt{82}}<0$ $P'(6)=-125+\frac{1\,500}{\sqrt{117}}>0$
Preu mínim, amb $\sqrt{81+27}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ :
$P(3\sqrt{3})$ ${}= 125\,(12-3\sqrt{3})$ ${}+250\cdot 6\sqrt{3}$ ${}= 1\,500-375\sqrt{3}$ ${}+1\,500\sqrt{3}$ ${}= 1\,500+1\,125\sqrt{3}$ ${}\approx 3\,449$
Als extrems de l’interval el preu és més alt, així que és el mínim absolut:
$P(0)=1\,500+2\,250=3\,750$ $P(12)=250\cdot 15=3\,750$

ResultatCal situar la torre a $x=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$ km de l’encreuament $O$ . El preu mínim és de $1\,500+1\,125\sqrt{3}\approx 3\,449$ €.

La pauta oficial dona: $x=3\sqrt{3}\ \mathrm{km}\approx 5{,}2\ \mathrm{km}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Sigui la funció $f(x)=\dfrac{ax^2+x+b}{x^2+1}$ .

a) Calculeu els valors dels paràmetres $a$ i $b$ si sabem que la gràfica de la funció $f$ té un extrem relatiu en $x=-1$ i passa pel punt $P=\left(-2,\dfrac{13}{5}\right)$ .

[1,25 punts]

b) Per al cas $a=b$ , calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Derivem $f$ amb la regla del quocient i imposem les dues condicions: $f'(-1)=0$ (extrem relatiu en un punt on $f$ és derivable; el denominador no s’anul·la mai) i $f(-2)=\frac{13}{5}$ .

Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{(2ax+1)(x^2+1)-(ax^2+x+b)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$ ${}= \frac{-x^2+2(a-b)x+1}{(x^2+1)^2}$
Extrem a $x=-1$ :
$f'(-1)$ ${}= \frac{-1-2(a-b)+1}{4}$ ${}= \frac{-2(a-b)}{4}=0$ ${}\Longrightarrow a=b$
Pas pel punt $P$ :
$f(-2)$ ${}= \frac{4a-2+b}{5}$ ${}= \frac{13}{5}$ ${}\Longrightarrow 4a+b$ ${}= 15$
Amb $a=b$ :
$5a=15\ \Longrightarrow\ a=b=3$
Comprovació: amb $a=b=3$ la derivada és $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ , que canvia de signe a $x=-1$ , de manera que hi ha de debò un extrem:
$f'(-2)=-\frac{3}{25}<0$ $f'(0)=1>0$

Resultat $a=3$ i $b=3$ .

La pauta oficial dona: $a=b=3$

b)1,25 punts

Plantejament Amb $a=b$ la derivada ja no depèn de $a$ . L’enunciat no diu si $a=b$ vol dir els valors de l’apartat a) ( $a=b=3$ ) o qualsevol parella amb $a=b$ ; com que on hi ha els extrems no depèn de $a$ , resolem el cas general i després donem els valors per a $a=b=3$ .

Amb $a=b$ :
$f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
Punts crítics:
$1-x^2=0\ \Longrightarrow\ x=-1$ $x=1$
Signe de $f'$ (el denominador és sempre positiu):
$f'(-2)=-\frac{3}{25}<0$ $f'(0)=1>0$ $f'(2)=-\frac{3}{25}<0$
$f$ decreix a $(-\infty,-1)$ , creix a $(-1,1)$ i decreix a $(1,+\infty)$ : té un mínim relatiu a $x=-1$ i un màxim relatiu a $x=1$ . Els valors, escrivint $f(x)=a+\dfrac{x}{x^2+1}$ , són
$f(-1)=\frac{a-1+a}{2}=a-\frac{1}{2}$ $f(1)=\frac{a+1+a}{2}=a+\frac{1}{2}$
Amb els valors de l’apartat a), $a=b=3$ :
$f(-1)=\frac{5}{2}$ $f(1)=\frac{7}{2}$

ResultatMínim relatiu a $x=-1$ , punt $\left(-1,\,a-\frac{1}{2}\right)$ , i màxim relatiu a $x=1$ , punt $\left(1,\,a+\frac{1}{2}\right)$ . Amb $a=b=3$ : mínim $\left(-1,\frac{5}{2}\right)$ i màxim $\left(1,\frac{7}{2}\right)$ .

La pauta oficial dona: $f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ ; mínim relatiu a $x=-1$ i màxim relatiu a $x=1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Sigui la funció $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d’abscissa $x=2$ .

[0,75 punts]

b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d’abscissa $x=k$ , en què $k$ és un nombre real positiu.

[0,75 punts]

c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat b determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea.

[1 punt]

Gràfica de f(x)=1/x al primer quadrant i la recta tangent en un punt de la corba (marcat amb un punt). La tangent i els dos semieixos positius limiten un triangle ombrejat.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament La recta tangent a la gràfica de $f$ a $x=a$ és $y-f(a)=f'(a)\,(x-a)$ .

Derivada:
$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
Punt i pendent a $x=2$ :
$f(2)=\frac{1}{2}$ $f'(2)=-\frac{1}{4}$
Recta tangent:
$y-\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}(x-2)$ ${}\Longrightarrow y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ ${}= -\frac{1}{4}x+1$

Resultat $y=-\dfrac{1}{4}x+1$ .

La pauta oficial dona: $y=-\frac{1}{4}x+1$

b)0,75 punts

Plantejament El mateix procediment, ara al punt d’abscissa $x=k$ , amb $k>0$ .

Punt i pendent a $x=k$ :
$f(k)=\frac{1}{k}$ $f'(k)=-\frac{1}{k^2}$
Recta tangent:
$y-\frac{1}{k}$ ${}= -\frac{1}{k^2}(x-k)$ ${}\Longrightarrow y=-\frac{x}{k^2}+\frac{1}{k}+\frac{1}{k}$ ${}= -\frac{x}{k^2}+\frac{2}{k}$
Per a $k=2$ torna a sortir la recta de l’apartat a):
$-\frac{x}{4}+\frac{2}{2}=-\frac{1}{4}x+1$

Resultat $y=-\dfrac{1}{k^2}\,x+\dfrac{2}{k}$ .

La pauta oficial dona: $y=-\frac{1}{k^2}x+\frac{2}{k}$

c)1 punt

Plantejament El triangle té els vèrtexs a l’origen i als dos punts on la tangent talla els semieixos positius. És rectangle, i la seva àrea és la meitat del producte dels dos catets.

Tall amb l’eix d’abscisses ( $y=0$ ):
$0=-\frac{x}{k^2}+\frac{2}{k}\ \Longrightarrow\ x=2k\ \Longrightarrow\ (2k,\,0)$
Tall amb l’eix d’ordenades ( $x=0$ ):
$y=\frac{2}{k}\ \Longrightarrow\ \left(0,\,\frac{2}{k}\right)$
Els dos talls són als semieixos positius perquè $k>0$ . Àrea del triangle:
$A=\frac{1}{2}\cdot 2k\cdot\frac{2}{k}=2$
El valor no depèn de $k$ : l’àrea és la mateixa sigui quin sigui el punt de tangència.
$A=2\ \mathrm{u}^2\quad \forall\, k>0$

ResultatL’àrea del triangle és $2\ \mathrm{u}^2$ per a qualsevol $k>0$ : és constant.

La pauta oficial dona: $(2k,0)$ ; $\left(0,\frac{2}{k}\right)$ ; $2\ \mathrm{u}^2$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Sigui la funció $f(x)$ definida per $f(x)=-3x+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ .

a) Justifiqueu que $f(x)=2$ té una solució en l’interval $(-1,0)$ .

[1,25 punts]

b) Sigui la funció $h(x)=-3x^2+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ . Calculeu l’àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions $f(x)$ i $h(x)$ .

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament L’equació $f(x)=2$ té solució a $(-1,0)$ si la funció $g(x)=f(x)-2$ hi té un zero. Ho justifiquem amb el teorema de Bolzano.

Funció auxiliar. És contínua a $[-1,0]$ , perquè és suma d’un polinomi i d’una exponencial d’un polinomi, que són contínues a tot $\mathbb{R}$ :
$g(x)$ ${}= f(x)-2$ ${}= -3x+\mathrm{e}^{2x^3-1}-2$
Valor a $x=-1$ :
$g(-1)$ ${}= 3+\mathrm{e}^{-3}-2$ ${}= 1+\mathrm{e}^{-3}$ ${}> 0$
Valor a $x=0$ ; com que $\mathrm{e}^{-1}<1$ , és negatiu:
$g(0)=0+\mathrm{e}^{-1}-2<0$
Pel teorema de Bolzano, hi ha algun $c\in(-1,0)$ amb $g(c)=0$ :
$g(c)=0\ \Longrightarrow\ f(c)=2$

Resultat $g(x)=f(x)-2$ és contínua a $[-1,0]$ i canvia de signe: $g(-1)=1+\mathrm{e}^{-3}>0$ i $g(0)=\mathrm{e}^{-1}-2<0$ . Pel teorema de Bolzano, existeix $c\in(-1,0)$ amb $f(c)=2$ .

La pauta oficial dona: $g(-1)=1+\mathrm{e}^{-3}>0$ ; $g(0)=\mathrm{e}^{-1}-2<0$

b)1,25 punts

Plantejament Les dues funcions tenen la mateixa exponencial, que desapareix en restar-les. Busquem on es tallen les gràfiques i integrem la diferència entre els dos talls.

Punts de tall, $f(x)=h(x)$ :
$-3x+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ ${}= -3x^2+\mathrm{e}^{2x^3-1}$ ${}\Longrightarrow 3x^2-3x=0$ ${}\Longrightarrow 3x(x-1)=0$
Les gràfiques es tallen a $x=0$ i $x=1$ . La diferència és positiva a $(0,1)$ , on $h$ queda per sobre:
$h(x)-f(x)$ ${}= -3x^2+3x$ ${}= 3x(1-x)$
Àrea, amb la regla de Barrow:
$A$ ${}= \int_0^1\left(-3x^2+3x\right)dx$ ${}= \left[-x^3+\frac{3x^2}{2}\right]_0^1$ ${}= -1+\frac{3}{2}-0$ ${}= \frac{1}{2}$

Resultat $A=\dfrac{1}{2}\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial dona: $x=0$ , $x=1$ ; $\frac{1}{2}\ \mathrm{u}^2$

Les corbes y=−3x+e^(2x³−1) i y=−3x²+e^(2x³−1) entre x=−0,5 i x=1,4. Es tallen a (0,e⁻¹) i a (1,e−3); entre aquests dos punts, la regió ombrejada té h a dalt i f a baix, i la seva àrea és 1/2.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2023Convocatòria extraordinària · Sèrie 2 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2023 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan 10 mm, tal com podeu observar en la figura següent:

a) Expresseu l’altura del trapezi en funció de la longitud $x$ de la base inferior.

[0,5 punts]

b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea màxima.

[2 punts]

Trapezi isòsceles amb la base llarga a dalt, marcada 3x, i la base curta a baix, marcada x. Els dos costats inclinats estan marcats «10 mm».

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,5 punts

Plantejament La base superior fa $3x$ i la inferior, $x$ . Com que el trapezi és isòsceles, la base superior sobresurt el mateix per cada costat: $\frac{3x-x}{2}=x$ . Cada costat de 10 mm és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets $x$ i l’altura $h$ .

Teorema de Pitàgores:
$x^2+h^2=10^2$
Aïllem $h$ , que és positiva; perquè hi hagi trapezi cal $0<x<10$ :
$h(x)=\sqrt{100-x^2}$

Resultat $h(x)=\sqrt{100-x^2}$ mm, amb $0<x<10$ .

La pauta oficial dona: $h=\sqrt{100-x^2}$

b)2 punts

Plantejament L’àrea d’un trapezi és la semisuma de les bases per l’altura. En busquem el màxim amb la derivada a l’interval $(0,10)$ .

Àrea en funció de $x$ :
$A(x)$ ${}= \frac{x+3x}{2}\cdot\sqrt{100-x^2}$ ${}= 2x\sqrt{100-x^2}$
Derivada (regla del producte i de la cadena):
$A'(x)$ ${}= 2\sqrt{100-x^2}$ ${}+2x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}$ ${}= \frac{2(100-x^2)-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}$ ${}= \frac{4(50-x^2)}{\sqrt{100-x^2}}$
S’anul·la quan $x^2=50$ ; a $(0,10)$ només serveix la solució positiva:
$x=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$
Signe de $A'$ : el numerador $4(50-x^2)$ és positiu abans de $5\sqrt{2}$ i negatiu després, així que $A$ creix i després decreix: és un màxim.
$A'(7)=\frac{4\cdot 1}{\sqrt{51}}>0$ $A'(8)$ ${}= \frac{4\cdot(-14)}{\sqrt{36}}$ ${}= -\frac{28}{3}$ ${}< 0$
Àrea màxima:
$A(5\sqrt{2})$ ${}= 2\cdot 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{100-50}$ ${}= 10\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}$ ${}= 100$

ResultatLa base inferior ha de fer $x=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ mm (i la superior, $15\sqrt{2}\approx 21{,}21$ mm). L’àrea màxima és de $100\ \mathrm{mm}^2$ .

La pauta oficial dona: $x=5\sqrt{2}\approx 7{,}07\ \mathrm{mm}$ ; $A=100\ \mathrm{mm}^2$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2023, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 1

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 1 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Sigui $f'(x)=3x^2-12x$ la derivada d’una funció $f(x)$ .

a) Si sabem que $f(x)$ talla l’eix de les abscisses en $x=1$ , calculeu l’expressió de la funció $f(x)$ .

[0,75 punts]

b) Calculeu l’abscissa del punt d’inflexió de $f(x)$ i estudieu la concavitat de la funció.

[0,75 punts]

c) Sabem que l’àrea del recinte limitat per la corba $y=f''(x)$ , l’eix de les abscisses i les rectes $x=0$ i $x=a$ , amb $a>2$ , és $15\ \mathrm{u}^2$ . Calculeu el valor de $a$ .

[1 punt]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament $f(x)$ és una primitiva de $f'(x)$ : integrem i fixem la constant amb la condició $f(1)=0$ (la gràfica talla l’eix $OX$ en $x=1$ ).

Integrem $f'(x)$ :
$f(x)$ ${}= \int (3x^2-12x)\,dx$ ${}= x^3-6x^2+C$
Imposem $f(1)=0$ :
$f(1)$ ${}= 1^3-6\cdot 1^2+C$ ${}= -5+C=0$ ${}\Longrightarrow C=5$

Resultat $f(x)=x^3-6x^2+5$

La pauta oficial dona: $f(x)=x^3-6x^2+5$

b)0,75 punts

Plantejament Els punts d’inflexió són on $f''$ s’anul·la i canvia de signe; el signe de $f''$ diu la concavitat.

Derivada segona:
$f''(x)=6x-12=0\ \Longrightarrow\ x=2$
Signe de $f''$ a cada costat de $x=2$ :
$f''(0)=-12<0$ $f''(3)=6>0$
Ordenada del punt d’inflexió:
$f(2)=8-24+5=-11$

ResultatHi ha un punt d’inflexió a $x=2$ , el punt $(2,-11)$ . La funció és còncava cap avall (concavitat negativa) a $(-\infty,2)$ i còncava cap amunt (concavitat positiva) a $(2,+\infty)$ .

La pauta oficial dona: Inflexió a $x=2$ ; còncava cap avall a $(-\infty,2)$ i cap amunt a $(2,+\infty)$

c)1 punt

Plantejament La recta $y=f''(x)=6x-12$ talla l’eix $OX$ en $x=2$ : entre $0$ i $2$ queda per sota de l’eix i entre $2$ i $a$ , per sobre. Per això l’àrea és la suma de dues integrals, la primera amb el signe canviat.

Plantejament de l’àrea:
$15$ ${}= \int_0^2 (12-6x)\,dx$ ${}+\int_2^a (6x-12)\,dx$
Primer tros, amb la primitiva $12x-3x^2$ i la regla de Barrow:
$\left[12x-3x^2\right]_0^2$ ${}= (24-12)-0$ ${}= 12$
Segon tros, amb la primitiva $3x^2-12x$ :
$\left[3x^2-12x\right]_2^a$ ${}= (3a^2-12a)$ ${}-(12-24)$ ${}= 3a^2-12a+12$
Igualem la suma a $15$ :
$12+3a^2-12a+12$ ${}= 15$ ${}\Longrightarrow 3a^2-12a+9=0$ ${}\Longrightarrow a^2-4a+3=0$
Resolem l’equació de segon grau:
$a=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}\ \Longrightarrow\ a=3$ $\text{o}\ \ a=1$
Comprovació, amb $a=3$ , amb els dos triangles que formen la recta i l’eix (bases $2$ i $1$ , altures $12$ i $6$ ):
$\frac{2\cdot 12}{2}+\frac{1\cdot 6}{2}=12+3=15$

ResultatCom que $a>2$ , l’única solució és $a=3$ .

La pauta oficial dona: $a=3$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

a) Trobeu una funció polinòmica $y=g(x)$ de grau 3 tal que talli l’eix de les ordenades en el punt $(0,5)$ , que la recta tangent a $y=g(x)$ en el punt d’abscissa $x=1$ sigui horitzontal i que $g''(x)=2x+1$ .

[1 punt]

b) Comproveu que la funció $f(x)=-x^3+6x^2-16$ té una arrel a $x=2$ i que és estrictament creixent a l’interval $(0,4)$ . Utilitzeu aquesta informació per a calcular l’àrea determinada per la funció $f(x)$ , l’eix de les abscisses i les rectes $x=0$ i $x=4$ .

[1,5 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament Integrem dues vegades $g''$ . Cada integració dona una constant: la de $g'$ surt de la tangent horitzontal ( $g'(1)=0$ ) i la de $g$ , del punt $(0,5)$ .

Primera integració:
$g'(x)$ ${}= \int (2x+1)\,dx$ ${}= x^2+x+m$
Tangent horitzontal a $x=1$ :
$g'(1)=1+1+m=0\ \Longrightarrow\ m=-2$
Segona integració:
$g(x)$ ${}= \int (x^2+x-2)\,dx$ ${}= \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x+n$
Passa per $(0,5)$ :
$g(0)=n=5$

Resultat $g(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+5$

La pauta oficial dona: $g(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x+5$

b)1,5 punts

Plantejament Si $f$ és estrictament creixent a $(0,4)$ , només pot tallar l’eix una vegada en aquest interval: a $x=2$ . Llavors $f<0$ a $(0,2)$ i $f>0$ a $(2,4)$ , i l’àrea es calcula en dos trossos.

Arrel a $x=2$ :
$f(2)=-8+24-16=0$
Derivada i signe a $(0,4)$ (els dos factors són positius):
$f'(x)$ ${}= -3x^2+12x$ ${}= 3x(4-x)$ ${}> 0\quad\text{si }0$ ${}< x$ ${}< 4$
Primitiva de $f$ :
$F(x)=-\frac{x^4}{4}+2x^3-16x$
Valors de la primitiva:
$F(0)=0$ $F(2)=-4+16-32=-20$ $F(4)=-64+128-64=0$
Regla de Barrow a cada tros (el primer és negatiu, perquè $f<0$ ):
$\int_0^2 f(x)\,dx$ ${}= F(2)-F(0)$ ${}= -20$ $\int_2^4 f(x)\,dx$ ${}= F(4)-F(2)$ ${}= 20$
Àrea total:
$A=\left|-20\right|+20=40$

Resultat $A=40\ \mathrm{u}^2$

La pauta oficial dona: $A=20+20=40\ \mathrm{u}^2$

Gràfica de f(x)=−x³+6x²−16 entre x=0 i x=4: puja des de (0,−16), talla l’eix OX a (2,0) i arriba a (4,16). Hi ha dues regions ombrejades entre la corba i l’eix: una per sota de l’eix entre x=0 i x=2 i una altra per sobre entre x=2 i x=4; totes dues tenen àrea 20.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 2 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Al pati d’una escola es vol crear una àrea de joc de $30\ \mathrm{m}^2$ per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases ( $D$ ) sigui tan curt com sigui possible.

a) Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: $h=\dfrac{20}{x}$ i $D(x)=\sqrt{\dfrac{400}{x^2}+x^2}$ .

[1 punt]

b) Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat $D$ és mínima.

[1,5 punts]

Trapezi rectangular: la base de dalt, més curta, marcada amb x; la de baix, marcada amb 2x; el costat esquerre, vertical, marcat amb h; i el costat oblic de la dreta, marcat amb D.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1 punt

Plantejament La base petita és $x$ , la gran $2x$ i l’altura $h$ (el costat perpendicular a les bases). La primera relació surt de l’àrea; la segona, del teorema de Pitàgores.

Àrea del trapezi igual a $30$ :
$\frac{x+2x}{2}\cdot h=\frac{3xh}{2}=30\ \Longrightarrow\ h=\frac{60}{3x}=\frac{20}{x}$
Si tracem l’altura des de l’extrem de la base petita, el trapezi queda partit en un rectangle $x\times h$ i un triangle rectangle de catets $2x-x=x$ i $h$ , la hipotenusa del qual és $D$ :
$D^2$ ${}= x^2+h^2$ ${}= x^2+\left(\frac{20}{x}\right)^2$ ${}= \frac{400}{x^2}+x^2$
Com que $D>0$ :
$D(x)=\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}$ $x>0$

Resultat $h=\dfrac{20}{x}$ i $D(x)=\sqrt{\dfrac{400}{x^2}+x^2}$ , amb $x>0$ .

La pauta oficial dona: $h=\frac{20}{x}$ ; $D(x)=\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}$

b)1,5 punts

Plantejament Busquem el mínim de $D(x)$ per a $x>0$ : derivem, igualem a zero i estudiem el signe de la derivada.

Derivada (regla de la cadena):
$D'(x)$ ${}= \frac{-\frac{800}{x^3}+2x}{2\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}}$ ${}= \frac{x^4-400}{x^3\sqrt{\frac{400}{x^2}+x^2}}$
Punts crítics amb $x>0$ :
$x^4$ ${}= 400$ ${}\Longrightarrow x^2$ ${}= 20$ ${}\Longrightarrow x=\sqrt{20}$ ${}= 2\sqrt{5}$
Signe de $D'$ : el denominador és positiu i el numerador $x^4-400$ és negatiu si $x<2\sqrt5$ i positiu si $x>2\sqrt5$ . Per tant, $D$ decreix i després creix, i a $x=2\sqrt5$ hi ha el mínim.
$x<2\sqrt5:\ D'<0$ $x>2\sqrt5:\ D'>0$
Altura i base gran:
$h=\frac{20}{2\sqrt5}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$ $2x=4\sqrt5$
Costat oblic mínim:
$D=\sqrt{\frac{400}{20}+20}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

ResultatBase petita $x=2\sqrt5\ \mathrm{m}$ , base gran $2x=4\sqrt5\ \mathrm{m}$ , altura $h=2\sqrt5\ \mathrm{m}$ i costat oblic mínim $D=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$ .

La pauta oficial dona: $x=h=\sqrt{20}=2\sqrt5\ \mathrm{m}$ ; $D=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 2

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria ordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció $f(x)=x^3$ i sigui $a$ un nombre real estrictament positiu.

a) Calculeu l’equació de la recta $t$ tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d’abscissa $x=a$ . Trobeu el punt de tall de la recta $t$ amb l’eix de les abscisses (en funció de $a$ ).

[1,25 punts]

b) Feu un esbós de la gràfica de la funció $f$ i la recta $t$ . Calculeu el valor de $a$ perquè l’àrea en el primer quadrant limitada per la funció $f$ , la recta $t$ i l’eix de les abscisses sigui $108\ \mathrm{u}^2$ .

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament La recta tangent en $x=a$ és $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . El tall amb l’eix d’abscisses és on $y=0$ .

Valor i pendent en $x=a$ :
$f(a)=a^3$ $f'(x)=3x^2\ \Rightarrow\ f'(a)=3a^2$
Recta tangent:
$t:\ y$ ${}= 3a^2(x-a)+a^3$ ${}= 3a^2x-2a^3$
Tall amb $y=0$ (com que $a>0$ , podem dividir per $3a^2$ ):
$3a^2x-2a^3=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{2a^3}{3a^2}=\frac{2a}{3}$

Resultat $t:\ y=3a^2x-2a^3$ , que talla l’eix d’abscisses en el punt $\left(\dfrac{2a}{3},0\right)$ .

La pauta oficial dona: $t:\ y=3a^2x-2a^3$ ; $\left(\frac{2}{3}a,0\right)$

b)1,25 punts

Plantejament Per a $x>0$ , $f''(x)=6x>0$ : la corba és còncava cap amunt i la tangent queda per sota. La regió del primer quadrant és la que hi ha sota la corba entre $0$ i $a$ menys el triangle que la tangent forma amb l’eix entre $\frac{2a}{3}$ i $a$ .

Esbós: la gràfica de $f$ passa per l’origen i és creixent; la tangent toca la corba a $(a,a^3)$ i talla l’eix a $\left(\frac{2a}{3},0\right)$ (vegeu la figura, feta amb el valor final $a=6$ ).
Àrea sota la corba entre $0$ i $a$ :
$\int_0^a x^3\,dx$ ${}= \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^a$ ${}= \frac{a^4}{4}$
Triangle de base $a-\frac{2a}{3}=\frac{a}{3}$ i altura $a^3$ :
$\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{3}\cdot a^3=\frac{a^4}{6}$
Àrea de la regió:
$\frac{a^4}{4}-\frac{a^4}{6}=\frac{3a^4-2a^4}{12}=\frac{a^4}{12}$
Imposem que valgui $108$ :
$\frac{a^4}{12}$ ${}= 108$ ${}\Longrightarrow a^4$ ${}= 1\,296$ ${}\Longrightarrow a=6\quad(a>0)$

Resultat $a=6$

La pauta oficial dona: $\frac{a^4}{12}=108\Rightarrow a=6$

Esbós de f(x)=x³ al primer quadrant amb la recta tangent en x=a, dibuixat per a a=6: la tangent y=108x−432 toca la corba a (6,216) i talla l’eix OX a (4,0). La regió ombrejada és la limitada per la corba, la tangent i l’eix entre x=0 i x=6.

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pauta

A $\mathbb{R}^2$ , considereu els triangles rectangles que tenen els vèrtexs en els punts $O=(0,0)$ , $A=(x,0)$ i $B=(0,y)$ , amb $x>0$ i $y>0$ , i en què la suma dels catets és 10.

a) Expresseu l’àrea del triangle $AOB$ en funció de $x$ . Per a quin valor de $x$ l’àrea del triangle $AOB$ és la més gran possible? Quin valor té aquesta àrea màxima?

[1,25 punts]

b) Expresseu la hipotenusa del triangle $AOB$ en funció de $x$ . Per a quin valor de $x$ la hipotenusa del triangle $AOB$ és la més petita possible? Quin és aquest valor mínim?

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Els catets mesuren $x$ i $y$ , amb $x+y=10$ ; per tant, $y=10-x$ i $0<x<10$ .

Àrea en funció de $x$ :
$A(x)=\frac{x(10-x)}{2}=\frac{10x-x^2}{2}$
Derivada i punt crític:
$A'(x)=\frac{10-2x}{2}=5-x=0\ \Longrightarrow\ x=5$
Segona derivada:
$A''(x)=-1<0\ \Longrightarrow\ \text{màxim}$
Valor màxim (llavors $y=5$ ):
$A(5)=\frac{5\cdot 5}{2}=\frac{25}{2}$

Resultat $A(x)=\dfrac{10x-x^2}{2}$ ; l’àrea és màxima per a $x=5$ i val $\dfrac{25}{2}\ \mathrm{u}^2$ .

La pauta oficial dona: $A(x)=\frac{10x-x^2}{2}$ ; $x=5$ ; $A(5)=\frac{25}{2}$

b)1,25 punts

Plantejament La hipotenusa surt del teorema de Pitàgores. Busquem el mínim derivant i estudiant el signe de la derivada.

Hipotenusa en funció de $x$ :
$H(x)$ ${}= \sqrt{x^2+(10-x)^2}$ ${}= \sqrt{2x^2-20x+100}$
Derivada:
$H'(x)$ ${}= \frac{4x-20}{2\sqrt{2x^2-20x+100}}$ ${}= \frac{2x-10}{\sqrt{2x^2-20x+100}}$
$H'(x)=0$ quan el numerador és zero; el denominador sempre és positiu, així que $H'<0$ si $x<5$ i $H'>0$ si $x>5$ : hi ha un mínim.
$2x-10=0\ \Longrightarrow\ x=5$
Valor mínim:
$H(5)$ ${}= \sqrt{50-100+100}$ ${}= \sqrt{50}$ ${}= 5\sqrt2$

Resultat $H(x)=\sqrt{2x^2-20x+100}$ ; la hipotenusa és mínima per a $x=5$ i val $5\sqrt2$ u.

La pauta oficial dona: $H(x)=\sqrt{2x^2-20x+100}$ ; $x=5$ ; $H(5)=5\sqrt2$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria ordinària · Sèrie 5 · Exercici 6

2,5 puntsL’examen porta una errata

La columna de l’esquerra de la taula següent mostra l’esquema d’un programa informàtic que s’ha elaborat per a trobar solucions aproximades d’una equació $f(x)=0$ en un interval $(a,b)$ , sabent que $f(a)\cdot f(b)<0$ . La columna de la dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l’equació $x+\ln(x)=0$ entre els valors $a=0{,}5$ i $b=2$ .

Esquema del programa	Exemple
1. Escriure «Introduïu un valor $a$ »	L’usuari introdueix $a=0{,}5$
2. Escriure «Introduïu un valor $b$ »	L’usuari introdueix $b=2$
3. Escriure «Introduïu una funció $f(x)$ »	L’usuari introdueix $f(x)=x+\ln(x)$
4. Calcular $c=(a+b)/2$	El programa calcula la mitjana entre $a$ i $b$ i li assigna el nom $c=(0{,}5+2)/2=1{,}25$
5. Si $f(a)*f(c)<0$ , aleshores reassignar $b=c$ ; en cas contrari, reassignar $a=c$	El programa comprova que $f(0{,}5)f(1{,}25)$ ${}= (0{,}5+\ln(0{,}5))(1{,}25+\ln(1{,}25))$ ${}< 0$ ; per tant, reassigna $b=1{,}25$
6. Repetir els passos 4 i 5 tants cops com faci falta fins que $f(a)-f(b)<0{,}00000001$	El programa va repetint la comprovació anterior, canviant cada vegada els valors de $a$ o de $b$ :
7. Quan $f(a)-f(b)<0{,}00000001$ , escriure: «La solució de l’equació és $c$ » i aturar el programa	Després d’unes 30 iteracions, el programa escriu: «La solució de l’equació és $0{,}56714329$ »

	$a$	$b$
inici	$0{,}5$	$2$
iteració 1	$0{,}5$	$1{,}25$
iteració 2	$0{,}5$	$0{,}875$
iteració 3	$0{,}5$	$0{,}6875$
iteració 4	$0{,}5$	$0{,}59375$
iteració 5	$0{,}546875$	$0{,}59375$
iteració 6	$0{,}546875$	$0{,}5703125$
iteració 7	$0{,}55859375$	$0{,}5703125$
[…]

a) Expliqueu per què aquest programa és capaç de trobar una solució aproximada de l’equació $x+\ln(x)=0$ entre els valors $a=0{,}5$ i $b=2$ .

[1,25 punts]

b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de $f(x)=x^3-3x^2+1$ amb valors de $a$ i $b$ diferents. Trobeu justificadament entre quins valors $a$ i $b$ , per a cada arrel, hem d’aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament El programa és el mètode de la bisecció, que es basa en el teorema de Bolzano: si $f$ és contínua a $[a,b]$ i $f(a)\cdot f(b)<0$ , hi ha almenys una arrel a $(a,b)$ .

$f(x)=x+\ln(x)$ és contínua a $[0{,}5;\ 2]$ , perquè és la suma d’un polinomi i del logaritme, que és continu a $(0,+\infty)$ . Els signes als extrems són diferents:
$f(0{,}5)$ ${}= 0{,}5+\ln 0{,}5$ ${}\approx 0{,}5-0{,}6931$ ${}= -0{,}1931$ ${}< 0$ $f(2)=2+\ln 2\approx 2{,}6931>0$
Pel teorema de Bolzano hi ha una arrel a $(0{,}5;\ 2)$ . A més, és l’única, perquè $f$ és estrictament creixent:
$f'(x)=1+\frac{1}{x}>0\quad\text{si }x>0$
A cada pas el programa pren el punt mitjà $c$ i es queda amb la meitat $[a,c]$ o $[c,b]$ on la funció canvia de signe. El nou interval torna a complir Bolzano i té la meitat d’amplada; després de $n$ passos l’amplada és:
$b_n-a_n$ ${}= \frac{2-0{,}5}{2^n}$ ${}= \frac{1{,}5}{2^n}$
Així $a$ i $b$ s’acosten tant com vulguem a l’arrel, que queda sempre entre tots dos. Per això el programa en dona una aproximació, $x\approx 0{,}5671$ .
$a_n<x^*<b_n$ $b_n-a_n\to 0$
Un detall de l’enunciat: la condició de parada està escrita com $f(a)-f(b)<0{,}00000001$ , sense valor absolut. Com que aquí $f(a)<0<f(b)$ en tot moment, $f(a)-f(b)$ sempre és negatiu i, llegida literalment, la condició aturaria el programa de seguida. Cal entendre-la com $|f(a)-f(b)|<0{,}00000001$ (o bé $b-a$ molt petit), que és el que fa que calgui una trentena d’iteracions.
$|f(a)-f(b)|<0{,}00000001$

ResultatEl programa aplica el teorema de Bolzano: $f(x)=x+\ln(x)$ és contínua a $[0{,}5;\ 2]$ i $f(0{,}5)<0<f(2)$ , de manera que hi ha una arrel (única, perquè $f$ és creixent). Cada pas parteix l’interval per la meitat i conserva el canvi de signe, i així l’interval s’encongeix al voltant de l’arrel, $x\approx 0{,}5671$ .

La pauta oficial dona: Teorema de Bolzano: $f$ contínua a $[0{,}5;\ 2]$ i $f(0{,}5)\cdot f(2)<0$ ; cada pas parteix l’interval per la meitat

b)1,25 punts

Plantejament Per aplicar el programa cal, per a cada arrel, un interval on $f$ sigui contínua, canviï de signe i (perquè l’arrel sigui única) sigui monòtona. Els intervals de monotonia surten dels zeros de $f'$ .

Derivada:
$f'(x)$ ${}= 3x^2-6x$ ${}= 3x(x-2)=0$ ${}\Longrightarrow x=0,\ x$ ${}= 2$
$f$ creix a $(-\infty,0)$ , decreix a $(0,2)$ i creix a $(2,+\infty)$ . Valors als extrems relatius:
$f(0)=1>0$ $f(2)=8-12+1=-3<0$
Busquem un valor abans de $0$ i un després de $2$ amb el signe contrari:
$f(-1)=-1-3+1=-3<0$ $f(3)=27-27+1=1>0$
A cada interval $f$ és contínua (és un polinomi), canvia de signe i és monòtona, i per tant hi ha exactament una arrel:
$f(-1)\cdot f(0)=-3<0$ $f(0)\cdot f(2)=-3<0$ $f(2)\cdot f(3)=-3<0$

ResultatCal aplicar el programa amb $a=-1$ , $b=0$ ; amb $a=0$ , $b=2$ ; i amb $a=2$ , $b=3$ . A cada interval hi ha exactament una de les tres arrels.

La pauta oficial dona: $[-1,0]$ ; $[0,2]$ ; $[2,3]$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria ordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 2

2,5 puntsLa pauta té un errorTambé a Límits i continuïtat

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 2 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Considereu la funció $f(x)=\dfrac{9}{x^2+x-2}$ .

a) Determineu el domini, les possibles asímptotes, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement de la funció.

[1,25 punts]

b) Calculeu l’equació general de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt d’abscissa $x=4$ . Representeu en un mateix gràfic la funció $f(x)$ i la recta tangent.

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament És un quocient: el domini exclou els zeros del denominador, que són també les candidates a asímptota vertical. Per a la monotonia, estudiem el signe de $f'$ a cada interval del domini.

Zeros del denominador:
$x^2+x-2$ ${}= (x+2)(x-1)=0$ ${}\Longrightarrow x=-2,\ x$ ${}= 1$
Domini:
$\operatorname{Dom}f$ ${}= \mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$ ${}= (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty)$
Asímptotes verticals: el numerador val $9\ne 0$ , així que als dos punts el límit és infinit (els signes surten del signe de $(x+2)(x-1)$ ):
$\lim_{x\to -2^-}f(x)$ ${}= +\infty,\ \lim_{x\to -2^+}f(x)$ ${}= -\infty$ $\lim_{x\to 1^-}f(x)$ ${}= -\infty,\ \lim_{x\to 1^+}f(x)$ ${}= +\infty$
Asímptota horitzontal (el denominador creix sense límit); per tant, no n’hi ha d’obliqües:
$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{9}{x^2+x-2}=0\ \Longrightarrow\ y=0$
Derivada:
$f'(x)$ ${}= \frac{-9(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=0$ ${}\Longrightarrow x=-\frac{1}{2}$
El denominador de $f'$ és positiu, així que el signe de $f'$ és el de $-(2x+1)$ :
$x<-\tfrac{1}{2}:\ f'>0$ $x>-\tfrac{1}{2}:\ f'<0$
Valor al màxim relatiu:
$f\left(-\tfrac{1}{2}\right)$ ${}= \frac{9}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}$ ${}= \frac{9}{-\frac{9}{4}}$ ${}= -4$

ResultatDomini $\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$ . Asímptotes verticals $x=-2$ i $x=1$ ; asímptota horitzontal $y=0$ ; cap d’obliqua. Creixent a $(-\infty,-2)\cup\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ i decreixent a $\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$ . Màxim relatiu a $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$ ; no hi ha mínims relatius.

La pauta oficial dona: Domini $(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,+\infty)$ ; AV $x=-2$ , $x=1$ ; AH « $x=0$ »; màxim a $x=-\frac{1}{2}$ ; creixent a $(-\infty,-2)\cup\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ , decreixent a $\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$

b)1,25 punts

Plantejament La tangent en $x=4$ és $y=f'(4)(x-4)+f(4)$ ; després la passem a la forma general $Ax+By+C=0$ . Per al gràfic fem servir els resultats de l’apartat a).

Valor i pendent:
$f(4)=\frac{9}{16+4-2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$ $f'(4)=\frac{-9\cdot 9}{18^2}=-\frac{81}{324}=-\frac{1}{4}$
Recta tangent:
$y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-4)\ \Longrightarrow\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$
Multiplicant per $4$ i passant-ho tot a un membre:
$x+4y-6=0$
Gràfic (figura): tres branques separades per les asímptotes $x=-2$ i $x=1$ ; la central, per sota de l’eix, amb el màxim $\left(-\frac{1}{2},-4\right)$ ; la de la dreta baixa cap a $y=0$ i la tangent la toca a $\left(4,\frac{1}{2}\right)$ .

ResultatRecta tangent: $x+4y-6=0$ (és a dir, $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$ ).

La pauta oficial dona: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

Gràfica de f(x)=9/(x²+x−2) amb les asímptotes verticals x=−2 i x=1 i l’asímptota horitzontal y=0, discontínues. La branca de l’esquerra és per sobre de l’eix i puja cap a +∞ arran de x=−2; la central és per sota de l’eix, amb el màxim relatiu a (−1/2,−4); la de la dreta baixa des de +∞ cap a l’eix. La recta tangent x+4y−6=0 toca aquesta última branca a (4,1/2).

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 4

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Límits i continuïtat, Integrals

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 4 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

a) Considereu la funció $f(x)$ ${}= \begin{cases}\ln(x), & \text{si } x\in(0,\mathrm{e})\\ ax+b, & \text{si } x\in[\mathrm{e},4)\end{cases}$ , on $a$ i $b$ són nombres reals. Trobeu el valor de $a$ i de $b$ per tal que la funció sigui contínua i derivable a l’interval $(0,4)$ .

[1,25 punts]

b) Calculeu la funció $g(x)$ que satisfà $g'(x)=\dfrac{x^3}{9x^4+1}$ i que passa pel punt $(0,-1)$ .

[1,25 punts]

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)1,25 punts

Plantejament Cada tros és continu i derivable al seu interval ( $\ln x$ ho és a $(0,+\infty)$ i $ax+b$ , a tot $\mathbb{R}$ ). Només cal imposar la continuïtat i la derivabilitat al punt d’unió, $x=\mathrm{e}$ .

Continuïtat a $x=\mathrm{e}$ (límit per l’esquerra igual al valor $f(\mathrm{e})$ ):
$\lim_{x\to \mathrm{e}^-}\ln x=\ln \mathrm{e}=1$ $f(\mathrm{e})=a\mathrm{e}+b\ \Longrightarrow\ a\mathrm{e}+b=1$
Derivades laterals a $x=\mathrm{e}$ :
$f'(\mathrm{e}^-)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ $f'(\mathrm{e}^+)=a\ \Longrightarrow\ a=\frac{1}{\mathrm{e}}$
Substituïm a la condició de continuïtat:
$\frac{1}{\mathrm{e}}\cdot \mathrm{e}+b=1\ \Longrightarrow\ b=0$

Resultat $a=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ i $b=0$ ; és a dir, $f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}}$ a $[\mathrm{e},4)$ .

La pauta oficial dona: $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ; $b=0$

b)1,25 punts

Plantejament $g$ és una primitiva de $g'$ . La derivada del denominador, $9x^4+1$ , és $36x^3$ , que és el numerador $x^3$ llevat d’una constant: la integral és un logaritme. La constant surt de $g(0)=-1$ .

Multipliquem i dividim per $36$ :
$\int\frac{x^3}{9x^4+1}\,dx$ ${}= \frac{1}{36}\int\frac{36x^3}{9x^4+1}\,dx$ ${}= \frac{1}{36}\ln(9x^4+1)+k$
No cal valor absolut, perquè $9x^4+1>0$ . Imposem $g(0)=-1$ :
$g(0)=\frac{1}{36}\ln 1+k=k=-1$
Comprovació derivant:
$g'(x)=\frac{1}{36}\cdot\frac{36x^3}{9x^4+1}=\frac{x^3}{9x^4+1}$

Resultat $g(x)=\dfrac{1}{36}\ln(9x^4+1)-1$

La pauta oficial dona: $g(x)=\frac{1}{36}\ln(9x^4+1)-1$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

2022Convocatòria extraordinària · Sèrie 3 · Exercici 6

2,5 puntsCoincideix amb la pautaTambé a Geometria de l’espai

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en castellà. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

Enunciat oficial de l’exercici 6 de la PAU de Matemàtiques de Catalunya de 2022 (convocatòria extraordinària), en català. El text és a la pàgina. — Enunciat oficial

La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d’una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla $y=0$ i l’altra és al pla $x=0$ .

En el punt $A=(2,0,2)$ hi volem penjar un altaveu que ha d’estar connectat a un equip de so, el qual està situat a l’altra paret, en el punt $B=(0,2,1)$ . La connexió entre $A$ i $B$ la farem mitjançant un cable que passi pel punt $C=(0,0,h)$ , situat a la recta vertical d’intersecció de les dues parets. Com que la qualitat del so depèn, entre altres factors, de la longitud del cable que uneix els dos aparells, volem fer una instal·lació amb el mínim de cable possible.

a) Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funció de l’altura $h$ per on ha de passar el cable a l’eix vertical $OZ$ , ve donada per l’expressió $L(h)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$ .

[0,75 punts]

b) Calculeu les coordenades del punt $C$ per on ha de passar el cable per tal que la longitud del cable sigui mínima. Calculeu aquesta longitud mínima del cable.

[1,75 punts]

Dibuix en perspectiva de dues parets grises perpendiculars sobre un terra gris, amb els eixos x, y i z numerats. Sobre l’eix vertical z, a la línia on es troben les parets, hi ha el punt C; el punt A és a la paret de l’esquerra i el punt B, a la de la dreta. Dos segments uneixen A amb C i C amb B: és el cable.

Fes-lo en paper i compara pas a pas.

a)0,75 punts

Plantejament El cable va en línia recta de $A$ a $C$ i de $C$ a $B$ ; la longitud total és la suma de les dues distàncies.

Distància de $A=(2,0,2)$ a $C=(0,0,h)$ :
$d(A,C)$ ${}= \sqrt{2^2+0^2+(2-h)^2}$ ${}= \sqrt{4+4-4h+h^2}$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$
Distància de $B=(0,2,1)$ a $C$ :
$d(B,C)$ ${}= \sqrt{0^2+2^2+(1-h)^2}$ ${}= \sqrt{4+1-2h+h^2}$ ${}= \sqrt{h^2-2h+5}$
Suma:
$L(h)$ ${}= d(A,C)+d(C,B)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$

Resultat $L(h)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$ , com volíem comprovar.

La pauta oficial dona: $L(h)$ ${}= \sqrt{h^2-4h+8}$ ${}+\sqrt{h^2-2h+5}$

b)1,75 punts

Plantejament Derivem $L$ , igualem a zero i resolem elevant al quadrat. Com que elevar al quadrat pot afegir solucions falses, comprovem la solució a l’equació original i amb el signe de $L'$ .

Derivada:
$L'(h)$ ${}= \frac{2h-4}{2\sqrt{h^2-4h+8}}$ ${}+\frac{2h-2}{2\sqrt{h^2-2h+5}}$ ${}= \frac{h-2}{\sqrt{h^2-4h+8}}$ ${}+\frac{h-1}{\sqrt{h^2-2h+5}}$
$L'(h)=0$ :
$(h-2)\sqrt{h^2-2h+5}$ ${}= -(h-1)\sqrt{h^2-4h+8}$
Elevem al quadrat i desenvolupem els dos membres:
$(h^2-4h+4)(h^2-2h+5)$ ${}= (h^2-2h+1)(h^2-4h+8)$
Els dos costats tenen $h^4-6h^3+17h^2$ ; queda:
$-28h+20$ ${}= -20h+8$ ${}\Longrightarrow 8h=12$ ${}\Longrightarrow h=\frac{3}{2}$
Comprovació a l’equació sense elevar (els dos membres valen el mateix):
$\left(-\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{17}{4}}$
Signe de $L'$ abans i després de $h=\frac{3}{2}$ : decreix i després creix, així que és un mínim:
$L'(1)=\frac{-1}{\sqrt5}<0$ $L'(2)=\frac{1}{\sqrt5}>0$
Longitud mínima (els dos trams mesuren el mateix):
$L\left(\frac{3}{2}\right)$ ${}= \sqrt{\frac{9}{4}-6+8}+\sqrt{\frac{9}{4}-3+5}$ ${}= \sqrt{\frac{17}{4}}+\sqrt{\frac{17}{4}}$ ${}= 2\cdot\frac{\sqrt{17}}{2}$ ${}= \sqrt{17}$

ResultatEl cable ha de passar per $C=\left(0,0,\dfrac{3}{2}\right)$ , i la longitud mínima és $\sqrt{17}$ unitats de longitud.

La pauta oficial dona: $C=\left(0,0,\frac{3}{2}\right)$ ; $L=\sqrt{17}$

Enunciat: Generalitat de Catalunya, Consell Interuniversitari de Catalunya, Oficina d’Accés a la Universitat. PAU de Matemàtiques 2022, convocatòria extraordinària. La imatge és l’examen oficial tal qual; el text el reprodueix amb les fórmules reescrites. Consultat el 22 d'octubre de 2026; el document no declara data d’última actualització.

L’examen sencer, resolt Examen en català (PDF)Examen en castellà (PDF)Pauta de correcció (PDF)Reutilitzat segons l’avís legal de la Generalitat

El que més s’ha repetit als exàmens

Optimització: màxim o mínim d’una magnitud amb una restricció

Creixement, extrems i inflexió amb la primera i la segona derivada

Recta tangent i recta normal a una corba

Provar que una funció té una arrel i quantes en té (Bolzano i monotonia)

Els exercicis, del més recent al més antic

1.11 punt

1.21 punt

1.30,5 punts

3.10,75 punts

3.20,75 punts

3.31 punt

2,5 punts

4.10,75 punts

4.20,75 punts

4.31 punt

1.10,75 punts

1.21 punt

1.30,75 punts

3.10,75 punts

3.20,75 punts

3.31 punt

4.11 punt

4.21 punt

4.30,5 punts

4.10,5 punts

4.21 punt

4.31 punt

1.11 punt

1.20,75 punts

1.30,75 punts

4.11 punt

4.21,5 punts

4.11 punt

4.21,5 punts

a)1 punt

b)1 punt

c)0,5 punts

a)0,75 punts

b)0,75 punts

c)1 punt

a)0,5 punts

b)1 punt

c)1 punt

a)1 punt

b)1,5 punts

a)0,75 punts

b)0,75 punts

c)1 punt

a)1 punt

b)1,5 punts

a)0,75 punts

b)0,75 punts

c)1 punt

a)1 punt

b)1 punt

c)0,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)0,75 punts

b)1 punt

c)0,75 punts

a)1 punt

b)0,5 punts

c)1 punt

a)1 punt

b)1,5 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

a)1,5 punts

b)1 punt

12,5 punts

a)1,5 punts

b)1 punt

a)1,75 punts

b)0,75 punts

a)1,25 punts

b)1,25 punts

42,5 punts

a)1,25 punts