Matemàtiques, PAU 2026 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Es demanen els valors de $k$ per als quals $\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}$ té inversa. $\boldsymbol{M}$ és $2\times 3$ i $\boldsymbol{N}$ és $3\times 2$, de manera que $\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}$ és $2\times 2$; és invertible si i només si el seu determinant no és zero.

1. Producte, fila per columna:

   $\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}$${}= \begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\k-1&0\\0&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}9+3(k-1)&3\\3(k-1)-(k-1)&(k-1)-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}3k+6&3\\2k-2&k-3\end{pmatrix}$

2. Determinant:

   $|\boldsymbol{M}\boldsymbol{N}|$${}= (3k+6)(k-3)$${}-3(2k-2)$${}= 3k^2-9k-12$${}= 3\left(k^2-3k-4\right)$

3. S’anul·la quan:

   $k^2-3k-4=0$${}\Longleftrightarrow k=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}$${}= \frac{3\pm 5}{2}$${}\Longleftrightarrow k=4$$\text{o}\ \ \ k=-1$

Plantejament Es demanen els valors de $k$ per als quals $\boldsymbol{N}\boldsymbol{M}$, que és $3\times 3$, té inversa. Calculem el producte i estudiem el seu determinant.

1. Producte, fila per columna:

   $\boldsymbol{N}\boldsymbol{M}$${}= \begin{pmatrix}3&1\\k-1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}k+8&8&-1\\3k-3&3k-3&0\\2k-2&-2&-2\end{pmatrix}$

2. Les columnes són linealment dependents: la primera és la segona menys $k$ vegades la tercera, per a qualsevol $k$:

   $\begin{pmatrix}8\\3k-3\\-2\end{pmatrix}$${}-k\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}k+8\\3k-3\\2k-2\end{pmatrix}$

3. Un determinant amb una columna que és combinació lineal de les altres val zero:

   $|\boldsymbol{N}\boldsymbol{M}|=0\quad\text{per a tot }k$

4. Una altra manera de veure-ho: el rang d’un producte no supera el de cap dels factors, i $\boldsymbol{N}$ només té dues columnes, de manera que $\operatorname{rang}(\boldsymbol{N}\boldsymbol{M})\le 2<3$.

Plantejament Es demana per a quins $m$, $n$ i $k$ el sistema, de dues equacions i tres incògnites, té infinites solucions. Fem servir el teorema de Rouché-Frobenius: comparem el rang de la matriu de coeficients, $\boldsymbol{M}$, amb el de l’ampliada, $\boldsymbol{M}^*$, i amb el nombre d’incògnites.

1. Escrit amb equacions:

   $\begin{cases}3x+3y=m\\ (k-1)x-y-z=n\end{cases}$

2. El menor de $\boldsymbol{M}$ format per les columnes de $y$ i $z$ no depèn de cap paràmetre i no és zero:

   $\begin{vmatrix}3&0\\-1&-1\end{vmatrix}$${}= -3$${}\neq 0$${}\Longrightarrow \operatorname{rang}\boldsymbol{M}$${}= 2$

3. La matriu ampliada només té 2 files, de manera que el seu rang és com a màxim 2; i conté aquest menor, així que també és 2:

   $\operatorname{rang}\boldsymbol{M}^*=2$

4. Els dos rangs són iguals i més petits que el nombre d’incògnites ($2<3$): pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és compatible indeterminat (amb un grau de llibertat), siguin quins siguin $m$, $n$ i $k$.

Plantejament Es demana la probabilitat que l’alumne faci almenys quatre hores d’esport a la setmana. Depèn de si llegeix o no almenys dos llibres al mes, que són els dos grups de l’enquesta: fem servir el teorema de la probabilitat total.

1. Successos: $L$ = «llegeix com a mínim dos llibres al mes» i $E$ = «fa esport almenys quatre hores a la setmana». Dades:

   $P(L)=0{,}6$$P(E\mid L)=0{,}7$$P(\overline E\mid\overline L)=0{,}5$

2. Complementaris:

   $P(\overline L)=0{,}4$$P(E\mid\overline L)=1-0{,}5=0{,}5$$P(\overline E\mid L)=1-0{,}7=0{,}3$

3. Teorema de la probabilitat total:

   $P(E)$${}= P(L)\,P(E\mid L)$${}+P(\overline L)\,P(E\mid\overline L)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}7+0{,}4\cdot 0{,}5$${}= 0{,}42+0{,}20$${}= 0{,}62$

Plantejament Sabem que fa menys de quatre hores d’esport ($\overline E$) i volem la probabilitat que llegeixi almenys dos llibres al mes: és $P(L\mid\overline E)$, que calculem amb la fórmula de Bayes.

1. Probabilitat de $\overline E$, amb l’apartat anterior:

   $P(\overline E)=1-0{,}62=0{,}38$

2. Fórmula de Bayes:

   $P(L\mid\overline E)$${}= \frac{P(\overline E\mid L)\,P(L)}{P(\overline E)}$${}= \frac{0{,}3\cdot 0{,}6}{0{,}38}$${}= \frac{0{,}18}{0{,}38}$${}= \frac{9}{19}$

Plantejament Es demanen el màxim i el mínim absoluts de $y(x)=7-x+\ln(2x-1)$ a l’interval $[1,6]$, que és on varia $x$. Una funció contínua en un interval tancat hi té màxim i mínim absoluts, i són en un punt crític de l’interior o en un extrem de l’interval.

1. Derivada (a $[1,6]$, $2x-1>0$):

   $y'(x)=-1+\frac{2}{2x-1}=\frac{3-2x}{2x-1}$

2. Punt crític:

   $y'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ 3-2x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac{3}{2}$

3. Signe: el denominador és positiu; $y'>0$ a $\left[1,\frac{3}{2}\right)$ i $y'<0$ a $\left(\frac{3}{2},6\right]$. La funció creix i després decreix: a $x=\frac{3}{2}$ hi ha el màxim absolut.

4. Valors al punt crític i als extrems de l’interval:

   $y(1)=7-1+\ln 1=6$$y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$$y(6)=1+\ln 11\approx 3{,}40$

5. El valor més gran és $y\left(\frac{3}{2}\right)$ i el més petit, $y(6)$: la funció decreix de $\frac{3}{2}$ a $6$ i $y(6)$ és més petit que $y(1)=6$.

ResultatSegons el model, l’Alba ha fet com a màxim $\frac{11}{2}+\ln 2\approx 6{,}19$ hores d’esport a la setmana (les setmanes que llegia $1{,}5$ hores) i com a mínim $1+\ln 11\approx 3{,}40$ hores (les que llegia $6$ hores).

La pauta oficial dona: màxim $\approx 6{,}19$ h; mínim $\approx 3{,}4$ h

Plantejament Es demana la recta tangent a la gràfica de $f$ al punt $(-1,-1)$, $y-f(-1)=f'(-1)\,(x+1)$. El pendent, $f'(-1)$, es llegeix a la gràfica de $f'$.

1. A la gràfica, la corba de $f'$ passa pel punt $(-1,2)$:

   $f'(-1)=2$

2. Recta tangent pel punt $(-1,-1)$ amb pendent $2$:

   $y-(-1)$${}= 2\left(x-(-1)\right)$${}\Longrightarrow y+1$${}= 2(x+1)$${}\Longrightarrow y=2x+1$

Plantejament Es demanen els punts crítics de $f$ (on $f'=0$) i la seva classificació. Els llegim a la gràfica de $f'$: són els punts on la corba toca l’eix d’abscisses. Els classifiquem amb el signe de $f'$ a cada costat i, si no canvia, amb el creixement de $f'$ (que és el signe de $f''$).

1. La gràfica de $f'$ toca l’eix $OX$ en tres punts:

   $f'(-2)=0$$f'(0)=0$$f'(1)=0$

2. $x=-2$: abans, $f'<0$ ($f$ decreix) i després, $f'>0$ ($f$ creix). És un mínim relatiu de $f$.

3. $x=1$: abans, $f'>0$ ($f$ creix) i després, $f'<0$ ($f$ decreix). És un màxim relatiu de $f$.

4. $x=0$: $f'$ és positiva als dos costats, de manera que $f$ creix abans i després i no hi ha extrem. En canvi, $f'$ hi té un mínim: decreix just abans de $0$ ($f''<0$, $f$ còncava cap avall) i creix just després ($f''>0$, $f$ còncava cap amunt). La concavitat canvia: és un punt d’inflexió de $f$, amb tangent horitzontal.

Plantejament Es demana l’àrea entre la gràfica de $f'$ i l’eix $OX$ entre $x=-1$ i $x=0$. Com que $f$ és una primitiva de $f'$, la regla de Barrow permet calcular la integral amb els valors $f(0)$ i $f(-1)$, sense conèixer l’expressió de $f'$.

1. A $[-1,0]$ la gràfica de $f'$ és per sobre de l’eix ($f'\ge 0$; només s’anul·la a $x=0$): l’àrea és la integral, sense valor absolut.

2. Regla de Barrow, amb $f(0)=-0{,}2$ i $f(-1)=-1$ (el punt de la gràfica de $f$ de l’enunciat):

   $A$${}= \int_{-1}^{0}f'(x)\,dx$${}= \big[f(x)\big]_{-1}^{0}$${}= f(0)-f(-1)$${}= -0{,}2-(-1)$${}= 0{,}8$

3. Observació: la gràfica dibuixada i la dada $f(0)=-0{,}2$ no encaixen del tot. Si es mesura l’àrea sobre la quadrícula, surt una mica menys de $0{,}8$ (unes $0{,}72$ unitats quadrades). L’enunciat dona $f(0)$ perquè l’àrea es calculi amb la regla de Barrow, i amb aquesta dada l’àrea és $0{,}8$.

Plantejament El sensor va en línia recta de $A$ a $B$: la distància recorreguda és la longitud del segment $AB$, el mòdul del vector $\overrightarrow{AB}$.

1. Vector entre els dos punts (final menys inicial):

   $\overrightarrow{AB}$${}= B-A$${}= (5-1,\ 3-2,\ 7-3)$${}= (4,1,4)$

2. Mòdul:

   $d(A,B)$${}= \left|\overrightarrow{AB}\right|$${}= \sqrt{4^2+1^2+4^2}$${}= \sqrt{33}$${}\approx 5{,}74\ \text{cm}$

Plantejament Es demana la distància del punt final, $B$, al pla $\pi$. Passem el pla a l’equació general i fem servir la fórmula de la distància d’un punt a un pla.

1. Vector normal del pla, producte vectorial dels seus dos vectors directors:

   $\vec n$${}= (1,1,0)\times(0,0,1)$${}= \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$${}= (1,-1,0)$

2. Equació general, amb el punt $(6,1,1)$ del pla:

   $1\cdot(x-6)$${}-1\cdot(y-1)$${}+0\cdot(z-1)=0$${}\Longrightarrow \pi\colon\ x-y-5=0$

3. Distància de $B=(5,3,7)$ al pla:

   $d(B,\pi)$${}= \frac{|5-3-5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}$${}= \frac{3}{\sqrt{2}}$${}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$${}\approx 2{,}12\ \text{cm}$

Plantejament Es demana on la recta $AB$, recorreguda en el sentit de $A$ cap a $B$, talla el pla $\pi$. Escrivim la recta en forma paramètrica i la substituïm a l’equació del pla.

1. Recta que passa per $A$ amb vector director $\overrightarrow{AB}$:

   $(x,y,z)$${}= (1,2,3)+\lambda(4,1,4)$${}= (1+4\lambda,\ 2+\lambda,\ 3+4\lambda)$

2. Substituïm a $\pi\colon x-y-5=0$:

   $(1+4\lambda)-(2+\lambda)-5=0$${}\Longrightarrow 3\lambda-6=0$${}\Longrightarrow \lambda=2$

3. $\lambda=0$ és $A$ i $\lambda=1$ és $B$; $\lambda=2$ és més enllà de $B$, en el mateix sentit del moviment, com diu l’enunciat. Punt de xoc:

   $(1,2,3)+2\,(4,1,4)=(9,4,11)$

4. Comprovació: $9-4-5=0$, el punt és del pla.