Integrals: exercicis de la PAU de Matemàtiques resolts

Plantejament Cada tros és una funció contínua (exponencial, polinòmica i constant) en el seu interval, així que només cal imposar la continuïtat als punts on canvia la fórmula, $x=0$ i $x=2$: els límits laterals i el valor de la funció han de coincidir.

1. En $x=0$:

   $\lim_{x\to 0^-}5e^{2x}=5=f(0)$$\lim_{x\to 0^+}\left((x+m)^2+1\right)$${}= m^2+1$

2. Igualem els dos valors:

   $m^2+1=5\ \Longrightarrow\ m^2=4\ \Longrightarrow\ m=2$$\text{o}\ \ m=-2$

3. En $x=2$:

   $\lim_{x\to 2^-}\left((x+m)^2+1\right)$${}= (2+m)^2+1$$f(2)=\lim_{x\to 2^+}1=1$

4. Igualem els dos valors:

   $(2+m)^2+1$${}= 1$${}\Longrightarrow (2+m)^2=0$${}\Longrightarrow m=-2$

5. Les dues condicions es compleixen alhora només per a $m=-2$.

Plantejament Per a $m=-2$ la funció és positiva a tot arreu, de manera que l’àrea és la integral definida de $f$ entre $-1$ i $3$, separada en els tres trossos.

1. Per a $m=-2$, la funció és:

   $f(x)$${}= \begin{cases}5e^{2x} & x\le 0\\ (x-2)^2+1 & 0<x<2\\ 1 & 2\le x\end{cases}$

2. Esbós: el primer tros és una exponencial creixent que tendeix a $0$ cap a $-\infty$ i val $5$ a $x=0$; el segon és una paràbola amb vèrtex a $(2,1)$ que baixa de $5$ a $1$; el tercer és la recta horitzontal $y=1$. La funció és contínua i sempre positiva.

3. Plantegem l’àrea:

   $A$${}= \int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$${}+\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$${}+\int_{2}^{3}1\,dx$

4. Tros exponencial:

   $\int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx$${}= \left[\frac{5}{2}e^{2x}\right]_{-1}^{0}$${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}$

5. Tros parabòlic:

   $\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx$${}= \left[\frac{(x-2)^3}{3}+x\right]_{0}^{2}$${}= 2-\left(-\frac{8}{3}\right)$${}= \frac{14}{3}$

6. Tros constant:

   $\int_{2}^{3}1\,dx=1$

7. Sumem:

   $A$${}= \frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{14}{3}+1$${}= \frac{49}{6}-\frac{5}{2e^{2}}$${}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

Resultat$A=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2e^{2}}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $\frac{5}{2}-\frac{5}{2e^{2}}+\frac{8}{3}+3-2\approx 7{,}83\ \mathrm{u}^2$

Plantejament Una recta paraŀlela a $y=-2x$ té pendent $-2$, i el pendent de la tangent és la derivada. Busquem on $f'(x)=-2$.

1. Al primer tros la derivada és positiva i al tercer és zero, així que el punt ha d’estar al tros parabòlic:

   $(5e^{2x})'=10e^{2x}>0$$(1)'=0$

2. Derivem el tros del mig i igualem a $-2$:

   $f'(x)$${}= 2(x-2)$${}= -2$${}\Longrightarrow x=1\in(0,2)$

3. Calculem l’ordenada:

   $f(1)=(1-2)^2+1=2$

4. Equació de la recta tangent:

   $y-2=-2(x-1)\ \Longrightarrow\ y=-2x+4$

Plantejament Es demana quants punts comuns tenen les dues gràfiques i quins són. Igualem $f(x)=g(x)$; com que $g$ no és definida a $x=-1$, treballem amb $x\neq -1$ i podem multiplicar per $x+1$.

1. Igualem les dues funcions i multipliquem per $x+1$:

   $-x^2+5x$${}= 8-\frac{8}{x+1}$${}\Longrightarrow \left(-x^2+5x\right)(x+1)$${}= 8(x+1)-8$

2. Desenvolupem i ho passem tot a un membre:

   $-x^3+4x^2+5x$${}= 8x$${}\Longrightarrow -x^3+4x^2-3x=0$${}\Longrightarrow -x\left(x^2-4x+3\right)=0$

3. Una solució és $x=0$; les altres surten de l’equació de segon grau:

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}\ \Longrightarrow\ x=1$$x=3$

4. Cap no és $x=-1$, de manera que les tres són vàlides. Ordenades:

   $f(0)=0$$f(1)=-1+5=4$$f(3)=-9+15=6$

5. Comprovació amb la hipèrbola: $g(0)=8-8=0$, $g(1)=8-4=4$ i $g(3)=8-2=6$.

Plantejament Es demana l’àrea entre les dues corbes de $x=1$ a $x=3$. Entre aquests dos punts de tall no n’hi ha cap altre, de manera que una corba queda sempre per sobre de l’altra; l’àrea és la integral de la de dalt menys la de baix.

1. Quina està per sobre: a $x=2$, $f(2)=6$ i $g(2)=8-\frac{8}{3}\approx 5{,}33$; per tant, a $(1,3)$ la paràbola està per sobre de la hipèrbola:

   $f(x)-g(x)$${}= -x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}$

2. Primitiva (la de $\frac{8}{x+1}$ és $8\ln(x+1)$, perquè $x+1>0$):

   $A$${}= \int_1^3\left(-x^2+5x-8+\frac{8}{x+1}\right)dx$${}= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-8x+8\ln(x+1)\right]_1^3$

3. Regla de Barrow:

   $A$${}= \left(-9+\frac{45}{2}-24+8\ln 4\right)$${}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-8+8\ln 2\right)$${}= -\frac{21}{2}+\frac{35}{6}+8\ln 4-8\ln 2$

4. Com que $\ln 4=2\ln 2$:

   $A=-\frac{14}{3}+8\ln 2\approx 0{,}8785$

Resultat$A=8\ln 2-\dfrac{14}{3}\approx 0{,}8785\ \text{u}^2$

La pauta oficial dona: $-\frac{26}{3}+4+8\ln 2=0{,}878\ldots\ \text{u}^2$

Plantejament Es demana comprovar dues propietats de $f$ (les arrels i l’ordenada del vèrtex) i justificar que cap altra paràbola no les té. Per a la unicitat, escrivim una paràbola qualsevol amb aquestes arrels i hi imposem l’ordenada del vèrtex.

1. Arrels:

   $f(0)=-0^2+5\cdot 0=0$$f(5)=-25+25=0$

2. Vèrtex: és el punt on s’anul·la la derivada (aquí, el màxim de la paràbola):

   $f'(x)=-2x+5=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{5}{2}$$f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}=\frac{25}{4}=6{,}25$

3. Unicitat: una paràbola $y=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) que s’anul·la a $x=0$ i a $x=5$ es factoritza amb aquestes dues arrels:

   $y=ax(x-5)$

4. El vèrtex és al punt mitjà de les arrels, $x=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$, perquè la paràbola és simètrica respecte de la recta vertical que passa pel vèrtex. Imposem que la seva ordenada sigui $6{,}25$:

   $a\cdot\frac{5}{2}\left(\frac{5}{2}-5\right)$${}= -\frac{25}{4}\,a$${}= 6{,}25$${}\Longrightarrow a=-1$

5. L’únic valor possible és $a=-1$, que dona $y=-x(x-5)=-x^2+5x$: és la paràbola $y=f(x)$.

Plantejament Es demana la recta tangent a la gràfica de $f$ al punt $(-1,-1)$, $y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1)$. El pendent, $f'(-1)$, es llegeix a la gràfica de $f'$.

1. A la gràfica, la corba de $f'$ passa pel punt $(-1,2)$:

   $f'(-1)=2$

2. Recta tangent pel punt $(-1,-1)$ amb pendent $2$:

   $y-(-1)$${}= 2\left(x-(-1)\right)$${}\Longrightarrow y+1$${}= 2(x+1)$${}\Longrightarrow y=2x+1$

Plantejament Es demanen els punts crítics de $f$ (on $f'=0$) i la seva classificació. Els llegim a la gràfica de $f'$: són els punts on la corba toca l’eix d’abscisses. Els classifiquem amb el signe de $f'$ a cada costat i, si no canvia, amb el creixement de $f'$ (que és el signe de $f''$).

1. La gràfica de $f'$ toca l’eix $OX$ en tres punts:

   $f'(-2)=0$$f'(0)=0$$f'(1)=0$

2. $x=-2$: abans, $f'<0$ ($f$ decreix) i després, $f'>0$ ($f$ creix). És un mínim relatiu de $f$.

3. $x=1$: abans, $f'>0$ ($f$ creix) i després, $f'<0$ ($f$ decreix). És un màxim relatiu de $f$.

4. $x=0$: $f'$ és positiva als dos costats, de manera que $f$ creix abans i després i no hi ha extrem. En canvi, $f'$ hi té un mínim: decreix just abans de $0$ ($f''<0$, $f$ còncava cap avall) i creix just després ($f''>0$, $f$ còncava cap amunt). La concavitat canvia: és un punt d’inflexió de $f$, amb tangent horitzontal.

Plantejament Es demana l’àrea entre la gràfica de $f'$ i l’eix $OX$ entre $x=-1$ i $x=0$. Com que $f$ és una primitiva de $f'$, la regla de Barrow permet calcular la integral amb els valors $f(0)$ i $f(-1)$, sense conèixer l’expressió de $f'$.

1. A $[-1,0]$ la gràfica de $f'$ és per sobre de l’eix ($f'\ge 0$; només s’anul·la a $x=0$): l’àrea és la integral, sense valor absolut.

2. Regla de Barrow, amb $f(0)=-0{,}2$ i $f(-1)=-1$ (el punt de la gràfica de $f$ de l’enunciat):

   $A$${}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx$${}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}$${}= f(0)-f(-1)$${}= -0{,}2-(-1)$${}= 0{,}8$

3. Observació: la gràfica dibuixada i la dada $f(0)=-0{,}2$ no encaixen del tot. Si es mesura l’àrea sobre la quadrícula, surt una mica menys de $0{,}8$ (unes $0{,}72$ unitats quadrades). L’enunciat dona $f(0)$ perquè l’àrea es calculi amb la regla de Barrow, i amb aquesta dada l’àrea és $0{,}8$.

Plantejament El sensor va en línia recta de $A$ a $B$: la distància recorreguda és la longitud del segment $AB$, el mòdul del vector $\overrightarrow{AB}$.

1. Vector entre els dos punts (final menys inicial):

   $\overrightarrow{AB}$${}= B-A$${}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)$${}= (4,1,4)$

2. Mòdul:

   $d(A,B)$${}= \left|\overrightarrow{AB}\right|$${}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}$${}= \sqrt{33}$${}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

Plantejament Es demana la distància del punt final, $B$, al pla $\pi$. Passem el pla a l’equació general i fem servir la fórmula de la distància d’un punt a un pla.

1. Vector normal del pla, producte vectorial dels seus dos vectors directors:

   $\vec n$${}= (1,1,0)\times(0,0,1)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$${}= (1,-1,0)$

2. Equació general, amb el punt $(6,1,1)$ del pla:

   $1\cdot(x-6)$${}-1\cdot(y-1)$${}+0\cdot(z-1)=0$${}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0$

3. Distància de $B=(5,3,7)$ al pla:

   $d(B,\pi)$${}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}$${}= \frac{3}{\sqrt{2}}$${}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$${}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

Plantejament Es demana on la recta $AB$, recorreguda en el sentit de $A$ cap a $B$, talla el pla $\pi$. Escrivim la recta en forma paramètrica i la substituïm a l’equació del pla.

1. Recta que passa per $A$ amb vector director $\overrightarrow{AB}$:

   $(x,y,z)$${}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)$${}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)$

2. Substituïm a $\pi\colon x-y-5=0$:

   $(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0$${}\Longrightarrow 3\lambda-6=0$${}\Longrightarrow \lambda=2$

3. $\lambda=0$ és $A$ i $\lambda=1$ és $B$; $\lambda=2$ és més enllà de $B$, en el mateix sentit del moviment, com diu l’enunciat. Punt de xoc:

   $(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)$

4. Comprovació: $9-4-5=0$, el punt és del pla.

Plantejament Cada aerogenerador funciona amb probabilitat $0{,}9$, independentment dels altres. El nombre $X$ d’aerogeneradors en marxa segueix una binomial $B(10;\,0{,}9)$. Per arribar a 1 000 MW han de funcionar tots deu.

1. $P(X=10)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487$

Plantejament Superar 150 MW vol dir que funcionin almenys 2 aerogeneradors ($2\cdot 100=200>150$, mentre que $1\cdot 100=100<150$). És més fàcil calcular el contrari: que en funcionin 0 o 1.

1. Cap en marxa (tots aturats):

   $P(X=0)=0{,}1^{10}=10^{-10}$

2. Exactament un en marxa:

   $P(X=1)$${}= \binom{10}{1}\,0{,}9\cdot 0{,}1^{9}$${}= 9\cdot 10^{-9}$

3. Complementari:

   $P(X\ge 2)$${}= 1-10^{-10}-9\cdot 10^{-9}$${}= 1-9{,}1\cdot 10^{-9}$

Plantejament La part ombrejada és la regió tancada entre $g(x)=8x$ i $f(x)=2x^3$. Busquem els punts de tall i integrem la diferència de les funcions a cada tros.

1. Punts de tall:

   $2x^3$${}= 8x$${}\Longrightarrow 2x(x^2-4)=0$${}\Longrightarrow x=-2,\ 0,\ 2$

2. A $(0,2)$ la recta queda per sobre ($8x>2x^3$); a $(-2,0)$, per sota. Les dues fulles són simètriques respecte de l’origen (totes dues funcions són senars):

   $\int_{0}^{2}(8x-2x^3)\,dx$${}= \left[4x^2-\frac{x^4}{2}\right]_0^2$${}= 16-8$${}= 8$
3. $\int_{-2}^{0}(2x^3-8x)\,dx$${}= \left[\frac{x^4}{2}-4x^2\right]_{-2}^{0}$${}= 0-(8-16)$${}= 8$

4. Àrea total ombrejada:

   $A=8+8=16$

Resultat$A=16\ \text{m}^2$ (dues fulles de $8\ \text{m}^2$ cadascuna).

La pauta oficial dona: $16\ \mathrm{m}^2$

Plantejament Cal l’àrea de cada part de la vela. Calculem l’àrea total sota la paràbola entre $x=0$ i $x=5$ i l’àrea de la part inferior (sota $y=9$); la superior és la diferència. Després multipliquem cada àrea pel seu preu.

1. Punts de tall (amb $x\ge 0$):

   $-x^2+25=0\Rightarrow x=5$$-x^2+25=9\Rightarrow x=4$

2. Àrea total:

   $A_T$${}= \int_0^5(-x^2+25)\,dx$${}= \left[-\frac{x^3}{3}+25x\right]_0^5$${}= -\frac{125}{3}+125$${}= \frac{250}{3}$

3. Part inferior: un rectangle $4\times 9$ i, entre $x=4$ i $x=5$, la regió sota la paràbola. Amb la primitiva $F(x)=-\frac{x^3}{3}+25x$: $F(5)=\frac{250}{3}$ i $F(4)=\frac{236}{3}$.

   $A_{\text{inf}}$${}= \int_0^4 9\,dx$${}+\int_4^5(-x^2+25)\,dx$${}= 36+\left(\frac{250}{3}-\frac{236}{3}\right)$${}= 36+\frac{14}{3}$${}= \frac{122}{3}$

4. Part superior:

   $A_{\text{sup}}=\frac{250}{3}-\frac{122}{3}=\frac{128}{3}$

5. Cost:

   $\frac{128}{3}\cdot 50+\frac{122}{3}\cdot 70$${}= \frac{6400+8540}{3}$${}= \frac{14940}{3}$${}= 4980$

ResultatÀrea superior $\frac{128}{3}\ \text{u}^2$, àrea inferior $\frac{122}{3}\ \text{u}^2$; cost total $4\,980$ €.

La pauta oficial dona: $4980\ €$

Plantejament El pla $\pi'$ conté la direcció $\overrightarrow{PQ}$ i, com que és perpendicular a $\pi$, també conté la direcció del vector normal de $\pi$. El seu vector normal és el producte vectorial de totes dues direccions.

1. Direccions:

   $\vec n_\pi=(1,1,0)$$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,4)\parallel(1,-1,2)$

2. Vector normal de $\pi'$:

   $(1,1,0)\times(1,-1,2)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}$${}= (2,-2,-2)\parallel(1,-1,-1)$

3. Pla per $P$:

   $x-y-z+D=0$$1+1-2+D=0\Rightarrow D=0$

4. Comprovació amb $Q$:

   $3+3-6=0$

Plantejament Els punts que equidisten de $P$ i $Q$ formen el pla mediador del segment $PQ$ (perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$ pel punt mitjà). La recta demanada és la intersecció d’aquest pla amb $\pi'$.

1. Punt mitjà:

   $M=\frac{P+Q}{2}=(2,-2,4)$

2. Pla mediador (normal $(1,-1,2)$):

   $x-y+2z=2+2+8=12$

3. Intersecció amb $\pi'$:

   $\begin{cases}x-y-z=0\\ x-y+2z=12\end{cases}$${}\Longrightarrow 3z=12$${}\Rightarrow z=4$$x-y=4$

4. Amb $y=k$:

   $(x,y,z)$${}= (4+k,\ k,\ 4)$${}= (4,0,4)+k(1,1,0)$$k\in\mathbb{R}$

Plantejament Es demana la probabilitat que el filtre enviï un missatge a la carpeta de brossa. Hi pot arribar un missatge brossa o un de bo: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $B$ = «el missatge és brossa» i $C$ = «el filtre l’envia a la carpeta de brossa». Dades de l’enunciat:

   $P(B)=0{,}25$$P(\overline B)=0{,}75$$P(C\mid B)=0{,}95$$P(\overline C\mid\overline B)=0{,}90$

2. Dels missatges bons, el filtre envia a la carpeta de brossa la resta:

   $P(C\mid\overline B)=1-0{,}90=0{,}10$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(C)$${}= P(C\mid B)\,P(B)$${}+P(C\mid\overline B)\,P(\overline B)$${}= 0{,}95\cdot 0{,}25+0{,}10\cdot 0{,}75$${}= 0{,}2375+0{,}075$${}= 0{,}3125$

Plantejament A la carpeta de brossa hi ha els missatges que el filtre hi ha enviat. Es demana quina proporció d’aquests missatges no són brossa: és $P(\overline B\mid C)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.